东北三省三校2019届高三第一次联合模拟考试文数试题Word版含解析

2019届东北三省名校高三第一次联合考试文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z = A ．36i 55+ B ．36i 55- C ．12i 55- D ．12i 55+2．已知集合{}04A x x =∈<<Z ，{}(1)(2)0B x x x =+-<，则AB =A ．（0，2）B ．（1-，2）C ．{0，1}D ．{1} 3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是A ．5B ．7C ．9D ．34．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩 绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；甲 8 3 2 7 6 5 4 2 0 7 乙91 3 4 8 9 0 1 1 30 12 3（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18． 则这4个结论中，正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量a =（1，，||1=b ，向量a 与b 的夹角为120 ，则||+a b 的值为 A．7 D ．136．实数x ，y 满足约束条件22010220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤ ，则2z x y =- 的最小值是A ．5B ．4C ．5-D ．6- 7．某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为A ．4B ．6C ．2D ．88．执行右面的程序框图，则输出的S 的值是A ．30B ．126C ．62D ．-1269．学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A ．14B ．12C ．13D ．3410．在三棱锥P ABC -中，已知PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，则下列结论正确的是A ．直线DE ⊥直线ADB ．直线DE ⊥直线PAC ．直线DE ⊥直线ACD ．直线DE ⊥直线AB11．已知斜率为1-的直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2-，则该抛物线的准线方程为A ．2x =B ．1x =C ．2x =-D ．1x =-12．若函数32()ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是A ．（0，+∞）B ．（0，1]C ．[1-，0）D ．（-∞，0）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是 ． 14．若33sin()25απ-=，则cos 2α的值是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过x 轴上的点P 作双曲线C ：22221x y a b -= (0a >，0)b >的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若OM =，PM =，则双曲线C 的离心率的值是 ．16．在各项为正数的等比数列{}n a 中，若2a 与10a 3438log log a a +的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若14c =，求b 的值． 18．（本小题满分12分）“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （Ⅰ）求证：1B E ∥平面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1B ACF -的体积．20．（本小题满分12分）已知点M （2，1）在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点E （1，0），过点M （2，1） 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在 以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．E21．（本小题满分12分）已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有最大值M ，且5M a >-，求实数a 的取值范围．※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l的参数方程为122x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线1C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设D 为曲线1C 上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数1()||||f x x a x a=++-． （Ⅰ）当a =1时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若x ∀∈R ，()|1|f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围．数学参考答案与评分标准 （文科）一、选择题（每小题5分，共60分）B D AC B C A C B CD D二、填空题（每小题5分，共20分）13、8-；14、725-；1516、1-三、解答题17．解：（Ⅰ）由34sin 3cos c a B b A =+、A B C π++=及正弦定理得3sin()4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+ ……3分由于sin 0A >，整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >，因此得3sin 5B =……6分 （Ⅱ）因为角B 是最小的内角，所以03B π<≤，又由（Ⅰ）知3sin 5B =，因此得4cos 5B = ……9分由余弦定理得2224141021410725b =+-⨯⨯⨯=，即b =……12分18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，女14人……2分，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数约为：2640026040⨯=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种……10分 ， 设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A ， 则所求概率93()155P A == ……12分19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以EM BC ∥且12EM BC =，又F 为11B C 的中点，11B C BC ∥，所以1B BC ∥F 且112B F BC =，即1EM B F ∥且1EM B F =， 故四边形1EMFB 为平行四边形，所以1B E FM ∥ ……3分，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊄平面ACF ，所以1B E ∥平面ACF ……6分（Ⅱ）解：设O 为BC 的中点，因棱柱底面是正三角形，所以有AO =AO ⊥平面11BCC B ……8分于是11111123323B ACF A B CF B CFV V S AO --==⨯⨯=⨯⨯ ……12分 20．解：（Ⅰ）由已知可得(2,1)(2,1)3a a ---⋅--=-，解得28a =，又点(2,1)M 在椭圆C 上，即2222118b +=，解得22b =， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y += ……4分 （Ⅱ）设11(,)N x y ，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，代入椭圆方程消去y 得2222(41)4(24)4(441)0k x k k x k k ++-+--= ……6分则有2124(441)241k k x k --=+，即2122(441)41k k x k --=+，21244141k k y k --+=+ ……8分 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN ⋅<，即有1111(1,)(1,1)10x y x y -=+-<……10分将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-， 所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1(,)6-+∞……12分21．解： （Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）， 由已知得1()f x a x'=- ……2分 当0a <时，()f x '＞0恒成立，所以，()f x 在(0,)+∞内单调递增，无减区间； 当0a >时，令()f x '=0，得1x a =，所以当1(0,)x a∈时()f x '＞0，()f x 单调递增； 当1(,)x a∈+∞时()f x '＜0，()f x 单调递减 ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a <时， ()f x 在(0,)+∞内单调递增，无最大值 ……7分当0a >时，函数()f x 在1x a=取得最大值， 即max 11()()ln4ln 4f x f a a a==-=--， 因此有ln 45a a -->-，得ln 10a a +-<……10分 设()ln 1g a a a =+-，则1()10g a a'=+>，所以()g a 在(0,)+∞内单调递增， 又(1)0g =，所以()(1)g a g <，得01a <<， 故实数a 的取值范围是（0，1）……12分22．解：（Ⅰ）由已知得22sin ρρθ=，得222x y y +=，即22(1)1x y +-=，所以1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）……3分直线l 20x y -+=……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线1C 是以C （0，1）为圆心、半径为1的圆， 设点(cos ,1sin )D αα+，因为点D 在第二象限，所以直线CD 的斜率CD k =tan α=……7分得56πα=，得点D 的直角坐标为（32）……10分 23．解：（Ⅰ）1a =时，()|1||1|f x x x =++-，当1()1125x f x x x x -=---+=-≤时，≥，解得52x -≤； 当11()1125x f x x x -<<=+-+=时,≥，解集为∅； 当1()1125x f x x x x =++-=≥时,≥，解得52x ≥； 综上：当a =1时，不等式()5f x ≥的解集为55(,][,)22-∞-+∞ ……5分（Ⅱ）显然有0a ≠，由绝对值的三角不等式得1111()||||||||||||2f x x a x x a x a a a a a a=++-+-+=+=+≥≥……7分 所以|1|m -2≤，解得13m -≤≤， 即[1,3]m ∈-……10分。

东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． １．已知集合2{0,},{30},A b B x Z x x ==∈-<若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2 ２．复数212ii+=-（ ）Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．2(2)i + Ｄ．1i +３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos2cos2A B <”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．向量a,b 满足1,2,()(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．63 Ｂ． 263 Ｃ．362 Ｄ． 62７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上 任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A ．36 Ｂ．33Ｃ．3 Ｄ．6 ９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．函数()lg(1)sin2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12开始结束输入t=S1=k3sinπk S S += t k >1+=k k输出S否是（第10题图）（第６题图）22２ ２２正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量0.0010.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008频率 组距空气污染指数 （3/g m μ）50100 150 200DCBAFE级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2019年１月某日某省x 个监测点数据统计如下：空气污染指数 (单位：3/g m μ) []0,50(]50,100(]100,150(]150,200监测点个数1540y10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若2AE =，求多面体ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB 与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积.21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求实数a 值； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <．①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ． 请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

2019年东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学答案一． 选择题1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD二．填空题13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4π三．解答题17．解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226π=++=++f x x x x …………………2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x ， …………………4分 ∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； …………………6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A…………………8分 由余弦定理，2222cos =+-a b c bc A ，∴2642=+-c c ，即2220--=c c又0>c ，∴1=c …………………10分∴1sin 2∆==ABC S bc A …………………12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件M设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D ,其中A 表示近视的学生, 随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种情况, 其中事件M 共有3种情况, 即AB,AC,AD, 所以()3162==P M故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． …………………4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：KMFGDCBA P近视 …………………8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.…………………12分19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = …………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，∴PG BG ⊥ ∴1124422PBG S BG PG ∆=⋅=⨯⨯= ∵13AG GD =∴3332442BDG BCG S S ∆∆=⋅=⨯= …………………4分设点D 到平面PBG 的距离为h , ∵D PBG P BDG V V --= 1133PBG BDG S h S PG ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅, 11344332h ∴⋅⋅=⋅⋅32h ∴= …………………6分 （方法二）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = ………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD ∵平面PBG平面=A B CD B G在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离 …………………4分223434322===∴=BC AD GD BC 在∆DKG 中，DK =DG sin 45︒=23∴点D 到平面PBG 的距离为23…………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC 于M ，连结FM ，又因为DF ⊥GC ,DM DF D = ∴GC ⊥平面F M D ，⊂FM 平面F M D ∴GC ⊥FMPG ⊥平面ABCD ，⊂GC 平面ABCD ∴PG ⊥GC∴FM ∥PG由GM ⊥MD 得：3cos452GM GD ︒==…………………10分 32312PF GM FC MC ∴=== …………………12分20. 解：（Ⅰ）24y x =焦点为(1,0)F ，则1(1,0)F -，2(1,0).F122a PF PF =+=解得1,1a c b ===，所以椭圆E 的标准方程为22 1.2x y += …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(1)220,t y ty ++-= 易知0.∆>则1221222,12.1t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.........6分 ()()111212121211(2)(2)F A F B x x y y ty ty y y ⋅=+++=+++=221212222(1)2()41t t y y t y y t -++++=+．因为111F A F B ⋅=，所以22221t t -=+1，解得213t =． ……..................8分 联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty ++-=，()2810t ∆=+>设3344(,),(,)C x y B x y ，则3423422,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩….....…….........10分112341273F CDS F F y y∆=⋅-===….....…….........12分21. 解：（Ⅰ）当ea=时，()e ext x x=-，'()e ext x=-， .....….................1分令'()0=t x则1=x列表如下：所以()(1)e e0极小值==-=t x t. ......….......…....5分（Ⅱ）设()()()ln e e ln exF x f x g x x a ax x a=-+-+=-+-+，(1)≥x1'()e xF x ax=-+，(1)≥x设1()e xh x ax=-+，2221e1()exxxh xx x⋅-'=-=， ...........…........7分由1x≥得，21,x≥2e10->xx，'()0>h x，()h x在(1,)+∞单调递增，即()F x'在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a'=+-，①当10e a+-≥，即1a e≤+时，(1,)x∈+∞时，()0F x'>，()F x在(1,)+∞单调递增,又(1)0F=，故当1x≥时，关于x的方程()ln e=()f x xg x a+--有且只有一个实数解. ..........9分②当10e a+-<，即1a e>+时，由（Ⅰ）可知e x ex≥，所以11'()e,'()0xa a e eF x a ex a F e ax x e e a a=+-≥+-≥⋅+-=>，又11ae e>+故00(1,),()0ax F xe'∃∈=，当(1,)x x∈时，()0F x'<，()F x单调递减，又(1)0F=，故当(]01,x x∈时，()0F x<，在[)01,x内，关于x的方程()ln e=()f x xg x a+--有一个实数解1.又(,)x x∈+∞时，()0F x'>，()F x单调递增，且22()ln1a aF a e a a a e e a=+-+->-+，令2()1(1)xk x e x x=-+≥，'()()2x s x k x e x ==-,()220'=-≥->x s x e e ,故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k >1当时，∴>x'()0，>k x ()∴k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0>>k a k ，故()0F a >，又0aa x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x . 又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. ........................12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ ……..................2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. …….................4分 （Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ…….................7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ…….................8分1cos 2θ∴=±满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan 3k θ==或3-. …….................10分 23．解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21164()22121x y y z ≥+-+= …….................8分 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得。

一． 选择题1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD二．填空题13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4π三．解答题17．解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)126π=++=++f x x x x …………………2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x ， …………………4分 ∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； …………………6分 （Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A …………………8分由余弦定理，2222cos =+-a b c bc A ，∴2642=+-c c ，即2220--=c c又0>c ，∴1=c …………………10分 ∴1sin 2∆==ABC S bc A…………………12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件M设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D ,其中A 表示近视的学生,随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种情况,其中事件M 共有3种情况, 即AB,AC,AD,所以()3162==P M 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． …………………4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表： 近视 …………………8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.…………………12分19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = …………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，∴PG BG ⊥∴1124422PBG S BG PG ∆=⋅=⨯⨯= ∵13AG GD = ∴3332442BDG BCG S S ∆∆=⋅=⨯= …………………4分 设点D 到平面PBG 的距离为h ,∵D PBG P BDG V V --= 1133PBG BDG S h S PG ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅, 11344332h ∴⋅⋅=⋅⋅32h ∴= …………………6分K M F GD C B A P（方法二）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = ………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG∴平面PBG ⊥平面ABCD ∵平面PBG 平面=ABCD BG 在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离 …………………4分223434322===∴=BC AD GD BC 在∆DKG 中，DK =DG sin 45︒=23 ∴点D 到平面PBG 的距离为23 …………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC 于M ，连结FM ，又因为DF ⊥GC , DM DF D = ∴GC ⊥平面FMD ，⊂FM 平面FMD ∴GC ⊥FMPG ⊥平面ABCD ，⊂GC 平面ABCD ∴PG ⊥GC∴FM ∥PG由GM⊥MD 得：3c o s 452GM G D ︒== …………………10分 32312PF GM FC MC ∴=== …………………12分 20. 解：（Ⅰ）24y x =焦点为(1,0)F ，则1(1,0)F -，2(1,0).F122a PF PF =+= 解得,1,1a c b ==，所以椭圆E 的标准方程为22 1.2x y += …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220,t y ty ++-= 易知0.∆>则1221222,12.1t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.........6分 ()()111212121211(2)(2)F A F Bx x y y t y t y y y ⋅=+++=+++ =221212222(1)2()41t t y y t y y t -++++=+． 因为111F A FB ⋅=，所以22221t t -=+1，解得213t =． (8)分 联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty ++-=，()2810t ∆=+> 设3344(,),(,)C x y B x y ，则3423422,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩….....…….........10分112341273F CD S F F y y ∆=⋅-=== ….....…….........12分21. 解：（Ⅰ）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-， (1)分令'()0=t x 则1=x 列表如下：......3分所以(极小值==t x . (5)（Ⅱ）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)≥x1'()e x F x a x=-+，(1)≥x 设1()e x h x a x =-+，2221e 1()e x x x h x x x ⋅-'=-=， ...........…........7分 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0>h x ，()h x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解. ..........9分②当10e a +-<，即1a e >+时，由（Ⅰ）可知e x ex ≥， 所以11'()e ,'()0x a a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0a x F x e'∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥， '()()2x s x k x e x ==-,()220'=-≥->x s x e e ,故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k > 1当时，∴>x'()0，>k x ()∴k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0>>k a k ，故()0F a >， 又0a a x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x .又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. (12)22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ (2)分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. …….................4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ…….................7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ (8)分 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan k θ==…….................10分23．解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21164()22121x y y z ≥+-+= …….................8分 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2019届高三第一次模拟语文试题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题.书院是中国历史上一种独具特色的文化教育组织，在中华文化的发展传承过程中发挥了重要作用，且传入日本、韩国等国家，并被广为移植和仿建，成为中国文化的传擦窗口和重要象征。

传统书院文化的内涵相当丰富，可以从精神、度和行为三个层面进行解读，汲取其合理成分，为当代教育改革与发展提供镜鉴和启示。

精神文化层面：传统书院注重价值关怀，有益于当代德育为先理念的坚守。

书院的精神文化主要包括书院的办学宗旨和教育理念。

古代书院为“补官学之弊而兴办”，在长期的办学过程中，形成了“明道传道”“发扬学术”的办学宗旨和“德育为本，修身为要；心忧天下，忠勇报国”的教育理念书院大儒朱熹曾言：“熹窃观古昔圣贤所以教人为学之意，莫非使之讲明艾理以修其身然后推以及人，非徒欲其务记览、为辞章，以钓声名、取利禄而已也。

”简言之，书院的精神文化是知识追求与价值关怀的完美统一。

制度文化层面：传统书院强调规范保障，有利于当代高等教育管理的优化。

书院的制度文化主要包括书院的管理架构和制度规范，其特点是管理机构精练化、管理原则民主化和管理方式学规化书院的管理架构主要是“山长负责制”。

山长是书院的灵魂和核心，主持教学、引领学术，德行必须“足为多士模范”。

书院生徒参与管理比较普遍，很多职务都由学生担任，“斋长”是其中最主要的职务，从生徒中选择品行端正、学业优秀者担任。

学规是为古代书院师生共同遵守的规章制度的通称，一般包括揭示、学则、学约等。

在中国书院发展史上最具有代表性的学规是朱熹的《白鹿洞书院揭示》，内容涵盖阅读目的、进德立品、修身养性、阅读技法等方面，语言严肃而不失婉约书院学规是根据学生的主体需要和内在潜能确定，有利于激发学生的自觉性和主动性。

行为文化层面：传统书院倡扬活动实效，助益于当代学校教育实践的优化。

2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（5分）复数（1﹣i）（3+i）的虚部是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣22．（5分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤﹣1或x＞2}3．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，||＝2，则|3+|＝（）A．B．C．D．4．（5分）设直线y＝x﹣与圆O：x2+y2＝a2相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆O 的面积为（）A．πB．2πC．4πD．8π5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10＝16，a8＝11，则S7＝（）A．30B．35C．42D．566．（5分）已知α∈（0，），tan（）＝﹣3，则sinα＝（）A．B．C．D．7．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1﹣a2＝（）A．0B．﹣1C．1D．28．（5分）设a＝（），b＝（），c＝（），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b9．（5分）已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m⊥n，n⊂αB．m∥β，α⊥βC．n⊥α，n⊥β，m⊥βD．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n10．（5分）圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞的数对（x，y）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣，0），点A的坐标为（0，2），点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C．2D ．12．（5分）若函数f（x）＝e x﹣ax2在区间（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则实数a的取值范围是（）A．a B．a＞e C．a≤e D．a二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知x，y 满足约束条件：，则z＝2x+y的最大值是．14．（5分）甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是．15．（5分）等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3＝8a1+3a2，a4＝16，则S4＝．16．（5分）四面体A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD ＝，CB＝CD＝1，则四面体A ﹣BCD的外接球的表面积为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22,23题为选考题．)17．（12分）设函数f（x）＝sin（2x ﹣）+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A ）＝，a ＝，b＝2，求△ABC的面积．18．（12分）世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：K2＝19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P在平面ABCD上的射影为G，且G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角余弦值；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（﹣1，）在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当＝1时，求△F1CD的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（e为自然对数的底数），g（x）＝ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝e时，求函数t（x）＝f（x）﹣g（x）的极小值；（Ⅱ）若当x≥1时，关于x的方程f（x）+lnx﹣e＝g（x）﹣a有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的方程为y＝kx，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣4a|+|x|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设实数m为（Ⅰ）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z＝m，求（x+y）2+y2+z2的最小值．2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（5分）复数（1﹣i）（3+i）的虚部是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【分析】再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（1﹣i）（3+i）＝4﹣2i．∴复数（1﹣i）（3+i）的虚部是﹣2．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤﹣1或x＞2}【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B＝{x|0＜x≤3}；∴A∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．3．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，||＝2，则|3+|＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量数量积的性质|3+|＝，展开后可求．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，||＝1，||＝2，∴＝＝1，则|3+|＝＝＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题．4．（5分）设直线y＝x﹣与圆O：x2+y2＝a2相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆O 的面积为（）A．πB．2πC．4πD．8π【分析】根据题意，求出圆O的圆心与半径，求出圆心O到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得a2＝1+（）2＝4，结合圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆O：x2+y2＝a2的圆心为（0，0），半径r＝|a|，圆心到直线y＝x﹣的距离d＝＝1，又由弦长|AB|＝2，则有a2＝1+（）2＝4，则圆O的面积S＝πa2＝4π；故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10＝16，a8＝11，则S7＝（）A．30B．35C．42D．56【分析】利用等差数列通项公式列方程组，能求出a1＝，d＝，由此再利用等差数列前n项和公式能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10＝16，a8＝11，∴，解得a1＝，d＝，∴S7＝7a1+＝＝35．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知α∈（0，），tan（）＝﹣3，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】利用两角和的正切公式求出tanα，再结合角的范围及同角三角函数基本关系即可求出sinα．【解答】解：∵利用两角和的正切公式得tan（）＝＝﹣3，∴tanα＝2．∵α∈（0，），∴．再根据sin2α+cos2α＝1，解得．故选：A．【点评】本题考查两角和的正切公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1﹣a2＝（）A．0B．﹣1C．1D．2【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为4时，b＝2，第一次，不满足b2＞x，不满足x能被b整数，故输出a＝0；当输入的x值为5时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b＝3；第二次，满足b2＞x，故输出a＝1；即第一次输出的a的值为a1的值为0，第二次输出的a的值为a2的值为1，则a1﹣a2＝0﹣1＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．8．（5分）设a＝（），b＝（），c＝（），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可求出．【解答】解：由函数y＝（）x为减函数，可知b＜c，由函数y＝x为增函数，可知a＞c，即b＜c＜a，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．9．（5分）已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m⊥n，n⊂αB．m∥β，α⊥βC．n⊥α，n⊥β，m⊥βD．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n【分析】根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：当n⊥β，m⊥β时，m∥n，当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立，即m⊥α的一个充分条件是C，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题的关键．10．（5分）圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞的数对（x，y）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】由不等式表示的平面区域得：不等式y＞的平面区域为正方形内位于第一，二象限圆x2+y2＝1外的区域，由几何概型中的面积型得：＝，即π＝＝，得解【解答】解：从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y ＞的数对（x，y）共有11个，即从区间[﹣1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y≤的数对（x，y）共有100﹣2×11＝78个，由几何概型中的面积型可得：＝，所以π＝＝，故选：A．【点评】本题考查了几何概型中的面积型，及不等式表示的平面区域，属中档题11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣，0），点A的坐标为（0，2），点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】由题意可得|AF|＝3，可得|P A|+|PF|的最小值为5，由双曲线的定义可得|P A|+|PF'|+2a的最小值为5，当A，P，F'三点共线时，取得最小值，可得a＝1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：由|AF|＝＝3，三角形APF的周长的最小值为8，可得|P A|+|PF|的最小值为5，又F'为双曲线的右焦点，可得|PF|＝|PF'|+2a，当A，P，F'三点共线时，|P A|+|PF'|取得最小值，且为|AF'|＝3，即有3+2a＝5，即a＝1，c＝，可得e＝＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）＝e x﹣ax2在区间（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则实数a的取值范围是（）A．a B．a＞e C．a≤e D．a【分析】求出函数的导数，问题转化为y＝e x和y＝2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y＝2ax和y＝e x相切时切点是A（m，e m），求出临界值，求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）＝e x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则y＝e x和y＝2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y＝2ax和y＝e x相切时切点是A（m，e m），则y′＝e x，y′|x＝m＝e m，故y﹣e m＝e m（x﹣m），即y＝e m x+（1﹣m）e m＝2ax，故（1﹣m）e m＝0，解得：m＝1，故A（1，e），故2a＝e，a＝，故直线y＝2ax和y＝e x相交时，a＞，故选：D．【点评】本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知x，y满足约束条件：，则z＝2x+y的最大值是3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出x，y满足约束条件：对应的平面区域如图：（阴影部分），由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（，），代入目标函数z＝2x+y得z＝3．即目标函数z＝2x+y的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是乙．【分析】先理解题意，再进行简单的合情推理，逐一进行检验即可得解．【解答】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲，②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙，③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙，综合①②③得：会弹钢琴的是乙，故答案为：乙【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属简单题．15．（5分）等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3＝8a1+3a2，a4＝16，则S4＝30．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3＝8a1+3a2，a4＝16，∴2a1（1+q+q2）＝a1（8+3q），＝16，解得a1＝q＝2．则S4＝＝30．故答案为：30．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）四面体A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝，CB＝CD＝1，则四面体A ﹣BCD的外接球的表面积为4π．【分析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【解答】解：如图，在四面体A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝，CB＝CD＝1，可得∠BCD＝90°，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为1．其表面积为4π×12＝4π．故答案为：4π．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，是中档题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22,23题为选考题．)17．（12分）设函数f（x）＝sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝，a＝，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x+）+1，由已知可求范围≤2x+≤，利用正弦函数的性质可求其值域．（Ⅱ）由已知可求sin（2A+）＝，可求范围＜2A+＜，从而可求A＝，由余弦定理解得c的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）＝sin（2x﹣）+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝sin（2x+）+1，…………………（2分）∵x∈[0，]，∴≤2x +≤，…………………（4分）∴sin（2x +）+1≤2，∴函数f（x）的值域为[，2]；…………………（6分）（Ⅱ）∵f（A）＝sin（2A +）+1＝，∴sin（2A +）＝，∵0＜A＜π，∴＜2A +＜，∴2A +＝，即A ＝，…………………（8分）由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴6＝4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣2＝0，又c＞0，∴c＝1+，…………………（10分）∴S△ABC＝bc sin A＝＝+．…………………（12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：K2＝【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算可得；（Ⅱ）先得2×2列联表，再根据表格中数据计算k2，再根据临界值表作答．【解答】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A，则P（A）＝＝故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为．（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以K2的观测值k2＝＝8.000＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．【点评】本题考查了独立性检验，属中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P在平面ABCD上的射影为G，且G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角余弦值；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．【分析】（1）先利用等体积法求出PG的长，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD 于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角，在△PCH中利用余弦定理求出此角即可；（2）在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG，DK 的长就是点D到平面PBG的距离，在△DKG利用边角关系求出DK长；（3）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，先证明FM∥PG，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．【解答】解：（I）由已知，∴PG＝4．在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，，由余弦定理得，cos∠PCH＝，∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为．（II）∵PG⊥平面ABCD，PG⊂平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD，在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离．∵．在△DKG，DK＝DG sin45°＝，∴点D到平面PBG的距离为．（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM．由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG；由GM⊥MD得：GM＝GD•cos45°＝．∵，∴由DF⊥GC可得．【点评】本题主要考查四棱锥的有关知识，以及求异面直线所成角的问题，以及分析问题与解决问题的能力．简单几何体是立体几何解答题的主要载体，特别是棱柱和棱锥．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（﹣1，）在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当＝1时，求△F1CD的面积．【分析】（Ⅰ）y2＝4x焦点为F（1，0），则F1（﹣1，0），F2（1，0），2a＝|PF1|+|PF2|＝2，求解a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），利用联立可得（t2+1）y2+2ty﹣2＝0，通过韦达定理以及向量的数量积推出解得t2＝．联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0．设C（x3，y3），D（x4，y4），利用韦达定理，求解三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）y2＝4x焦点为F（1，0），则F1（﹣1，0），F2（1，0），2a＝|PF1|+|PF2|＝2解得a＝，c＝1，b＝1，所以椭圆E的标准方程为+y2＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l方程为x＝ty+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得（t2+1）y2+2ty﹣2＝0 易知△＞0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以•＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+2）（ty2+2）+y1y2＝（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4＝因为＝1，所以＝1，解得t2＝．联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0 易知△＝8（t2+1）＞0，设C（x3，y3），B（x4，y4），则y3+y4＝﹣，y1y2＝﹣，∴|y3﹣y4|＝＝∴△F1CD的面积S＝|F1F2|•|y3﹣y4|＝＝＝【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积计算公式，把面积比转化为长度比是解题的关键，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（e为自然对数的底数），g（x）＝ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝e时，求函数t（x）＝f（x）﹣g（x）的极小值；（Ⅱ）若当x≥1时，关于x的方程f（x）+lnx﹣e＝g（x）﹣a有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合方程的解的个数确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝e时，t（x）＝e x﹣ex，t′（x）＝e x﹣e，………（1分）令t′（x）＝0，则x＝1，x，t′（x），t（x）的变化列表如下：………（3分）所以t（x）极小值＝t（1）＝e﹣e＝0……………（5分）（Ⅱ）设F（x）＝f（x）﹣g（x）+lnx﹣e+a＝e x﹣ax+lnx﹣e+a，（x≥1），F′（x）＝e x﹣a+，（x≥1），设h（x）＝e x﹣a+，h′（x）＝，………（7分）由x≥1得，x2≥1，x2e x﹣1＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，即F′（x）在（1，+∞）单调递增，F′（1）＝e+1﹣a，①当e+1﹣a≥0，即a≤e+1时，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）单调递增，又F（1）＝0，故当x≥1时，关于x的方程f（x）+lnx﹣e＝g（x）﹣a有且只有一个实数解…（9分）②当e+1﹣a＜0，即a＞e+1时，由（Ⅰ）可知e x≥ex，所以F′（x）＝e x+﹣a≥ex+﹣a，F′（）≥e•+﹣a＝＞0，又＞＝1，故∃x0∈（1，），F′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，又F（1）＝0，故当x∈（1，x0]时，F（x）＜0，在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+lnx﹣e＝g（x）﹣a有一个实数解1．又x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，且F（a）＝e a+lna﹣a2+a﹣e＞e a﹣a2+1，令k（x）＝e x﹣x2+1（x≥1），s（x）＝k′（x）＝e x﹣2x，s′（x）＝e x﹣2≥e﹣2＞0，故k′（x）在（1，+∞）单调递增，又k′（1）＞0，故x＞1时，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）单调递增，故k（a）＞k（1）＞0，故F（a）＞0，又a＞＞x0，由零点存在定理可知，∃x1∈（x0，a），F（x1）＝0，故在（x0，a）内，关于x的方程f（x）+lnx﹣e＝g（x）﹣a有一个实数解x1，又在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+lnx﹣e＝g（x）﹣a有一个实数解1．综上，a≤e+1…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的方程为y＝kx，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，求k的值．【分析】（Ⅰ）先消去α得C的普通方程，再化成极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ＝θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入C的极坐标方程，利用韦达定理可求得．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴x2﹣4x+y2+1＝0所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1＝0．（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ＝θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2﹣4ρcosθ1+1＝0，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2．ρ1+ρ2＝4cosθ1，ρ1ρ2＝1＞0，△＝16cosθ12﹣4＞0∴|QA|+|QB|＝|ρ1|+|ρ2|＝|ρ1+ρ2|＝2∴cosθ1＝±满足△＞0∴θ1＝或∴l的倾斜角为或，则k＝tanθ1＝或﹣．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣4a|+|x|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设实数m为（Ⅰ）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z＝m，求（x+y）2+y2+z2的最小值．【分析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）根据柯西不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝|x﹣4a|+|x|≥|x﹣4a﹣x|＝4|a|，所以a2≤4|a|，解得：﹣4≤a≤4．故实数a的取值范围为[﹣4，4]；（Ⅱ）由（1）知，m＝4，即4x+2y+z＝4，根据柯西不等式（x+y）2+y2+z2＝[（x+y）2+y2+z2]•[42+4+1]≥[4（x+y）﹣2y+z]2＝等号在＝＝z即x＝，y＝﹣，z＝时取得．所以（x+y）2+y2+z2的最小值为．【点评】本题考查了解绝对值不等式，考查基本不等式以及柯西不等式的性质，是一道常规题．。

三省三校2019——2020 (上)第一次内考卷文科数学一、选择题:本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则U A B =I ð（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}1,2,3 D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出{}1,3,5U B =ð，再与集合A 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}2,4B =，所以{}1,3,5U B =ð， 又{}1,2,3A =，所以{}1,3=U A B I ð. 故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型. 2.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A. 存两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B. 存在一条直线a ，//,//a a αβ.C. 存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D. 存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a . 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于C 选项，若,//β⊂a a a ，则α与β可能平行，也可能相交，故C 错；对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错. 故选：A【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A.15B. 5C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果. 【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若sin 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 2a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 23- B. 13- C.13 D.23【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到cos2=a ，再根据二倍角公式，以及诱导公式，即可得出结果.【详解】由sin 22a π⎛⎫+=⎪⎝⎭，得cos 2=a ，221cos 2cos 12123∴=-=⨯-=-⎝⎭a a ， 31sin cos 23πα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭a .故选:C【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.5.已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()(0)x xf x e f e '-=+⋅，则()1f =（ ）A. 2eB. 12e e+ C. 3 D.103【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，得出1(0)2'=f ，求出1()2-=+xx f x e e ，进而可求出结果. 【详解】由题意，()(0)-''=-⋅xxf x e f e ，所以0(0)(0)1(0)'''=-⋅=-f e f e f ， 因此1(0)2'=f ，所以1()2-=+xx f x e e ，故()112=+f e e. 故选：B【点睛】本题主要考查由导数的方法求参数，以及求函数值的问题，熟记导数的计算公式即可，属于基础题型.6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若101010112a a =，则111213120202222log log log log a a a a ++++的值为（ ） A. 2 021 B. -2021 C. 1 010 D. -1010【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据，以及等比数列的性质，得到122201********* =a a a a a a =⋯=，再由对数的运算法则，得到111213120202222log log log log a a a a ++++112320202log =⋅⋅a a a a ，进而可求出结果.【详解】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若101010112a a =，可得122201*********=a a a a aa=⋯=，则111213120202222log log log log a a a a ++++()101011232020122log log 21010a a a a =⋅⋅==-.故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，以及对数的运算，熟记等比数列的性质，以及对数运算法则即可，属于常考题型.7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A. ()()0.63(3)log 132f f f -<-<B. ()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C. ()()0.632log 13(3)ff f <-<-D. ()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 8.数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究陌数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2()()21x x f x -=-.的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先由函数解析式，得到22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ，推出()f x 不是偶函数，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果.【详解】因为函数22()()2121-==--x x x x f x ，所以22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ， 因此函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A 、C 选项；又因为9(3)7=f ，16(4)15=f ，所以(3)(4)f f >，而选项B 在0x >时是递增的，故排除B. 故选：D【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质，灵活运用排除法处理即可，属于常考题型. 9.已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ）A. ()3,+∞B. ()1,3C. ()(),13,-∞⋃+∞D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10.已知实数x ，y 满足10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，若目标函数()0z ax y a =+>最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a 的取值是（ ）A.14 B.13C. 12D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z ax y =+为y ax z =-+，则y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，结合图像，以及题中条件，即可得出结果.【详解】由不等式组10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，即为10220220x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………，作可行域如图:目标函数z ax y =+可化为y ax z =-+，因为y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，由图象可知当y ax z =-+经过点C 时，z 取到最大值，这时满足C 坐标满足22010x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩，C 点坐标为()4,3，代人z ax y =+得到12a =. 故选:C【点睛】本题主要考查由最优解求参数的问题，通常需作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若b =且ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到1sin cos 22ac B ac B=-，求出23B π=，再由(222222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ， 1sin cos 2∴=ac B B ，因此tan B =23B π=. 所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c …，即223()4a c +… 2()16a c ∴+…，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.如果定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+,则称()f x 为“M 函数”.给出下列函数:①221y x x =-++；②3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭；③xx y ee -=- ；④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩其中为“M 函数”的是（ ） A. ①② B. ②③C. ①②③D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中条件，得到函数()f x 是定义在R 上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得出结果. 【详解】∵对于任意给定的不等实数12x x ，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒成立， 即函数()f x 是定义在R 上的减函数.①2221(1)2y x x x =-++=--+，则函数在定义域上不单调.②函数3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭是由1,312ty t x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减，满足条件. ③根据指数函数单调性可得：xx y e e -=-为减函数，满足条件.④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩.当0x >时，函数单调递增，当0x <时，函数单调递减，不满足条件.综上满足“M 函数”的函数为②③， 故选:B【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31xf x =-，则31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=.______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.【详解】因为0x >时，()31xf x =-，且函数()y f x =是偶函数，所以()()3log 23331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭f f f . 故答案为：1【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型. 14.若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2 【解析】【分析】先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 15.设D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若24AD AB AC λμ=+，则λμ+=__________.【答案】92【解析】 【分析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到1544AD AB AC =-+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果.【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得: 1115()4444=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，24AD AB AC λμ=+，124544λμ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭故答案为：92【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.16._____．【答案】27【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．，∴32BM =，12O M '=，1BO '=，∴AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<．由三角形相似得：12r =h =，圆柱的体积()2212V r h r r π=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号．∴圆柱的最大体积为27．故答案为27．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2a x x <-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，2141--x a x …； (1)若命题p 为真，求a 的取值范围；(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-.【解析】【分析】（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2=-y x x 的最小值，进而可求出结果； （2）若q 为真命题，根据题意得到2max 141x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭…，由函数单调性，求出1y x x=-在[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果. 【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2a x x <-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min 2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可， 易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2=-y x x 的最小值为1-， 因此1a <-.(2)若q 为真命题，则2max 141x a x ⎛⎫--⎪⎝⎭…， 易知：1y x x=-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -…，故12-a …或12a …，因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩…或112a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩ 解得：1a <-，因此实数a 的取值范围是(),1-∞-.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.18.已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)最小值为， 3x π=. 【解析】【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；（2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭3cos 22223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==. 由322,2232x k k k πππππ+-+∈Z 剟，得51144,33ππππ++∈k x k k Z 剟故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . (2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以当236x ππ-=-即3x π=时，min ()36f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为，此时3x π=. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,PD DC AD PC =⊥.(1)求证：AC AP =；(2)若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离.【答案】(1)证明见解析；（2. 【解析】【分析】 （1）取PC 中点M ，连接AM ，DM ，根据线面垂直的判定定理，得出PC ⊥平面ADM ，进而可得AC AP =；（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，根据线面垂直的判定定理，证明PH ⊥平面ABCD ，推出⊥PH CH ；设h 为点B 到平面PAC 的距离，根据P ABC B ACP V V --=，结合题中数据，即可求出结果.【详解】(1)取PC 中点M ，连接AM ，DM ，∵PD DC =，且M 为PC 中点，DM PC ∴⊥∴AD PC ⊥，AD DM D =I ，PC ∴⊥平面ADM ，AM ⊂平面ADM ，PC AM ∴⊥，∵M 为PC 中点，AC PA ∴=；(2)过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH AD ⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，CH ⊂Q 平面ABCD ，PH CH ∴⊥，∵PD DC =，AD AD =，AC AP =，∴∆≅∆ADP ADC ，∴120∠=∠=ADC ADP ，∴4===PD AD DC，==AC APPH CH PC ===设h 为点B 到平面PAC 的距离，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133∆∆⋅=⋅ABC ACP S PH S h ，1442∆=⨯⨯=ABC S12ACP S ∆=⨯=7=h . 即点B 到平面PAC. 【点睛】本题主要考查证明线段相等，以及求点到平面的距离，熟记线面垂直的判定定理，性质定理，以及等体积法求点到平面的距离即可，属于常考题型.20.已知数列的前n 项和n S 满足2,n n S a n n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 1n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n n a =-；（2）1n n T n =+. 【解析】【分析】（1）根据2n n S a n =-，求出11a =；再得到2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，两式作差得到数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，进而可得出结果；（2）由（1）的结果，根据裂项相消的方法，即可求出数列的和.【详解】(1)由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，1112a a +=，得11a =，当2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，②①-②，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，故21n n a =-.(2)由(1)知()22log 1log 2n n n b a n =+==，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 12233411111111111111223341n n n T b b b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1111n n T n n =-=++. 【点睛】本题主要考查由递推公式求通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.21.已知函数()(2)e 2x f x ax x =+--，其中2a >-.(1)当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；(2)若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)max ()0f x =，min ()ln 21f x =-；（2）21a -<≤-.【解析】【分析】（1）由0a =得()22=--x f x e x ，对其求导，得到()21'=-x f x e ，解对应不等式，求出单调区间，进而可求出最值；（2）先由2(1)10f e'-=-<得到函数()f x 不可能在R 上单调递增，由题意，得到()f x 在R 上单调递减，推出()0f x '≤恒成立；令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，用导数的方研究其单调性，进而可求出结果. 【详解】(1)当0a =时，()22=--x f x e x ，所以()21'=-xf x e .由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-.故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln 2,0-上单增. min ()(ln 2)ln 21f x f ∴=-=-,2(1)10,(0)0-=-<=f f e，max ()(0)0∴==f x f ；(2) 因为2(1)10f e'-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增. 所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立.由(0)10f a '=+…可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-.令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，则()(22)x g x ax a e '=++.当21a -<≤-时，由()0g x '>，可得22x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ()g x ∴在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故22max 2()21a g x g ae a --⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭令22()1a h a ae--=--，下证:当21a -<≤-时，22()10a h a ae --=--…. 即证221a e a---…，令22t a --=，其中(]1,0∈-t ，则112t a -=+， 则原式等价于证明:当(]1,0∈-t 时，12t e t +…. 由(1)的结论知，显然成立.综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减.【点睛】本题主要考查求函数最值，以及由函数单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求函数单调性，即可研究其最值等，属于常考题型.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选- -题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .(1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN .【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)【解析】【分析】 （1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=，转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=. (2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: 22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 240t -=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，故: 12t t +124t t ⋅=-， 所以12||MN t t =-==【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.选修4-5:不等式选讲23.已知()|1||1|f x x ax =+++.(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -…或0a ≥恒成立，进而可求出结果.【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x .当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -…，所以32x -… 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解；当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥.由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥，即2ax ≤-或0ax ≥.当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -…或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟考试数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】复数=，所以虚部为-2，故选D.2.集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为可得，集合，所以故选B3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以故选C.4.设直线与圆相交于两点，且，则圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心坐标为,半径为，，直线与圆相交于两点，且，圆心到直线的距离，所以，解得，圆的半径，所以圆的面积，故选C.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56 【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式故选B6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，且解得，故选A.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1 【答案】D【解析】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D8.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为指数函数是减函数，,所以<，即；因为幂函数是增函数，,所以>,即，所以，故选B.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，C.，， D. ，，【答案】C【解析】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D: ，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为，由几何概型概率公式可得解得，故选A.11.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线是，周长最小即解得故离心率故选D.12.若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数的取值范围是，故选D.二、填空题13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为314.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙15.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，若，且，求的面积. 解：（1）∵，∴，∴∴函数的值域为；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即由余弦定理，，∴，即又，∴∴.17.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:P解：（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.（2）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，四面体的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若点是棱上一点，且，求的值.解：（1）（方法一）：由已知∴∵⊥平面，平面，∴∴∵∴设点到平面的距离为,∵,法二：由已知∴∵⊥平面，平面∴平面⊥平面∵平面平面在平面ABCD内，过作⊥，交延长线于，则⊥平面∴的长就是点到平面的距离在中，==∴点到平面的距离为（2）在平面内，过作⊥于，连结，又因为⊥,∴⊥平面，平面∴⊥⊥平面，平面∴⊥∴∥由⊥得：19.已知分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，且与椭圆相交于两点，当时，求的面积.解：（1）焦点为，则，解得，所以椭圆的标准方程为（2）由已知，可设直线方程为，联立得易知则=．因为，所以，解得．联立，得，设，则20.已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.解：（1）当时，，，令则列表如下：所以.（2）设，，设，，由得，，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增, 又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.②当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.综上，.21.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.解：（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得22.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.解：（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为。