湖北省武汉市2013届高三11月调研测试数学(理科)-含答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12- B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a->-.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z =14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝.在Rt △OCD 中，DE＝·OD CD OC ==则83CE ===，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：将椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)化为标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)，即sin cos 222m ρθθ⎛⋅+⋅= ⎝⎭，则该直线的一般式为y ＋x －m ＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b ，其标准方程为x 2＋y 2＝b 2.∵直线与圆O相切，∴=b，|m .又∵直线l 经过椭圆C 的焦点，∴|m |＝c .∴c =，c 2＝2b 2.∵a 2＝b 2＋c 2＝3b 2，∴22223c e a ==.∴e =.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A－3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值． 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝1224bc bc ⋅==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111m n n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，图1所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β.由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角， 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，QP uuur ＝(－a ，－b ，c )，BF u u u r ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，从而sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅u u u r u u u r m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a m λ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令S L [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有 (1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--， 4444333333(8281)(8382)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜．将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。

2013-2014年武汉市新高三起点调研测试数学（理科）试题2013.9.6一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是A ．（2，4）B ．（2，－4）C ．（4，－2）D ．（4，2） 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∩(∁R B )＝A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是A ．p 为真 B ．﹁q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是5．执行右边的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为A ．2B ．3C ．4D ．56．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．64B ．72C ．80D ．1127．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为A ．35mB ．30mC ．25mD ．20m8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0．表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)9．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为A ．2＋2错误！未找到引用源。

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖北）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖北）已知全集为R，集合，则A∩∁R B=（）A ．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A ．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）C．（¬p ）∧（¬q）D．p∨q4．（5分）（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A ．B．C．D．5．（5分）（2013•湖北）已知，则双曲线的（）A ．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D （3，4），则向量在方向上的投影为（）A B C D7．（5分）（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A ．1+25ln5B．8+25ln C．4+25ln5D．4+50ln28．（5分）（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A ．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V49．（5分）（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X的均值E（X）=（）A ．B．C．D．10．（5分）（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx ﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为_________．12．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________．13．（5分）（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=_________．14．（5分）（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．15．（5分）（2013•湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为_________．16．（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求sinBsinC的值．18．（12分）（2013•湖北）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F 分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．20．（12分）（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21．（13分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．22．（14分）（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．3．（5分）考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin （x+），∴图象向左平移m（m ＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．6．（5分）考平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．7．（5分）考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t ﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．8．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记λ为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．9．（5分）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：压轴题；概率与统计．分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8=36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P （X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X0123P故X的分布列为因此E（X）==．故选B．点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．10．（5分）考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x ）单调递增；时，g′（x ）＜0，函数g（x ）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax 1）=x 1（ax1﹣1）=﹣＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax 2﹣1）＞=﹣．（）．故选D．点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．解答：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为：0.0044；70．点根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对评：于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．12．（5分）考点：程序框图．分析：框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i 的值．解答：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．故答案是5．点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．13．（5分）考点：一般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．解答：解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y 2+z 2）=14（x2+y2+z 2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评：本题给出x、y、z 的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．14．（5分）考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理．专题：压轴题；选作题．分析：设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD 2=CE•OC=8x2，进而得到的值．解解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，答：∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”．16．（2013•湖北）考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．解答：解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m ，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=．则椭圆C的离心率为．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a ．又由正弦定理得即可得到即可得出．解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．18．（12分）考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q ，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故．综上，对任何正整数m，总有．故不存在正整数m，使得成立．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19．（12分）考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l ．而PC∩BC=C，所以l ⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC 内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．又BD⊥平面PBC ，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而．（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF 的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即sinθ=sinαsinβ．点评：本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．解答：解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．（13分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面析：积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M 和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a ＞m＞n ＞0，．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n ，y D=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k ＞0），点M（﹣a ，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C =﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k 2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明．专题：压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数f （x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．解答：解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，令f'（x）=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f （0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（﹣1，+∞）时，有f （x）≥f（0）=0，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．上式两边同乘n r+1，得（n+1）r+1＞n r+1+n r（r+1），即，②当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），类似可得，③且当n=1时，③也成立．综合②，③得，④（Ⅲ）在④中，令，n 分别取值81，82，83， (125)得，，，…，将以上各式相加，并整理得．代入数据计算，可得由[S]的定义，得[S]=211．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案(湖北卷)一、单项选择题，共10 题，每题5分1、在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限【答案】D;2、已知全集R，集合A={x|( )x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，则=（）(A)(B)(C)(D)【答案】C;3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。

设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）(A)(B)(C)(D)【答案】A;4、将函数y= cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）(A) (B) (C) (D)【答案】B;5、已知0＜θ＜，则双曲线（）(A) 实轴长相等(B) 虚轴长相等(C) 焦距相等(D) 离心率相等【答案】D;6、已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量和方向上的投影为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A;7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是（）(A) (B) (C) (D)【答案】C;8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为下面两个简单几何体均为多面体，则有（）(A)(B)(C)(D)【答案】C;9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)= （）(A) (B) (C) (D)【答案】B;10、已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）(A)(B)(C)(D)【答案】D ;二、填空题，共 6 题，每题5分1、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。

湖北省黄冈中学2013届高三上学期11月月考数学（理）试题(2012-11-3)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)-的值为（ ）A ．32-B ．12-C ．32D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+，即原式sin60=-，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（ ）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ． 答案：C 4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π 解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为俯视图正 视 图 侧视图3 41P 10(0,)a，则线段AB 的长为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则7112a a +的最小值为（ ） A ．16B ．8C ．22D ．4解析：由已知2414(22)8a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，7117112228a a a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b -，②1a b +，③1b a +，④1ba-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（ ）A ．cos 2,sin 2a b θθ==B ．sin 2,cos 2a b θθ==C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos2tan ,cos2,sin 2cos 1cos2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M AB =，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．15[,]22B ．25[,]22C ．110[,]22D ．210[,]22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影部分所示，而22(1)d x y =+-表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ． 10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2OB OC OP +=(),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC Cλλ++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2OB OCOD +=，∴2OB OC OP +=()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ++()||cos ||cos AB ACOD AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD DP AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCDP BC BC AB B AC C AB B AC Cλλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=，∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C ． 答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上． 11．1220x e dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xx e dx e e ==-⎰．答案：1(1)2e - 12．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i =+，则复数z 的模为_______________． 解析：由11z i i i=+得1212izi i i zi i +-=+⇒==-，∴222(1)5z =+-=．答案：513．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：2214412r k k =+-≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______． 解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去； 当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x xe e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式．解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分 （2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证），故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3n n n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23af a -=<成立，则616a -<-<， 即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分 若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分）18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长； （2）求AO BC ⋅的值． 解答：（1）由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==，∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-， ∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BCR A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分 （2）由已知AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分 同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点． （1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；（3）求点G 到平面BCE 的距离． 解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B ，(1,3,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为13(,,1)22F ，∴33(,,0)22BF =-，显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分 （2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =， 则n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,3,1)CB =-，(1,3,2)CE =--，BA DCG EBADCG FEzx y∴30320x y z x y z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设3y =，则12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==． ……………………12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， …………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分 （2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos ACDBCES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE 5=，CE 22=，∴221||()622BCE CES CE BE ∆=⨯-=，而23||34ACD S AC ∆==，∴2cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ， 由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，6BCE S ∆=，3CG =， BA DCGE∴3332246BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===即为点G 到平面BCE 的距离．………………12分 20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：（1）由已知4b =，且55c a =，即2215c a=，∴22215a b a -=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016y x +=； ……………………3分由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =， ∴所求弦长221402||11||9MN x x =+-=； ……………………6分 （2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， ∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分 以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-=-=-+-∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分 （注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x mx x x-+=--，m ∈R ． （1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值； （3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围． 解答：（1）由已知/211()0sin g x xx θ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立， 即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>， 故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥， 即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln ef x x x-+=--，(0,)x ∈+∞， ∴/2221121()e e x f x x x x---=-=， 令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：x (0,21)e -21e -(21,)e -+∞/()f x+0 -()f x极大值(21)1ln(21)f e e -=---即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m eF x f x g x mx x x +=-=--，当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m mx x -≤，且22ln 0e x x--<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m eF x m x x x +-++=+-=， ∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立， 故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴max ()()4mF x F e me e==--， 令40m me e -->，则241e m e >-， 故所求m 的取值范围为24(,)1ee +∞-． ……………………14分。

武汉市2013届高三11月调研测试数 学（文科）2012.11.16一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i ·z ＝1－2i ，则z ＝A ．2＋iB ．－2＋iC ．－2－iD ．2－i2．已知命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题中为假命题的是A ．﹁qB ．p ∨qC ．p ∧qD ．p ∧(﹁q )3．将函数y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为A ．y ＝1－sin xB ．y ＝1＋sin xC ．y ＝1－cos xD ．y ＝1＋cos x4．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝A ．1B ．2C ．4D ．85．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ， x ≥0，g (x )，x ＜0．若f (x )是奇函数，则g (－4)＝ A ．－2 B ．－12 C ．－14D ．2 6．若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值为A ．2B ．2 2C ．2 3D ．47．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝10，a 2＝9，则下列不等式中不成立．．．的是 A ．a 10＋a 11＞0 B ．S 21＜0 C ．a 11＋a 12＜0 D ．当n ＝10时，S n 最大8．某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为A ．16B ．14C ．34D ．569．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润（单位：万元）为y 2＝2x ，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元10．已知椭圆x 2m ＋y 2＝1（m ＞1）和双曲线x 2n－y 2＝1（n ＞0）有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 变化而变化二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1．则z ＝3x ＋y 的最大值为 ． 12．已知集合A ＝{x |－1≤2x －1≤5}，函数y ＝lg(－x 2＋6x －8)的定义域为集合B ，则A ∩B ＝ ．13．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是 ．14．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ．15．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→BC ＝1，则BC ＝ ．16．若关于x 的方程2－|x |－x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ．17．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i ，1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j （i ，j ∈N *）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{b n }．则（Ⅰ）此数表中的第2行第8列的数为 ；（Ⅱ）数列{b n }的通项公式为 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）函数f (x )＝A sin(ωx －π6＋1（A ＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2． （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．19．（本小题满分12分）为了解某校高三学生9月调考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1:2:8:6:3，最后一组数据的频数为6．（Ⅰ）估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125，140]上的概率，并求出样本容量；（Ⅱ）从样本中成绩在[65，95)上的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65，80)上的概率．20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 交于点O ，E 为侧棱SC 上的一点．（Ⅰ）若E 为SC 的中点，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ln x －x 2．（Ⅰ）求f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）求f (x )在(0，a ]（a ＞0）上的最大值．22．（本小题满分14分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，其长轴长与短轴长的和等于6． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，设椭圆E 的上、下顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，直线P A 1、PA 2分别交x 轴于点N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值．武汉市2013届高三11月调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．C 3．C 4．A 5．A6．C 7．B 8．D 9．C 10．B二、填空题11．11 12．{x |2＜x ≤3} 13．5614．8 15． 3 16．(－1，＋∞) 17．（Ⅰ）129；（Ⅱ）b n ＝2n －1＋n ＋1三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2．故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x －π6)＋1．……………………………………6分 （Ⅱ）f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12． ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3．……………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125，140]上的概率为P ＝31＋2＋8＋6＋3＝320． 设样本容量为n ，则6n ＝320，解得n ＝40．………………………………………4分 （Ⅱ）样本中成绩在[65，80)上的学生有120×40＝2人，记为x ，y ；成绩在[80，95)上的学生有220×40＝4人，记为a ，b ，c ，d ． 从上述6人中任选2人的基本事件有：{x ，y }，{x ，a }，{x ，b }，{x ，c }，{x ，d }，{y ，a }，{y ，b }，{y ，c }，{y ，d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共15个，记“从上述6人中任选2人，至少有1人在[65，80)上”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：{x ，y }，{x ，a }，{x ，b }，{x ，c }，{x ，d }，{y ，a }，{y ，b }，{y ，c }，{y ，d }，共9个．故所求概率P (A )＝915＝35．………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图，连结OE ．∵O 是AC 的中点，E 是SC 的中点，∴OE ∥SA ，又∵SA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴SA ∥平面BDE ．…………………………6分（Ⅱ）由已知，得SB ＝SD ，O 是BD 的中点，∴BD ⊥SO ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ．∵SO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面SAC ．∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面SAC ．………………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为(0，＋∞)．求导数，得f ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x令f ′(x )＞0，得1－2x 2x ＞0，∵x ＞0，∴0＜x ＜22． 故f (x )的单调递增区间为(0，22)．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )在(0，22)上是增函数，在(22，＋∞)上是减函数． ∴当0＜a ＜22时，f (x )在(0，a ]上单调递增，此时f (x )max ＝f (a )＝ln a －a 2； 当a ≥22时，f (x )在(0，22)上单调递增，在(22，a )上单调递减，此时f (x )max ＝f (22＝ln 22－12＝－12－12． 综上所述，当0＜a ＜22时，f (x )的最大值为f (a )＝ln a －a 2；当a ≥22时，f (x )的最大值为f (22)＝－12ln2－12．………………………………………………………14分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b ． ① 又2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3． ②解①②，得a ＝2，b ＝1．故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，则直线PA 1的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线PA 2的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1设G (12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ），则 r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2， |OG |2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2， ∴|OT |2＝|OG |2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 201－y 20． ∵x 204＋y 20＝1，即x 20＝4(1－y 20)， ∴|OT |2＝4(1－y 20)1－y 20＝4，∴|OT |＝2．即线段OT 的长为定值2．……………14分。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号码条粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其它答案标号。

答在试卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数z=i1i2+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．已知全集为R ，集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1)21(2x ，B={}0862≤+-x x x ，则A ∩R ∂B=A.{}0x ≤xB. {}42x ≤≤x C. {0≤x x ＜2或x ＞}4 D. {0x ＜x ≤2或x ≥}43．再一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.（－p ）∨（－q ） B. p ∨（－q ） C. （－p ）∧（－q ） D.p ∨q4.将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图像向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是A.12π B. 6π C. 3πD 65π5.已知0＜θ＜4π，则双曲线C 1:1sin cos 2222=-θθy x 与C 2: 1tan sin sin 22222=-θθθx y 的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等6.已知点A （－1，1）、B （1,2）、C （－2,1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为 A.223 B. 2153 C. －223D .－ 21537.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+t125+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）解析版一、选择题 1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。

故选D 【相关知识点】复数的运算2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则R A C B =（ ）A ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或 【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R AC B ∴=+∞。

故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。

故选A 。

【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π 【解析与答案】2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。

故选B 。

【相关知识点】三角函数图象及其变换5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【解析与答案】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D 【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A.C.D. 【解析与答案】()2,1AB =，()5,5CD =，5AB CD CD∴==，故选A 。

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz+（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（)．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D解析：∵2i2i1i=1i1i1iz(-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i，∴复数2i=1iz+的共轭复数z＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1）位于第四象限．2．(2013湖北,理2）已知全集为R，集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B＝｛x|x2－6x＋8≤0}，则A∩＝（)．A．｛x｜x≤0｝ B．{x|2≤x≤4}C．{x｜0≤x＜2或x＞4｝ D．｛x|0＜x≤2或x≥4｝答案：C解析:由题意知集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝｛x｜x≥0｝,集合B＝{x｜x2－6x＋8≤0｝＝｛x｜2≤x≤4}，＝｛x｜x＜2或x＞4}．因此A∩（）＝{x|0≤x＜2或x＞4｝．3．（2013湖北，理3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围"，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A．（⌝p)∨（⌝q) B．p∨（⌝q)C ．（⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案:A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为（⌝p ）∨（⌝q ）．4．（2013湖北，理4)将函数y ＝cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）.A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y x ＋sin x （x ∈R ）的图象向左平移m (m ＞0）个单位长度后,变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称,则有 π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z , ∴m ＝ππ6k +,k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6.5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( ）．A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析:对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ,21b ＝sin 2θ,21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ）＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +（k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ，而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C.设双曲线C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2,则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等． 6．（2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1，2），C （－2，－1)，D (3，4），则向量AB 在CD 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB＝(2,1），CD＝（5,5)，故AB在CD方向上的投影为2AB CDCD⋅==.7．（2013湖北，理7）一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝25731tt-++（t的单位:s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是（）．A．1＋25ln 5 B．118+25ln3C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2答案:C解析：由于v（t）＝7－3t＋251t+，且汽车停止时速度为0，因此由v（t）＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4 s。

湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共12页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为ABC． D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第2页（共6页）9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图示.第11题图 第12题图第8题图第9题图第3页（共6页）（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++x y z ++=_________. 14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.OD E BA第15题图C第4页（共6页）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图第5页（共6页）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图第6页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.（Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，第7页（共6页）从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得第19题解答图1第19题解答图2第8页（共6页）sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=.第20题解答图第9页（共6页）（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.mn λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.第21题解答图1第21题解答图2第10页（共6页）（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③ 令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.第11页（共6页）因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.22．（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③且当1n =时，③也成立.综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得第12页（共6页）44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(126)44S -<<-（. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。