七年级数学思维探究(4)信息技术中的数学问题(含答案)

2023—2024年度（下）七年级期中检测数学试卷考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）1．计算：（）A．B．2024C．D．2．下列图形中和是对顶角的是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．某公司运用技术，下载一个的文件大约只需要0.000048秒，则0.000048用科学记数法表示为（）A．B．C．D．5．已知与互余，若，则（）A．B．C．D．6．东方超市进了一批玩具，出售时要在进价进货价格的基础上加一定的利润，其销售数量个与售价元之间的关系如下表：销售数量（个）1234售价（元）下列用表示的关系式中，正确的是（）A．B．C．D．7．下列命题中，说法正确的个数有（）①等角的补角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知与射线上的点，小亮用尺规过点作的平行线，步骤如下．①取射线上的点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点，直线即为所求．小亮作图的依据是（）（第8题图）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．以上结论都不正确9．在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（）（第9题图）A．小汽车共行驶B．小汽车中途停留C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米时D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小10．如图，，点在上，，平分，且．下列结论：①平分；②；③；④．正确的个数是（）（第10题图）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）11．计算：______．12．某商场将一商品在保持销售价80元/件不变的前提下，规定凡购买超过5件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买件，应付元，则与间的关系式是______．13．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______．（第13题图）14．若是一个完全平方式，则等于______．15．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为______．三、解答题（本题共8小题，共70分）16．计算题（每小题3分，共12分）（1）；（2）（3）用乘法公式计算：；（4）．17．（6分）先化简，再求值：，其中．18．（8分）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）（1）用含的整式表示花坛的面积；（2）若，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？19．（10分）如图所示，直线与直线相交于点平分，．（1）若，求的度数；（2）猜想与之间的位置关系，并说明理由．20．（6分）甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：（1）这是一次______米赛跑；（2）甲、乙两人中先到达终点的是______；（3）甲到终点用的时间是______秒；乙到终点用的时间是______秒．（4）乙在这次赛跑中的速度为______米/秒；（5）甲到达终点时，乙离终点还有______米．21．（8分）我们将进行变形，如：，等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知，，则______．（2）已知，若满足，求的值．（3）如图，长方形，，，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______．22．（12分）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知，，点在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）解：因为所以_______（______）因为（______）又因为所以____________（______）即所以由（1）知（3）【拓展延伸】如图3，平分平分，．若，请直接写出的度数为______．图1 图2 图323．（8分）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．图1 图2【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1．【问题研究】请根据图1中信息回答：（1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；（2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）；【问题解决】（3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度。

李善兰（1811-1882），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．7．怎样设元解读课标荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元 即问什么设什么．2．间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数． 问题解决例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为_____________．试一试 要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．例2 植树节时，某班平均每人植树6棵．如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵．A ．9B ．10C ．12D ．14 试一试 略例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的35；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ 试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数． 例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，者可在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%．方案二：者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1）请问：者选择哪种购铺方案，5年后所获得的收益率更高？为什么？（注：100%=⨯投资收益投资收益率实际投资额） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各了多少万元？ 试一试 在阅读理解的基础上通过设元解决问题．F EDCB A例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？分析与解 未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．设检票开始时，等候检票的队伍有a 人，每个检票口每分钟检票x 人，队伍每分钟增加y 人，则20ax y=-，82a x y =-，消去a ，得()()2082x y x y -=-，3x y =． 故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：()()20203202533338x y y y a x y x y y y --⨯====--⨯-（分钟）． 纪念例6 瑞士数学家欧拉（L ．Euler ，1707-1783）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？分析 根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．解法1 设有x 个儿子，则最后一个儿子分得100x 克朗，倒数第二个儿子先得到()1001x -克朗，又得到“余下的110”，即留给最后一个儿子的是余下的910，故这个“余下的110”也是最后一个儿子钱数的19．由最后两个儿子分得钱数相等，得方程()10010011009xx x -+=， 解得 9x =．所以这位父亲共有9个儿子，每人分得财产100900x =（克朗），留下90098100⨯=（克朗）财产． 解法2 设每个孩子分得的财产是x ，总的财产是y ，则根据题意，第一个孩子分得的财产是：10010010y x -=+，第二个孩子分得的财产是：20020010y x x --=+，第三个孩子分得的财产是：230030010y x x --=+，依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是10010010x +-．根据题意，这个差数应当是0，于是得出一元一次方程：100100010x +-=． 解之，得900x =，于是8100y =．经过验证，每个孩子确实都分得900元，即第二、三、四……个方程都满足81009009÷=（个）．所以这位父亲有9个孩子，他共有财产8100克朗，每人分到900克朗．数学冲浪知识技能广场1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别为22，24，27，20，则这四个数分别是____________． 2．一个六位数2abcde 的3倍等于9abcde ，则这个六位数等于_____________．3．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______________．4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为（ ）元．A ．180B ．202.5C ．180或202.5D ．180或2005．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）． A ．100元 B ．105元 C ．108元 D ．118元6．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨10%，B 种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则:x y 的值是（ ）．A ．23B ．56C ．65D ．55347．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？ 8．燃蜡时间问题（英国） 在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持4个小时，另一支可维持5小时．雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的4倍，问蜡烛点燃了多长时间？20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元． 篮球 排球进价/（元/个） 8050 售价/（元/个） 9560（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？ 思维方法天地10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一个球得1分，得分的部分情况得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 16分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有_____________人．11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．12．下边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”3 ，那么被乘数是___________．13．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（ ）．A ．5千克B ．6千克C ．7千克D ．8千克×神 州五号飞天神天飞号五州神14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的45，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的14，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（ ）A ．919B ．1019C ．1121D ．102115．某商品原价为a 元，春节促销，降低20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（ ） A ．15% B ．20% C ．25% D ．30%16．将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3个数宇之和都相 2012 2010-．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）． 月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t 分（t 为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题： 150t ≤ 150350t << 350t = 350t ≥方式一计费/元 58108 方式二计费/元 8888 88 t （3）当330360t <<时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水a 吨，又从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时开动4台机组需工10小时处理完污水．若要求在5小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？ 应用探究乐园19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？20．如图，长方形ABCD 、ABEF 、AGHF 的长与宽的比相同，长方形ABCD 与AGHF 的面积比是8116，长方形BEHG 的周长是22，求长方形ECDF 的面积．HGF EDCB A7．怎样设元问题解决例1 143 设C 、D 的边长为x ，则E 、F 、B 的边长分别为1x +，2x +，21x -，由题意得：()()()1221x x x x +++=+-，解得4x =．例2 B 设男、女同学分别有x 、y 人，则()156y x y =+，32x y =，则只由男同学完成每人应植树()33661022x y x y y y ⎛⎫+÷=+÷= ⎪⎝⎭．例3 设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，由题意得24864153156a a a ax +=+，解得19.2x =（元）．例4 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获收益()120%110%50.7x x x -⋅+⋅⨯=，收益率为0.7100%70%xx⨯=． 按方案二购买，则可获利益()()10%12110%30.60%0.852x x x ⋅+⋅⨯-⨯=-．收益率为0.62100%72.9%0.85xx⨯≈． ∴者选择方案二所获得的收益率更高．（2）设甲了x 万元，由题意得0.70.625x x -=，解得62.5x =， ∴甲了62.5万元，乙了53.125万元． 数学冲浪1．9，7，4，11设四个数的和为x 2．2857133．2- 提示：设报3的人心里想的数是x ，报5的人心里想的数应是8x -．于是，报7的人心里想的数是()1284x x --=+，报9的人心里想的数是()16412x x =-+-，报1的人心里想的数是()20128x x --=+，报3的人心里想的数是()484x x -+=--，由4x x =--，得2x =-．4．C 5．A 6．C 7．（1）设单价为8元的课外书为x 本，由()8121051500418x x =-+-，得44.5x =（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则()8121051500418y y a +-=--，即1784a y +=，178a +应被4整除，2a =，4，6，8，经讨论2a =或6．8．设蜡烛点燃了x 小时，蜡烛的长度为l 厘米，由445l l l x l x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得154x =小时．9．（1）12个，8个 （2）4个 10．43 设共有x 人，由()()4576241534138394101x x ---⨯+⨯+⨯=---⨯+⨯+⨯+⨯，得43x =． 11．2412．307692 设“神舟五号”A =，“飞天”B =，则()100310000A B B A ⨯+=+，23769A B =，()23,7691=，故23B n =，769A n =，n 为自然数，24n ≤≤，得4n =，从而3076A =，92B =．13．B 设切下的每一块合金重x 克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a 、()b a b ≠，则()()10151015a x bxb x ax-+-+=，整理得()()6b a x b a -=-．故6x =． 14．C 设初一年级学生人数为a ，男生人数为b ，可求得初三年级男生人数为13a ，所求比为：()4141153521a b b a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-÷++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．15．C16．1 17．（1）当150350t <<时，方式一：0.2520.5t +；当350t >时，方式一：0.2520.5t +；方式二：0.1921.5t +． （2）当350t >时，()()0.2520.50.1921.50.0610t t t =+-+->， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150350t <<取得． ∴列方程0.2520.588t +=，解得270t =．当主叫时间为270分钟，两种计费方式的费用相等． （3）方式二．18．设1台机组每小时处理污水V 吨，要在5小时内处理污水，需开x 台机组，则302301041055a b V a b V a b xV +=⨯⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩③①②由①、②得30a Vb V =⎧⎨=⎩．代入③，得7x =．19．设该农民一共卖了a 只鸡，则111224488a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得7a =．20．设AG x =，AF mx =，则2AB m x =，3BC m x =，可得32m =，32BE x =，54BG x =，由35112242x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4x =，长方形ECDF 的面积为67.5．7．怎样设元问题解决例1 143 设C 、D 的边长为x ，则E 、F 、B 的边长分别为1x +，2x +，21x -，由题意得：()()()1221x x x x +++=+-，解得4x =．例2 B 设男、女同学分别有x 、y 人，则()156y x y =+，32x y =，则只由男同学完成每人应植树()33661022x y x y y y ⎛⎫+÷=+÷= ⎪⎝⎭．例3 设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，由题意得24864153156a a a ax +=+，解得19.2x =（元）．例4 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获收益()120%110%50.7x x x -⋅+⋅⨯=，收益率为0.7100%70%xx⨯=． 按方案二购买，则可获利益()()10%12110%30.60%0.852x x x ⋅+⋅⨯-⨯=-．收益率为0.62100%72.9%0.85xx⨯≈． ∴者选择方案二所获得的收益率更高．（2）设甲了x 万元，由题意得0.70.625x x -=，解得62.5x =， ∴甲了62.5万元，乙了53.125万元． 数学冲浪1．9，7，4，11设四个数的和为x 2．2857133．2- 提示：设报3的人心里想的数是x ，报5的人心里想的数应是8x -．于是，报7的人心里想的数是()1284x x --=+，报9的人心里想的数是()16412x x =-+-，报1的人心里想的数是()20128x x --=+，报3的人心里想的数是()484x x -+=--，由4x x =--，得2x =-．4．C 5．A 6．C 7．（1）设单价为8元的课外书为x 本，由()8121051500418x x =-+-，得44.5x =（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则()8121051500418y y a +-=--，即1784a y +=，178a +应被4整除，2a =，4，6，8，经讨论2a =或6．8．设蜡烛点燃了x 小时，蜡烛的长度为l 厘米，由445l l l x l x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得154x =小时．9．（1）12个，8个 （2）4个 10．43 设共有x 人，由()()4576241534138394101x x ---⨯+⨯+⨯=---⨯+⨯+⨯+⨯，得43x =． 11．2412．307692 设“神舟五号”A =，“飞天”B =，则()100310000A B B A ⨯+=+，23769A B =，()23,7691=，故23B n =，769A n =，n 为自然数，24n ≤≤，得4n =，从而3076A =，92B =．13．B 设切下的每一块合金重x 克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a 、()b a b ≠，则()()10151015a x bxb x ax-+-+=，整理得()()6b a x b a -=-．故6x =． 14．C 设初一年级学生人数为a ，男生人数为b ，可求得初三年级男生人数为13a ，所求比为：()4141153521a b b a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-÷++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．15．C16．1 17．（1）当150350t <<时，方式一：0.2520.5t +；当350t >时，方式一：0.2520.5t +；方式二：0.1921.5t +． （2）当350t >时，()()0.2520.50.1921.50.0610t t t =+-+->， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150350t <<取得． ∴列方程0.2520.588t +=，解得270t =．当主叫时间为270分钟，两种计费方式的费用相等． （3）方式二．18．设1台机组每小时处理污水V 吨，要在5小时内处理污水，需开x 台机组，则302301041055a b V a b V a b xV +=⨯⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩③①②由①、②得30a Vb V =⎧⎨=⎩．代入③，得7x =．19．设该农民一共卖了a 只鸡，则111224488a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得7a =．20．设AG x =，AF mx =，则2AB m x =，3BC m x =，可得32m =，32BE x =，54BG x =，由35112242x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4x =，长方形ECDF 的面积为67.5．。

《新思维》、《新方法》以及《大视野》都是黄东坡老师的著作，作为初中数学拔高类的教辅，一直以来都被老师、家长和学生所推崇。

其中《大视野》因为主要是涉及竞赛内容，在此我们不再赘述，《新思维》和《新方法》则是一直被认为是初中数学拔高类教辅中的佼佼者，有不少名校培优班的数学老师会选择两者之一作为补充练习。

普遍认为，《新思维》偏课内一些，《新方法》偏竞赛一些，难度更高。

但是到底《新思维》与《新方法》有什么区别，我们说《新方法》偏竞赛， 到底有多“偏”？我们说《新方法》比《新思维》难， 到底难到什么程度？想必朋友们市很好奇这件事情的，正好前一段朋友们打赏我的文章，我用这些钱又购置了一些教辅，其中就有七年级的《新方法》，正好可以和我手头的七年级《新思维》做一个简单的对比评测，为朋友选择教辅提供参考。

关于《新思维》的评测，我在之前已经写过。

见书识人——黄东坡《数学探究应用新思维（七年级数学）》评测所有这里我着重比较两者的区别，更侧重对新方法的分析。

目录一、《新思维》与《新方法》的结构对比二、《新思维》与《新方法》的题目结构与难度对比（一）、知识简析（二）、例题对比（三）、习题对比三、《新思维》与《新方法》到底怎么选？怎么用？（一）、怎么选？（二）、怎么用？四、小结一、《新思维》与《新方法》的结构对比两本书拿到手里，厚薄差不多，《新方法》略厚一些，去掉答案，《新方法》多了大概十几页。

两本书的体例都比较类似，大体都是以七年级数学教材为纲，但是又按照代数、几何、概率统计分别整合成几大块 。

不过 《新方法》又额外多了一部分拓展内容 ，这是它与《新思维》的区别。

我将两本书在各部分中的内容对照表整理出来，大家一看便知。

显然可以看出，在代数部分，《新方法》在内容上是包含了《新思维》的内容的，相较于《新思维》，《新方法》多了一些 数学思维的拓展——走进美妙的数学世界、跨越——从算术到代数、创造的基石——观察、归纳与猜想；在一些 知识上做了细化，比如 一元一次方程中专门设置了绝对值与一元一次方程一节； 增添了整式的乘法与除法、乘法公式等章节。

期中复习卷-2024-2025学年数学七年级上册苏科版（2024）一．选择题（共8小题）1．在下列数，+1，6.7，0，，﹣5，25%中整数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个2．能源产业已成为云南省第一大支柱产业，目前正在推进的3000000千瓦光伏项目，将带动光伏、储能绿色能源装备的发展．3000000用科学记数法可以表示为（ ）A．0.3×108B．3×106C．30×105D．30×1063．我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）A．﹣15℃B．+15℃C．﹣10℃D．+10℃4．﹣1.2﹣0.8＝（ ）A．﹣2B．﹣0.4C．0.4D．25．如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）A．2023B．4046C．20D．06．如果单项式与x3y b是同类项，则a、b的值分别是（ ）A．2，2B．﹣3，2C．2，3D．3，27．当x＝2时，代数式px3+qx+1的值等于2024，那么当x＝﹣2时，代数式px3+qx+1的值为（ ）A．2024B．﹣2024C．2022D．﹣20228．小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（ ）A．51B．251C．256D．255二．填空题（共8小题）9．计算：（1）﹣2﹣1＝ ；（2）（﹣2.1）+（+3.9）＝ ；（3）（﹣4）×6＝ ；10．数轴上表示﹣5与1这两个数对应的点之间的距离是 ．11．已知|a|＝3，，且a＜0＜b，则ab＝ ．12．如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ．13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，若表示数b与﹣b的点相距36个单位长度，a与原点的距离是|b|的，则a＝ ．14．已知单项式﹣2ab3与4a n b m+1是同类项，则m+n＝ ．15．如果（k﹣2）x3+（|k|﹣2）x2﹣5是关于x的三次二项式，则k的值为 ．16．某公园准备修建一块长方形草坪，长为35m，宽为25m．并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x m，则修建的十字路的面积是 m2．（用含x的代数式表示）三．解答题（共8小题）17．计算：（1）﹣6+3+2﹣1（2）（3）（4）18．已知，求ab﹣（a+b）c的值．19．先化简，再求值：2（ab2+3a2b）﹣3（ab2+a2b）﹣a2b，其中，b＝2．20．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置；（2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？21．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快着获胜，可以得到一个奖品．F面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：列式，并计算：（1）﹣3经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？（2）5经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？22．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中B＝2x2y﹣3xy+2x+5，试求A+B．这位同学把A+B 误看成A﹣B，结果求出的答案为4x2y+xy﹣x﹣4．（1）请你替这位同学求出A+B的正确答案；（2）若A﹣3B的值与x的取值无关，求y的值．23．阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用；（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果 ．（2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值．（3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值．24．如图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3＝22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5＝32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7＝42个黑白小正方形，回答下列问题．（1）根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是： ；（2）根据规律，第50个图比第49个图多 个小正方形；（3）根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算：①1+3+5+…+197+199；②201+203+205+…+297+299．期中复习卷-2024-2025学年数学七年级上册苏科版（2024）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在下列数，+1，6.7，0，，﹣5，25%中整数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：，+1，6.7，0，，﹣5，25%中整数有：+1，0，﹣5，共3个，故选：B．2．能源产业已成为云南省第一大支柱产业，目前正在推进的3000000千瓦光伏项目，将带动光伏、储能绿色能源装备的发展．3000000用科学记数法可以表示为（ ）A．0.3×108B．3×106C．30×105D．30×106【解答】解：3000000＝3×106，故选：B．3．我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）A．﹣15℃B．+15℃C．﹣10℃D．+10℃【解答】解：温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作﹣10℃，故选：C．4．﹣1.2﹣0.8＝（ ）A．﹣2B．﹣0.4C．0.4D．2【解答】解：﹣1.2﹣0.8＝﹣1.2+（﹣0.8）＝﹣2，故选：A．5．如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）A．2023B．4046C．20D．0【解答】解：∵绝对值具有非负性，∴|x﹣2023|≥0，∵2023﹣|x﹣2023|有最大值，∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确．故选：A．6．如果单项式与x3y b是同类项，则a、b的值分别是（ ）A．2，2B．﹣3，2C．2，3D．3，2【解答】解：由同类项定义可知a＝3，b＝2．故选：D．7．当x＝2时，代数式px3+qx+1的值等于2024，那么当x＝﹣2时，代数式px3+qx+1的值为（ ）A．2024B．﹣2024C．2022D．﹣2022【解答】解：当x＝2时，px3+qx+1＝8p+2q+1＝2024，∴4p+q＝，∴当x＝﹣2时，px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣2（4p+q）+1＝﹣+1＝﹣2022．故选：D．8．小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（ ）A．51B．251C．256D．255【解答】解：当x＝10时，5x+1＝51＜200，此时输入的数为51，5x+1＝256＞200，所以输出的结果为256．故选：C．二．填空题（共8小题）9．计算：（1）﹣2﹣1＝　﹣3　；（2）（﹣2.1）+（+3.9）＝　1.8　；（3）（﹣4）×6＝　﹣24　；【解答】解：（1）原式＝﹣3，故答案为：﹣3；（2）原式＝1.8，故答案为：1.8；（3）原式＝﹣24，故答案为：﹣24．10．数轴上表示﹣5与1这两个数对应的点之间的距离是　6　．【解答】解：如图，点A所表示的数是﹣5，点B所表示的数是1，所以AB＝|1﹣（﹣5）|＝6，故答案为：6．11．已知|a|＝3，，且a＜0＜b，则ab＝　﹣1　．【解答】解：∵|a|＝3，，a＜0＜b，∴，∴，∴．故答案为：﹣1．12．如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为　13　．【解答】解：根据题意得：被盖住的整数为﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，7，8，9，10，11，12，13，∴被盖住的整数的个数为13，故答案为：13．13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，若表示数b与﹣b的点相距36个单位长度，a与原点的距离是|b|的，则a＝　6　．【解答】解：∵表示数b与﹣b的点相距36个单位长度，∴，∵a与原点的距离是|b|的，∴|a|＝6，∴a＝±6，由数轴得：a＞0，∴a＝6．故答案为：6．14．已知单项式﹣2ab3与4a n b m+1是同类项，则m+n＝　3　．【解答】解：由同类项定义可知n＝1，m+1＝3，解得m＝2，n＝1，∴m+n＝2+1＝3．故答案为：3．15．如果（k﹣2）x3+（|k|﹣2）x2﹣5是关于x的三次二项式，则k的值为　﹣2　．【解答】解：∵多项式（k﹣2）x3+（|k|﹣2）x2﹣5是三次二项式，∴|k|﹣2＝0，k﹣2≠0，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．16．某公园准备修建一块长方形草坪，长为35m，宽为25m．并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x m，则修建的十字路的面积是　（60x﹣x2）　m2．（用含x的代数式表示）【解答】解：由图可得，修建的十字路的面积是：35x+25x﹣x2＝（60x﹣x2）m2，故答案为：（60x﹣x2）．三．解答题（共8小题）17．计算：（1）﹣6+3+2﹣1（2）（3）（4）【解答】解：（1）原式＝﹣3+2﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）原式＝＝＝；（3）原式＝＝﹣1﹣5﹣3＝﹣9；（4）＝＝﹣20+8﹣9＝﹣21．18．已知，求ab﹣（a+b）c的值．【解答】解：∵，∴a+1＝0，2b﹣5＝0，＝0，∴a＝﹣1，b＝，c＝，∴ab﹣（a+b）c＝．19．先化简，再求值：2（ab2+3a2b）﹣3（ab2+a2b）﹣a2b，其中，b＝2．【解答】解：原式＝2ab2+6a2b﹣3ab2﹣3a2b﹣a2b＝﹣ab2+2a2b，当a＝﹣，b＝2时，原式＝﹣（﹣）×22+2×（﹣）2×2＝2+1＝3．20．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置；（2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？【解答】解：（1）如图，；（2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10，所以b表示的数是﹣10；（3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，所以a表示的点到原点的距离为5，所以a表示的数是5．21．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快着获胜，可以得到一个奖品．F面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：列式，并计算：（1）﹣3经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？（2）5经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？【解答】解：（1）[（﹣3）×2﹣（﹣5）]÷3+6＝（﹣6+5）÷3+6＝＝；（2）[5﹣（﹣5）]÷3×2+6＝（5+5）÷3×2+6＝＝．22．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中B＝2x2y﹣3xy+2x+5，试求A+B．这位同学把A+B 误看成A﹣B，结果求出的答案为4x2y+xy﹣x﹣4．（1）请你替这位同学求出A+B的正确答案；（2）若A﹣3B的值与x的取值无关，求y的值．【解答】解：（1）由题意可得，A﹣B＝4x2y+xy﹣x﹣4，∴A＝4x2y+xy﹣x﹣4+（2x2y﹣3xy+2x+5）＝4x2y+xy﹣x﹣4+2x2y﹣3xy+2x+5＝6x2y﹣2xy+x+1，∴A+B＝6x2y﹣2xy+x+1+（2x2y﹣3xy+2x+5）＝6x2y﹣2xy+x+1+2x2y﹣3xy+2x+5＝8x2y﹣5xy+3x+6；（2）A﹣3B＝6x2y﹣2xy+x+1﹣3（2x2y﹣3xy+2x+5），＝6x2y﹣2xy+x+1﹣6x2y+9xy﹣6x﹣15，＝7xy﹣5x﹣14，＝（7y﹣5）x﹣14，∵A﹣3B的值与x的取值无关，∴7y﹣5＝0，∴．23．阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用；（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果　5（a﹣b）2　．（2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值．（3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值．【解答】解：（1）2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2＝（2+6﹣3）（a﹣b）2＝5（a﹣b）2．故答案为：5（a﹣b）2．（2）2m+6a﹣（4b﹣2n）＝2（m+n）+2（3a﹣2b），∵m+n＝15，3a﹣2b＝11，∴2（m+n）+2（3a﹣2b）＝2×15+2×11，＝52．（3）∵a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，∴（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c），＝a﹣c+3b﹣d﹣3b+c，＝a﹣d，＝4+3b﹣（c﹣11），＝4+3b﹣c+11，＝4+（3b﹣c）+11，＝4﹣3+11，＝12．24．如图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3＝22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5＝32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7＝42个黑白小正方形，回答下列问题．（1）根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：　1+3+5+7+9＝52　；（2）根据规律，第50个图比第49个图多　99　个小正方形；（3）根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算：①1+3+5+…+197+199；②201+203+205+…+297+299．【解答】解：（1）图（1）中共有12个黑色小正方形，图（2）中共有22个黑白小正方形，图（3）中共有32个黑白小正方形，图（4）中共有42个黑白小正方形，∴图（5）中共有52个黑白小正方形，故答案为：1+3+5+7+9＝52；（2）∵图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3＝22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5＝32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7＝42个黑白小正方形，⋯，则图（n）中共有1+3+5+7+9+（2n﹣1）＝n2个黑白小正方形，∴第50个图比第49个图多502﹣492＝99（个），故答案为：99；（3）由（2）得图（n）中共有1+3+5+7+9+（2n﹣1）＝n2个黑白小正方形，∴①2n﹣1＝199，解得：n＝100，∴1+3+5+⋯+197+199＝1002＝10000；②2n﹣1＝99，解得：n＝50，∴201+203+205+⋯+297+299＝200×100+（1+3+5+7⋯+97+99）＝20000+502＝22500．。

专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。

2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。

1．若0,0a ab <<，化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵0,0a ab <<，∴b ＞0，∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：()()()()222232x y y x y x y x y -----+-，其中x ，y满足30x y +=．【答案】xy -，1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ，y 的值，进a a而计算得出答案．【详解】解：原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-，30x y +=Q ，\3402350x y x y +-=ìí--=î，解得：313x y =ìïí=ïî，\原式1313=-´=-．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x +y ）（3x ﹣y ）﹣2x （y +2x ）+（y ﹣2x ）2]÷（﹣3x ），其中x 、y满足1y =．【答案】﹣3x +2y ，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2）÷（﹣3x ）＝（9x 2﹣6xy ）÷（﹣3x ）＝﹣3x +2y ，∵1y =，∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0，解得：x ＝8，∴11y ==-，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，先化简3A +2B ；再求当x ，y 为有理数且满足x 2y +2y ＝﹣+17时，3A +2B 的值．【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x ，y 为有理数求得,x y 的值，代入求解即可．【详解】Q A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y ＝﹣，x ，y 为有理数，22x y \+==-，4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得,x y 的值是解题的关键．5．（1）化简：a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ）；（2）先化简，再求值：14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），其中x ＝23，y ＝2018．【答案】（1）244a a +；（2）232x x -+，59【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ），2225226a a a a a =+--+ ，244a a =+ ；（2）14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ，21222x x y x y =-+-++ ，232x x =-+ ，当x ＝23，y ＝2018时，原式2232323æö=-+´ç÷èø ，419=-+ ，59= ．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：0.50a -＜＜，a ＝121a a a-+++＝2．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【详解】解：原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |，=c +（-a +b ）+a +b -（-b +c ），=c -a +b +a +b +b -c ，=3b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，请先化简再求值：()()222123a a a a -+--+．【答案】25a +，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a 的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，∴（a -1）+（2a +7）=0，解得a =-2．()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+，当a =-2时，原式()2259=-+=．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：（1）请仿照上例化简．①②；（2）请化简【答案】（1）；②2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a 的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②===（2）∵∴10a -³，∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a 时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，a a =；当a 在数轴上位于原点时，0a =；当a 在数轴上位于原点的左侧时，a a =-．当a ，b ，c 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当1a =时，求aa =______，当2b =-时，求bb =______．（2）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，求abca b c ++的值．（3）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，化简：a c c a b b c ++++--．【答案】（1）1；1- ；（2）1-；（3）c -．【分析】（1）当1a =时，点a 在原点右边，由题意可知，此时a a =，代入a a 即可求值；当2b =- 时，点b 在原点左边，由题意可知，此时b b =-，代入bb 即可求值；（2）由图中获取a b c 、、三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当1a =时，111a a ==；当2b =-时，212b b ==--，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：0b < ，0c < ，0a > ，∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-；（3）由数轴可知：0b c a <<<且c a b <<，∴000a c a b b c +>+<-<，，，∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。

初中数学七年级上册思维导图一、数与代数1. 实数有理数整数正整数、负整数、0分数正分数、负分数无理数不能表示为两个整数比的数无理数的近似值2. 代数式代数式的概念代数式的化简代数式的求值3. 方程与不等式一元一次方程方程的解法方程的应用一元一次不等式不等式的解法不等式的应用二、几何1. 平面几何点、线、面角锐角、直角、钝角角的度量多边形三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形四边形矩形、正方形、平行四边形、梯形圆圆的性质圆的周长、面积2. 空间几何立体图形长方体、正方体、圆柱、圆锥、球立体图形的表面积、体积三、统计与概率1. 统计数据的收集与整理数据的表示表格、条形图、折线图、扇形图数据的分析平均数、中位数、众数2. 概率概率的概念概率的计算概率的应用四、数学思维方法1. 分类讨论法2. 类比法3. 归纳法4. 反证法五、数学应用与建模1. 数学在实际生活中的应用金融领域利息计算、复利计算工程领域测量、绘图、计算科学研究数据分析、实验设计2. 数学建模建模的基本步骤提出问题、建立模型、求解模型、验证模型常见的数学模型线性模型、非线性模型、概率模型六、数学思维导图的制作与应用1. 思维导图的制作方法确定中心主题画出分支填充内容修饰美化2. 思维导图的应用场景学习规划项目管理决策分析七、数学与科技的发展1. 数学在科技领域的重要性计算机科学算法设计、数据结构机器学习、深度学习物理学量子力学、相对论2. 数学与其他学科的交叉融合数学与生物学遗传算法、神经网络数学与经济学博弈论、优化理论八、数学教育的创新与改革1. 数学教育的现状与问题教学方法单一学生兴趣不高创新能力培养不足2. 数学教育的创新策略案例教学法项目式学习翻转课堂在线教育3. 数学教育的改革方向注重学生个性化发展培养学生的数学思维提高学生的数学应用能力初中数学七年级上册思维导图一、数的认识1. 整数自然数：0, 1, 2, 3,正整数：1, 2, 3,负整数：1, 2, 3,整数：自然数和负整数的统称2. 分数真分数：分子小于分母的分数假分数：分子大于或等于分母的分数分数的基本性质：分子分母同时乘以或除以同一个非零整数，分数的值不变3. 小数小数的表示方法：整数部分和小数部分小数的性质：小数点向右移动一位，相当于乘以10；小数点向左移动一位，相当于除以10二、数的运算1. 整数的运算加法：将两个整数相加减法：将一个整数从另一个整数中减去乘法：将两个整数相乘除法：将一个整数除以另一个非零整数2. 分数的运算加法：将两个分数的分子相加，分母保持不变减法：将一个分数的分子从另一个分数的分子中减去，分母保持不变乘法：将两个分数的分子相乘，分母相乘除法：将一个分数的分子乘以另一个分数的分母，分母乘以另一个分数的分子3. 小数的运算加法：将两个小数的小数部分相加，整数部分相加减法：将一个小数的小数部分从另一个小数的小数部分中减去，整数部分相减乘法：将两个小数相乘除法：将一个小数除以另一个非零小数三、方程与不等式1. 方程一元一次方程：ax + b = 0（a, b为常数，x为未知数）方程的解：使方程成立的未知数的值2. 不等式一元一次不等式：ax + b > 0 或 ax + b < 0（a, b为常数，x 为未知数）不等式的解集：满足不等式的未知数的值的集合四、函数与图形1. 函数定义：函数是一种特殊的关系，每个输入值对应唯一的输出值表示方法：函数关系可以用函数表达式、函数图像、函数表格等方式表示2. 图形直线：一次函数的图像抛物线：二次函数的图像双曲线：反比例函数的图像五、统计与概率1. 统计数据的收集与整理：收集数据、整理数据、制作统计图表数据的分析与解释：分析数据、得出结论、解释结论2. 概率概率的定义：某个事件发生的可能性概率的计算：根据事件发生的次数和总次数计算概率初中数学七年级上册思维导图六、几何图形的认识1. 点、线、面点：没有长度、宽度和高度的几何元素线：只有长度没有宽度和高度的几何元素面：具有长度和宽度的几何元素2. 平面图形三角形：由三条线段组成的闭合图形四边形：由四条线段组成的闭合图形圆：由一个点到平面上所有点的距离相等的点的集合3. 空间图形立方体：由六个正方形面组成的立体图形圆柱：由两个平行圆面和一个侧面组成的立体图形圆锥：由一个圆面和一个侧面组成的立体图形七、几何图形的性质1. 三角形的性质内角和定理：三角形的内角和等于180度等腰三角形的性质：底角相等，底边上的高、中线、角平分线互相重合直角三角形的性质：直角边上的高、中线、角平分线互相重合2. 四边形的性质平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分矩形的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等菱形的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相垂直平分3. 圆的性质圆的周长公式：C = 2πr（r为圆的半径）圆的面积公式：A = πr²圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离都相等八、几何图形的计算1. 三角形的计算三角形的周长：三条边的长度之和三角形的面积：底乘以高除以22. 四边形的计算四边形的周长：四条边的长度之和四边形的面积：根据不同类型的四边形使用相应的公式计算3. 圆的计算圆的周长：2πr圆的面积：πr²九、综合应用1. 实际问题运用所学的数学知识解决实际问题，如计算面积、周长、体积等培养学生的应用意识和解决问题的能力2. 数学建模将实际问题抽象成数学模型，运用数学知识解决问题培养学生的建模能力和创新能力3. 数学探究通过探究活动，让学生发现数学规律，提高学生的探究能力和思维能力初中数学七年级上册思维导图十、数学思维与方法1. 逻辑推理通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的逻辑思维能力帮助学生理解数学概念、性质、定理之间的关系2. 数学建模将实际问题抽象成数学模型，运用数学知识解决问题培养学生的建模能力和创新能力3. 数学探究通过探究活动，让学生发现数学规律，提高学生的探究能力和思维能力十一、数学素养与能力1. 数感培养学生对数的敏感性，能够快速、准确地理解和处理数学信息2. 空间观念培养学生对几何图形的认识和空间想象能力，提高学生的空间思维能力3. 解决问题的能力培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识和实践能力4. 创新能力培养学生的创新思维，鼓励学生尝试不同的解题方法和思路5. 合作与交流能力培养学生与他人合作交流的能力，提高学生的团队协作能力和沟通能力初中数学七年级上册思维导图一、数与代数1. 实数有理数整数正整数、负整数、0分数正分数、负分数无理数不能表示为两个整数比的数无理数的近似值2. 代数式代数式的概念代数式的化简代数式的求值3. 方程与不等式一元一次方程方程的解法方程的应用一元一次不等式不等式的解法不等式的应用二、几何1. 平面几何点、线、面角锐角、直角、钝角角的度量多边形三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形四边形矩形、正方形、平行四边形、梯形多边形的内角和定理2. 空间几何立体图形正方体、长方体、圆柱、圆锥、球立体图形的表面积与体积三、统计与概率1. 数据的收集与整理数据的收集方法数据的整理方法2. 数据的描述平均数、中位数、众数极差、方差、标准差3. 概率概率的基本概念概率的计算方法概率的应用四、数学思维方法1. 归纳法从具体到一般从特殊到一般2. 类比法通过相似性进行推理3. 反证法假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立4. 构造法通过构造实例来解决问题五、数学建模1. 建模的基本步骤确定问题建立模型求解模型验证模型2. 常见的数学模型线性模型二次模型指数模型3. 数学建模的应用在实际生活中的应用在科学研究中的应用初中数学七年级上册思维导图六、数学实验与探究1. 实验的设计与实施确定实验目的设计实验方案实施实验并记录数据分析实验结果2. 探究的方法与技巧观察法实验法归纳法类比法3. 数学实验与探究的应用解决实际问题深化数学理解培养创新思维七、数学文化1. 数学发展史古代数学近现代数学2. 数学家的故事中国数学家外国数学家3. 数学与生活的关系数学在科技发展中的作用数学在日常生活中的应用八、数学学习方法1. 课堂学习专心听讲积极思考勇于提问2. 自主学习制定学习计划完成课后作业复习巩固3. 合作学习与同学交流讨论分享学习资源相互帮助、共同进步九、数学素养的培养1. 数学思维逻辑思维抽象思维空间思维2. 数学能力计算能力推理能力解决问题的能力3. 数学品质耐心细心持之以恒初中数学七年级上册思维导图十、数学竞赛与拓展1. 数学竞赛简介数学竞赛的类型数学竞赛的级别数学竞赛的报名时间及方式2. 数学竞赛的备考策略基础知识的巩固解题技巧的提升模拟试题的训练3. 数学竞赛的意义激发学习兴趣培养竞争意识提高数学能力十一、数学与科技1. 数学在科技领域的作用计算机科学数据分析2. 数学在工程技术中的应用建筑设计机械制造通信技术3. 数学在生活中的创新数学与艺术数学与体育数学与游戏十二、数学教育改革与发展1. 新课程标准的实施课程目标的调整教学内容的更新教学方法的改革2. 数学教育技术的发展信息技术与数学教育的融合在线教育平台的建设虚拟现实技术在数学教学中的应用3. 数学教育的国际交流与合作国际数学竞赛的参与数学教育研究的合作数学教师培训的国际交流初中数学七年级上册思维导图一、数与代数1. 整数加减法加法：将两个数合并成一个数的运算。

数与代数刘徽(生于公元250年左右)，是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海胡算经》是我国最宝贵的数学遗产.刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”.1.数形结合话数轴解读课标1.数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起來.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1.利用数轴形象地表示有理数；2.利用数轴直观地解释相反数；3.利用数轴解决与绝对值有关的问题；4.利用数轴比较有理数的大小.问题例1 (1)己知b为有理数，且a>0, , a + b<0 f将四个数b、-Q、-b按由小到大的顺序排列是_________ .(2)已知数轴上有A、B两点,A、B之I'可的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B对应的数是.试一试对于(1),赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定4、3两点在数轴上的位置，充分考虑A、B两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、〃，且〃-2° = 10,那么数轴的原点应是()A. A点B. B点C. C点D. D点-A 13 c IT试一试从寻找d与0的另一关系式入手.例3已知两数0、b,如果。

比b大，试判断问与问的大小.试一试因b符号未定，故。

比b大有多种情形，借助数轴可直观全面比较问与问的大小.例4电子跳蚤落在数轴上的某点K。

，第一步从K。

向左跳1个单位到龟，第一步由人向右跳2个单位到心，第三步由心向左跳3个单位到心，第四步由心向右跳4个单位到心，……,按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点心。

一、判断题新课标提倡关注知识获得的过程，不提倡关注获得知识结果。

（X）2、要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源为学生提供丰富多彩的学习素材。

（V）不管这法那法只要能提高学生考试成绩就是好法。

（X）《基础教育课程改革纲要》指出：课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。

（V）5、《纲要》提出要使学生“具有良好的心理素质”这一培养目标很有必要，不仅应该在心理健康教育课中培养，在数学课上也应该关注和培养学生的心理素质。

（V）6、教师即课程。

（X）7、教学是教师的教与学生的学的统一，这种统一的实质是交往。

（V）8、教学过程是忠实而有效地传递课程的过程，而不应当对课程做出任何变革。

（X）9、教师无权更动课程，也无须思考问题，教师的任务是教学。

（X）10、从横向角度看，情感、态度、价值观这三个要素具有层次递进性。

（V）11、从纵向角度看，情感、态度、价值观这三个要素具有相对贸易独立性。

（V）12、从推进素质教育的角度说，转变学习方式要以培养创新精神和实践能力为主要目的。

（V）13、课程改革核心环节是课程实施，而课程实施的基本途径是教学。

（V）14、对于求知的学生来说，教师就是知识宝库，是活的教科书，是有学问的人，没有教师对知识的传授，学生就无法学到知识。

（X）15..课程改革的焦点是协调国家发展需要和学生发展需要二者间的关系. (V)16.素质教育就是把灌输式与启发式的教学策略相辅相成. (X)17.全面推进素质教育的基础是基本普及九年义务教育. (X)18.现代信息技术的应用能使师生致力于改变教与学的方式,有更多的精力投入现实的探索性的数学活动中去. (V)19.新课程评价只是一种手段而不是目的,旨在促进学生全面发展. (V)二、选择题（每小题3分，共24分）1、新课程的核心理念是【为了每一位学生的发展】2、教学的三维目标是【知识与技能、过程与方法、情感态度价值观】3、初中数学课程为课标中规定的第几学段【第三】4、《基础教育课程改革纲要》为本次课程改革明确了方向，基础教育课程改革的具体目标中共强调了几个改变【6个】5、课标中要求“会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程”。

欧几里得，古希腊数学家．在流传了几千年的光辉著作《几何原本》中，他用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学，传说托勒密王曾经问他，除了他的《几何原本》外还有没有学习几何的捷径，他回答说：“几何，无王者之道．”这句话成为千古流传的名言．21．线段、射线与直线解读课标意大利科学家伽利略曾说：“大自然用数学的语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体．”构成平面图形的基本元素是点和线．在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物．运动成线，线运动成面，面运动成体．在线中，最简单、最常见的就是线段、射线、直线，它们的概念、画法、性质不但是后续学习研究由线段组成的较复杂图形的基础，而且为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究．观察一操作一思考一交流一总结是学习平面图形性质的有效途径，解与线段相关的问题时，常用到中点、代数化、穷举、分类与讨论等概念与方法．问题解决例1 已知一条直线上有A 、B 、C 三点，线段AB 的中点为P ，10AB =，线段BC 的中点为Q ，6BC =，则线段PQ 的长为________．试一试利用中点表示相关线段，因未给出图形，故应考虑C 点位置的多种可能． 例2如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段ABCBNM PQ A的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则:MN PQ 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4试一试利用中点，设法把MN 、PQ 用含相同线段的代数式表示， 例3（1）在一条直线上有n 个点，以这些点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有n 条两两相交直线，这n 条直线最少有几个交点？最多有几个交点？试一试从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律，或运用“两点确定一条线段（直线）”、“两条直线相交有且只有一个交点”等几何性质作抽象分析，例4 已知C 为线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点． （1）画出相应的图形，并求出图中线段的条数；（2）若图中所有线段的长度和为26，求线段AC 的长度；（3）若E 为线段BC 上的点，M 为EB 的中点，DM a =，CE b =，求线段AB 的长度． 试一试对于（2），设AC x =，把其他线段长用x 的式子表示，通过列方程求 解：对于（3），把AB 长用恰当的线段和表示．例5如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为6，4BC =，12AB =．OABC（1）求点A 、B 对应的数；（2）动点P 、Q 同时从A 、C 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M 、N 为AP 的中点，N 在CQ 上，且13CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M 、N 对应的数（用含t 的式子表示）； ②t 为何值时，2OM BN =．分析 对于（2），把OM 、BN 进一步用含t 的式子表示，建立t 的方程． 解 （1）A 、B 两点对应的数分别为10-、2．（2）①6AP t =，3CQ t =，M 为AP 中点，13CN CQ =，则132AM AP t ==，13CN CQ t ==．∴点M 对应的数为103t -+，点N 对应的数为6t +． ②∵103OM t =-+，4BN BC CN t =+=+，2OM BN = ∴()1032482t t t -+=+=+ 由10382t t -+=+ 得18t =由()10382t t -+=-+ 得25t =故当18t =秒或25秒时2OM BN = 巧合还是必然例6如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形是一个长16米、宽8米的长方形场地，如果你沿着小路的中间从内部出发走完这条小路，共走多少米？分析与解 行走路线的总宽为12345677.535.5+++++++=，总长为8.5910111213141592.5+++++++=，因此走完这条小路的总长为()35.592.5128m +=细心的读者会发现，128正好是长方形场地长16与宽8的乘积，也就是说，走完这条小路的总长与这块长方形场地面积的数值相等．追问 上述关系是巧合还是必然？若是巧合，怎样解释这一现象；若是必然，又如何证明？探究（1）若路宽为2米，走完这条小路共走多少米？（2）若长方形的场地的长为a，宽为b，其中充满宽为c的小路，走完这条小路共走多少米？数学冲浪知识技能广场1．如图，已知线段AB，延长AB到C，使13BC AB=，D为AC的中点，2DC=，那么AB的长为______．DA B C2．已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为_________．3．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是______cm右左左右4．如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（）A．CD AC DB=-B．CD AD BC=-C．12CD AB BD=-D．13CD AB=C BA D5．如图，点A、B、C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN 的长度，则只需条件（）A．12AB=B．4BC=C．5AM=D．2CN=6．如图，有a、b、c三户家用电路接人电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长7．已知线段8AB=，直线AB上有一点P（l）若5AP=，求BP的长；（2）若C是AP的中点，D是BP的中点，求CD的长．8．（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．l21（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系． （3）平面上有n 条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为n a ，试研究n a 与n 之间的关系．思维方法天地9．如图，B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知8.9cm AE =，3cm BD =，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为_______cm ．EDABC10．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线．若平面上不同的n 个点最多确定21条直线，则n 的值为_______．11．如图，一根长为30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将它按图所示的过程折叠．为了美观，希望折叠完成后纸条A 端到点P 的距离等于B 端到点M 的距离，则最初折叠时，MA 的长应为______cm ．B12．某班50名同学分别站在公路的A 、B 两点处，A 、B 两点相距1000米，A 处有30人，B 处有20人．要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）AA ．A 点处B ．线段AB 的中点处C ．线段AB 上，距A 点10003米处 D ．线段AB 上，距A 点400米处 13．公园里准备修5条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（ ） A ．9个 B ．10个 C ．11个 D ．12个14．线段AB 上选取3种点，第1种是将AB 10等分的点；第2种是将12AB 等分的点；第3种是将15AB 等分的点，这些点连同线段AB 的端点可组成线段的条数是（ ）A ．35B ．595C 406D ．66615．电子跳蚤游戏盘为ABC △． 8AB a =，9AC a =，10BC a =，如果电子跳蚤开始时在BC 边上0P 点，04BP a =。

陈景润（19331996-），福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“12+”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”．27．图形生长的奥秘 解读课标从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：（1）分析图形生长的方式、规律；（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m =________．（用含n 的代数式表示）（2）观察下列图形：① ② ③ ④ 根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试 对于（2），从寻找第n 个图与第1n -个图三角形个数的关系入手．例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）． A ．25 B ．66 C ．91 D ．120（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去：则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）．A ．22n n ++，21n +B ．22n +，21n +C ．4n ，23n n -+D ．4n ，21n +①m =5n =1时②m =8n =2时③m =11n =3时④m =14n =4时①②……③第1个第2个第3个试一试 略． 例3 操作：（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1；（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．探究：图○n 的周长是多少？试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口．例4 有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，……，如此继续下去，第9层有多少块？第n 层有多少块？这样共n 层的砖堆总共有多少块砖？试一试 从第2层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需多少根火柴？分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形． 解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图：图中第1个图案需要横向火柴112+=（根），纵向火柴112+=（根），共需4根火柴； 第2个图案需要横向火柴1225++=（根），纵向火柴1225++=（根），共需10根火柴； 第3个图案需要横向火柴12339+++=（根），纵向火柴12339+++=（根），共需18根火柴； ……第n 个图案需要横向火柴的根数是()31232n n n n ++++++=，纵向火柴的根数也是()32n n +，共需()3n n +根火柴．故拼搭图中第11个图案需火柴()111133157⨯++=（根）． 图案设计例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？①②……③第1个第2个第3个…第4个第1个第2个第3个第4个…由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案． 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．数学冲浪 知识技能广场1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星．2．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根（用含有n 的代数式表示）．4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为________（用含n 的代数式表示）．5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．（1）漩涡（2）玫瑰花（4）海螺背影n =1★★★★n =2★★★★★★★n =3★★★★★★★★★★n =4……★★★★★★★★★★★★★图①★★图②★★★★★★★★…图③★★★★★★★★★★★★★★★★★★（1）（2）（3）（4）……第一个图案第三个图案6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．序号1 2 3 … n 图形… …… ●的个数 8 24 …★的个数 1 4 …（2）试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等．8．已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当n k =时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含k 的式子表示）9．某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺2块，如图①；第二次把第一次铺的完全围起来，如图②；第三次把第二次铺的完全围起来，如图③；……；依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________．10．如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_______．（1）（2）（3）①②③④……●●●●●●●★●●●●●●●●●●●●●●●●★●★★★★★★●●●●●★★●●●★★★●★●●●●●●●●●●●●●●●n =3n =4…n =5①②③11．在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③；……；如此继续，如果图①的等边三角形面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为___________．12．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，……，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥． （1）求5a 的值；（2）当3451111n a a a a ++++的结果是197600时，求n 的值为_________．13．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，……，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？应用探究乐园14．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：正方形边长1 3 5 7 … n （奇数） 第6行第5行第4行第3行第2行第1行①②③（1）（2）（3）……（4）A黑色小正方形个数 …正方形边长2 4 6 8 … n （偶数） 黑色小正方形个数 …（2）在边长为()的正方形中，设黑色小正方形的个数为1p ，白色小正方形的个数为2p ，问是否存在偶数n ，使215p p =若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由． 15．将棱长为1cm 的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面积．27．图形生长的奥秘 问题解决例1（1）32n +（2）161 图①有145+=个，图②有143417++⨯=个，图③有214343453++⨯+⨯=个，图④有2314343434161++⨯+⨯+⨯=个．例2（1）C 1591317212591++++++=； （2）D例3 图○n 中每个小等边三角形的边长为13n⎛⎫⎪⎝⎭，图○n 周长为143n n -． 例4 第9层有99块，第n 层有()2n n +块，这样的n 层砖堆共有()()()()()31425321212223232n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+⨯++⨯++⨯+++⨯()()()()()()2222111232123121112766n n n n n n n n n n =+++++++++=++++=++（块）．数学冲浪1．25 2．72 3．62n - 4．22n +5．()53132n n +-=+（个） 6．()2210101181+-=（个） 7．（1）略；（2）由28n n =，得8n =或0n =（舍去）．8．n k =时，共向外作了()23k -⨯个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为21S k⨯，这些小等边三角形的面积为()()2232123k k S S k k--⨯⨯⨯=⨯． 9．()()()221232286n n n n n ----=-10．377 各行的实心圆点数组成斐波那契数列 11．134n -⎛⎫ ⎪⎝⎭12．（1）()1n a n n =+，530a =；（2）199n =． 13．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +-=>，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖． 14．（1）略；（2）n 为偶数时，12p n =，222p n n =-，由题意得2252n n n -=⨯，12n =或0n =（舍去）．故存在偶数12n =，使得215p p =．15．由图呈现的规律知，第20个几何体有20层，从上往下第1层有1个正方体，第2层有33⨯个正方体，第3层有55⨯个正方体，……，第20层有3939⨯个正方体，所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成：（1）俯视图：边长为39厘米的正方形，面积为39391521⨯=（平方厘米）． （2）底面积：边长为39厘米的正方形，面积为1521平方厘米． （3）侧面积：四个形如39个正方形的金字塔三角形的面积和，即()13913539420416002+++++⨯=⨯⨯=（平方厘米）．故第20个几何体的表面积为1521216004642⨯+=（平方厘米）．………………………………………。