2020年华师大版初三数学上册第24章《解直角三角形》同步试题(附答案)

数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )A. 5 米B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米2. 如图，李光用长为3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为()A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为()A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()A．11米 B．12米 C．13米 D．14米5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米．6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计)8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝________米．9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．10. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是______米．11. 如图，一人拿着一把有厘米刻度的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12厘米恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米，求电线杆的高．12. 如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？13. 如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KC＝14步)，再向西行1775步到B处(CB＝1775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)，求城邑的边长．14. 亮亮和晶晶住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，晶晶站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，晶晶的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D.然后测出两人之间的距离CD＝1.25m，晶晶与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，晶晶的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？15. 某同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另外一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得台阶上的影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为多少米？答案：1—4 CAAB5. 106. 507. 48. 49. 1.5 10. 5411. 解：电线杆的高为6米12. 解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LCLD (1)∵像高MN 是35mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD ，解得LD ＝7.∴拍摄点距离景物7 m (2)拍摄高度AB 是2 m 的景物，拍摄点离景物LD ＝4 m ，像高MN 不变，∴35LC ＝24.解得LC ＝70.∴相机的焦距应调整为70 mm13. 解：设正方形的边长为x 步，由已知可得△ADH∽△ABC ，∴AH AC ＝DHBC ，即2020＋x ＋14＝12x 1775，整理得x 2＋34x －71000＝0，解得x 1＝250，x 2＝－284(舍去)，所以城邑的边长为250步14. 解：过A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，∠AEB ＝∠AFM ＝90°，又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE ∽△AMF ，∴BE MF ＝AE AF ，即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30，解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m)，所以住宅楼的高度为20.8 m15. 解：设落在地面上的影子4.4米所对应的树高为x米，则有x4.4＝10.4，∴x＝11，落在第一阶台阶上的影子长为0.2米对应的树高为0.5米，所以树高为11＋0.5＋0.3＝11.8(米)数学九年级上学期《24.2直角三角形的性质》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC 的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（）①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75° B．60° C．45°D．30°5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45° B．55°C．65° D．75°6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18° B．36° C．54°D．72°8．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（）A．90° B．135° C．120°D．45°或135°9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=（）A．30° B．40° C．50°D．60°10．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（）A．∠A=∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角C．∠1=∠2 D．图中有3个直角三角形11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，则∠B=（）A．61° B．39°C．29° D．19°12．如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，则AD：BD=（）A．B．C．1：2D．二．填空题（共10小题）13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP 为直角三角形时，∠A=°．14．在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的度数是°．15．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=度．16．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN=．17．如图示在△ABC中∠B=．18．直角△ABC中，∠A﹣∠B=20°，则∠C的度数是．19．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为．20．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=23°，则∠B=°，与∠B相邻的外角为°．21．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度．22．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为．三．解答题（共5小题）23．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求∠DCB．24．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．请你进行证明．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．请你进行证明．25．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．26．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．A．4．C．5．B．6．C．7．D．8．D．9．B．10．C．11．C．12．A．二．填空题13．50或90．14．4515．13516．4．17．25°．18．20°或90°．19．40°或15°．20．67；113．21．90．22．55°．三．解答题23．解：∵∠A=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，∴∠DCB=90°﹣∠B=30°．24．解：（1）BD∥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF；（2）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF；（3）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．25．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．26．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．27．证明：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．数学九年级上学期《24.3锐角三角函数》同步练习一．选择题（共9小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．6．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1 C．D．7．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定8．下列说法正确的个数有（）（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2（4）如果cotα1＜cotα2，那么锐角α1＞锐角α2A．1个B．2个C．3个D．4个9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于，则AB的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．二．填空题（共5小题）10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=．11．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．12．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．三．解答题（共5小题）15．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求：sinB的值．19．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ=；②cos2θ+sin2θ=1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ=，求值：（1）tanθ+；（2）||．参考答案一．选择题1．A．2．D．3．A．4．D．5．C．6．A．7．B．8．C．9．C．二．填空题10．．11．．12．3．13．．14．①②③④．三．解答题15．解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．16．解：将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，又因为a+b=2+2，构造一元二次方程得x2﹣（2+2）x+4=0，解得x1=2，x2=2则（1）sinA==时，锐角A的度数是30°，（2）sinA==时，锐角A的度数是60°，所以∠A=30°或∠A=60°．17．解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC==x，在Rt△ABC中，cosB===．18．解：∵AD=BC=5，cos∠ADC=，∴CD=3，在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=3，∴AC===4，在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=5，∴AB===，∴sinB===．19．解（1）∵cosθ+sinθ=，∴（cosθ+sinθ）2=（）2，cos2θ+2cosθ•sinθ+sin2θ=，cosθ•sinθ=，∴tanθ+=+===4；（2）∵（cosθ﹣sinθ）2=cos2θ﹣2cosθ•sinθ+sin2θ=1﹣2×=，∴cosθ﹣sinθ=±，∴|cosθ﹣sinθ|=．数学九年级上学期《24.4解直角三角形》同步练习一．选择题（共11小题）1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是（）A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=D．点D到AB的距离为a+bcosβ2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，若AC=6cm，则BC的长度为（）A．8cm B．7cm C．6cmD．5cm4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．66．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2 C．D．8．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE 平分∠BAD，连接DE，则sin∠ADE的值为（）A．B．C．D．10．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，连接AE．若AB=1，AD=，则AE=（）A．B．C．D．2 11．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1D．101二．填空题（共6小题）12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为度．∠ABH=，则13．已知等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tanCH的长为．14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．16．已知△ABC中，满足+=，AB=10．则AC+BC=17．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD=，BD=2，则BC为．三．解答题（共8小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=．（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．（注：本题可根据需要自己画图并解答）20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．21．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：；（填序号即可）（2）画出图形．22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）23．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）24．小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．（1）求旗杆BC的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处（A，D，B三点在一条直线上），测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．A．4．B．5．C．6．C．7．D．8．B．9．B．10．C．11．C．二．填空题（共6小题）12．30或150．13．3或14．15．；．16．14．17．2或2．三．解答题18．解：（1）∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由 tanB==，∴=，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴=，∴DE=，∴sin∠BAD===．19．解：（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴四边形ABCD四点共圆，∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，∵∠BED=∠ABC=90°，∴△BED∽△ABC，∴==sin∠EAB=sin∠BCD；（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，∴△DAB≌△CBF，∴BD=BF，AD=CF，∵∠DBF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=DF，∵AD+CD=6，∴CF+CD=DF=6，∴BD=3，AC==4，∴==．（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，∴===，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，在Rt△BDM中，BD==10x，∵BD=DC，∴10x=6x+8y，∴x=2y，在Rt△ABM中，AB==6y，∴sin∠BCD=sin∠MAB===．20．解：（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴BC=BD=5，∵sinA=，∴AB=12，∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=，则sin∠ACD=．21．解：（1）选用的工具为：①③；故答案为：①③；（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．22．解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10（米）．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（3+10﹣7）×10×500=25000﹣10000（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．23．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．24．解：（1）依题意有：=，即=，解得BC=8．故旗杆BC的高度是8米；（2）如图，在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，解得EF=8，则BD=8．故此时小明与旗杆之间的距离是8米．25．解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112、如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（）A. B. C. D.3、如图，已知菱形ABCD，DF1BC交AC于点，交C于点F，若tan∠BDF= ，AB=30，则CE的长是（）A. B. C. D.4、在△ABC中，AB=6，AC=8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A.2＜AD＜14B.1＜AD＜7C.6＜AD＜8D.12＜AD＜165、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2，则AC长为（）A.4B.2C.1D.6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A. B. C. D.7、如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（）A.50B.60C.70D.808、将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（）A.2、4、6B.4、6、8C.8、10、12D.6、8、109、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（）A. B. C. D.310、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；② ；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A.①②③B.②③C.①③④D.②④11、在下面四根木棒中，选一根能与长为4cm，9cm的两根木棒首尾依次相接钉成一个三角形的是（）A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm12、下列是无理数的是（）A. B. C.0.202002000… D.13、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根，则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.1914、在△ABC中，∠C=90°，cosA=， AC=6，则AB的长度为（）A.8B.10C.12D.1415、如图，⊙O的直径AB=2，点C在⊙O上，弦AC=1，则∠D的度数是（）A.30°B.60°C.45°D.75°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=________.18、点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB=1，∠ADC=120°, 点M，N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN的周长最小值是________.19、一个直角三角形斜边上的高与中线分别是5㎝和6㎝，则它的面积是________ .20、等腰三角形的两边长为3 和，那么它的周长为________．21、如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE.点P，C，E在一条直线上，，M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为________.22、在扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，OA=4，将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，则的长度为________．23、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点D为AC 边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为________。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A.3B.C.D.22、课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是（）A.12米B. 米C.24米D. 米3、已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )A.2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD.04、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A.12B.14C.12或14D.以上都不对5、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值为A. B. C. D.6、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B，C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D的过程中，则点F运动的路径长为（）A.πB. πC. πD. π7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则sinB的值是（）A. B. C. D.8、已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（）A.38°B.62°C.52°D.72°9、已知sinA= ，那么锐角等于（）A.15°B.30°C.45°D.60°10、已知两条线段的长度分别为２cm、８cm，下列能与它们构成三角形的线段长度为（）A.４cmB.６cmC.８cmD.１０cm11、在△ABC中，若，则∠C的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°12、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.3，1，1D.3，4，713、如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（）A.4 mB.6 mC.8 mD.12 m14、平行四边形的对角线分别为x、y，一边长为 12，则x、y 的值可能是（）A.8 与 14B.10 与 14C.18 与 20D.4 与 2815、如图是某河坝横断面示意图，迎水坡，为背水坡，过点A作水平面的垂线,设斜坡的坡度为，坡角为，斜坡的坡度为，坡角为，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是________cm217、如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点.若=1，则矩形的面积为________.18、纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________．19、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度BC是________m（≈1.732，结果取整数）.20、如图，在△ABC中，已知BC=5，，∠C=30°，EF 垂直平分BC，点 P 为直线EF上一动点，则 AP+BP 的最小值是________.21、在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cosC＝，那么tanA＝________．22、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为________.23、如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________.24、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=________25、如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：.27、为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.(其中AB=9m，BC=0.5m)为标明限高，请你根据该图计算CE.(精确到0.1m)（参考数值，，）28、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= ，b= ，求这个直角三角形的其他元素。

九年级数学上24.2直角三角形的性质同步练习(含答案和
解释)
华师大版数学九年级上册第24解直角三角形242直角三角形的性质同步练习
一、选择题
1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AD=60°=30°
故选D
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解
5、【答案】c
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】∵直角三角形的一个锐角是23°，
∴另一个锐角是90°-23°=67°
故选c
【分析】直角三角形的两个锐角互余
6、【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】设较小的锐角是x ，则另一个锐角是2x ，由题意得，x+2x=90°，
解得x=30°，
即此三角形中最小的角是30°
故选B
【分析】设较小的锐角是x ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可
7、【答案】D
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】A∵∠c=∠A+∠B ，
∴∠c=90°，是直角三角形，故本选项错误；
B∵32+42=25=52，。

华东师大版数学九年级上学期第24章解直角三角形《解直角三角形》同步练习（有答案）一．选择题〔共11小题〕1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，那么以下结论错误的选项是〔〕A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=D．点D到AB的距离为a+bcosβ2．在Rt△ABC中，∠C=90°，假设AC=2，cosA=，那么AB的长是〔〕A．3 B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，假定AC=6cm，那么BC的长度为〔〕A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，那么tan∠BAC的值为〔〕A．2 B．C．D．5．BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，那么AB=〔〕A．B．2C．3D．66．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，假设AD=m，∠A=α，那么BC的长为〔〕A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，那么tan∠CEB的值等于〔〕A．B．2 C．D．8．一个三角形的边长区分为a，a，b，另一个三角形的边长区分为b，b，a，其中a＞b，假定两个三角形的最小内角相等，的值等于〔〕A．B．C．D．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE平分∠BAD，衔接DE，那么sin∠ADE的值为〔〕A．B．C．D．10．如下图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，衔接AE．假定AB=1，AD=，那么AE=〔〕A．B．C．D．211．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向行进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，那么这个电视塔的高度AB〔单位：米〕为〔〕A．50B．51 C．50+1D．101二．填空题〔共6小题〕12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，那么∠ABC的大小为度．13．等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tan∠ABH=，那么CH 的长为．14．平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为〔5，12〕，那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan ∠BA n C=〔用含n的代数式表示〕．16．△ABC中，满足+=，AB=10．那么AC+BC=17．在△ABC中，AB=AC，假定BD⊥直线AC于点D，假定cos∠BAD=，BD=2，那么BC为．三．解答题〔共8小题〕18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=〔1〕求AD和AB的长；〔2〕求sin∠BAD的值．19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD 是锐角．〔1〕假定BD=BC，证明：sin∠BCD=．〔2〕假定AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．〔3〕假定BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．〔注：此题可依据需求自己画图并解答〕20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．〔1〕求AD长；〔2〕求∠ACD的正弦值．21．在数学活动课上，教员带抢先生去测量操场上树立的旗杆的高度，教员为同窗们预备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以经过测量，求出国旗杆高度的方案〔不用计算和说明，画出图形并标志可以测量的长度或许角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标志，可测量的长度选用a，b，c，d标志，测角仪和竹竿可以用线段表示〕．〔1〕你选用的工具为：；〔填序号即可〕〔2〕画出图形．22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤〔横断面为梯形ABCD〕急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石停止加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1〕求加固后坝底添加的宽度AF；〔2〕求完成这项工程需求土石多少立方米？〔结果保管根号〕23．每年的6至8月份是台风多发时节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB〔假定树干AB垂直于空中〕被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰恰接触到空中D〔如下图〕，量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断局部和空中所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？〔结果准确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4〕24．小明与班级数学兴味小组的同窗在学校操场上测得旗杆BC在空中上的影长AB为12米，同一时辰，测得小明在空中的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．〔1〕求旗杆BC的高度；〔2〕兴味小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处〔A，D，B三点在一条直线上〕，测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．25．甲、乙两条轮船同时从港口A动身，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向飞行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正西方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船集合，于是甲船改动了行进的速度，沿着西南方向飞行，结果在小岛C处与乙船相遇．假定乙船的速度和航向坚持不变，求：〔1〕港口A与小岛C之间的距离；〔2〕甲轮船后来的速度．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．A．4．B．5．C．6．C．7．D．8．B．9．B．10．C．11．C．二．填空题〔共6小题〕12．30或150．13．3或14．15．；．16．14．17．2或2．三．解答题18．解：〔1〕∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由tanB==，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；〔2〕过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴DE=，∴sin∠BAD===．19．解：〔1〕如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延伸线于点E，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴四边形ABCD四点共圆，∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，∵∠BED=∠ABC=90°，∴△BED∽△ABC，∴==sin∠EAB=sin∠BCD；〔2〕如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延伸线于F．∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，∴△DAB≌△CBF，∴BD=BF，AD=CF，∵∠DBF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=DF，∵AD+CD=6，∴CF+CD=DF=6，∴BD=3，AC==4，〔3〕当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延伸DA交MN于点M，那么四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，在Rt△BDM中，BD==10x，∵BD=DC，∴10x=6x+8y，∴x=2y，在Rt△ABM中，AB==6y，∴sin∠BCD=sin∠MAB===．20．解：〔1〕∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴BC=BD=5，∵sinA=，∴AB=12，∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；〔2〕过A作AE⊥CE交CD延伸线于点E，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=，那么sin∠ACD=．21．解：〔1〕选用的工具为：①③；故答案为：①③；〔2〕如下图：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．22．解：〔1〕区分过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10〔米〕．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10〔米〕．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7〔米〕；×坝长〔2〕加宽局部的体积V=S梯形AFED=×〔3+10﹣7〕×10×500=25000﹣10000〔立方米〕．答：〔1〕加固后坝底添加的宽度AF为〔10﹣7〕米；〔2〕完成这项工程需求土石〔25000﹣10000〕立方米．23．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．24．解：〔1〕依题意有：=，即=，解得BC=8．故旗杆BC的高度是8米；〔2〕如图，在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，解得EF=8，那么BD=8．故此时小明与旗杆之间的距离是8米．25．解：〔1〕作BD⊥AC于点D，如下图：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为〔15+15〕海里．〔2〕∵AC=15+15〔海里〕，轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5〔海里/小时〕．。

华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习能力达标测试卷（附答案详解）1．已知⊙O 的直径CD 为2，弧AC 的度数为80°，点B 是弧AC 的中点，点P 在直径CD 上移动，则BP+AP 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．32．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为n ，滑梯的倾斜角为α，那么滑梯长m 为（ ）A ．sin n αB ．n tan αC ．cos n αD ．n•sinα3．如图，正方形ABCD 中，以BC 为边向正方形内部作等边△BCE ．连接AE ．DE ，连接BD 交CE 于F ，下列结论：①∠AED ＝150°②△DEF ～△BAE ；③tan ∠ECD ＝DF FB④△BEC 的面积：△BFC 的面积（3+1）：2，其中正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．14．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60°.问摩天轮的高度AB 约是( )(结果精确到1 米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A ．120米B ．117米C ．118米D ．119米5．若sin 0.5α=，则锐角α等于（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA ＝底边：腰．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝4∠B ．则cos B •sadA ＝（ ）A ．1B ．32C ．32D ．34 7．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点.将ABG ∆沿AG 对折至AFG ∆，延长GF 交DC 于点E ，连接AE 、CF ，则下列结论正确的有（ ）个.（1）2DE = （2）45EAG ∠=︒（3）EAG ∆的面积是18 （4）5cos 5FCG ∠=A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，某数学兴趣小组为了测量树AB 的高度，他们在与树的底端B 同一水平线上的C 处，测得树顶处的仰角为α，且B 、C 之间的水平距离为a 米，则树高AB 为()A ．tan a α⋅米B ．tan a α 米C ．sin a α⋅ 米D ．cos a α⋅米 9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )A ．23B ．23+C 3D ．3210．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（ ）A 3B 3+1C 3+2D ．011．已知∠A 是锐角，且cos A ＝513，则tan A ＝_____． 12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 、F 分别在线段AD 、AB 上，将△AEF 沿EF 翻折，使得点A 落在矩形ABCD 内部的P 点，连接PD ，当△PDE 是等边三角形时，BF 的长为_____．13．如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB 、CD ，小明在自己所住楼AB 的底部A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB 顶部B 处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB 的高度是____米．14．计算：16tan 452⨯-︒=_____． 15．在四边形ABCD 中，AD AB BC ==，连接AC ，且AC CD >，30ACD ∠=︒，23tan 3BAC ∠=，3CD =，则AC =__________. 16．如果α是锐角，且0cot tan 35α=，那么α=_______________度.17．如图所示，已知点A 坐标为(5，0)，直线y ＝x ＋b （b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α＝75°，则b 的值为________．18．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3sin 4B =，点G 是ABC ∆的重心，连接CG 并延长交AB 于点M ，则CG =__________．19．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C．若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为_____．20．已知，△ABC中，AB＝5，BC＝4，S△ABC＝8，则tanC＝______.21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，过E作EM∥AC交AB于点M，连结MD．（1）当∠ADC=80°时，求∠CBE的度数.（2）当∠ADC=α时:①求证：BE=CE.②求证：∠ADM=∠CDM.③当α为多少度时，DM=3EM.22．如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C 与树梢D的仰角∠CAB和∠DAE分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°．若房屋的高BC＝62米，求树高DE的长度．23．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB＝4 m，斜面距离BC＝4.25 m，斜坡总长DE＝85 m.(1)求坡角∠D的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用厚度为17 cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？(参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95)24．如图，直线AB 经过A(3，0)和B(0，1)，点C 在反比例函数y ＝k x的图象上，且AC ＝BC ＝AB ．(1)求直线AB 和反比例函数的解析式； (2)点D 坐标为(23，0)过点D 作PD ⊥x 轴，当△PAD 与△OAB 相似时，P 点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P 点坐标；如果不在，请说明理由．25．如图是广场健身的三联漫步机，当然踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，漫步机踏板静止时，其侧面示意图可以抽象为如图，其中，AB =AC =120cm ，BC =80cm ，AE =90cm .（1）求点A 到地面BC 的高度；（2）如图，当踏板从点E 旋转到E '处时，测得37E AE ∠='︒，求此时点E '离地面BC 的高度（结果精确到1cm ）.（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，2 1.41≈）26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.（1）求m 的值和点D 的坐标.（2）求tan BAO ∠的值.（3）根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？27．如图，在四边形ABCD 中，090D ∠=，AC 平分DAB ∠，且点C 在以AB 为直径的O 上．（1）求证：CD 是O 的切线； （2）点E 是O 上一点，连接BE ，CE ．若042BCE ∠=，9cos DAC 10∠=，AC m =，写出求线段CE 长的思路．28．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝100°，∠ADC ＝130°，BD ≠BC ，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知格点△ABC ，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP：y （x≥0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB．若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S△AOB＝C的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，然后根据对称的性质和圆周角定理求得∠B′EA＝60°，再在RT△B′EA中利用三角函数求解即可.【详解】如图所示：作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，∵点B与点B′关于CD对称，∴PB＝PB′，弧BC＝弧B′C ，∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是弧AC的中点，弧AC=80°，∴弧A B′＝80°+12×80°=120°．∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE•sin60°＝2×323∴PB+PA有最小值，最小值为3.故本题答案为：D.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、最短路径的问题、利用三角函数解直角三角形、圆周角定理等知识点，根据轴对称的性质找出点P是解题的关键.2．A【解析】【分析】在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出m 即可．【详解】根据图形得：sinα＝n m ， 则m ＝sin n， 故选A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．3．A【解析】【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可；②由①可得到∠ADE 的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE ，即可判定； ③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DF BF，再与tan ∠ECD=tan30°作比较即可； ④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可.【详解】∵△BEC 为等边三角形∴∠EBC ＝∠BCE ＝∠ECB ＝60°，AB ＝EB ＝EC ＝BC ＝DC∵四边形ABCD 为正方形∴∠ABE ＝∠ECD ＝90°﹣60°＝30°∴在△ABE 和△DCE 中，AB ＝DC∠ABE ＝∠ECDBE ＝EC∴△ABE ≌△DCE （SAS ）∴∠AEB ＝∠DEC ＝180-302＝75° ∴∠AED ＝360°﹣60°﹣75°×2＝150° 故①正确由①知AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ＝15°∴∠EDF ＝45°﹣15°＝30°∴∠EDF ＝∠ABE由①知∠AEB ＝∠DEC ， ∴△DEF ～△BAE故②正确过点F 作FM ⊥DC 交于M ，如图设DM ＝x ，则FM ＝x ，DF ＝2x∵∠FCD ＝30° ∴MC 3则在Rt △DBC 中，BD ()23+1x ∴BF ＝BD ﹣DF ()23+1-2x x则()23323+11DF x BF x ==- ∵tan ∠ECD ＝tan30°3∴tan ∠ECD ＝DF BF 故③正确如图过点E 作EH ⊥BC 交于H ，过F 作FG ⊥BC 交于G ，得由③知MC，MC ＝FG∴FG∵BC ＝DC＝)x ∴BH＝2x ∵∠EBC ＝60°∴EH 3+13x∴13+133+12122BECBFC EH BC x SEH S FG FG BC ==== 故④正确故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．4．C【解析】【分析】在Rt △ABC 和Rt △ABD 中分别用AB 表示出BC 和BD ，利用BC 与BD 的差等于BD 的长，得到有关AB 的式子，把AB 求出来即可．【详解】 解：在Rt △ABC 中，由∠C=45°，得AB=BC ，在Rt △ABD 中，∵tan ∠ADB=tan60°=AB BD， ∴BD=60AB AB tan ==︒， 又∵CD=50m ，∴BC-BD=50，即AB-3AB=50，解得：AB≈118．即摩天轮的高度AB约是118米．故选C．【点睛】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．5．B【解析】【分析】根据sinα的值即可得出锐角α的度数．【详解】解：∵sinα=0.5=12，∠α为锐角，∴∠α=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．6．B【解析】【分析】根据题意可以求得∠B的度数，然后根据锐角三角函数可以表示出AB和BC的值，从而可以求得sadA和cosA的值，进而求得cosB•sadA的值．【详解】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C ＝180°，∴6∠B ＝180°，解得，∠B ＝30°，作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝a ，则AB ＝2a ，BD ，∵BC ＝2BD ，∴BC ＝a ，∴sadA ＝BC AB ==cosB ＝BD AB ==∴cosB•sadA ＝322=， 故选：B ．【点睛】本题考查新定义、解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找到sadA 的计算，利用数形结合的思想解答．7．B【解析】【分析】①正确，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ；在直角△ECG 中，根据勾股定理即可求出DE 的长；②正确，根据翻折变换的性质和全等得出∠BAG=∠FAG ，∠DAE=∠FAE ，即可求出∠EAG=45°； ③错误，根据EAG 1S =EG AF 2⋅ 即可求得结果； ④正确，作FM ∥EC 交BC 于M ，根据相似三角形的判定和性质 可得FM GF GM ==EC GE GC ，求出FM 和GM ，根据勾股定理求得FC ，即可解决问题．【详解】解：①如图，连接AE ，∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵AE=AE AF=AD⎧⎨⎩，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6-x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6-x）2+9=（x+3）2，解得x=2．故①正确；②∵△ABG沿AG折叠得到△AFG，∴△ABG≌△AFG．∴∠BAG=∠FAG．∵△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠FAE．∵∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12×90°=45°．故②正确；③∵△ABG沿AG折叠得到△AFG，∴△ABG≌△AFG．∴AF=AB=6，∠AFG=∠B=90°，GF=BG=3，∵ DE=FE=2，∴ EG= GF+ FE=5,∴EAG1S=EG AF2⋅=156=152⨯⨯，故③错误；（4）作FM∥EC交BC于M，则∠FMC=∠DCM=90°，∵FM∥EC∴△GMF∽△GCE，∴FM GF GM==EC GE GC，∵G是BC的中点，BC=AB=6，∴GC=3，∵GF=3，GE=GF+EF=5，EC=CD-DE=4，∴FM=125，GM=95，∴MC=65，22FM MC+=55，∴655cos65MCFCGCF∠===，故④正确.故选B．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握翻折变换的性质，找出其中对应相等的线段和对应相等的角．8．A【解析】【分析】根据题意可得，tan =AB BC α,这也是最方便的解法. 【详解】 根据题意可得，tan =AB BCα,所以AB=BC∙tan α=tan a α⋅ 故选A【点睛】 考核知识点：解直角三角形的实际运用.9．A【解析】【分析】设BC=x ，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，可得，AB=2x ，，由AD AB ==2x ，可得，由AD AB =，可知，∠D=∠ABD=12∠BAC=15°，在Rt BDC ∆ 中，根据锐角正切三角函数的定义，即可求解.【详解】∵AD AB =，∴∠D=∠ABD ，∵∠BAC=∠D+∠ABD ，∴∠D=12∠BAC=15°， 设BC=x ，∵在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴AB=2x ，=，∴=(2x +，在Rt BDC ∆中，tan 2BC D DC ∠===- ，∴°tan15=2，故选A.【点睛】本题主要考查锐角正切三角函数的定义，根据图形，设BC=x ，用含x 的代数式表示相关线段的长，是解题的关键.10．C【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值化简第一个括号并用去括号法则去掉括号，后面的乘法运算利用积的乘方运算法则的逆运算变形，根据﹣1的偶次幂为1求出结果，合并后即可求出值．【详解】（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006＝（）+（﹣0.125×8）2006（﹣1）2006．故选C．【点睛】考查了实数的运算，要求学生牢记特殊角的三角函数值以及积的乘法法则：（ab）n＝a n•b n，灵活运用此法则的逆运算是解本题的关键．同时要求学生掌握﹣1的偶次幂为1，﹣1的奇次幂为﹣1．11．12 5【解析】【分析】根据cos A＝513，可设AC=5x，AB=13x，由勾股定理求出BC的长，然后根据正切函数的定义求解即可. 【详解】如图，∵cos A＝5 13，∴可设AC=5x，AB=13x，∴BC =()()2213512x x x -=，∴tan A ＝121255BC x AC x ==. 故答案为：125.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt △ABC 中， sin A A ∠=的对边斜边， cos A A ∠=的邻边斜边， tan A A A ∠=∠的对边的邻边. 12．3【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到PE=DE ，∠DEP=60°，由折叠的性质得到AE=PE ，∠AEF=∠PEF=12（180°-60°）=60°，根据矩形的性质得到∠A=90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】∵△PDE 是等边三角形，∴PE ＝DE ，∠DEP ＝60°，∵△AEF 沿EF 翻折，使得点A 落在矩形ABCD 内部的P 点，∴AE ＝PE ，∠AEF ＝∠PEF ＝12（180°﹣60°）＝60°， ∴DE ＝AE ，∵AD ＝4，∴AE ＝2，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴AF＝3AE＝23，∵AB＝8，∴BF＝AB﹣AF＝8﹣23，故答案为8﹣23．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关13．27．【解析】【分析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE即可求解．【详解】解：作PE⊥AB于点E，∵PE⊥AB，AB⊥AC，∴PE//AC，∴∠APE=∠α，∴在直角△AEP中，AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米），∵AP=BP，∴AB=2AE=27（米）．故答案是：27【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键.1431【解析】【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．【详解】116tan45613122⨯-︒=⨯-=-，故答案为31-.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．15．63【解析】【分析】过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x，先求得AE（用含x的式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH=12x，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出AB2，然后根据AB=AD，列方程求解即可．【详解】解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，∴12DEDC=，3CEDC=∴DE=32，CE332，则AE=332x在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD 2=AE 2+DE 2=(x -2+94， ∵AB =BC ，BH ⊥AC ， ∴AH =12AC =12x ，∵tan ∠BAC =BH AH ，∴BH ， 在Rt △ABH 中，由勾股定理得：AB 2=BH 2+AH 2，∴AB 2＝(12x )2+(3x )2＝712x 2． ∵AB =AD ，∴(x 2+94=712x 2，解得：x 1=x 2（舍去）．∴AC = 【点睛】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用,解决本题的关键是要熟练利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性． 16．55 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系()cot tan 90α=-α 直接解答． 【详解】解：∵α是锐角时有()cot tan 90α=-α， ∴α=55°. 【点睛】本题考查了对同角的三角函数的关系()cot tan 90α=-α的理解．17【分析】先求出直线y＝x＋b求出与x轴的夹角（∠1）的度数，再利用外角的性质求出∠BAO的度数，利用锐角三角函数求出OB即可求出B点坐标，代入一次函数关系式即可.【详解】解：∵直线y＝x＋b中k=1∴∠1=45°又∵∠α是三角形的外角∴∠BAO=∠α－∠1=30°在Rt△AOB中OB=OA·tan∠BAO=53=3∴B点坐标为（0）将B点坐标代入y＝x＋b解得【点睛】此题考查的是锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式和三角形外角的性质.18．4 3【解析】【分析】根据正弦的定义求出AB，根据直角三角形的性质求出CM，根据重心的性质即可求解．解：在Rt△ACB中，sinB=ACAB=34，AC=3，∴AB=4，∵点G是△ABC的重心，∴点M是AB的中点，在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM=12AB=2，∵点M是AB的中点，∴CG=23CM=43．故答案为：43．【点睛】本题考查三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．19．2【解析】【分析】先证明△ABC∽△EDC，然后利用相似比计算CE的长．【详解】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴CE＝2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活应用相似三角形相似的性质进行几何计算．也考查了解直20．4或47【解析】 【分析】先由BC ＝4，S △ABC ＝8，根据三角形的面积公式求出AD ＝4，利用勾股定理求出BD 的长，再分高AD 在△ABC 内部与高AD 在△ABC 外部两种情况，分别求出CD 的长，然后根据三角函数的定义求出tan C 的值． 【详解】解：设AD 是BC 边上的高，如图． ∵BC ＝4，S △ABC ＝8， ∴1482AD ⨯=， ∴AD ＝4， ∴2222543BD AB AD =-=-=．若高AD 在△ABC 内部，如图1， ∵CD ＝BC －BD ＝1， ∴441AD tanC CD ===；若高AD 在△ABC 外部，如图2， ∵CD ＝BC ＋BD ＝7，∴47AD tanC CD ==． 故答案为4或47．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义，解题关键是进行分类讨论．21．(1)40°；（2）①见解析，②见解析，③60° 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ACD 的度数，根据∠ACB=90°可求出∠BCE 的度数，根据AD//BE 可得∠BED=∠ADC=80°，根据三角形外角性质即可求出∠CBE 的度数；（2）①由等腰三角形的性质可得∠ACD=90°-12α，根据∠ACB=90°可得∠BCE=12α，根据平行线性质可得∠BED=∠ADC=α，利用外角性质可求出∠CBE=12α，即可证明∠BCE=∠CBE ，进而可证明BE=CE ；②延长EM 交AD 于F ，由EM ∥AC 可得DFM DAC DCA DEM ∠∠∠∠===，进而可得DF=DE ，AF=EC=BE ，根据AAS 可证明△AFM ≅△BEM ，可得FM=EM.，根据等腰三角形三线合一即可证明∠ADM=∠CDM ；③由②可得DM ⊥EM ，由DMEM=tan ∠DEM=60°，即可求出∠EDM=30°，进而可得α=∠ADC=2∠EDM=60°. 【详解】（1）∵AD=CD ，∠ADC=80°， ∴∠ACD=12（180°-80°）=50°，∵∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°-50°=40°， ∵AD//BE ，∴∠BED=∠ADC=80°，∴∠CBE=∠BED-∠BCE=80°-40°=40°. （2）①//BE AD ，ADC ∠α=，∴BED ADC ∠∠α== ∵AD=CD ，∴∠ACD=12（180°-α）=90°-α， ∵∠ACB=90°，∴∠BCE=90°-∠ACD=12 α， ∴∠CBE=∠BED-∠BCE=12α，∴∠CBE=∠BCE ， ∴BE=CE.②延长EM 交AD 于F ∵//EM AC ，∴DFM DAC DCA DEM ∠∠∠∠===， ∴DF DE =， ∴AF=EC=BE ∵BE//AD ，∴∠FAM=∠EBM ，∠AFM=∠BEM ， ∴△AFM ≅△BEM ∴FM=EM.∴根据三线合一性可得∠ADM=∠CDM③∵DF=DE ，FM=EM ， ∴DM ⊥EM ， ∵3∴tan ∠DEM=DMEM3 ∴∠DEM=60°， ∴∠EDM=30°，∴α=∠ADC=2∠EDM=60°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判断与性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.22．树DE的高为.【解析】【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝∴AC＝BCsin CAB∠＝12（m）；在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AD＝121cos2ACCAD=∠＝24（m）；在Rt△DEA中，∠EAD＝60°，DE＝AD•sin60°＝答：树DE的高为米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．23．（1）∠D≈20°；（2）170．【解析】试题分析：（1）可在Rt△ABC中，根据BC、AB的长，求出∠ABC的余弦值，进而求出∠ABC的度数，也就得出了∠D的度数．（2）本题只需求出EF的长即可．在Rt△DEF中，根据DE的长和∠D的度数求得．试题解析：（1）∵AB∥DF，∴∠D=∠ABC，∴cos∠D=cos∠ABC=ABBC=44.25≈0.94，∴∠D≈20°；（2）∵sinD=EF DE，∴EF=DEsin∠D=85sin20°≈85×0.34=28.9(米)，共需台阶28.9×100÷17=170级。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、由一些大小相等的小正方体组成的几何体的主视图与左视图相同如图所示，设组成这个几何体的小正方体个数最少为m，最多为n，若以m，n的值分别为某个等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为( )A.11或13B.13或14C.13D.12或13或14或152、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.3、如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE=10，则DF等于（）A.5B.4C.3D.24、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A. B. C. D.5、把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个7、等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（）A. 或B. 或C.D.8、如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则次斜坡的水平距离AC为（）A.75mB.50mC.30mD.12m9、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A.4B.C.6D.10、如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.5cosaB.C.5sinaD.11、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠C＝（）A. B. C. D.12、用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（）A. B.C.D.13、如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）A.5mB.6mC.7mD.8m14、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是( )A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cosA=15、如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（）A.5米B.6米C.6.5米D.12米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD：AB________．17、将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB=6cm ，则阴影部分的面积是________ ．18、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA ，PD⊥OA ，若PC=6，则PD等于________.19、荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为________米（≈1.73，结果精确到0.1）．20、边长为8,一个内角为120°的菱形的面积为________ ．21、一个三边都是整数的三角形，其中两边长分别为1和2，第三边长是________22、如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．23、已知sinA=0.2675，则∠A=________24、如图，小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置侧倾器，测得旗杆顶端C的仰角为30°，侧倾器到旗杆底部的距离AD为12米，侧倾器的高度AB 为1.6米，那么旗杆的高度CD为________ 米（保留根号）25、在△ABC中，AC=6 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣﹣（）﹣1+4cos30°27、如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB 的长度．28、某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=12米，求旗杆AB的高度．29、位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）30、如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°（1）求∠CEF的度数；（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、A4、D6、B7、A8、A9、B10、B11、D12、A13、D14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、。