【最新】北师大版八年级数学下册《直角三角形1》导学案

直角三角形【教学目标】1．掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2．巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3．通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促学生的思维向多层次多方位发散。

培养学生的创新精神和创造能力。

4．从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。

从而培养学生发现问题和解决问题能力。

【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索。

【教学过程】一、引入：如果你是设计师：（提出问题）2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。

而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。

如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？二、新授：提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）应用定理：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB．AC的中点。

求证：DE=DFFEDC BAE D C B A 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。

练习变式：1． 已知：在△ABC 中，BD ．CE 分别是边AC ．AB 上的高，F 是BC 的中点。

求证：FD=FE 练习引申：（1）若连接DE ，能得出什么结论？（2）若O 是DE 的中点，则MO 与DE 存在什么结论吗？上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。

如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？2．已知：∠ABC=∠ADC=90º，E 是AC 中点。

一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

二、等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。

二、1、定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半3、课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°3．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，求证：BE=CF．5．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．6．（2015•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．7．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM ．8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，判断BE 与CD 的大小关系为：BE_____CD ．（不需说明理由）（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且顶角∠BAD ＝∠CAE ，连接BE 、CD ，BE 与CD 有什么数量关系？请说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离．已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长．9．如图，在ABC △中，AC =AB ，120=B AC ∠°，B E =A E ，D 为EC 中点．C D E B A（1）求CAE ∠的度数；（2）求证：A DE △是等边三角形【习题】1．（1）如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．求证：AD=BE ．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．2．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．3．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．4（2014秋•衡阳县校级月考）已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．5．（2013秋•滨湖区校级期中）把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由．6．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：；求证：△AED是等腰三角形．7．（2012秋•文登市校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．8．（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD 延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．9．（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．10．（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．11．（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．考点二：直角三角形【例题】1．（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．2．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．3．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．4．（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为．5．（2015春•白城校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC的面积．6．（2015秋•岳池县期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．【习题】1．（2010•大连校级自主招生）在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．2．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．3．（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．4．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．5．（2015秋•周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．6．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．7．（2015秋•威海期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，求BE的长．8．（2013秋•龙口市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，求DC 的长．9．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．10．（2015秋•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点（1）求证：MN⊥AC；（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．11．（2015秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．12．（2015秋•绍兴校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．13．（2014秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．14．（2014秋•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．11。

1.2.1 直角三角形的性质与判定教说课稿一、教学目标1.知识与技能：掌握直角三角形的性质与判定方法。

2.过程与方法：通过引导学生观察、归纳和推理，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强数学的实际应用能力。

二、教学重点和难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。

2.教学难点：引导学生运用所学知识进行问题解决。

三、教学准备1.教学工具：黑板、彩色粉笔、三角板、直尺等。

2.教学材料：教材《数学》（北师大版）八年级下册。

四、教学过程4.1 导入新课（板书）直角三角形的定义：一个三角形中，含有一个直角（90°）的三角形叫做直角三角形。

老师：同学们，我们今天将要学习的是直角三角形的性质与判定方法。

首先，请同学们简单回顾一下，什么是直角三角形？请举个例子。

4.2 引入新知识（板书）直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边相互垂直；直角三角形的斜边最长。

老师：很好，直角三角形的定义大家都回忆了一下。

现在，我们来看一下直角三角形的性质。

请注意我的板书，直角三角形的性质有哪两个？学生：直角三角形的两条直角边相互垂直，斜边最长。

老师：非常棒！直角三角形的两条直角边相互垂直，斜边最长。

下面我们来看一些直角三角形的例子。

（教师展示直角三角形的图片，并引导学生观察）老师：同学们，请观察这些直角三角形的特点，它们的两条直角边是不是相互垂直？它们的斜边是不是最长的？学生：是的，两条直角边相互垂直，斜边最长。

老师：很好！我们通过观察可以发现，直角三角形的两条直角边相互垂直，斜边最长。

这是直角三角形的性质之一。

接下来，我们学习一下直角三角形的判定方法。

请看我的板书。

（板书）直角三角形的判定方法：方法一：三边关系法。

如果一个三角形的两条边的平方之和等于斜边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

方法二：两边关系法。

如果一个三角形的两条边长已知，且两条边相互垂直，那么这个三角形就是直角三角形。

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿一. 教材分析《直角三角形》是北师大版数学八年级下册第1章第2节的内容。

本节课主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的定义、直角三角形的边角关系、直角三角形的应用等。

通过学习本节课，学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。

但是，学生可能对直角三角形的性质和应用还不够了解。

因此，在教学过程中，教师需要通过引导学生观察、思考、讨论等方式，帮助学生理解和掌握直角三角形的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生能够通过观察、思考、讨论等方式，培养自己的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学科的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质及其应用。

2.教学难点：直角三角形的边角关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和性质，引出直角三角形的定义。

2.探究直角三角形的性质：引导学生观察、思考直角三角形的性质，并通过几何画板软件进行演示。

3.小组讨论：学生分组讨论直角三角形的应用，分享自己的解题心得。

4.总结直角三角形的性质：引导学生总结直角三角形的性质，并进行解释。

5.练习与拓展：布置一些有关直角三角形的练习题，帮助学生巩固所学知识，并拓展学生的思维。

七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：有一个角是直角的三角形a.两个锐角的和为90度b.直角对边最长c.直角三角形的一条直角边等于另一条直角边的平方根乘以斜边d.计算直角三角形的边长e.证明几何命题八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和课后作业的完成情况进行评估。

北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教学设计1一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是北师大版数学八年级下册第16章第2节的内容。

本节课主要让学生掌握直角三角形全等的判定方法，即HL（Hypotenuse-Leg）判定法。

学生通过观察、操作、交流等活动，体会数学的转化思想，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了全等图形的概念，掌握了全等图形的性质和判定方法。

但直角三角形全等的判定方法与一般图形的全等判定有所不同，需要学生能够灵活运用已有知识，解决新的问题。

三. 教学目标1.理解直角三角形全等的判定方法（HL）；2.能够运用HL判定法证明直角三角形全等；3.提高学生解决问题的能力，培养学生的空间观念。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法（HL）；2.教学难点：如何运用HL判定法证明直角三角形全等。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形全等的判定方法；2.运用小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解；3.借助几何画板等软件，直观展示直角三角形全等的过程。

六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例；2.准备几何画板软件，用于展示直角三角形全等的过程；3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的直角三角形实例，如三角板、房屋结构等，引导学生关注直角三角形。

提问：你们知道直角三角形全等的判定方法吗？2. 呈现（10分钟）教师简要回顾全等图形的概念，然后引入直角三角形全等的判定方法（HL）。

通过几何画板软件展示两个直角三角形，让学生观察并判断它们是否全等。

在学生观察的基础上，教师引导学生总结出HL判定法。

3. 操练（10分钟）教师给出几个运用HL判定法的例题，让学生独立完成。

学生在解题过程中，教师巡回指导，帮助学生克服困难。

4. 巩固（10分钟）教师设计一些变式题目，让学生运用HL判定法进行判断。

八年级数学下导学案
第6课时
年级八班级学科数学课题 1.6直角三角形（2）
总 6
第1周
编制人审核人使用时间
使用者
星期5
【学习目标】
1、记住“斜边、直角边”或“HL”定理（重点）。

2、会运用“HL”定理解决与直角三角形有关的问题（难点）。

【学习过程】
一、知识回顾引入新课
1、判断三角形全等的方法有几种？
公理：推论：
2、为什么两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形（SSA不一定全等。

如
图：）
由图⑴和图⑵可知，这两个三角形全等吗？
由图⑴和图⑶可知，这两个三角形全等吗？；因此，两边及其中一边的对角对
应相等的两个三角形不一定全等。

二、自主学习
问题1：（做一做）已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。

作直角三角形：（用直尺和圆规完成）
与教材第19页小明作的直角三角形进行比较，你们俩个作直角三角形的是全等的吗？
得出定理：
三、合作探究
证明这个定理。

已知：
求证：
证明：
四、自我挑战
例如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
【当堂检测】
点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF，求证：BF=CE.
【课堂小结】
1、直角三角形全等的判定定理及运用。

2、如何作一个直角三角形？
【作业设计】课本第21页知识技能第1、2题。

【教学反思】。