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第2课时平行四边形的判定(2)
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)
2．掌握中位线的定义及中位线定理；(重点)
3．平行四边形性质与判定的综合运用．(难点)
一、情境导入
如图所示，吴伯伯家一块等边三角形ABC的空地，已知点E，F分别是边AB，AC 的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？
二、合作探究
探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【类型一】判定四边形是平行四边形
如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF ∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF ＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路．
【类型二】判定平行四边形的条件
四边形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；
②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种B．4种C．5种D．6种
解析：①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选B.
方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
探究点二：三角形的中位线
【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC 中，D 、E 分别为
AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于
点F .若DF ＝3，则AC 的长为( )
A.3
2 B ．
3 C ．6 D ．9
解析：∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.又∵AF 平分∠CAB ，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝6.故选C.
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
【类型二】 利用三角形中位线定理求角
如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中
点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110°
解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是△EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD .∵∠1＝110°，∠E ＝30°，∴∠2＝∠ECD ＝80°.故选A.
方法总结：中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．
【类型三】 运用三角形的中位线性质进
行计算
如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝
3，点N 为BC 的中点，AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，垂足为点M ，延长CM 交AB 于点D ，求MN 的长．
解析：首先证明△AMD ≌△AMC ，得到
DM ＝MC ，易得MN 为△BCD 的中位线，即
可解决问题．
解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴∠
DAM ＝∠CAM ，∠AMD ＝∠AMC .在△AMD
与△AMC 中，⎩⎨⎧∠DAM ＝∠CAM ，
AM ＝AM ，
∠AMD ＝∠AMC ，
∴△AMD ≌△AMC (ASA)，∴AD ＝AC ＝3，DM ＝CM .又∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD 的中位线，∴
MN ＝12BD ＝1
2
×(5－3)＝1.
方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．
【类型四】 中位线定理的综合应用
如图，E 为▱ABCD 中DC 边的延
长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交
BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，
连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解析：本题可先证明△ABF ≌△ECF ，从而得出BF ＝CF ，这样就得出了OF 是△ABC 的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系．
解：AB ∥OF ，AB ＝2OF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，
AB ∥CD ，OA ＝OC ，∴∠BAF ＝∠CEF ，∠ABF ＝∠ECF .∵CE ＝DC ，∴AB ＝CE .在△
ABF 和△ECF
中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠CEF ，
AB ＝CE ，∠ABF ＝∠ECF ，
∴△
ABF ≌△ECF (ASA)，∴BF ＝CF .∵OA ＝OC ，
∴OF 是△ABC 的中位线，∴AB ∥OF ，AB ＝2OF .
方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF 是△ABC 的中位线．
三、板书设计
1．平行四边形的判定定理(2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，且等于
第三边的一半．
本节课，通过实际生活中的例子引出三角
形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环．。
