2009第6届中国东南数学奥林匹克试题及答案

目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。

2009届小学数学奥林匹克竞赛预赛试题及答案2009届小学数学奥林匹克竞赛预赛试题及答案时间：2012-12-06 11:18 来源：世奥赛资讯站作者：世奥赛小编阅读：175次2009年小学数学奥林匹克预赛试卷及参考答案(本卷共12个题，每题10分，总分120分)1、23×( ＋)＋13×( －)－15×( ＋)=( )解：原式=69/11+11+13×15/23-39/11-30/11-15×13/23=112、(1－)(1－)…(1－)=( )解：原式=1/2×2/3×3/4×4/5×……×2007/2008×2008/2009=1/20093、两个整数相除，商数=4，余数=7。

已知被除数比除数大58，那么除数是( )。

解：设除数为x。

则x+58=4x+7 x=174、四位数- =5904，如果是偶数，那么=( 8892 )。

解：8892-2988=59045、右图中的三角形都是等腰直角三角形。

图中阴影部分的面积=( )。

解：5×5÷2÷2-2×2÷2=4.256、下面是一个乘法算式，它的得数是(69104 )。

１２□□×５□□□０４□□７０□□□□□解：1234×56=69014７、一个泉水池，每分钟涌出的泉水量不变。

如果用8台抽水机工作，10小时能把水抽干；如果用12台抽水机工作，6小时能把水抽干。

那么，用14台抽水机把水抽干，需要工作( )小时。

解：设1台抽水机1小时抽的水为1份。

则每小时涌出的泉水量为（8×10-12×6）÷（10-6）=2（份）原有的水量为8×10-10×2=60（份）用14台抽水机把水抽干，需要工作60÷（14-2）=5（小时）。

09年全国初中数学联赛试题及答案第一篇：09年全国初中数学联赛试题及答案09年全国初中数学联赛试题及答案时间：2009-6-3 14:33:52 点击：15833 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则.D.（）.A.24.B.25.C.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数.B..C..D..为（）A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A..B..C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（D）A..B..C..D..16．设是大于1909的正整数，使得A.3.B.4.C.5.D.6.为完全平方数的的个数是（）二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若则是关于的一元二次方程的两个非负实根，的最小值是____________.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC 于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为3．如果实数满足条件，和，则四边形DECF的面积为______.，则______.4．已知_____对.是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有第一试答案： ACCBDB；－3，第二试（A）一．（本题满分20分）已知二次函数别为A、B，与，－1，－7的图象与轴的交点分轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.轴的另一个交点为定点.，求和的值.，设，则，.（1）证明：⊙P与（2）如果AB恰好为⊙P的直径且解:（1）易求得点设⊙P与的坐标为轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在.轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为即.，又，所以，解得.、分别是二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求解作E⊥AB于E，F⊥AB 于F...在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为连接DDA＝∠E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以、D，则D、D＝.DC＝∠D，分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠D＝90°，所以DC＝∠DB＝45°，故∠D⊥.同理，可求得，.所以＝.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：①②证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即所以.因此，以或，或，即或或为三边长可构成一个直角三角形.证法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即③，代入③式，得.，即 4，所以或或或.或.结合①式可得因此，以为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.解因为BN是∠ABC的平分线，所以又因为CH⊥AB，所以，因此.，因此C、F、H、B.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以四点共圆.又，所以FC ＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：①②是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以.因此，以或或，即或或为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即③，代入③式，得.，即所以或或或.或.结合①式可得因此，以下载附件：为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则的值为（）．（A）（B）（C）（D）解：由题设得．2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．（A）a≤（B）a≥4（C）a≤ 或a≥4（D）≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式≥0,解得a≤ 或a≥4．3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．（A）（B）（第3题）（C）（D）解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得（第3题）BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD ＝．4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 由和可得，，，，）．……因为2010=4×502+2，所以 =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B 旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．（第5题）（A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，）（D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，，．令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4 502+2，所以点的坐标为（2010，）．二、填空题6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于．解：0 由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．解：15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，② ．③ 由①②，得，所以，x=30．故（分）．（第8题8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．（第8题）解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO 的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则解得,故所求直线的函数表达式为．（第9题）9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．又Rt△ ∽Rt△，所以，即 = ．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．解：因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：（第12A题）．（第12B题）（第11题）（第12B题）证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则（第11题），所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.…………（20分）12．如图，抛物线（a 0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.（第12题）解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a 0）上，所以解得…………（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.13（第12题）设抛物线（a 0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△ 绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△ 关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）13．求满足的所有素数p和正整数m.．解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.…………（5分）另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）第二篇：95-08全国初中数学联赛试题２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：２００８年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案答案：２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：第三篇：初中数学联赛模拟试题全国初中数学联赛模拟试题(3)（考试时间2小时，满分120分）一、选择题（每小题5分，共30分）1.已知t>0,则的最大值是（）2.的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（）(A)(B)(C)(D)3.在凸四边形ABCD中，AB=CD，AC为对角线，∠DAC>∠BCA，且∠DAC与∠BCA互补，∠BAC>∠ACD，且么∠BAC与∠ACD互余，则∠B等于（）(A)300(B)600(C)450(D)5004.半径为1的圆的外切直角三角形的面积的最小值为（）5.某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（）(A)966(B)975(C)16984(D)170096.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和5，O1O2=10，则两圆的两条内公切线与一条外公切线所围成的三角形面积为（）二、填空题（每小题5分，共30分）7.100人共有1000元人民币，其中任意10个人共有的钱不超过190元．那么，钱最多的人最多能有____元．8.如图，AB为半圆D的直径，AC、AD都是弦，∠CAD=∠DAB.则AC+AB与2AD的大小关系是____．9.非等腰△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点（不含端点）．在△ABC的平面上存在点F，使△DEF与△ABC相似，则满足条件的点F有____个．10.如图，两圆同心，半径为与矩形ABCD的边AB、CD为两圆的弦．当矩形面积取最大值时，它的周长等于____．11.的最小值是．12.已知a为正整数，存在一个以a为首项系数的一元二次整系数的多项式，它有两个小于l的不同的正根．那么，a的最小值是．三、解答题（每小题20分，共60分)13.如图,在大小为4×4正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上．能否在图中画出△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1）且A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上；若能，满足以上条件的相似三角形能找出几种，并说明其理由，14.如图，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC.(1)求OC的长及的值；(2)设直线BC与y轴交于P，当C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式。

2009中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O.过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；（2）若EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠，于是图122EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故EQM MRF Δ≅Δ，所以EM ＝FM ，同理可得EN ＝FN ，所以EM FN EN FM ⋅=⋅．（2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则11,22NS OD EQ OB ==，所以NS OD EQ OB=．①CB又11,22ES OA MQ OC==，所以ES OAMQ OC=．②而AD∥BC，所以OA ODOC OB=，③由①，②，③得NS ES EQ MQ=．因为2NSE NSA ASE AOD AOE∠=∠+∠=∠+∠，()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB∠=∠+∠=∠+∠+°−∠(180)2AOE EOB AOD AOE=∠+°−∠=∠+∠，即NSE EQM∠=∠，所以NSEΔ～EQMΔ，故EN SE OAEM QM OC==（由②）．同理可得，FN OAFM OC=，所以EN FN EM FM=，从而EM FN EN FM⋅=⋅．CB二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．解：若pq |2，不妨设2=p ，则q q 55|22+，故255|+q q ．由Fermat 小定理，55|−q q ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则q q 55|55+，故6255|1+−q q ．当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1−−q q ，故626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．若q p ,都不等于2和5，则有1155|−−+q p pq ，故)(mod 05511p q p ≡+−−．①由Fermat 小定理，得)(mod 151p p ≡−，②故由①，②得)(mod 151p q −≡−．③设)12(21−=−r p k ，)12(21−=−s q l ，其中s r l k ,,,为正整数．若l k ≤，则由②，③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s lkl kl −≡−≡==≡=−−−−−−−−−−，这与2≠p 矛盾！所以l k >．同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ．综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A "是一个正2n +1边形，{}1221,,,+=n A A A P "．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．解先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．事实上，设这个凸m 边形为m P P P "21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设221π<∠P P P m ，则)13(2122−≤≤>∠−=∠m j P P P P P P m m j ππ，更有)13(211−≤≤>∠+−m j P P P j j j π．而321P P P ∠+11P P P m m −∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对．（1）若凸m 边形的其余2−m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1−r 个P 中的点，此时这2−m 个顶点的取法数为21−−m r C ．（2）若凸m 边形的其余2−m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2−m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2−m 个顶点的取法数为2−m r C ．所以，满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==−−+−−−=−=−−=−−−−+−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m rn r m r n r m r nr m rm r C C CCn C C n CCn ))(12(111−−+++=m nm n C C n ．四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21"满足1min 1=−≤<≤j i nj i a a ．求∑=nk k a 13的最小值．解不妨设n a a a <<<"21，则对n k ≤≤1，有k n a a a a k k n k n k 2111−+≥−≥++−+−，所以()∑∑=−+=+=n k kn k nk ka a a13131321()()()∑=−+−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321()∑∑==−+−+≥+≥n k nk k n k k n a a 13131218181．当n 为奇数时，222113313)1(412221−=⋅⋅=−+∑∑−==n i k n n i nk ．当n 为偶数时，32113)12(221∑∑==−=−+n i nk i kn ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=∑∑==21313)2(2ni nj i j )2(4122−=n n ．所以，当n 为奇数时，2213)1(321−≥∑=n a nk k，当n 为偶数时，)2(3212213−≥∑=n n a nk k ，等号均在n i n i a i ,,2,1,21"=+−=时成立．因此，∑=nk k a 13的最小值为22)1(321−n （n 为奇数），或者)2(32122−n n （n 为偶数）．五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解当n 3≥为奇数时，存在合乎要求的染法；当n 4≥为偶数时，不存在所述的染法。

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C_年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C (陶平生供题)学校姓名营员证号一.四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:∠AEB=∠CFD.二.如图,⊙O1.⊙O2.⊙O3分别外切⊙O于A1.B1.C1,并且前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切.求证:三条直线1相交于一点.三.设实数a≥b≥c≥d＞0,求函数的最小值.四.n个白子A与n个黑子B(n≥3),依次不留间隙地排成一行:AA……ABB……B,现作如下操作:每次将相邻的两子取出(并保持此两子的先后次序),放在其它棋子旁的空位上(仍在同一行).证明:经过n次这样的操作,可使它们排成黑白相间的一行,且不留间隙.(附:当n=3时,操作如图所示)初始状态AAABBB第一次操作后ABBBAA第二次操作后ABBABA第三次操作后BABABA_年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C解答 (陶平生供题)学校姓名营员证号一.四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:∠AEB=∠CFD.证明:为叙述方便,将内切球O在面上的切点分别改记为,于是,,设球O的半径为,棱面,设垂足为,则, 因为, 则,故,所以 ,即是说,棱关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似.在中,设,则 1于是,在中,设,因为 ,所以,于是 2在中,,设 ,则 3在中,,则 43+4得,,据此及2得,,所以 5由 1.5得, 故4式化为 (6)由 1.6得,,即 ,也即二.如图,⊙O1.⊙O2.⊙O3分别外切⊙O于A1.B1.C1,并且前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切.求证:三条直线1相交于一点.证明:设及分别是四个圆的圆心,其半径分别为与,的内切圆半径为,显然,为的三条内角平分线,故相交于其内心.设(定值).记,,对于,因为⊙O与的切点在连心线上,点在的延长线上,则直线必与线段相交,其交点设为.同理可设,直线 .只须证重合.直线截于,由梅尼劳斯定理,,即1同理有2 ,以及 3易知 ,所以 ,从而,故,所以,,因此共点,即交于一点.三.设实数a≥b≥c≥d＞0,求函数的最小值.解:显然没有上界,这是由于,当时,,又注意是一个零次齐次函数,且当时,的值为以下证明,对于满足条件的任何正数均有,即要证 (1)据条件,设则 1式化为: (2)活化一个常量,改记1为,且设则皆为的四次多项式,而为的二次多项式. 记为证2式成立,即要证,于是只要证,,,.易知,..以上用到,,,以及..以上用到,..故.因此,函数的最小值是.四.n个白子A与n个黑子B(n≥3),依次不留间隙地排成一行:AA……ABB……B,现作如下操作:每次将相邻的两子取出(并保持此两子的先后次序),放在其它棋子旁的空位上(仍在同一行).证明:经过n次这样的操作,可使它们排成黑白相间的一行,且不留间隙.(附:当n=3时,操作如图所示)初始状态AAABBB第一次操作后ABBBAA第二次操作后ABBABA第三次操作后BABABA证 :当时,对归纳:时, 初始状态为: AAAABBBB第一次操作后: AABBBBAA第二次操作后: ABBABBAA第三次操作后: ABBABABA第四次操作后:BABABABA为表达方便,用数字表示〝将自左向右数的第枚棋子取出,跨过某些棋子向右平移至最先出现的空位上〞这一操作;而数字表示〝将自右向左数的第枚棋子取出,跨过某些棋子向左平移至最先出现的空位上〞这一操作;于是,施于对棋子的操作步骤便可用一个元有序数组来表示.因此,,,,…….我们注意到,在中,都恰有一次操作〝1〞,即当全部操作完成后,棋子已黑白相间排列(以黑子B开头),且整行向右移动了两子的位置.以下证明,当时,个相连的白子和个相连的黑子排成一行,可经次移动两子的操作,使黑白相间(以黑子B开头),且整行向右移动了两子的位置.对归纳:当时,结论已成立,今设结论对于n成立,考虑n+4对棋子的情形,如有对棋子黑白分段排列于一行(白子在前):AAAAA…AB…BBBBB为此,采用〝杠中开花〞的办法,我们设想,先把中间加方框的对(个)棋子收藏于一条〝竖杠〞中,成为四对棋子的一个排列:AA AA┃BBBB现对这四对棋子进行中的前两步操作:第一次操作后: AA│BBBBAA第二次操作后: ABBA┃BBAA经这两次操作后,中间(竖杠右侧)已出现两子空位,然后,对竖杠所代表对加方框的棋子进行次操作,据归纳假设,可使黑白相间(加方框的棋子中,黑子B在前,且其前面有两子空位):ABBA BABA…BABBAA这次操作算作的第次操作.再把加方框的对棋子收藏于一条竖杠中,又成为四对棋子的排列(竖杠左侧有两子空位):ABBA┃BBAA,对图中的四对棋子进行的后两次操作,成为:ABBABA│B ABABA│BABA即得到黑白间隔排列(黑子在前,竖杠左侧的两子空位已被填充,整行无间隙.)现恢复竖杠所代表对加方框的棋子,于是,上述两次操作就成为的第次操作.且这对棋子已黑白相间(黑子在前,整行无间隙,且右移了两子空位).BABABA…BA BABABA据归纳法,知所证结论成立.。