广东省执信中学2013届上学期高三期中数学文试题(附答案)

执信中学2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试试卷【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

【题文】第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.已知集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A.(2,1)- B. (1,1)- C.(1,3) D.(2,3)- 【知识点】交集及其运算.A1【答案】【解析】B 解析：因为集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，所以M N ⋂=(1,1)-，故选B.【思路点拨】利用交集的运算直接计算即可。

【题文】2.131ii+=-（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i -D. 12i --【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】B 解析：因为131i i +=-()()()()1312412112i i ii i i ++-+==-+-+，故选B 。

【思路点拨】在原式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再计算即可。

【题文】3．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2【答案】【解析】A 解析：由0a =可推出()10a a -=，当()10a a -=时，可得0a =或1a =，所以0a =是()10a a -=的充分不必要条件，故选A 。

2010-2011学年度第一学期执信中学高三级文科班数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分。

考试用时120分钟。

第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2010i ＝（ ）A ．2ｉB ．－ｉC ．-1D ．12．在等比数列}{n a 中，32-=a ，64-=a ，则8a 的值为( )A ．– 24B ．24C ．±24D ．–123. 右图是2010年我校校园歌手大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（ ）A ．83B ．84C ．85D ．864. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若θθθ则角,542sin ,532cos -==的终边一定落在直线（ ）上 A ．0247=+y xB ．0247=-y xC ．0724=+y xD ．0724=-y x6．某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．2)(x x f =B ．x x f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=7. 直线AB 过抛物线x y =2的焦点F ，与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．45C ．21D ．2 8．已知函数()b ax x x f --=2的两个零点是2和3,则函数()12--=ax bx x g 的零点是（ ） A ．1- 和2- B ．1 和27984464793第3题图C ．21-和31- D ．21和319．下列四个命题中，真命题的个数为（ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若α∈M ，β∈M ，l =⋂βα，则l M ∈；（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四 个图象中的图象大致是( ）第二部分非选择题(共100分)二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}M x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A.(2,1)- B. (1,1)- C.(1,3) D.(2,3)-2.131ii +=-（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i - D. 12i --3．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．等比数列{}n a 中，44a =,则26a a 等于（ ）A.4B.8C.16D.325. 在△ABC 中，222a b c bc =+-，则A 的值为（ ） A ．30 B ．60 C ．30或150 D ．60或1206．若向量(1,2)BA =，(4,5)CA =则BC =（ ）A.(5,7)B.(3,3)C.(3,3)--D.(5,7)--7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（ ）A.3B.32C.1D.28．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =（ ）A. 2-B. 2C. 4-D. 49．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点. 若△1ABF的周长为C 的方程为（ ） A ． 22132x y += B ． 2213x y +=C ． 221128x y +=D ．221124x y +=10. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A. 2- B. 1- C. 0 D. 1第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11.双曲线C的两个焦点为(0)，0)，一个顶点为(1,0)，则C 的方程为 12.曲线53x y e =-在点(0,2)处的切线方程为13.若实数x ，y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则x y +的最大值为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点(5,)3A π、2(8,)3B π，则||AB =15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径， BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ， 若3OB =，5OC =，则CD =16．（本小题满分12分）设平面向量(cos ,sin )a x x =，31(,)22b =，函数()1f x a b =⋅+ （1）求函数()f x 的值域和函数的单调递增区间； （2）当9()5f α=,且263ππα<<时，求2sin(2)3πα+的值.ODCBA17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤，用n x 表示编号为n（1）求第6位同学的体重6x 及这6位同学体重的标准差s ；（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率．18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1CF B E ⊥； （3）求三棱锥1C B FE V -的体积．19. （本小题满分14分）设数列{}na 前n 项和为n S ，满足2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.••••••20．（本小题满分14分）设抛物线C 的方程为24x y =，()00,M x y 为直线l ：(0)y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ,B .（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ；21. （本小题满分14分）已知1()ln xf x x ax-=+(a 为正实数). （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()f x 在1[,]e e上的最大值与最小值； （3）当1a =时，求证：对于大于1的任意正整数n ，都有111ln 23n n>+++2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试答卷成绩：注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效.2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.18．（本小题满分14分）解：2014-2015学年第一学期高三文科数学期中考试答案1 B2 B 3A 4 C 5B 6C 7C 8B 9A 10.D17. （本小题满分12分） 解：（1）由题意得660+66+62+60+62+656x = ，故 680x = …… 2分6位同学体重的标准差7s == …… 4分所以第6位同学的体重680x =，这6位同学体重的标准差7s =…… 5分（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66)，(60,62)，(60,60)，(60,62)，(66,62)，(66,60)，(66,62)，(62,60)，(62,62)，(60,62)，共10种…… 8分其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66)，(66,62)，(66,60)，(60,62)，共4种…… 10分所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率42105P ==…… 12分18.（本小题满分14分）解：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则∵EF 为中位线…………2分1//EF D B ∴而1D B ⊂面11ABC D ，EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D …………4分（2）等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点BD CF ⊥∴①…………5分正方体1111ABCD A BC D -ABCD 1面⊥∴DD ，ABCD 面⊂CF CF DD ⊥∴1②…………7分综合①②，且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴，而111B E BDD B ⊂面，E B CF 1⊥∴…………………………………………………9分（3）由（2）可知11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 即CF 为高 ，CF BF ==10分112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B …………12分11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅…………14分19. （本小题满分14分）解：（1）12122133a a =---， 24a = （2）2n ≥时， 32112233n n S na n n n +=---321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=-------21122(1)(331)(21)33n n n a na n a n n n +=----+---1(1)(1)n n n a na n n ++=-+111n n a a n n +-=+，21121a a-= 数列{}n a n是首项为111a=，公差为1的等差数列1(1)1n an n n=+-⨯= 2n a n =（3）法一：11714a =<， 2n ≥时，222212111111111111117171112322314244n a a a n n n n n +++=++++<++-++-<++-=-<- 法二：11714a =< 2n ≥时，22222212111111111112321311n a a a n n +++=++++<++++--- 111111111(1)2323211n n n n <+-+-+++-+---+1111711171(1)()2214214n n n n =+++--=-+<++20．（本小题满分14分）解：(1)当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1),(2,1)A B -， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．易知此圆与直线:1l y =-相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y =，整理得()211440x kx kx y -+-=()211(4)440k kx y ∆=-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k =．．．．．．．．．．．．．．．．6分 从而过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =- 又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．8分同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-， 又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② ．．．．10分 即20022x y x y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分证法二：由已知得24x y =，求导得2x y =，切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ，故过点()11,A x y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2xy y x x -=-即21124x x y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012x y x y =-．．．．．．．．８分 同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② 即20022xy x y =-．．．．．．．．10分 即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分21. （本小题满分14分） 解:（1）由已知：()21()0ax f x a ax -'=> ，依题意得：210ax ax -≥对[1,)x ∈+∞恒成立. ∴10ax -≥，[1,)x ∈+∞恒成立 又a 为正实数 ∴ 10a -≥，即：1a ≥ （2）∵1a = ∴ 1()ln x f x x x -=+， 21()x f x x-'=， 1(,1)x e ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)e上单调减，(1,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 在(1,)e 上单调增，1()2f e e =-，(1)0f =，1()f e e =， 又1()()f f e e>所以()f x 在1[,]e e 上的最大值为1()2f e e=-与最小值为(1)0f =（3）∵1a = ∴ 由（1）知：1()ln xf x x x-=+在[1,)+∞上为增函数， ∴ 对任意1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，∴ 1ln x x x -≥∴2n ≥时，令1nx n =-，即1ln 1n n n >-1321111ln ln ln ln ln 1221132n n n n n n n -=++++>++++--- 即2n ≥时，111ln 23n n>+++。

2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}M x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A.(2,1)- B. (1,1)- C.(1,3) D.(2,3)-2.131ii+=-（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i - D. 12i --3．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．等比数列{}n a 中，44a =,则26a a 等于（ ）A.4B.8C.16D.325. 在△ABC 中，222a b c bc =+-，则A 的值为（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1206．若向量(1,2)BA =，(4,5)CA =则BC =（ ）A.(5,7)B.(3,3)C.(3,3)--D.(5,7)--7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（ ）A.3B.32C.1D.28．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =（ ）A. 2-B. 2C. 4-D. 49．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点. 若△1ABF的周长为C 的方程为（ ） A ． 22132x y += B ． 2213x y += C ． 221128x y += D ．221124x y += 10. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A. 2- B. 1- C. 0 D. 1第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11.双曲线C的两个焦点为(0)，0)，一个顶点为(1,0)，则C 的方程为 12.曲线53x y e =-在点(0,2)处的切线方程为13.若实数x ，y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则x y +的最大值为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点(5,)3A π、2(8,)3B π，则||AB =15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径， BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ， 若3OB =，5OC =，则CD =16．（本小题满分12分）设平面向量(cos ,sin )a x x =，31(,)22b =，函数()1f x a b =⋅+ （1）求函数()f x 的值域和函数的单调递增区间； （2）当9()5f α=,且263ππα<<时，求2sin(2)3πα+的值.ODCBA17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤，用n x 表示编号为n（1）求第6位同学的体重6x 及这6位同学体重的标准差s ；（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率．18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1CF B E ⊥； （3）求三棱锥1C B FE V -的体积．19. （本小题满分14分）设数列{}na 前n 项和为n S ，满足2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.••••••20．（本小题满分14分）设抛物线C 的方程为24x y =，()00,M x y 为直线l ：(0)y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ,B .（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ；21. （本小题满分14分）已知1()ln xf x x ax-=+(a 为正实数). （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()f x 在1[,]e e上的最大值与最小值； （3）当1a =时，求证：对于大于1的任意正整数n ，都有111ln 23n n>+++2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试答卷成绩：注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效.2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.18．（本小题满分14分）解：2014-2015学年第一学期高三文科数学期中考试答案1 B2 B 3A 4 C 5B 6C 7C 8B 9A 10.D17. （本小题满分12分） 解：（1）由题意得660+66+62+60+62+656x = ，故 680x = …… 2分6位同学体重的标准差7s == …… 4分所以第6位同学的体重680x =，这6位同学体重的标准差7s =…… 5分（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66)，(60,62)，(60,60)，(60,62)，(66,62)，(66,60)，(66,62)，(62,60)，(62,62)，(60,62)，共10种…… 8分其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66)，(66,62)，(66,60)，(60,62)，共4种…… 10分所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率42105P ==…… 12分18.（本小题满分14分）解：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则∵EF 为中位线…………2分1//EF D B ∴而1D B ⊂面11ABC D ，EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D …………4分（2）等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点BD CF ⊥∴①…………5分正方体1111ABCD A BC D -ABCD 1面⊥∴DD ，ABCD 面⊂CF CF DD ⊥∴1②…………7分综合①②，且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴，而111B E BDD B ⊂面，E B CF 1⊥∴…………………………………………………9分（3）由（2）可知11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 即CF 为高 ，CF BF ==10分112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B …………12分11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅…………14分19. （本小题满分14分）解：（1）12122133a a =---， 24a = （2）2n ≥时， 32112233n n S na n n n +=---321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=-------21122(1)(331)(21)33n n n a na n a n n n +=----+---1(1)(1)n n n a na n n ++=-+111n n a a n n +-=+，21121a a-= 数列{}n a n是首项为111a=，公差为1的等差数列1(1)1n an n n=+-⨯= 2n a n =（3）法一：11714a =<， 2n ≥时，222212111111111111117171112322314244n a a a n n n n n +++=++++<++-++-<++-=-<- 法二：11714a =< 2n ≥时，22222212111111111112321311n a a a n n +++=++++<++++--- 111111111(1)2323211n n n n <+-+-+++-+---+1111711171(1)()2214214n n n n =+++--=-+<++20．（本小题满分14分）解：(1)当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1),(2,1)A B -， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．易知此圆与直线:1l y =-相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y =，整理得()211440x kx kx y -+-=()211(4)440k kx y ∆=-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k =．．．．．．．．．．．．．．．．6分 从而过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =- 又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．8分同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-， 又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② ．．．．10分 即20022x y x y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分证法二：由已知得24x y =，求导得2xy =，切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ，故过点()11,A x y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2xy y x x -=-即21124x x y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．7分又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．．．．．８分同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-， 又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② 即20022xy x y =-．．．．．．．．10分即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分21. （本小题满分14分） 解:（1）由已知：()21()0ax f x a ax -'=> ，依题意得：210ax ax -≥对[1,)x ∈+∞恒成立. ∴10ax -≥，[1,)x ∈+∞恒成立 又a 为正实数 ∴ 10a -≥，即：1a ≥ （2）∵1a = ∴ 1()ln x f x x x -=+， 21()x f x x-'=， 1(,1)x e ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)e上单调减，(1,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 在(1,)e 上单调增， 1()2f e e =-，(1)0f =，1()f e e =， 又1()()f f e e>所以()f x 在1[,]e e 上的最大值为1()2f e e=-与最小值为(1)0f =（3）∵1a = ∴ 由（1）知：1()ln xf x x x-=+在[1,)+∞上为增函数， ∴ 对任意1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，∴ 1ln x x x-≥∴2n ≥时，令1n x n =-，即1ln1n n n>- 1321111ln ln ln ln ln 1221132n n n n n n n -=++++>++++--- 即2n ≥时，111ln 23n n>+++。

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．325．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．即可判断出．解答：解：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．∴a=0是a（a﹣1）=0的充分而不必要条件．故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等比数列．分析：由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2•a6解答：解：a2•a6=a42=16故选C．点评：本题主要考查等比中项．5．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，则A=60°．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论．解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得8d=16，即d=2．故选：B．点评：本题考查数列基本量的求法．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：函数的值；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出C的方程．解答：解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），∴设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），且，∴b2=2﹣1=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为5x﹣y+2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．解答：解：∵y=f（x）=5e x﹣3，∴∴f′（x）=5e x，则f′（0）=5e0=5，即f（x）在点（0，2）处的切线斜率k=5，则对应的切线方程为y﹣2=5（x﹣0），即5x﹣y+2=0，故答案为：5x﹣y+2=0．点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为2.5．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：∵∠AOB=，∴AB2==49，∴AB=7．故答案为：7．点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，=4．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC为公共边．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．点评：本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．解答：解：依题意f（x）=+1=（cosx，sinx）•（，）=cosx+sinx+1=sin（x+）+1，（Ⅰ）∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴sin（x+）+1∈[0，2]，即函数f（x）的值域是[0，2]．令，解得，∴函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由f（a）=得sin（a+）+1=，得sin（a+）=，∵，∴，得cos（a+）=﹣，∴sin（2a）=sin2（a+）=2sin（a+）cos（a+）=．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．解答：解：（Ⅰ）由题意得=65 解得x6=80 …（2分）则6位同学体重的标准差s==7 …（4分）所以第6位同学的体重x6=80，这6位同学体重的标准差为s=7 …（5分）（Ⅱ）从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个，它们是（601，66），（601，623），（601，604），（601，625），（66，623），（66，604），（66，625），（623，604），（623，625），（604，625）…（8分）其中恰有1位同学的体重在（58，65）之间的基本事件有4个，它们是（601，66），（66，623），（66，604），（66，625）…（10分）所以恰有1位同学的体重在（58，65）之间的概率P==…（12分）点评：本题考查统计中的一些数字特征，如平均数和方差，以及古典概型，要对概念有足够的重视．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E 即可；（3）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．解答：（1）证明：连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF是三角形BD1D的中位线，即EF∥BD1；…（3分）又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1…（4分）（2）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，则CF⊥BD，又CF⊥D1D∴CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥B1E…（8分）（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB1D1D，∴CF为高，CF=BF=∵EF=BD1=，B1F=，B1E=3∴即∠EFB1=90°∴=∴===1…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．分析：（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论．解答：（1）解：当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1），…（2分）因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1， y1）的切线方程为，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4（kx1﹣y1）=0△=（4k）2﹣4×4（kx1﹣y1）=0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0﹣kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；（3）由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，可得lnx≥，n≥2时，令x=，即ln＞，即可得证．解答：解：（1）由已知：f′（x）=（a＞0），依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立．∴ax﹣1≥0，x∈[1，+∞）恒成立又a为正实数∴a﹣1≥0，即：a≥1（2）∵a=1∴f（x）=+lnx，f′（x），x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（，1）上单调减，x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调增，f（）=e﹣2，f（1）=0，f（e）=，又f（）＞f（e）所以f（x）在[，e]上的最大值为f（）=e﹣2与最小值为f（1）=0（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，∴对任意x≥1时，f（x）≥f（1）=0，∴lnx≥∴n≥2时，令x=，即ln＞lnn=ln+ln+…+ln+ln＞++…++即n≥2时，lnn＞++…+点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．。

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．325．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．即可判断出．解答：解：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．∴a=0是a（a﹣1）=0的充分而不必要条件．故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等比数列．分析：由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2•a6解答：解：a2•a6=a42=16故选C．点评：本题主要考查等比中项．5．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，则A=60°．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论．解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得8d=16，即d=2．故选：B．点评：本题考查数列基本量的求法．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：函数的值；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出C的方程．解答：解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），∴设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），且，∴b2=2﹣1=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为5x﹣y+2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．解答：解：∵y=f（x）=5e x﹣3，∴∴f′（x）=5e x，则f′（0）=5e0=5，即f（x）在点（0，2）处的切线斜率k=5，则对应的切线方程为y﹣2=5（x﹣0），即5x﹣y+2=0，故答案为：5x﹣y+2=0．点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为2.5．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：∵∠AOB=，∴AB2==49，∴AB=7．故答案为：7．点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，=4．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC为公共边．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．点评：本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．解答：解：依题意f（x）=+1=（cosx，sinx）•（，）=cosx+sinx+1=sin（x+）+1，（Ⅰ）∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴sin（x+）+1∈[0，2]，即函数f（x）的值域是[0，2]．令，解得，∴函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由f（a）=得sin（a+）+1=，得sin（a+）=，∵，∴，得cos（a+）=﹣，∴sin（2a）=sin2（a+）=2sin（a+）cos（a+）=．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．解答：解：（Ⅰ）由题意得=65 解得x6=80 …（2分）则6位同学体重的标准差s==7 …（4分）所以第6位同学的体重x6=80，这6位同学体重的标准差为s=7 …（5分）（Ⅱ）从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个，它们是（601，66），（601，623），（601，604），（601，625），（66，623），（66，604），（66，625），（623，604），（623，625），（604，625）…（8分）其中恰有1位同学的体重在（58，65）之间的基本事件有4个，它们是（601，66），（66，623），（66，604），（66，625）…（10分）所以恰有1位同学的体重在（58，65）之间的概率P==…（12分）点评：本题考查统计中的一些数字特征，如平均数和方差，以及古典概型，要对概念有足够的重视．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E 即可；（3）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．解答：（1）证明：连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF是三角形BD1D的中位线，即EF∥BD1；…（3分）又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1…（4分）（2）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，则CF⊥BD，又CF⊥D1D∴CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥B1E…（8分）（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB1D1D，∴CF为高，CF=BF=∵EF=BD1=，B1F=，B1E=3∴即∠EFB1=90°∴=∴===1…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．分析：（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论．解答：（1）解：当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1），…（2分）因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1， y1）的切线方程为，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4（kx1﹣y1）=0△=（4k）2﹣4×4（kx1﹣y1）=0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0﹣kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；（3）由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，可得lnx≥，n≥2时，令x=，即ln＞，即可得证．解答：解：（1）由已知：f′（x）=（a＞0），依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立．∴ax﹣1≥0，x∈[1，+∞）恒成立又a为正实数∴a﹣1≥0，即：a≥1（2）∵a=1∴f（x）=+lnx，f′（x），x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（，1）上单调减，x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调增，f（）=e﹣2，f（1）=0，f（e）=，又f（）＞f（e）所以f（x）在[，e]上的最大值为f（）=e﹣2与最小值为f（1）=0（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，∴对任意x≥1时，f（x）≥f（1）=0，∴lnx≥∴n≥2时，令x=，即ln＞lnn=ln+ln+…+ln+ln＞++…++即n≥2时，lnn＞++…+点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．。

2013届高三上册数学文科期中考试卷(含答案)包三十三中2012-2013学年第一学期期中Ⅱ考试高三年级数学（文科）试卷命题：杨翠梅审题：教科室2012.11.14本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

本卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一.选择题：本卷共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是（）A．B．C．D．2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.B.C.D.3.已知直线的倾斜角为，则=（）A.B.C.D.4.曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9B.-3C.9D.155.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（）A.B.C.D.6.已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是()A.B.C.D.7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB.45πC.57πD.81π9.△ABC中，AB边的高为CD，若，则（）A.B.C.D.10.已知，(0，π)，则=（）A.1B.C.D.111.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A.B.C.D.12.函数则()A.在单调递增，其图象关于直线对称B.在单调递增，其图象关于直线对称C.在单调递减，其图象关于直线对称D.在单调递减，其图象关于直线对称第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.已知是等差数列，，表示的前项和，则使得达到最大值的是_______.14.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是15.在中，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率_______.16.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_______.三.解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别是.已知，⑴求的值；⑵若，求边的值.18.已知为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.19.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.⑴求证：平面；⑵当，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.20.等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．21.设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，.⑴求椭圆的离心率；⑵如果，求椭圆的方程.22.设函数，曲线在点处的切线方程为．⑴求的解析式；⑵证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．包三十三中2012-2013学年第一学期期中Ⅱ考试高三年级数学（文科）参考答案123456789101112CDBCBAACDACD13.2014.15.16.17.解⑴：由已知得由，得，即，两边平方得5分⑵由>0,得即由，得由，得则.由余弦定理得所以10分18.设分别是到的距离，则，当且仅当时上式取等号，即时上式取等号.19.⑴∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，平面.6分⑵设AC∩BD=O，连接OE，由⑴知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.12分20.解：设数列的公差为，则，，．3分由成等比数列得，即，整理得，解得或．7分当时，．9分当时，，于是．12分21.解：设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线的方程为，其中.联立得解得因为，所以.即得离心率.……6分（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为.……12分22.解：⑴方程可化为．当时，．2分又，于是解得故．6分⑵设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．10分所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．12分。

2008-2009学年度广东省执信中学第一学期高三期中考试数学（文科）试卷第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan600°的值是（ ）A ．33- B ．33C ．3-D ．32．函数x xx y +=的图象是（ ）ABCD3．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4--，，则m 的取值范围是（ ） A ．(]4,0 B ．3[3]2， C ．3[]2，4 D ．3[2+∞，） 4．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 5．设m, n 是两条不同的直线,r ,,βα是三个不同的平面, 给出下列四个命题:①若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n;； ② 若α∥β, β∥r, m ⊥α,则m ⊥r; ③ 若m ∥α,n ∥α,则m ∥n;； ④ 若α⊥r, β⊥r,则α∥β． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ． ①和④ 6．如下图所示，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+ B ． 12BC BA -- C ． 12BC BA - D ． 12BC BA + 7．若平面向量b 与向量)1,2(=a 共线反向，且52||=b ，则=b （ ）A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(--8．函数xx y ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2e D ．3109．定义在R 上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和，如果()lg(101),,xf x x R =+∈那么（ ）A ．()g x x =，()lg(10101)x x h x -=++B ．lg(101)()2x xg x ++=，x lg(101)()2x h x +-=C ．()2x g x =，()lg(101)2x xh x =+-D ．()2x g x =-， lg(101)()2xx h x ++=10．已知a b c ，，为ABC △的三个内角的对边，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．3,6ππ B ．6,32ππ C ．6,3ππ D ．3,3ππ第二部分非选择题（共 100 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第14小题第一个空两分，第二个空3分．11．已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____ ．12．函数()212()log 25f x x x =-+的值域是__________ ．13．点（2，－1）到直线3450x y -+=的距离为__________ ． 14．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数a =____ ，b =___ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

广东省执信中学2012-2013学年度第一学期期中试题高三数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则u A C B =（ ）A ．{2，4}B ．{1，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．若复数i a a )1(12-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4a =（ ） A ．6 B 4 ）A B 5．已知变量x 、y ）A ．2B 6．下列各命题中正确的命题是（ ）①命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；②命题“错误！未找到引用源。

020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀” ；③“函数ax ax x f 22sin cos )(-=错误！未找到引用源。

最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件；④“平面向量错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的夹角是钝角”的充分必要条件是“0=⋅b a 错误！未找到引用源。

” ． A ．②③ B ．①②③ C ．①②④ D ．③④7．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ） A 8．点P 为双曲线 ）A BC 6小题,每小题分.9．若向量(1,)a x =, )1,2(=b 满足条件b a ⊥,则x =______10．在∆ABC 中，60A ︒∠=，16AC =，面积为BC 的长度为________．11．右图是求错误！未找到引用源。

的值的程序框图，则正整数错误！未找到引用源。

________． 12．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于y 轴对称,又直线4360x y --=与圆C 相切,则圆C 的标准方程为 ．p q p q13．已知函数3'()3(2)f x x f x =-+，令'(2)n f =，则二项式(nx+的展开式中常数项是第____项． 第14、15题为选做题，只能选做一题。