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章末总结二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )＝32－x的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(0，2]B ．[1，2]C ．[0，1]D ．(1，2)解析：选B.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ∩B ＝[1，2]，故选B.2．(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a ＝log 87，b ＝log 43，c ＝log 73，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：选A.由a ＝log 87得8a＝7，即23a＝7，2a＝713，即a ＝log 2713.由b ＝log 43得4b ＝3，即22b＝3，2b＝312，即b ＝log 2312.又()7136＝49，()3126＝27.所以713>312，则a >b .由于1<4<7，所以log 43>log 73，即b >c ，所以a >b >c .3．(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )＝a －x 1＋x ，且f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )对于b ≠－1时恒成立，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1解析：选B.因为f (x )＝a －x 1＋x ，由f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )，得a －1b 1＋1b ＝－a ＋b 1＋b ，化简得(a －1)(b ＋1)＝0.要使上式对于b ≠－1恒成立，则a －1＝0，所以a ＝1.4．(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4，－2)∪(2，4)C ．(－∞，－4)∪(－2，0)D ．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)解析：选D.因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)＝f (2)＝f (－2)＝0，又f (x )在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.5．(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是()解析：选B.易判断函数为奇函数．由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B.6．(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析：选A.由题意，知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x ＋1>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)．综上，可得0<a <1<b <2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )<f (1)<f (b )．故选A.7．(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )＝3xx －4的图象与直线x ＋my －3m －4＝0有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2x 1＋x 2等于( )A ．43B ．34C ．－43D ．－34解析：选B.因为f (x )＝3x x －4＝3（x －4）＋12x －4＝3＋12x －4，其图象是由y ＝12x 向右平移4个单位后，再向上平移3个单位得到，所以函数f (x )＝3xx －4的图象关于点(4，3)对称，又直线x ＋my －3m －4＝0，即为(x －4)＋m (y －3)＝0，从而恒过定点(4，3)．所以A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)关于点(4，3)对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝6，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝68＝34.8．(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，所以f (c )<1，所以0<c <1，所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.二、填空题9．(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1)，则a 的范围为________． 解析：当0<a <1时，log a 2<0，所以log a 2<1成立．当a >1时，log a 2<1即为log a 2<log a a .所以a >2，综上所述a 的范围为(0，1)∪(2，＋∞)．答案：(0，1)∪(2，＋∞)10．(必修1 P 23练习T 3改编)函数y ＝|x ＋a |的图象与直线y ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：作出其图象如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋a |，y ＝1，得A (－1－a ，1)，B (1－a ，1)，所以|AB |＝2，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.答案：111．(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v ＝a log 3Q100，其中v 的单位为m/s ，Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，a 为正常数．已知一条鲑鱼游速为32 m/s 时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的游速为2 m/s 时，它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍．解析：当Q ＝2 700时，v ＝32 m/s.所以32＝a log 32 700100，所以a ＝12.即v ＝12log 3Q100.所以当v ＝2时，2＝12log 3Q 100，此时Q ＝8 100，当v ＝0时，0＝12log 3Q100，此时Q ＝100.所以游速2m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的8 100100＝81倍．答案：8112．(必修1 P 83B 组T 4改编)已知函数f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，函数g (x )是f (x )的导函数，有下列4个结论：①[f (x )]2－[g (x )]2为定值；②曲线f (x )在任何一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角； ③函数f (x )与g (x )的图象有且只有1个交点； ④f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立．则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)．解析：因为f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋k e x ＝－e x －k e －x ，(k ＋1)(e －x ＋e x )＝0.所以k ＝－1.即f (x )＝e x －e －x .则g (x )＝f ′(x )＝e x ＋e －x ，所以[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝－4为定值，故①正确．又f ′(x )＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2.所以f ′(x 0)≥2> 3.即曲线f (x )在任意一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角，故②正确．③由f(x)＝g(x)，即e x－e－x＝e x＋e－x得e－x＝0，无解．即函数f(x)与g(x)的图象无交点，故③错误．④f(2x)＝e2x－e－2x，f(x)g(x)＝(e x－e－x)(e x＋e－x)＝e2x－e－2x，所以f(2x)＝f(x)g(x)，所以f(2x)＝2f(x)g(x)恒成立错误，故④错误．答案：①②。
一、填空题1．函数f (x )＝x 2－2x ＋c 在[－2,2]上的最大值是________．解析：因为二次函数f (x )的对称轴为x ＝1并且开口向上，所以在区间[－2,2]上的最大值为f (－2)＝8＋c .答案：8＋c2．若f (x )的定义域为[－2,3]，则f (x )＋log 2(x 2－3)的定义域为________． 解析：∵f (x )的定义域为－2≤x ≤3，由log 2(x 2－3)≥0，则x 2－3≥1，x ≥2或x ≤－2.即f (x )＋log 2(x 2－3)的定义域为2≤x ≤3或x ＝－2.答案：{－2}∪{x |2≤x ≤3}3．y ＝133x －9－|x |－2的定义域为________．解析：依题意⎩⎨⎧|x |－2≥03x －9≠0， 由此解得 x ≤－2或x ≥2，且x ≠3，即函数的定义域是{x ∈R|x ≤－2或2≤x <3或x >3}．答案：{x ∈R|x ≤－2或2≤x <3或x >3}4．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． 解析：若m ＝0，则f (x )＝x －43的定义域为R ；若m ≠0，则Δ＝16m 2－12m <0，得0<m <34，综上可知，所求的实数m 的取值范围为[0，34)． 答案：[0，34)5．函数y ＝|x ＋2|＋(x －3)2的值域为________．解析：y ＝|x ＋2|＋(x －3)2＝|x ＋2|＋|x －3|＝⎩⎨⎧ －2x ＋1 (x ≤－2)，5 (－2<x <3)，2x －1 (x ≥3).当x ≤－2时，－2x ＋1≥－2×(－2)＋1＝5；当x ≥3时， 2x －1≥2×3－1＝5，∴y ≥5.答案：[5，＋∞)6．函数y ＝log 2 (4－x )的定义域是________．解析：由⎩⎨⎧ 4－x >0log 2 (4－x )≥0， 即⎩⎨⎧4－x >04－x ≥1，得x ≤3. 答案：(－∞，3]7．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时，取等号，则2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：948．对a ，b ∈R ，记min {a ，b }＝⎩⎨⎧a (a <b )，b (a ≥b )，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R)的最大值为________． 解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.答案：19．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1. 答案：1二、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R ，函数值均为非负数，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－(a ＋32)2＋174(a ∈[－1，32])．∵二次函数g (a )在[－1，32]上单调递减，∴g (32)≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4，∴g (a )的值域为[－194，4]．11．已知函数y ＝log a (ax 2＋2x ＋1)．(1)若此函数的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若此函数的定义域为(－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)，求a 的值．解析：(1)ax 2＋2x ＋1>0，Δ＝4－4a ，∵定义域为R.∴a >0，Δ<0，∴a >1.(2)由题意，ax 2＋2x ＋1>0的解集为(－∞，－2－2)∪(－2＋2，＋∞)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝－4，1a ＝2，∴a ＝12.12．设f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)． (1)求f (x )在x ∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．解析：(1)(导数法) f ′(x )＝4x (x ＋1)－2x 2(x ＋1)2＝2x 2＋4x (x ＋1)2≥0在x ∈[0,1]上恒成立． ∴f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )在[0,1]上的值域为[0,1]．(2)f (x )在[0,1]上的值域为[0,1]，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)在x ∈[0,1]上的值域为[5－2a,5－a ]．由条件，只需[0,1]⊆[5－2a,5－a ]，∴⎩⎨⎧ 5－2a ≤05－a ≥1⇒52≤a ≤4.。
第十一 课时 函数的值域与解析式课前预习案1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．1.函数的值域．（1）在函数()y f x =中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫 ， 叫做函数的值域．（2）基本初等函数的值域：①(0)y kx b k =+≠的值域是 ．②2(0)y ax bx c a =++≠的值域是：当0a >时，值域为 ；当0a <时，值域为 ． ③(0)k y k x=≠的值域是 ． ④(0x y a a =>且1)a ≠的值域是 ．⑤log a y x =(0a >且1)a ≠的值域是 ．⑥sin y x =，cos y x =的值域是 ．⑦tan y x =的值域是 ．2.函数解析式的求法（1）换元法；（2）待定系数法；（3）解方程法；（4）配凑法或赋值法．1.函数22y x x =-的定义域是{}0,1,2，则该函数的值域为（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}|10y x -≤≤D ．{}|02y x ≤≤ 2.函数212y x =+的值域为（ ） A ．R B ．1|2y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ C ．1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ D ．1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3.函数2()log (31)x f x =+的值域为 ．235y x x =+-的值域是 ．课堂探究案考点1 求函数的值域【典例1】求下列函数的值域：（1）[]22(0,3)y x x x =+∈；（2）31x y x -=+；（3）y x =（4）3log log 31x y x =+-．【变式1】（1）函数y =的值域是（ ）A ．[)0,+∞B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(0,4) （2）设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ．如果()f x k 为闭函数，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k <B ．112k ≤<C ．1k >-D ．112k -<≤-考点2 求函数的解析式【典例2】（1）已知1)f x =+()f x ；（2）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（3）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．【变式2】（1）若2(1)21f x x +=+，则()f x = ； （2）若函数()x f x ax b=+，(2)1f =，又方程()f x x =有唯一解，则()f x = ； （3）已知2(1)lg f x x+=，求()f x 的解析式．考点3 函数的定义域、值域及解析式的综合应用【典例3】已知二次函数2()f x ax bx =+（a 、b 是常数，且0a ≠）满足条件：(2)0f =，且方程()f x x =有两个相等实根．（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．【变式3】已知函数4()1||2f x x =-+的定义域是[],a b (,)a b Z ∈，值域是[]0,1，则满足条件的整数数对(,)a b 共有 个．1．函数2211x y x -=+的值域为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1]-C ．[1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞2．在二次函数c b a c bx ax x f ,,,)(2中++=成等比数列，且4)0(-=f ，则 （ ）A ．)(x f 有最大值2B ．)(x f 有最小值1C ．)(x f 有最小值-1D ．)(x f 有最大值-33.函数[])4,0x (x 4x 2y 2∈--=的值域是 （ ）A ．[]2,2- B. []2,1 C. []2,0 D. []2,2-4.函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 .课后拓展案组全员必做题1.函数21y x =-的定义域是[)(,1)2,5-∞，则其值域是（ ）A ．1(,0),22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．[)1(,)2,2-∞+∞ D ．(0,)+∞2.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．{}2-D ．[)2,2-3.下列四个函数：①3y x =；②3, 0,2, 0;x x y x x ≥⎧=⎨<⎩③45()y x x Z =-+∈；④267y x x =-+．其中值域相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④4.已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ）A ．21x x +B ．221xx -+ C ．221xx + D ．21xx -+5.设函数231,1,()||,1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若[](0)4f f <，则a 的取值范围是（ ） A ．(6,4)-- B ．(4,0)- C ．(4,4)- D ．3(0,)4组提高选做题1.已知,0,(),0,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则不等式()2x xf x +≤的解集是 ． 2.已知函数()21f x x =-，2, 0,()1, 0,x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式．参考答案1.A2.D3.(0,)+∞4.[)5,-+∞【典例1】解：（1）函数解析式可整理为2(1)1y x =+-，∵2(1)1y x =+-在[]0,3上为增函数，∴015y ≤≤，即值域为[]0,15． （2）34111x y x x -==-++， ∵401x ≠+，∴4111x -≠+， ∴值域为{}|1y y ≠．（3t =，则0t ≥，且212t x -=． ∴212t y t -=-21(1)12t =-++． ∵0t ≥，∴12y ≤，即值域为1(,]2-∞． （4）定义域为{}|01x x x >≠且．当1x >时，3log 0x >， ∴331log 1log y x x =+-11≥=， 当01x <<时，3log 0x <，∴331log 1log y x x =+-331(log )13log x x=--+-≤--． ∴值域为(][),31,-∞-+∞．【变式1】（1）C （2）D 【典例2】解：（1）1)2)f =111)=-+，∴()(1)(1)f x x x =-+，即()f x 21x =-．（2）设()(0)f x ax b a =+≠，∴(1)f x ax a b +=++，(1)f x ax a b -=-+，∴333222217ax a b ax a b x ++-+-=+，即5217ax a b x ++=+．∴2,517.a a b =⎧⎨+=⎩∴2,7.a b =⎧⎨=⎩ ∴()27f x x =+．（3）12()()3,132()().f x f x x f f x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得1()2f x x x =-． 【变式2】（1）2243x x -+ （2）22x x + （3）解：令21t x +=，则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-， ∴2()lg 1f x x =-． 【典例3】解：（1）2ax bx x +=，∴2(1)0ax b x +-=．∴2(1)400b a ∆=--⋅=，∴1b =．又(2)420f a =+=，∴12a =-， ∴21()2f x x x =-+． （2）假设存在实数m 、n 满足条件．由（1）知21()2f x x x =-+2111(1)222x =--+≤， 则122n ≤，即14n ≤． ∵211()(1)22f x x =--+的对称轴为1x =，∴14n ≤时，()f x 在[],m n 上为增函数， ∴()2,()2.f m m f n n =⎧⎨=⎩即2212,212.2m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴20,20.m n =-⎧⎨=-⎩或或 又14m n <≤，∴2,0.m n =-⎧⎨=⎩ ∴存在实数2m =-，0n =使()f x 定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ．【变式3】51．【答案】B【解析】方法一（分离变量）：2222212(1)21111x x y x x x--+===-+++，∵211x +≥，∴22(0,2]1x ∈+，∴221(1,1]1y x =-∈-+，故选B. 方法二（有界性）：由2211x y x -=+解得211y x y -=+，由20x ≥即101y y-≥+解得11y -<≤，即函数的值域为(1,1]-. 2．【答案】D【解析】由已知得：2b ac =(0)b ≠，且(0)f c =，故有4c =-，24b a =-，∴204b a =-<，二次函数开口向下，222()4(1)342b b f x x bx x =-+-=---，∴当2x b =时，)(x f 取得最大值-3.故选D. 3.【答案】C【解析】y 22=-=令2(2)4t x =--+，则在[0,2]上，t 为单调增函数，在[2,4]上，t 为单调减函数，而(2)4t =，(0)(4)0t t ==，故t 的最大值为4，最小值为0，即[0,4]t ∈.而2[0,2]y =.故选C.4.【答案】12【解析】若01a <<，函数()f x 为减函数，最小值为(1)log 2a f a =+，最大值为(0)1f =，由(1)(0)log 21a f f a a +=++=，解得12a =； 若1a >，函数()f x 为增函数，最小值为(0)1f =，最大值为(1)log 2a f a =+，由(1)(0)1log 2a f f a a +=++=，解得112a =<，不合题意； 由以上可得12a =.组全员必做题1.A2.C3.A4.C5.B组提高选做题 1.(],1-∞2.解：[]221,0,()3,0.x x f g x x ⎧-≥=⎨-<⎩[]21(21),,2()11,.2x x g f x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩。
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高考达标检测（四）函数的定义域、解析式及分段函数一、选择题1．(2018·广东模拟)设函数f(x）满足f错误!＝1＋x,则f（x）的表达式为( ）A。
错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析：选A 令错误!＝t，则x＝错误!，代入f 错误!＝1＋x,得f（t)＝1＋1－t1＋t＝21＋t，即f（x）＝错误!,故选A。
2．函数f（x)＝错误!的定义域是( ）A.错误!B.错误!∪（0，＋∞)C.错误!D．［0，＋∞）解析：选B 由题意，得错误!解得－错误!<x〈0或x>0.3．(2018·福建调研)设函数f：R→R满足f（0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1）＝f(x）f(y）－f（y）－x＋2，则f(2 017)＝（）A．0 B．1C．2 017 D．2 018解析:选D 令x＝y＝0，则f(1）＝f(0)f（0)－f(0）－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2,令y＝0，则f(1）＝f（x）f(0)－f(0)－x＋2，将f（0)＝1，f(1）＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f（2 017)＝2 018。
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ突破点(一) 函数的定义域2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z. [例1] (1)(2018·苏北四市联考)y ＝ x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是________________．(2)(2018·连云港检测)函数y ＝sin x ＋tan x ＋π4的定义域是____________________．对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[例2] (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域为____________．(2)(2018·苏州中学月考)函数f (2x －1)的定义域为(－1,5]，则函数y ＝f (|x －1|)的定义域是____________．[例3] (2018·苏州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．练习：1.设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.2.函数f (x )＝log 12x －的定义域是________．3.函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．4.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是________．5.[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为列表法、解析法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连结(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为_________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝____________________.(3)(2018·南通模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1，则函数f (x )的解析式为____________________．练习二、1．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，则f (x )＝____________________.2．(2018·南通中学月考)函数f (x )满足2f (x )＋f (2－x )＝2x ，则f (x )＝____________________.3．(2018·如皋中学月考)已知f (sin x ＋cos x )＝cos 2x －π4，则f (x )的解析式为____________________．4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．突破点(三) 分段函数1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.[例1] (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.(2)(2018·启东中学检测)设函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )＋x ，且当0≤x ＜2时，f (x )＝[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (5.5)＝________.(3)(2018·南通高三月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为________．[例2] (1)(2018·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(3)(2018·阜宁中学高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈－∞，a，x 2，x ∈[a ，＋若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．课后练习1.[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 2，x ＞0，则f (f (－1))＝________.2.[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f x －＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值为________． 3.[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2，则a 的取值范围是________．5已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2－x ，x ＜2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.6.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－x －2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．练习三、1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋14．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．函数f (x )＝10＋9x －x2x －的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x ＞1，x ≠2，解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．答案：(1,2)∪(2,10]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f x ＋＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3.答案：33．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2. 答案：24．(2018·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4＜a ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.答案：16 605．(2018·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2－x ，x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．解析：f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．答案：5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－348．若函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为________．解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1＋3＝－2b a ，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2)．由3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)9．(2018·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是____________．解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ∈[－2，－，－x ＋2，x ∈[－1，，x 2，x ∈[0，1]，－12x －2，x ∈，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．1．单调函数的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减；(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f x单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝fx 单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的序号是________． ①f (x )＝3－x ；②f (x )＝x 2－3x ； ③f (x )＝－1x ＋1；④f (x )＝－|x |. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． [解析] (1)当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． (2)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)③ (2)[3，＋∞) [易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连结，也不能用“或”连结．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(一) [例2] (1)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． (2)(2017·天津高考改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．[解析] (1)由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . (2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x ＞0时，f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＞0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 3＝log 28＞log 25.1＞log 24＝2＞20.8， 所以c ＞a ＞b .[答案] (1)b ＞a ＞c (2)c ＞a ＞b 应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．[解析] 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －，解得8＜x ≤9.[答案] (8,9] [方法技巧]含“f ”号不等式的解法原不等式――→函数的性质fg x ＞f h x――→函数的单调性去“f ”号，转化为“g (x )＞h (x )”型具体的不等式――→解不等式求得原不等式的解集[提醒] 上述g (x )与h (x )的值域应在外层函数f (x )的定义域内．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述得－14≤a ≤0.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.[答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(－∞，1]∪[4，＋∞) [易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”3． 解析：由3－4x ＋x 2＞0得x ＜1或x ＞3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1) 2.[考点二·应用一已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________________．解析：由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b ) 3.[考点二·应用二已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＜f (1)的实数x的取值范围是________．解析：由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.答案：(－1,0)∪(0,1) 4.[考点二·应用三设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1.答案：[1，＋∞)5.[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)的单调性．解：函数的定义域为{x |x ≠0}．任取x 1，x 2∈{x |x ≠0}，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2－a x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2.令x 1＝x 2＝x 0,1－a x 20＝0可得到x 0＝±a ，这样就把f (x )的定义域分为(－∞，－a ]，[－a ，0)，(0，a ]，[a ，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．若0＜x 1＜x 2≤a ，则x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜a ， 所以x 1x 2－a ＜0.所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1·x 2＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，a ]上单调递减．同理可得，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a ]上单调递增，在[－a ，0)上单调递减．故函数f (x )在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．突破点(二) 函数的最值(1)设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．(2)设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．1(1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值． 2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝x 2－x ＋＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， ∴2＜2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤2，103.(3)当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象．①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞(x 3－3x )max ， 所以a ＜－1.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎥⎤2，103 (3)①2 ②(－∞，－1) [方法技巧] 求函数最值的五种常用方法1．已知a ＞0，设函数f (x )＝ 2 018x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________.解析：由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a＋1＝4 034. 答案：4 0342．(2018·宜兴月考)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：63．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：34．(2018·常州模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x≤12.令t ＝1－2f x ，则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，785．(2017·浙江高考改编)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则关于M －m 的结果中，叙述正确的序号是________．①与a 有关，且与b 有关；②与a 有关，但与b 无关； ③与a 无关，且与b 无关；④与a 无关，但与b 有关．解析：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；当－a2＜0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； 当－a2＞1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 答案：②1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的序号是________． ①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1； ③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；④y ＝x ＋1x .解析：函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数；y ＝－x ＋1与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数；y ＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．答案：①2．(2017·浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x－a ＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a ＞92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，解得a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，923．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间为________．⎩⎪⎨⎪⎧x－x ，x ≥0，－x －x ，x ＜0解析：y ＝|x |(1－x )＝＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ＜0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 4．(2018·扬州中学单元检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，且log 22＝1＝－2＋3，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．解析：依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．答案：f (－1)＜f (3)3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________．解析：令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 4．(2018·宜兴第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )为R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1385．(2018·淮安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.答案：(－2,1)6．(2018·连云港海州中学模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数，∴a ＞0，∴0＜a ≤1.答案：(0,1]7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x ＞2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a ＞1，∴a ∈(1,2]． 答案：(1,2]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2018·苏州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.答案：(－∞，－2) 二、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a ＞1时，a －1a＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0＜a ＜1时，a －1a＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1， ∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.1．函数的奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数，且在x ＝0上有意义，则f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”函数奇偶性的判断[例1] (1)f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.[解] (1)∵x 2＋1＞|x |≥0，∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋－x2＋1)＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，∴－1≤x ＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数的定义域关于原点对称， ∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x .又f (－x )＝4－－x2－x＝－4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． [方法技巧]判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．函数奇偶性的应用[例2] (1)2，则f (－a )的值为________．(2)(2018·姜堰中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m log 2 017x ＋3sin x ，x ＞0log 2 017－x ＋n sin x ，x ＜0为偶函数，则m －n ＝________.(3)(2018·盐城高三第一次检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋3x ＋b ，则f (－1)＝________.[解析] (1)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－F (a )＝－1，从而f (－a )＝0.(2)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m log 2 017－x －3sin x ，x ＜0log 2 017x －n sin x ，x ＞0＝f (x )，所以m ＝1，n ＝－3，∴m －n ＝4.(3)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，而f (0)＝1＋b ＝0，解得b ＝－1.所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋3－1)＝－4.[答案] (1)0 (2)4 (3)－4 [方法技巧]利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”①f (x )＝x －1；②f (x )＝x 2＋|x |； ③f (x )＝2x－2－x；④f (x )＝x 2＋cos x .答案：②④2.[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的序号是________． ①f (x )＝1＋x 2；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝2x ＋12x ；④f (x )＝x ＋e x.解析：①的定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．②的定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．③的定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12＝12＋2x＝f (x )，所以是偶函数．④的定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．答案：④3.[考点二]设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝________.解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.答案：124.[考点二]设函数f (x )＝x ＋x ＋ax 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0， 即＋＋a1＋－1＋－1＋a－1＝0，∴a ＝－1.答案：－15.[考点二]已知f (x )是R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝x 2＋x －1.答案：x 2＋x －16.[考点二](2018·徐州期初测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－4x ，x ＜0为偶函数，则不等式f (x )＜5的解集为________．解析：因为f (x )为偶函数，x ≥0时f (x )＝x 2＋ax ，所以x ＜0 时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＝x 2－ax ，所以x 2－ax ＝bx 2－4x 对于x ＜0恒成立，所以b ＝1，a ＝4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，x 2－4x ，x ＜0，即f (x )＝x 2＋4|x |.由f (x )＜5得x 2＋4|x |＜5，解得|x |＜1，所以原不等式的解集为(－1,1)．答案：(－1,1)突破点(二) 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期.f (x ＋a )＝－1f xf (x ＋a )＝1f x[典例] (1)(2017·扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …f n 个(x )]}，那么f 2 019(2)的值为________． (2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2. 又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， 所以f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 017)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝1 009. [答案] (1)2 (2)1 009 [方法技巧]函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈(－2,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (4)＝________.解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (4)＝0.答案：02．(2018·丹阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为________． 解析：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.答案：123．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－254．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017.答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x ＜3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝1＋2－1＝2. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝336＋2＝338.突破点(三) 函数性质的综合问题1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，常将它们综合在一起考查，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即先实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．[例1] (1)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围为________．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． [解析] (1)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， 即1－m ＞m 2－1，解得－2＜m ＜1.② 综合①②可知，－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)．(2)∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，。
第2节 函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 [常用结论与微点提醒]1．对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；减区间为 [－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．2．设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0)⇔f (x )在D 上单调递增；②f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0)⇔f (x )在D 上单调递减．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以．(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间可以是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2017·丽水调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x解析 对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ′＝e x －1，而当x ∈(0，＋∞)时，y ′＞0，所以函数y ＝e x －x 在(0，＋∞)上是增函数． 答案 A3．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么( ) A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 答案 C4．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝lg u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递减． 答案 (－∞，0)5．(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________． 解析 易得f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝1＋12－1＝2.答案 26．(2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________．解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，∴f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝3－1＝2，f (f (2))＝f (2)＝2.当x ≤1时，f (x )＝3x －1在(－∞，1]上递增，∴f (x )∈(－1，2]；当x >1时，记x ＝[x ]＋(x －[x ])，其中[x ]为不大于x 的最大整数，则x －[x ]∈[0，1)，由f (x －1)＝f (x )得f (x )＝f (x －[x ])＝3x －[x ]－1∈[0，2)，故f (x )的值域为(－1，2]∪[0，2)＝(－1，2]． 答案 2 (－1，2]考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析 要使函数有意义，则：x 2－2x －8>0，解得：x <－2或x >4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为(4，＋∞)，故选D. 答案 D(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， 因为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， 所以f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递增． 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a （x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上递增．规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．【训练1】 (一题多解)判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．解 f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 证明如下：法一 设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数． 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax 2>0， 解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a . ∵x >0，∴0<x <a .∴f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数． 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)(2018·绍兴调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1，则f (f (3))＝f (－1)＝－3，②当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，得f (x )<0.当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f (x )≤1，综上可知，f (x )的最大值为1. 答案 －3 1(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设1≤x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＞2， ∴0＜12x 1x 2＜12，1－12x 1x 2＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. ②当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1，＋∞)恒成立． 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，＋∞)， ∴g (x )在[1，＋∞)上是减函数，g (x )max ＝g (1)＝－3. 又a ≤1，∴当－3<a ≤1时，f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 故实数a 的取值范围是(－3，1]．规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．【训练2】 (2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关解析 因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，但与a 有关，故选B. 答案 B考点三 函数单调性的应用(变式迁移)【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________．(2)(2018·丽水月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________． 解析 (1)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.(2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3【变式迁移1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设m ＝f (－12)，n ＝f (a )，t ＝f (2)，试比较m ，n ，t 的大小．解 由例题知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 且32≤a <2，又－12<a <2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2)，即m <n <t . 【变式迁移2】 在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减”，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集是________．解析 因为f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 19x ＞0等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫|log 19x |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＜12，即－12＜log 19x ＜12，解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3]解析因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝1，于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案D。
