河南省南阳市六校2018-2019学年高二下学期第一次联考数学(理)试题 含解析

南阳六校2016——2017学年下期第一次联考高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知sin 30y =，则y '=B. 12-C. 12D. 0 2.已知()1f x x=，则()()022lim x f x f x ∆→+∆-∆的值为A.14 B. 14- C. 2 D. -23.如果()f x '是二次函数，且()f x '的图象开口向上，顶点坐标为(，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是A. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦B. ,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设时A. 方程20x ax b ++=没有实根B. 方程20x ax b ++=至多有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根 6.数学归纳法证明()()()()()12212321n n n n n n n N *+++=⨯⨯⨯⨯⨯-∈成立时，从n k =到1n k =+左边需要增加的乘积因式是 A. ()221k + B.211k k ++ C. 21k + D. 231k k ++ 7.Y 已知函数()[]32,3,3f x x ax bx c x =+++∈-的图象过原点，且在点()()1,1f ()()1,1f --处的切线斜率均为-2，则()f xA. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 8.在平面几何中，有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A.18 B. 19 C. 164 D.1279.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：是乙或丙获奖，乙说：甲、丙都未获奖，丙说：我获奖了，丁说：是乙获奖了，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁 10.已知()()215xf x f x '=⋅+，则()2f '=A.3020ln 515ln 5-- B. 1015ln 5- C. 30ln 5415ln 5+- D.5-11.若曲线3213y x ax x =++存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是A. [)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B. (][),11,-∞-+∞C.(][),10,-∞-+∞ D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭12.已知13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形形状，记(),A m n 表示第m 行第n 个数，则()10,12A =A.9313⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 9213⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 9413⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11213⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()22ln f x ax b x =+，若曲线()y f x =在点()()2,2f x 处的切线方程为26ln 2y x =+-，则a b += .14.已知函数2cos 3y x =+的导函数为()G x ，在区间,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数a ，则()1G a <的概率为 .15.已知121231cos,cos cos ,cos cos cos 325547778ππππππ===，根据上述等式，可猜想的一般性结论是 .16.已知曲线()()1n y x x n N *=-∈在点()2,2n -处的切线为l ，直线l 在y 轴上上的截距为n b ，则数列{}n b 的通项公式为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）若曲线()()22ln f x ax x a R =+∈在点()()1,1f 处的切线l 与圆22:1C x y +=相切，求a 的值及切线l 的方程.18.（本题满分12分）（1>（2）已知,,a b c R +∈.3a b c++≥19.（本题满分12分）观察下列各等式：2222223sin 30cos 60sin 30cos 6043sin 15cos 45sin15cos 4543sin 20cos 50sin 20cos504++=++=++=分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.20.（本题满分12分）已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点()1,0P 处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12.l l ⊥ （1）求直线1l 与2l 的方程；（2）求直线1l , 2l 与x 轴围成的三角形的面积.21.（本题满分12分）已知函数()()2f x xx a =-，其中a 为正常数.（1）当()0,1x ∈时，函数()f x 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，若1k ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若2a =-，求曲线()y f x =过点()()1,1Q f --的切线方程.22.（本题满分12分） 已知函数()f x =为定义域上的奇函数，且0a >时，()f x 在区间[]0,1上取得最大值2，当0x >时，数列{}n a 满足()()11,.n n a f x a f a +== （1）求()f x 的解析式并写出数列{}n a 的前三项123,,a a a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.。

2019-2020学年河南省南阳市六校高二第二学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若函数f（x）满足f'（2）＝4，则＝（）A．8B．﹣8C．4D．﹣42．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．3．若f（x）＝2xf'（2）+x2，则f'（1）＝（）A．﹣4B．﹣6C．2D．44．用反证法证明“至少存在一个实数x0，使＞0成立”时，假设正确的是（）A．不存在实数x0，使成立B．至多存在一个实数x0，使成立C．至少存在两个实数x0，使成立D．任意实数x，3x＞0恒成立5．下列使用类比推理正确的是（）A．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B．“若，则”类比推出“若，则”C．“实数a，b，c满足运算（ab）c＝a（bc）”类比推出“平面向量，，满足运算”D．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”6．函数f（x）＝（x﹣3）e2x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．D．（3，+∞）7．已知函数f（x）＝mln（x+1）+x2﹣mx在（1，+∞）上不单调，则m的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖．”乙说：“是丙或丁获奖，”丙说：“乙、丁都未获奖．”丁说：“我获奖了，”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．已知函数f（x）＝x n+1（n∈N*）的图象与直线x＝1 交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2018x1+log2018x2+…+log2018x2017的值为（）A．﹣1B．1﹣log20182017C．﹣log20182017D．110．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（）A．271B．72C．73D．7411．设函数则使得f（x+1）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（0，2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（2，+∞）12．对任意的实数x，关于y的方程xe x﹣（ae y+ye x）＝0都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线方程是．14．若函数f（x）＝ax4﹣4ax2（a＞0，1≤x≤2）的最小值为﹣4，则a＝．15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．16．设函数f'（x）是偶函数f（x）（x≠0）的导函数，f（﹣2）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数，a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）有三个单调区间，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若A＝2B，证明：a＝2b cos B；（2）若，证明：．19．已知若椭圆C：（a＞b＞0）交x轴于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值b2﹣a2．（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由．20．已知函数，数列{a n}对于n∈N*，总有a n+1＝f（a n），．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．21．设函数f（x）＝e2x﹣a（x+1）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0对x∈R恒成立，求a的取值范围．22．设函数f（x）＝ln（x+1）（x≥0），g（x）＝．（1）证明：f（x）≥x﹣x2．（2）若f（x）+x≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）证明：当n∈N*时，ln（n2+3n+2）＞．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若函数f（x）满足f'（2）＝4，则＝（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4【分析】根据导数的定义即可得出．解：因为f'（2）＝4，所以＝﹣f'（2）＝﹣1×7＝﹣4．故选：D．2．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，发现A符合要求．故选：A．3．若f（x）＝2xf'（2）+x2，则f'（1）＝（）A．﹣4B．﹣6C．2D．4【分析】将f（x）求导，得出f'（x）＝2f'（2）+2x，然后即可求出f′（2）的值，进而得出f′（x）的解析式，从而可得出f′（1）的值．解：∵f′（x）＝2f′（2）+2x，∴f′（2）＝2f′（2）+7，解得f′（2）＝﹣4，故选：B．4．用反证法证明“至少存在一个实数x0，使＞0成立”时，假设正确的是（）A．不存在实数x0，使成立B．至多存在一个实数x0，使成立C．至少存在两个实数x0，使成立D．任意实数x，3x＞0恒成立【分析】结论的否定即为要假设的结论．解：根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定，故选：A．5．下列使用类比推理正确的是（）A．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B．“若，则”类比推出“若，则”C．“实数a，b，c满足运算（ab）c＝a（bc）”类比推出“平面向量，，满足运算”D．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【分析】利用平行于平面的直线的性质、一元二次方程、向量的数量积、正方体的内切球的性质直接求解．解：在A中，空间中平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，故A错误；在B中，若，则＝4或＝﹣5，故B错误；在D中，“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”，故D正确．故选：D．6．函数f（x）＝（x﹣3）e2x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．D．（3，+∞）【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．解：f（x）＝（x﹣3）e2x，∴f'（x）＝（x﹣3）'e2x+（x﹣7）（e2x）′＝（2x﹣5）e2x，故选：C．7．已知函数f（x）＝mln（x+1）+x2﹣mx在（1，+∞）上不单调，则m的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【分析】求函数的导数，结合函数在（1，+∞）上不单调，得当x＞1时f′（x）＝0有解，结合一元二次方程进行求解即可．解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝+2x﹣m＝，即当x＞1时f′（x）＝0有解，即2x2+（2﹣m）x＝0，则x＞1时，有解，则＞1即可，得m＞4，故选：A．8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖．”乙说：“是丙或丁获奖，”丙说：“乙、丁都未获奖．”丁说：“我获奖了，”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】直接利用推理的应用和假设法的应用求出结果．解：①若甲获奖，则甲乙丁说的是错的，丙说的是对的，不符合题意．②若乙获奖，则甲乙丙丁这四个人说的全是错的，不符合题意．③若丙获奖，则甲乙丙三人说的是对的，丁说的是错的，不符合题意．④若丁获奖，则甲丙说的是错的，丁说的是对的，符合题意．故选：D．9．已知函数f（x）＝x n+1（n∈N*）的图象与直线x＝1 交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2018x1+log2018x2+…+log2018x2017的值为（）A．﹣1B．1﹣log20182017C．﹣log20182017D．1【分析】先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x 轴的交点的横坐标为x n，再利用对数的运算性质求相应的函数值．解：∵函数f（x）＝x n+1（n∈N*）的图象与直线x＝1交于点P，∴P（8，1），故y＝x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣2＝（n+1）（x﹣1），即该切线与x轴的交点的横坐标为x n＝，＝log2018（×××…×）＝log2018 ＝﹣1，故选：A．10．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（）A．271B．72C．73D．74【分析】根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式，即可求得f（10）的值．解：由于：（1）f（4）＝37，f（5）＝61．由于：f（2）﹣f（6）＝7﹣1＝6，f（4）﹣f（3）＝37﹣19＝3×3，因此：当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），又：f（1）＝7＝3×12﹣6×1+1，所以：f（10）＝3×102﹣7×10+1＝271．故选：A．11．设函数则使得f（x+1）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（0，2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（2，+∞）【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的导数判断函数的单调性，转化推出不等式求解即可．解：当x＞0时，，同理当x＜0，，所以函数f（x）为偶函数．所以要使f（x+1）＞f（2x﹣1），解得0＜x＜2．故选：A．12．对任意的实数x，关于y的方程xe x﹣（ae y+ye x）＝0都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】化简方程，通过x﹣y＝t，t∈R，a＝te t，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，结合函数的图象推出结果即可．解：xe x﹣（ae y+ye x）＝0，即xe x﹣ae y﹣ye x＝0，（x﹣y）e x＝ae y，a＝（x﹣y）e x﹣y，令f（t）＝te t，f'（t）＝（t+1）e t，且当t＜5时，f（t）＜0，结合f（t）的图象可知．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线方程是ex﹣4y+e＝0．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得x＝1处的切线的斜率为，切点为（1，），即为ex﹣4y+e＝0．故答案为：ex﹣4y+e＝0．14．若函数f（x）＝ax4﹣4ax2（a＞0，1≤x≤2）的最小值为﹣4，则a＝1．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的方程，解出即可．解：∵f（x）＝ax4﹣4ax5（a＞0，1≤x≤2），∴f'（x）＝7ax3﹣8ax＝4a（x3﹣2x）＝．分析知f（x）在区间上递减，在上递增，∴a＝1，故答案为：1．15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．【分析】由阅读能力及类比能力结合解方程x2﹣x﹣3＝0，（x＞0）解得：x＝，即可得解．解：设x＝由题意可得：即x2﹣x﹣3＝0，（x＞0）故答案为：．16．设函数f'（x）是偶函数f（x）（x≠0）的导函数，f（﹣2）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】结合题意构造函数，结合已知及函数的单调性与导数关系可求g （x）的单调性，结合单调性及奇偶性可求．解：令，∴，∵当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．∴，当0＜x＜2时，g（x）＜g（5）＝0，即f（x）＜0；∵f（x）是偶函数，∴当x＜﹣2时，f（x）＞0，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数，a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）有三个单调区间，求实数a的取值范围．【分析】（1）f′（x）＝﹣x2+a，a＝1时，f′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得极值点，进而得出极值．（2）f′（x）＝﹣x2+a，对a分类讨论，利用得出单调性与单调区间．解：（1）f′（x）＝﹣x2+a，a＝1时，f′（x）＝﹣x2+2＝﹣（x+1）（x﹣1），可得f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣2，1）上单调递增，x＝1时，函数f（x）取得极大值，f（1）＝﹣+1＝．a≤0时，f′（x）≤0，函数f（x）在R上单调递增，不满足题意，舍去．则f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递减，在（﹣，）上单调递增，∴实数a的取值范围是（0，+∞）．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若A＝2B，证明：a＝2b cos B；（2）若，证明：．【分析】（1）根据正弦定理由A＝2B，可得sin A＝sin2B，即可证明；（2）利用反证法，即可证明．【解答】证明：（1）因为A＝2B，所以sin A＝sin2B，则sin A＝2sin B cos B，（2）假设，则c＞a＞0，c＞b＞8，于是，即，所以当时，．19．已知若椭圆C：（a＞b＞0）交x轴于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值b2﹣a2．（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的性质类比写出双曲线的性质．（2）求出相关的的坐标，求出直线PA的方程与求出M的坐标，N的坐标，然后通过向量的数量积转化求解即可．解：（1）类比得命题：若双曲线C：（a＞0，b＞0））交x轴于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值﹣（a2+b2）．证明：（2）不妨设A（﹣a，0），B（a，0），P（x0，y0），则，令x＝0，则，∴点M坐标为．同法可求得．又∵，∴．20．已知函数，数列{a n}对于n∈N*，总有a n+1＝f（a n），．（1）求a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【分析】（1）利用已知条件逐步求解数列的前几项，猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可．【解答】（1）解：由，得，因为，所以，，，（8）证明：用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，，猜想成立；②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即，所以当n＝k+1时猜想也成立．由①②知，对n∈N*，都成立．21．设函数f（x）＝e2x﹣a（x+1）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题转化为函数过一点的切线问题，利用导函数研究切线的性质即可确定实数a的取值范围．解：（1）由函数的解析式可得：f′（x）＝2e2x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞2，f（x）在R上单调递增，则单调递减，（2）由题意可得：e2x﹣a（x+1）＞5，e2x＞a（x+1）恒成立，直线y＝a（x+3）恒过定点（﹣1，0），考查函数y＝（e2）x过（﹣7，0）的切线方程：故切线方程为：，综上可得，实数a的取值范围是．22．设函数f（x）＝ln（x+1）（x≥0），g（x）＝．（1）证明：f（x）≥x﹣x2．（2）若f（x）+x≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）证明：当n∈N*时，ln（n2+3n+2）＞．【分析】（1）不等式为ln（x+1）﹣x+x2≥0，求出函数h（x）＝ln（x+1）﹣x+x2，x∈[0，+∞）时的最小值大于等于0；（2）不等为ln（x+1）≥，令m（x）＝ln（x+1）﹣，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值，从而求出a的最小值；（3）由（1）知ln（x+1）≥x﹣x2，令x＝，n∈N*，得出ln（n+1）﹣lnn＞，利用列项求和法求出ln（n+1）＞++…+．【解答】（1）证明：函数f（x）＝ln（x+1）（x≥0），则不等式f（x）≥x﹣x2化为ln（x+3）﹣x+x2≥0，则h′（x）＝+2x﹣1＝≥0，所以ln（x+1）≥x﹣x2；令m（x）＝ln（x+1）﹣，即m（x）≥0恒成立，令m′（x）＞6，即x+1﹣a＞0，得x＞a﹣1；所以当a≤1时，m（x）≥0在[0，+∞）上恒成立；所以m（x）的最小值为m（x）min＝m（a﹣1）＜m（7）＝0，所以m（x）≥0不恒成立；（3）证明：由（1）知，ln（x+4）≥x﹣x2，令x＝，n∈N*，x∈（0，8]；所以有ln2﹣ln1＞0，…，以上各式相加，可得因为n2+3n+7﹣（n+1）＝（n+1）2＞8，所以ln（n2+3n+2）＞ln（n+1），所以当n∈N*时，ln（n2+2n+2）＞．。

河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版) 1 / 13河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ： ，总有 ，则￢ 为A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得 【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ： ，总有 ，则￢ 为： ，使得 ． 故选：B ．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2. “ ”是“方程的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分条件又不必要条件【答案】B【解析】解：若方程的曲线是椭圆， 则 ，即 ，即且 ， 即“ ”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的定义求出m 的等价条件是解决本题的关键．3. 已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使 ，用向量，表示向量 是 A.B.C.D.【答案】C【解析】解：故选：C ．根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4.已知实数x，y满足不等式组，则函数的最大值为A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】：解：作出可行域如下图，得，当直线过点C时，z最大，由得，即，所以z的最大值为6．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，得，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5.椭圆的离心率是，则的最小值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】解：由题意可得，即则当且仅当即时取等号的最小值为故选：A．河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版) 3 / 13由题意可得，，代入，利用基本不等式可求最小值本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合6. 如图，直三棱柱 ， ，且 ，则直线 与直线所成角的余弦值为A. B. C.D.【答案】A【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取 ，则 ． 0， ， 0， ， 2， ， 2， ．2， ， 2， ．． 故选：A ．通过建立空间直角坐标系 利用向量夹角公式即可得出．本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题．7. 点 在圆 上运动，则点 的轨迹是A. 焦点在y 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线 【答案】B【解析】解： 点 在圆 上， ，，点 是椭圆上的点． 故选：B ．根据变形，得出结论．本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题．8. 若两个正实数x ，y 满足，且不等式有解，则实数m 的取值范围 A. B. ∞ ∞ C.D. ∞∞【答案】B【解析】解：不等式有解，，，，且，，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或，实数m的取值范围是∞∞．故选：B．将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解属于中档题．9.直线与抛物线交于A、B两点，若，则弦AB的中点到直线的距离等于A. B. 2 C. D. 4【答案】C【解析】解：直线可化为，故可知直线恒过定点抛物线的焦点坐标为，准线方程为，直线AB为过焦点的直线的中点到准线的距离弦AB的中点到直线的距离等于故选：C．根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程，确定直线AB为过焦点的直线，根据抛物线的定义求得AB的中点到准线的距离，即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义来解决．10.已知数列的首项，，则河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)A. 99B. 101C. 399D. 401【答案】C【解析】解：数列的首项，，则：，整理得：，所以：，即：常数，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．则：，整理得：首项符合通项，则：，所以：．故选：C．直接利用关系式的变换和定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的项．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.给出以下命题，其中真命题的个数是若“￢或q”是假命题，则“p且￢”是真命题命题“若，则或”为真命题已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；直线与双曲线交于A，B两点，若，则这样的直线有3条；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于 ，若“￢或q”是假命题，则它的否定是“p且￢”，它是真命题， 正确；对于 ，命题“若，则或”，它的逆否命题是“若且，则”，且为真命题，原命题也是真命题， 正确；对于 ，由，且，，A，B，C四点共面， 正确；对于 ，由双曲线方程知，，即直线l：过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是，且，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即时，满足的直线有2条，当直线与实轴垂直时，即时，得，即，则，此时通径长为5，若，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足， 错误．综上所述，正确的命题序号是 ，有3个．故选：C．根据命题与它的否定真假性相反，即可判断正误；根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可；5 / 13根据空间向量的共面定理，判断正误即可；由双曲线和直线的位置关系，判断结论是否正确．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．12.F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点若，则C的离心率是A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：由题意得右焦点，设一渐近线OA的方程为，则另一渐近线OB的方程为，设，，，，，，，，．由可得，斜率之积等于，即，，．故选：C．设一渐近线OA的方程为，设，，由，求得点A 的坐标，再由，斜率之积等于，求出，代入进行运算．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．【答案】4018【解析】解：数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由，可得．故答案为：4018．河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)由题意写出数列的前几项，可得数列的最小正周期为6，求得一个周期的和，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意运用数列的周期，考查运算能力，属于基础题．14.在正三棱柱中，若，点D是的中点，求点到平面的距离______．【答案】【解析】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，2，，4，，0，，2，，4，，设平面的法向量y，，则，取，得，点到平面的距离：．故答案为：．以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.已知空间三点2，，5，，3，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为______．【答案】【解析】解：3，，1，．，，．．．以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．故答案为：．3，，1，可得，，可得可得以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7 / 1316.已知点P在离心率为的双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为______【答案】【解析】解：设P为双曲线的右支上一点，，，，由双曲线的定义可得，由即，可得，可得，则，由直角三角形可得外接圆的半径为，内切圆的半径设为r，可得，即有，由，可得，则，可得，则则的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为．故答案为：．设P为双曲线的右支上一点，，，，运用双曲线的定义和直角三角形的外接圆的外心为斜边的中点，运用等积法求得内切圆的半径，结合离心率公式，化简即可得到所求比值．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的外接圆和内切圆的半径，考查等积法求内切圆的半径，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：方程表示圆；命题q：双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若命题p：方程表示圆为真命题，则，解得．若命题q：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．命题“”为假命题，“”为真命题，与q必然一真一假．或，或或，河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版) 9 / 13解得 或 ．综上可得：实数m 的取值范围是 ．【解析】若命题p ：方程 表示圆为真命题，则 ，解得m 范围 若命题q ：双曲线的离心率，为真命题，则，解得 由于命题“ ”为假命题，“ ”为真命题，可得p 与q 必然一真一假 即可得出．本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 如图，四棱锥 底面为正方形，已知 平面ABCD ， ，点M 为线段PA 上任意一点 不含端点 ，点N 在线段BD 上，且 ． 求证：直线 平面PCD ； 若M 为线段PA 中点，求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值．【答案】 证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似知，可得： ， 平面PCD ， 平面PCD ， 则直线 平面PCD ；解：由于 ，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 0， ，则 1， ， 1， ， 0， ，，则 1，，平面AMN 的法向量为， 则向量 与 的夹角为 ，则， 则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为． 【解析】 延长AN ，交CD 于点G ，由相似知，推出 ，然后证明直线 平面PCD ；以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 0， ，求出相关点的坐标， 1， ，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，D为BC的中点，求线段AD 的长．【答案】证明：锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．利用正弦定理：，则：，所以：，由于：，则：，即：．的面积，则：，解得：，，，，，【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．20.直三棱柱中，，E，F分别是，BC的中点，，D为棱上的点．证明：；证明：；是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【答案】证明：，，，又，，面．又面，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)设且，即y，，0，，则0，，，，，所以；结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面ABC的法向量，设面DEF的法向量为，则，，，即，令，则．平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，，即，解得或舍，所以当D为中点时满足要求．【解析】根据线面垂直的性质定理证明面即可．建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键考查学生的运算和推理能力．21.已知数列的前n项和为，，且，为等比数列，，．求和的通项公式；设，，数列的前n项和为，若对均满足，求整数m的最大值．【答案】解：，且，当时，，即为，即有，上式对也成立，11 / 13则，；为公比设为q的等比数列，，．可得，，则，即，，；，前n项和为，，即，可得递增，则的最小值为，可得，即，则m的最大值为1345．【解析】运用数列的递推式和恒等式，化简可得，；再由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；求得，由裂项相消求和，可得，再由数列的单调性可得最小值和不等式恒成立思想，可得m的最大值．本题考查等比数列的通项公式的运用，数列的递推式和恒等式的运用，以及数列的单调性的运用：求恒成立问题，考查化简运算能力，属于中档题．22.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．若M，N为椭圆上两点，且线段MN的中点为，求直线MN的斜率；若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．【答案】解：抛物线：的焦点，则，，椭圆的标准方程：，设，，则，两式相减得：，由MN的中点为，则，，直线MN的斜率，直线MN的斜率为；由椭圆的右焦点，当直线AB的斜率不存在或为0时，，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，设，，联立，消去y化简整理得：河南省南阳市2018-2019年高二上学期期末考试数学（理）试题(解析版)，，，，则，同理可得：，，综上可知：是定值．【解析】根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法”即可求得直线MN的斜率；分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．13 / 13。

2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-【答案】A【解析】由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+， 则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12.本题选择A 选项.2．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为( )A ．B C ．13D ．25【答案】C【解析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案． 【详解】图中阴影部分的面积为1231003|1x dx x ==⎰，长方形区域的面积为1×3＝3， 因此，点M 取自图中阴影部分的概率为13． 故选：C ． 【点睛】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．3．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布()285,N σ，已知()1220.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（） A ．6 B ．4C ．94D ．96【答案】B【解析】由已知根据正态分布的特点，可得()1220.04P X >=，根据对称性，则()480.04P X <=，乘以样本个数得答案．【详解】由题意，知()1220.96P X ≤=，可得()1220.04P X >=， 又由对称轴为85x =，所以()480.04P X <=， 所以成绩小于48分的样本个数为1000.044⨯=个． 故选：B ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量μ和σ的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．4．在()()6511x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（） A ．-10 B ．5 C ．10 D ．-5【答案】A【解析】根据()()65511(1)()x x x x ---=--，把5(1)x -按二项式定理展开，可得含3x 的项的系数，得到答案．【详解】由题意，在()()65511(1)()x x x x ---=--的展开中3x 为2235()10xC x x --=-，所以含3x 的项的系数10-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅ D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅【答案】A【解析】由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由已知在平面几何中，若ABC ∆中，,,AB AC AE BC E ⊥⊥是垂足，则2AB BD BC =⋅，类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面,ABC AO ⊥面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），着重考查了推理能力，属于基础题．6．已知()()62f x ax =+，()'f x 是()f x 的导数，若()'f x 的展开式中x 的系数小于()f x 的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是（） A ．()2,0,5⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U B ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()5,0,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U 【答案】B【解析】由()f x 展开式中x 的系数是556562192C a a -⋅=，又()56(2)f x a ax '=+，所以()f x '的展开式中x 的系数是44562aC a ⋅，得到2480192a a <，继而解得结果．【详解】由题意，函数()f x 展开式中x 的系数是556562192C a a -⋅=，又()556(2)(2)6(2)f x ax ax a ax '=++=+，所以()f x '的展开式中x 的系数是44542562480aC aa -⋅=， 依题意得2480192a a <，解得205a <<． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式和二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 7．函数()f x 在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数()'y f x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数的单调性确定()f x '的符号，即可求解，得到答案． 【详解】由函数()f x 的图象可知，函数()f x 在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当0x >时，函数()f x 单调递增，所以导数()f x '的符号是正，负，正，正，只有选项C 符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由()f x 的图象看函数的单调性，得出导函数()f x '的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．127【答案】C【解析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个， 可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为62279=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =，再由导函数的符号判断出函数()g x 的单调性，不等式(1)f x +>2(1)(1)x f x --，构造为()21(1)g x g x +>-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设()()g x xf x =，则()()()()()0g x x f x xf x f x f x ''''=+=+<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上是减函数，因为(1)f x +>2(1)(1),(0,)x f x x --∈+∞，所以22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，所以()21(1)g x g x +>-，所以211x x +<-，解得2x >．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中根据条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）A ．72B ．56C ．48D ．40【答案】A【解析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。

南阳市六校2019-2020学年高二(下)第一次联考数学试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若当limΔx→0f(x0)−f(x0+3Δx)2Δx=1，则f′(x0)等于()A. 32B. 23C. −32D. −232.观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为()．A.B.C.D.3.已知函数f(x)=2x2，则f′(1)等于()A. 4B. 2C. 4+2△xD. 4+2(△x)24.用反证法证明“∀x∈R，2x>0”，应假设()A. ∃x0∈R，2x0>0B. ∃x0∈R，2x0<0C. ∀x∈R，2x≤0D. ∃x0∈R，2x0≤05.下列类比推理正确的是()A. 把a(b+c)与a x+y类比，则有a x+y=a x+a yB. 把a(a+b)与a⇀·(a⇀+b⇀)类比，则有a⇀·(a⇀+b⇀)=a⇀2+a⇀·b⇀C. 把(abc)n与(x+y+z)n类比，则有(x+y+z)n=x n+y n+z nD. 把(ab)c与(a⇀·b⇀)·c⇀类比，则有(a⇀·b⇀)·c⇀=c·⇀(a⇀·b⇀)6.函数y=(3−x2)e−x的递增区间为()A. (−∞,0)B. (3,−1)C. (−∞,3)及(1,+∞)D. (−∞,−1)及(3,+∞)7.已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是()A. B. C. D.8.期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格．乙：丁肯定能及格．丙：我们四人都能及格．丁：要是我能及格，大家都能及格．成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9. 设曲线y =x n+1(n ∈N ∗)，在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1+log 2011x 2+⋯+log 2011x 2010的值为( )A. −log 20112010B. −1C. log 20112010−1D. 110. 已知函数f(x)=4x2x−1，M =f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(nn )(n ∈N ∗，且n 为奇数)，则M 等于( )A. 2n −1B. n −12C. 2n +2D. 2n +1211. 已知函数f(x)=x 2(e x +e −x )−(2x +1)2(e 2x+1+e −2x−1)，则满足f(x)>0的实数x 的取值范围是( )A. (−1,−13) B.C.D.12. 已知函数f(x)=a(e x−1+x 2)与g(x)=ax 2−|x −a|+1，若y =f(x)与y =g(x)的图像恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,1)B. {−1}∪[0,1)C. (−1)∪(1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线方程为______． 14. 设0<x <1，则函数y =1x +11−x 的最小值是________．15. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在代数式1+11+11+⋯中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则1+1t =t ，则t 2−t −1=0，取正值得t =√5+12，用类似方法可得√7+√7+√7+⋅⋅⋅= ．16. 函数g(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(2)=0，当 x >0时，xg(x)−f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 设函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若方程f(x)=0有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围．18. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a b =cos Bcos A ，判断△ABC 的形状．19. 己知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =一1上，且椭圆的离心率e =√32．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点直线AM 交直线，于点C ，N 为线段BC 的中点，求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20.用数学归纳法证明：．21.已知函数f(x)=alnx+x2−x，其中a∈R．(Ⅰ)若a>0，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考了导数的定义，属于基础题．根据导数的定义即可求出．lim Δx→0f(x0)−f(x0+3Δx)2Δx=−32limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0)3Δx=−32f′(x0)=1，∴f′(x0)=−23，故选：D．2.答案：B解析：本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：观察图形得到规律是每行有方块、三角形、圆各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应该填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应该是阴影部分的方块．故选B．3.答案：A解析：解：由f′(x)=4x，则f′(1)=4，故选：A先求导，再代值计算即可．本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的求导公式是解题之关键，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查反证法的概念，属于基础题．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P(x0)成立的否定是使得P(x0)不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x>0”，应假设为∃x0∈R，2x0≤0．故选D．5.答案：B解析：解：对于选项A：把a(b+c)与a x+y类比，则有a x+y=a x+a y，当x=y=1时，不成立．对于选项C：当n=2时(x+y+z)2≠x2+y2+z2．对于选项D：向量是不成立的．故选：B．直接利用举例或特值法排除选项，从而求出结果．本题考查的知识要点：特值法在客观题中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：D解析：解：y′=−2x⋅e−x+(3−x2)(−e−x)=e−x(x2−2x−3)，令y′>0，解得：x>3或x<−1，故f(x)在(−∞,−1)递增，在(3,+∞)也递增，故选：D．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.答案：B解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性.解题关键是由函数f(x)=lnx−a2x2−2x存在单调递减区间，等价于当x>0时f′(x)<0有解等价于a>1x2−2x在(0,+∞)上有解；然后求函数的最小值即可．解：∵函数f(x)=lnx−a2x2−2x存在单调递减区间，∴当x>0时f′(x)=1x−ax−2<0有解，即当x>0时，1x −ax−2<0有解，等价于a>1x2−2x在(0,+∞)上有解；令g(x)=1x2−2x(x>0)，则g′(x)=−2x3+2x2=2(x−1)x3(x>0);当x>1时，g′(x)>0，g(x)在此区间单调递增；当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在此区间单调递减；即g(x)min=g(1)=−1；∴a>−1;故选B．8.答案：A解析：本题考查的是推理和证明，只要加以正确推理不难得出结果．解：通过题设可知甲，丙显然是矛盾的，必然有一个不正确．假设甲正确，那么丙必然错误，即乙，丁必然正确，通过乙、丁，我们发现甲是及格的，想矛盾，故甲是错的．故答案为A．9.答案：B解析：解：y =x n+1在(1,1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1)，该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =nn+1，所以log 2011x 1+log 2011x 2+⋯+log 2011x 2010=log 201112×23…×20102011=−1， 故选B ．先求曲线在点(1,1)处的切线方程，从而得出切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，再求相应的函数值． 本题利用了导数的几何意义，同时利用了对数运算的性质求出函数10.答案：C解析：M =f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(nn )=f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(n−2n)+f(n−1n)+f(1) ①观察式子，易发现第一项f(1n )与倒数第二项f(n−1n)的关系，此时会考虑下f(1n )+f(n−1n)是否为定值.即f(1−x)+f(x)是否为定值.因为f(1−x)=4(1−x)2(1−x)−1=4x−42x−1，f(x)=4x2x−1，所以f(1−x)+f(x)=4x−42x−1+4x2x−1=8x−42x−1=4.将M 的项除f(1)外倒着排序.即M =f(n−1n)+f(n−2n)+⋅⋅⋅+f(2n)+f(1n)+f(1) ②由①②两式相加，得2M =4(n −1)+8=4n +4，所以M =2n +2．11.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查了导数的运用，属于中档题，设g(x)=x 2(e x +e −x )，则f(x)>0即为g(x)>g(2x +1)，利用导数研究函数的单调性，再结合奇偶性可得．解：设g(x)=x 2(e x +e −x )， 则f(x)>0即为g(x)>g(2x +1)， ∵g(x)=g(−x)， ∴g(x)为偶函数，当x ≥0时，g′(x)=2x(e x +e −x )+x 2(e x −e −x )≥0， ∴g(x)在[0,+∞)上为增函数，∴|x|>|2x +1|， ∴x 2>(2x +1)2， 解得−1<x <−13，即实数x 的取值范围是(−1,−13)． 故选A ．12.答案：B解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系和利用导数研究函数的单调性，由f(x)=g(x)可得ae a =−|x|+1e x−1={−x+1e x−1,(x ≥0)x+1ex−1,(x <0),令ℎ(x)=−|x|+1e x−1，t(a)=ae a ，研究单调性和图像，由图像即可得出ae a ∈[0,e)和ae a =−1e ，即可得出a 的取值范围．解：由f(x)=g(x)可得，a(e x −1+x 2)=ax 2−|x −a|+1，⇒ae x −1=−|x −a|+1， 向左平移a 个单位，可得ae x+a −1=−|x|+1，⇒ae a ·e x−1=−|x|+1，⇒ae a=−|x|+1e x−1={−x +1e x−1,(x ≥0)x +1e x−1,(x <0), 令ℎ(x)=−|x|+1e x−1，求导后得ℎ(x)在x ∈(−∞,0)递增，x ∈(0,2)递减，在(2,+∞)递增，又ℎ(0)=e,ℎ(2)=−1e ，且x →+∞时，ℎ(x)→0，如图，所示， 以ae a ∈[0,e)或ae a =−1e 时，恰有两个零点， 令t(a)=ae a ，t′(a)=(a +1)e a ，由于t(a)=ae a 在(0,1)递增，又f(0)=0，f(1)=e ，f(−1)=−1e (为左侧极值点)，如图所示， 当ae a ∈[0,e)时，a ∈[0,1)，当ae a =−1e 时，解得a =−1， 综上所述，实数a 的取值范围是{−1}∪[0,1), 故选B ．13.答案：x −y +3=0解析：解：f(x)=e x +2的导数为f′(x)=e x ，可得曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线斜率为k =1，切点为(0,3)，则曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线方程为y =x +3，即x −y +3=0．故答案为：x −y +3=0．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．14.答案：4解析：本题考查了函数的最值，考查了计算能力，属于基础题．解：y =1x +11−x =1x (1−x )，当0<x <1时，x(1−x)=−(x −12)2+14≤14． ∵0<x <1，∴x =12时，y 取得最小值4，故答案为4．15.答案：1+√292解析：本题考查类比推理，可令√7+x =x ，求解出x 即可． 解：由题意可得，令√7+x =x ， 则x 2−x −7=0，取正值可得x =1+√292， 故答案为1+√292．16.答案：解析： 本题考查函数的奇偶性，利用导数判定函数的单调性，构造函数g(x)=xf(x)是解题的关键，属于中档题．构造函数f (x )x ，先判断f(x)x 在(0,+∞)上的单调性，由f(x)是奇函数，可得在(−∞,0)上的单调性，根据f (2)2=0，从而可得答案．解：构造函数f(x)x ， 其导数为g(x)x−f(x)x 2，当x >0时，g(x)x−f(x)x 2<0， 所以函数f(x)x 在(0,+∞)单调递减， 又f(2)2=0，所以当x >2时，f(x)x <0，即f(x)<0，因为f(x)为奇函数，所以f(x)x 为偶函数，所以当x <0时，f(x)x >0的解为−2<x <0，即f(x)<0的解为−2<x <0，综上x 的取值范围是．故答案为． 17.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=3x 2−9x +6=3(x −1)(x −2)，…………………………………(2分) 令f′(x)>0，得x >2或x <1；f′(x)<0，得1<x <2，…………………………(4分)∴f(x)增区间(−∞,1)和(2,+∞)；减区间是(1,2).……………………(6分)(Ⅱ)由(I)知 当x =1时，f(x)取极大值f(1)=52−a ，………………………………(7分)当x =2时，f(x)取极小值 f(2)=2−a ，………………………………………………(8分)因为方程f(x)=0仅有三个实根．所以{f(1)>0f(2)<0…………………………………………(10分) 解得：2<a <52，实数a 的取值范围是(2,52).……………………………………………………………(12分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数f′(x)=3x 2−9x +6=3(x −1)(x −2)，令f′(x)>0；f′(x)<0，求解函数的单调区间即可．(Ⅱ)利用函数的极值列出不等式，即可求解实数a 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：a b =cos B cos A由正弦定理得sinAcosA =sinBcosB ,即sin2A =sin2B ，∵A,B ∈(0,π)，∴2A =2B ，或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解析：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．通过正弦定理化边为角，求解．19.答案：解：(Ⅰ)∵x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)且点B 在直线l ：y =一1上，∴b =1，又∵e =c a =√32，a 2−c 2=b 2=1∴a 2=4，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，x 0≠0，则Q(0,y 0)，且x 024+y 02=1， ∵M 为线段PQ 的中点，∴M(x02,y 0)， ∵A(0,1)，∴直线AM 的方程为：y =2(y 0−1)x 0x +1，令y =−1，得C(x 01−y 0,−1)， ∵B(0,−1)，N 为线段BC 的中点，∴N(x 02(1−y 0),−1)， ∵NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−x 02(1−y 0),y 0+1)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02,y 0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0(y 0+1) =x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0 =x 024+y 02−x 024(1−y 0)+y 0 =1−(1+y 0)+y 0=0⋅解析：(Ⅰ)通过点B 在直线l ：y =一1上，得b =1，再根据e =c a =√32及a 、c 与b 之间的关系，易得a 2=4，从而可得椭圆的标准方程x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，x 0≠0，则点P 满足椭圆方程，根据题意，易得M(x 02,y 0)、N(x 02(1−y 0),−1)，计算OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可⋅ 本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题． 20.答案：证明：(1)当n =1时，32≤1+12≤32，命题成立；(2)假设当时命题成立，即1+k 2≤1+12+13+⋯+12k ≤12+k ， 则当n =k +1时，1+12+13+⋯+12k +12k +1+12k +2+⋯+12k +2k ≥1+k 2+2k ·12k+1=1+k+12，又1+12+13+⋯+12k +12k +1+12k +2+⋯+12k +2k ≤12+k +2k ·12k =12+(k +1)， 即n =k +1时，命题成立，由(1)和(2)可知，命题对所有都成立．解析：本题考查数学归纳法，着重考查推理、变形与论证能力，属于中档题．利用数学归纳法的证明方法，验证n =1时成立，假设n =k 时成立，证明n =k +1时等式也成立即可．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=a x+2x −1=2x 2−x+a x ，(x >0)， 令g(x)=2x 2−x +a =2(x −14)2+a −18，(x >0)， a ≥18时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)递增， 0<a <18时，令g′(x)>0， 解得：x >1+√1−8a2或0<x <1−√1−8a2，令g′(x)<0，解得：1−√1−8a2<x <1+√1−8a2，故f(x)在(0,1−√1−8a 2)递增，在(1−√1−8a 2,1+√1−8a2)递减， 在(1+√1−8a 2,+∞)递增； (Ⅱ)x =1时，显然成立，x >1时，问题转化为a ≥−x 2+x lnx 在(1,+∞)恒成立， 令ℎ(x)=−x 2+xlnx ，则ℎ′(x)=(−2x+1)lnx+x−1(lnx)2，令m(x)=(−2x +1)lnx +x −1，(x >1)，则m′(x)=−2lnx +1−x x <0，故m(x)<m(1)=0，故ℎ′(x)在(1,+∞)递减，而x →1lim −x 2+x lnx =x →1lim −2x+11x =−1，故a ≥−1．解析：(Ⅰ)求出f(x)的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为a ≥−x 2+x lnx 在(1,+∞)恒成立，令ℎ(x)=−x 2+x lnx ，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx −1=lnx +1x ， ∴xf′(x)=xlnx +1，题设xf′(x)≤x 2+ax +1等价于lnx −x ≤a ，令g(x)=lnx −x ，则g′(x)=1x −1．当0<x <1时，g′(x)>0；当x ≥1时，g′(x)≤0，∴x =1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)=−1．综上，a 的取值范围是[−1,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx −x +1≤0；当0<x <1时，f(x)=(x +1)lnx −x +1=xlnx +(lnx −x +1)≤0；当x ≥1时，f(x)=lnx +(xlnx −x +1)=lnx +x(lnx +1x −1)≥0所以(x −1)f(x)≥0．解析：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx −1=lnx +1x ，从而xf′(x)≤x 2+ax +1可转化为lnx −x ≤a ，令g(x)=lnx −x ，求出函数的最值，即可求得a 的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx−x+1≤0，可证0<x<1时，f(x)≤0；x≥1时，f(x)≥0，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查分离参数法求参数的范围，考查不等式的证明，属于中档题．。

河南省南阳市2018-2019学年⾼⼆数学下学期期末考试试题理南阳市2018-2019学年舂期⾼中⼆年级期终质量评估数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

试卷满分150分。

考试时最新试卷多少汗⽔曾洒下，多少期待曾播种，终是在⾼考交卷的⼀刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流⽔，⼈⽣，总有⼀次这样的成败，才算长⼤。

间120分钟。

考试结束后，将试卷和答题卡⼀并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的﹒1.已知：i i z -=+3)21(，则z =（）A.i 571+B.i 5751+C.i 3731-D.i 3735- 解析：i i i z 5751213-=+-=2.设随机变量ξ～),2(p B ，随机变量η～ ),3(p B ，若95)1(=≥ξP ，则ηE =( ) A.31 B.32 C.1 D.2719 解析：因为95)1(=≥ξP ，所以951)1(2-=-p ，所以31=p .故η～ )31,3(B ，因此，1=ηE 3.在如图所⽰的正⽅形中随机投掷10000个点，则落⼊阴影部分（曲线C 为正态分布)1,1(-N 的密度曲线在正⽅形內的部分）的点的个数的估计值为（）A.1193B.1359C.2718D.3413附：若),(~2σµN X ，则6826.0)(=+≤<-σµσµx P ，9544.0)22(=+≤<-σµσµx P解析：由题意知：1-=µ，1=σ，因为1359.0)]02()13([21)10(=≤<--≤<-=<4.已知x ，y 的取值如下表，从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归⽅程为 3.5 1.3y x =-，则m =（）A ．15B ．16C ．2.16D ．17解析：3554321=++++=x ，529512872mm y +=++++=，点（y x ,）在直线3.15.3^-=x y 上，故17=m5.《聊斋志异》中有这样⼀⾸诗：“挑⽔砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀⾃诩⽆所阻，额上坟起终不悟．”在这⾥，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：322322=，833833=，15441544=，24552455=，则按照以上规律，若nn 8888=具有“穿墙术”，则n =（）A ．35B ．48C ．63D ．80解析：⽅法⼀：找规律：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7,48=6×8,63=7×9 ⽅法⼆：由nn 8888=得：n n 88864+=?，解得：63=n6.从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另⼀张也是假钞的概率为( ) A.81 B.92 C.151 D.173解析：记“抽出的两张中有⼀张是假币”为事件A ，记“抽出的两张都是假币”为事件B ，则81)()()|(21017132321023=+==C C C C C C A P AB P A B P7.函数2()sin ()πf x x x x =-∈R 的部分图象是( D )8、已知函数函数a ax x a x x f ---+=232131)(，其中0>a ，若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰好有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A.)3,0(B.),3(+∞C.)31,0( D.),31(+∞解析：易知函数)(x f 在区间)1,2(--内单调增加，在区间)0,1(-单调减少，从⽽函数)(x f 在区间)0,2(-内恰好有两个零点，当且仅当<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ，解得310<9.已知：9922108)1(...)1()1()2(-++-+-+=-x a x a x a a x x ，则6a =（） A.28- B.448- C.112 D.448解析：令1-=x t ，则9922108...)1)(1(t a t a t a a t t ++++=-+，故28)1()1(2283386-=-+-=C C a10.已知数列}{n a 各项的绝对值均为1，n S 为其前n 项和.若37=S ，则该数列}{n a 的前七项的可能性有（）种.A.10B.20C.21D.42解析：由37=S 可知，前七项之中有5项为1，2项为1-，故该数列前七项的排列有2127=C11.若f (x )=??≤+>-?600,3cos 20),5(πx tdt x x f x ，则f （2017）=（） A ．241 B ．2411 C ．245 D ．21 解析：由题可知：当0>x 时，)5()(-=x f x f ，所以)3()2()2017(-==f f f ，故2411|3sin 31813cos 2)3(60603=+=+=-?-ππt tdt f12.已知定义在R 上函数)(x f 是可导的，2)1(=f ,且1)(')(<+x f x f ，则不等式x e x f -<-11)(的解集是（）（注：e 为⾃然对数的底数）A.),1(+∞B.)1,0()0,( -∞C.)1,0(D.)1,(-∞解析：设)1)(()(-=x f e x F x ，则]1)(')([)('-+=x f x f e x F x ，因为0>xe ，由已知可得，0)('有，1>x第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题4分，共20分, 请将正确答案填在答题纸．．．上. 13.在⼆项式n x x )21(4?+的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重．新．排成⼀列，则有理项互不相邻的概率为__________（⽤最简分数表⽰）. 解析：125. 由题意可知，展开式的通项为：43212r n r nrr xC T --+??=（=r 0，1，2，…，n ），则有22011222n n n C C C --+=?，得8=n .则当8,4,0=r 时，432rn -为整数，即在展开式的9项中，有3项为有理项，则所求的概率为125993766==A A A P14.若函数2)(ax e x f x +=⽆．极值点，则a 的取值范围是______. 解析：答案：]0,2[e-（数形结合） ax e x f x 2)('+=，设令0)('=x f ，即ax e x2-=，设xe x g =)(，ax x h 2)(-=,易求过点)0,0(的曲线)(x g 的切线⽅程为ex y =，因此，由题意可得，e a ≤-≤20，故02≤≤-a e15.已知结论：“在正．△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆⼼，则2=GDAG”．若把该结论推⼴到空间，则有结论：“在正．四⾯体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四⾯体ABCD 外接球的球⼼，则OMAO= ．解析：3=OMAO. 【⽅法⼀】如图，设正四⾯体ABCD 的边长为a 2，其外接球的半径为R ，则有，R BO AO ==，a BM 332=，故a AM 632=，则R a OM -=362，在BOM RT ?中，222BM OM BO +=，解得，a R 26=，即a AO 26=，a a a OM 6626362=-=，故3=OM AO . 【⽅法⼆】：等体积法得H=4r16.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且?++-=203)()2('3)(dx x f x f x x f ，则2)(dx x f =_______.解析：设a dx x f =?2)(，则a x f x x f ++-=)2('3)(3，所以，)2('33)('2f x x f +-=，令2=x ，求得6)2('=f ，故a x x x f ++-=18)(3，因此，+=++-=++-=20202432232|)941()18()(a ax x x dx a x x dx x f ，则有a a =+232，得32-=a .三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤 17.（本⼩题满分10分）已知：⼆项式n x )21(+展开式中所有项的⼆项式系数．．．．．和为64，（1）求n 的值；。

………外…………………订……级：___________考号：___………内…………………订……河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．若函数()f x 满足()24f '=，则()()22limh f h f h→--=（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-2．观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若()()222f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A ．4-B ．6-C ．2D ．44．用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x >成立”时，假设正确的是（ ） A ．至少存在两个实数0x ，使030x >成立 B ．至多存在一个实数0x ，使030x >成立 C ．不存在实数0x ，使030x >成立 D ．任意实数x ，30x >恒成立5．下列使用类比推理正确的是（ ）A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若12x x +=，则2212x x+=”类比推出“若，则2212x x-=” C ．“实数a ，，满足运算()()ab c a bc =”类比推出“平面向量,,a b c r r r 满足运算()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r”D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心” 6．函数()()23xf x x e =-的单调递增区间是（ ）装…………○※※要※※在※※装※※装…………○A ．(),2-∞ B ．()2,+∞C ．5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()3,+∞7．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．设曲线()1n y xn N +*=∈在()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则201812018220182017log log log x x x ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2018log 2017-B ．1-C ．2018log 20171-D ．110．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．27411．设函数()22,0,0x x x e x f x x x e⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则使得()()121f x f x +>-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．()2,-+∞C ．(),0-∞D ．()2,+∞12．对任意的实数x ，关于y 的方程()0xyxxe ae ye-+=都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.14．若函数()()4240,12f x axaxa x =->≤≤的最小值为4-，则a =________.15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x ==__________． 16．设函数()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________.三、解答题17．已知函数31()3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有三个单调区间，求实数a 的取值范围. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若2A B =，证明：2cos a b B =； （2）若112a b c +=，证明：2C π<． 19．已知若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交x 轴于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值22b a -.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由. 20．已知函数()933f x x -=++，数列{}n a 对于n *∈N ，总有()1n n a f a +=，112a =.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 21．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 22．设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n-++>+++L .参考答案1．D 【解析】 【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果. 【详解】()()()()()002222lim 1lim 24h h f h f f h f f h h→→----'=-⨯=-=--. 故选：D . 【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题. 2．B 【解析】分析：观察图形不难发现每行有两个阴影图形，三个图形有长方形、圆、三角形详解：其规律是每行有方块，三角形，圆形各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应是阴影部分的方块 故选B点睛：本题属于规律题，只要观察图形做出判断不难发现规律。

河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题:0p x ∀>，总有(1)1xx e +≥，则p ⌝（ ）．A. 00x ∃>，使得00(1)e 1xx +< B. 00x ∃>，使得00(1)e 1xx +≤C. 00x ∃≤，使得00(1)e 1xx +≤D. 0x ∀≤，总有00(1)e1x x +≤2.“37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA u u u v ，OB uuu v ，OC u u u v 表示向量OG u u u v是（ ）A. 2233OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u vB. 122233OG OA OB OC u u u v u u u v u u u v u u u v=++C. 111633OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u vD. 112633OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v4.已知实数,x y 满足不等式组010240y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则函数3z x y =++的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 65.椭圆2222x y 1(a b 0)a b +=>>的离心率是12，则2b 13a+的最小值为( )B. 1D. 26.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,且12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.5 B.5 C.25D.357.点()00P x ,y 在圆22x y 1+=上运动，则点()00M 2x ,y 的轨迹是( )A. 焦点在y 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线8.若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式2yx m 3m 4+<-有解，则实数m 的取值范围( ) A . ()1,4-B. ()(),14,∞∞--⋃+C. ()4,1-D. ()(),03,∞∞-⋃+9.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ）A. 74B.94C. 4D. 210.已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ） A. 99B. 101C. 399D. 40111.给出以下命题，其中真命题的个数是( )①若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题 ②命题“若a b 5+≠，则a 2≠或b 3≠”为真命题③已知空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若111OP OA OB OC 632=++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面；④直线()y k x 3=-与双曲线22x y 145-=交于,A B 两点，若AB 5=，则这样的直线有3条；A. 1B. 2C. 3D. 412.F 是双曲线2222x y C :?1(a 0,b 0)a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B.若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是( ) A.2B. 2C.233D.143二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列2008，2009，1，2008-，⋯若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和2019S =______．14.在正三棱柱111ABC A B C -中，若14AB AA ==，点D 是1AA 的中点，求点1A 到平面1DBC 的距离______．15.已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______． 16.已知点P 在离心率为3的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，1F ，2F 为双曲线的两个焦点，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，则12PF F V 的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为_____. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若命题“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围． 18.如图，四棱锥 P ABCD - 底面正方形，已知 PD ABCD ⊥平面，PD AD =，点 M 为线段 PA上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且 PM DN =． （1）求证：MN PCD P 直线平面；（2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值．19.在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()122b cosC acosC ccosA +=+．()1证明：2a b =；()2若ABC V 的面积4S sinC =，且ABC V 的周长为10，D 为BC 的中点，求线段AD 的长．20.直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1CC ，BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．()1证明：AB AC ⊥； ()2证明：DF AE ⊥；()3是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 14？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．21.已知数列{}n a 的前n 项和为()*Nn S n ∈，23nn n Sa +=，且11a =，{}n b 为等比数列，134b a =-，451b a =+．()1求{}n a 和{}n b 的通项公式； ()2设1n n n n b c a +⋅=，*N n ∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对*N n ∀∈均满足2019n mT >，求整数m 的最大值．22.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值．河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题:0p x ∀>，总有(1)1xx e +≥，则p ⌝为（ ）． A. 00x ∃>，使得00(1)e 1xx +< B. 00x ∃>，使得00(1)e 1xx +≤C. 00x ∃≤，使得00(1)e 1xx +≤D. 0x ∀≤，总有00(1)e1x x +≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题p ：x 0∀>，总有()xx 1e 1+>，则p ￢为：0x 0∃>，使得()0x 0x 1e 1+≤．故选B ．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.“37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】方程22173x ym m +=--的曲线是椭圆，故应该满足条件：73303557.70m m m m m m -≠-⎧⎪->⇒<<<<⎨⎪->⎩或故37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA u u u v ，OB uuu v ，OC u u u v 表示向量OG u u u v是（ ）A. 2233OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u vB. 122233OG OA OB OC u u u v u u u v u u u v u u u v=++C. 111633OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u vD. 112633OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【详解】2OG OM MG OM MN 3=+=+u u u r u u u u r u u Q u u r u u u u r u u u u r,()()2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r =+++=++-=++111OG OA OB OC 633u u u r u u u r u u u r u u u r ∴=++ ,故选：C ．【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4.已知实数,x y 满足不等式组010240y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则函数3z x y =++的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由3z x y =++得3y x z =-+-．平移直线3y x z =-+-，结合图形可得，当直线经过可行域内的点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．由10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，故点C 的坐标为（1,2）．∴max 1236z =++=．选D ．5.椭圆2222x y 1(a b 0)a b +=>>的离心率是12，则2b 13a+的最小值为( ) 3B. 1 23D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得1c a 2=，22223a b a c 4=-=，代入223a 1b 1a 143a 3a 43a++==+，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可得，c 1a 2=即1c a 2=,22223a b a c 4∴=-=, 则223a 1b 1a 1a 13423a 3a 43a 43a ++==+≥⋅=当且仅当a 143a =即3a 2=时取等号 2b 13a +∴的最小值为33故选A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合. 6.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,且12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.5 B.5 C.25D.35【答案】A 【解析】【详解】设CA ＝2，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)，可得1AB u u u r＝(－2,2,1)，1u u u u r BC ＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈1AB u u u r ，1u u uu r BC 54410415⨯＋－＝＝＋＋＋＋7.点()00P x ,y 在圆22x y 1+=上运动，则点()00M 2x ,y 的轨迹是( )A. 焦点在y 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线【答案】B 【解析】 【分析】根据220x y 1+=变形2200(2x )y 14+=，得出结论．【详解】Q 点()00P x ,y 在圆22x y 1+=上，2200x y 1∴+=，2200(2x )y 14∴+=，∴点()00M 2x ,y 是椭圆22x y 14+=上的点．故选B ．【点睛】本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题． 8.若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式2yx m 3m 4+<-有解，则实数m 的取值范围( ) A. ()1,4- B. ()(),14,∞∞--⋃+ C. ()4,1- D. ()(),03,∞∞-⋃+【答案】B 【解析】【详解】分析：不等式2y 34x m m +<-有解，即为23m m -大于y4x +的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m 的范围．详解：正实数x y ， 满足141x y +=则y 14y 4224444x y x x x y y x +=++=++≥+=（）（） =4， 当且仅当48y x ==，y4x +取得最小值4． 由x 2y34x m m +<-有解，可得234m m ＞，- 解得4m ＞或1m -＜． 故选B ．点睛：本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属中档题．9.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A.74B.94C. 4D. 2【答案】B【解析】直线4kx ﹣4y ﹣k=0可化为k （4x ﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（14，0） ∵抛物线y 2=x 的焦点坐标为（14，0），准线方程为x=﹣74， ∴直线AB 为过焦点的直线∴AB 的中点到准线的距离222FA FBAB +==∴弦AB 的中点到直线x+12 =0的距离等于2+14=94. 故选B ．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．10.已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A. 99 B. 101C. 399D. 401【答案】C 【解析】【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.11.给出以下命题，其中真命题的个数是( )①若“p ⌝或q ”假命题，则“p 且q ⌝”是真命题 ②命题“若a b 5+≠，则a 2≠或b 3≠”为真命题③已知空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若111OP OA OB OC 632=++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面；④直线()y k x 3=-与双曲线22x y 145-=交于,A B 两点，若AB 5=，则这样的直线有3条；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 (1)若“()p ⌝或q ”是假命题，则p ⌝是假命题p 是真命题，q 是假命题q ⌝是真命题，故p 且()q ⌝真命题,选项正确.(2) 命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.（3）∵16+13+12=1，∴P，A ，B ，C 四点共面，故（3）正确， （4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l ：y=k （x ﹣3）过双曲线的右焦点，∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得29145y -=，即25y =54，即则y=±52， 此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB 的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误，故答案为C.12.F 是双曲线2222x y C :?1(a 0,b 0)a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B.若2AF FB =u u u r u u u r ，则C 的离心率是( )A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】由已知渐近线方程为l 1：b y x a =，l 2：b y x a=-，由条件得F 到渐近线的距离AF b u u u v =，则2FB b =u u u v ，在Rt △AOF 中，OF c u u u v =，则OA a ==u u u r .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.在Rt △AOF 中，b tan a θ=，在Rt △AOB 中，32b tan aθ=. ∵2221tan tan tan θθθ=-，即22231bb a b a a =-，即a 2=3b 2， ∴a 2=3(c 2-a 2)， ∴22243c e a ==，即e =. 故选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列2008，2009，1，2008-，⋯若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和2019S =______．【答案】4018【解析】【分析】由题意写出数列的前几项，可得数列的最小正周期为6，求得一个周期的和，计算可得所求和．【详解】数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2008，2009，1，2008-，2009-，1-，2008，2009，1，⋯，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由201963363÷=⋯，可得201933602008200914018S =⨯+++=．故答案4018．【点睛】本题考查数列的求和，注意运用数列的周期，考查运算能力，属于基础题．14.在正三棱柱111ABC A B C -中，若14AB AA ==，点D 是1AA 的中点，求点1A 到平面1DBC 的距离______． 【答案】2【解析】【分析】以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点1A 到平面1DBC 的距离．【详解】以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 1(0,A 0，4)，(0,D 0，2)，(23,2,0)B ，1(0,C 4，4)，11(0,0,2),(23,2,2),(0,4,2)DA DB DC ==-=u u u u r u u u r u u u u r ，设平面1DBC 的法向量(,,)n x y z =r ，则123220{ 420n DB x y z n DC y z ⋅=+-=⋅=+=u u u r r u u u u r r ，取3x =3,1,2)n =-r ， ∴点1A 到平面1DBC 的距离：128DA n d n ⋅===u u u u r r r 2．【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．【答案】【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积.详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-u u u v u u u v ，AB AC ====u u u v u u u v 所以2cos7BAC ∠==-，所以sin BAC ∠=所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为S ==故答案是点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.16.已知点P 22221(0,0)x y a b a b-=>>上，1F ，2F 为双曲线的两个焦点，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则12PF F V 的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为_____.1 【解析】【分析】设P 为双曲线的右支上一点，1PF m =，2PF n =，122F F c =，运用双曲线的定义和直角三角形的外接圆的外心为斜边的中点，运用等积法求得内切圆的半径，结合离心率公式，化简即可得到所求比值．【详解】设P 为双曲线的右支上一点，1PF m =，2PF n =，122F F c =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 由120PF PF ⋅=u u u r u u u u r 即12PF PF ⊥，可得2224m n c +=， 可得222222mn c a b =-=，则222()448m n m n mn a b +=-+=+，由直角三角形12PF F 可得外接圆的半径为R c =，内切圆的半径设为r ，可得()11222mn r m n c =++， 即有2222482mn r m n c a b c==++++， 由3c e a ==，可得3a c =， 则226b c a c =-=， 可得2222215311248233c r c c c c ⨯⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⨯+⨯+， 则则12PF F V 的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为1513-． 故答案为151-． 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的外接圆和内切圆的半径，考查等积法求内切圆的半径，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m -=的离心率(1,2)e ∈，若命题“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】215m ≤<【解析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解． 试题解析：若命题p 为真命题 ，则2240D E F +->，即22(2)4(22)0m m m --->整理得220m m -<，解得02m <<4分若命题q 为真命题 ，则25(1,4)5m e +=∈，解得015m <<8分 因为命题p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p q 、中一真一假， 10分若p 真q 假，则m ∈∅; 若p 假q 真，则215m ≤<，所以实数m 的取值范围为215m ≤<． 12分考点：1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．18.如图，四棱锥 P ABCD - 底面为正方形，已知 PD ABCD ⊥平面，PD AD =，点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且 PM DN =．（1）求证：MN PCD P 直线平面；（2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）223【解析】 试题分析：（1）延长AN ，交CD 于点G ，只需证明MN//PG,通过GDN ABN ~V V 可证明AMN APG ~V V ，从而证明MN//PG ．（2）由于DA DC DP ⊥⊥，以DA,DC,DP 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,利用线面角的向量公式解题．试题解析：（Ⅰ）延长AN ，交CD 于点G ，由相似知AN BN AM NG ND MP==， MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ，则直线MN //平面PCD ；（Ⅱ）由于DA DC DP ⊥⊥，以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设()1,0,0A ，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()1,1,1PB =-u u u r ，平面AMN 的法向量为()1,1,1m =r ，则向量PB u u u r 与m r夹角为θ，则1cos 3θ=，则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为3. 19.在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()122b cosC acosC ccosA +=+． ()1证明：2a b =；()2若ABC V 的面积4S sinC =，且ABC V 的周长为10，D 为BC 的中点，求线段AD 的长．【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；（2）利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据1cos 4C =，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）证明：()12cos 2cos cos b C a C c A Q +=+，()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C ∴+=+， ()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B CA C A C ∴++=+，2sin cos sin cos B C A C ∴=，又02C <<π，2sin sin B A ∴=，即2a b =.（2）解：12sin 4sin 2S b b C C =⨯⨯⨯=Q 2,4b a ∴==又10,4a b c c ++=∴=.1cos 4C ∴=，AD ==点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件灵活应用，即可求得结果.20.直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1CC ，BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．()1证明：AB AC ⊥；()2证明：DF AE ⊥；()3是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当D11A B 中点．【解析】【分析】 ()1根据线面垂直的性质定理证明AB ⊥面11.A ACC 即可．()2建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．()3求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】()1证明：11AE A B ⊥Q ，11//A B AB ，AE AB ∴⊥，又1AA AB ⊥Q ，1AA AE A ⋂=，AB ∴⊥面11A ACC ．又AC Q ⊂面11A ACC ，AB AC ∴⊥，()2以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()111,,,D x y z A D A B λ=u u u u r u u u u r 且()0,1λ∈，即(,x y ，1)(1z λ-=，0，0)，则(,D λ0，1)，11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 10,1,2AE u u Q u r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11022DF AE u u u r u u u r ∴⋅=-=，所以DF AE ⊥； ()3结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14，理由如下： 由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =r ，设面DEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 11111,,,,,122222FE DF λ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r Q ， 111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-r ． Q 平面DEF 与平面ABC，,14m n cos m n m n ⋅∴==r r r r r r ，14=， 解得12λ=或7(4λ=舍)， 所以当D 为11A B 中点时满足要求．【点睛】本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.考查学生的运算和推理能力．21.已知数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，23n n n S a +=，且11a =，{}n b 为等比数列，134b a =-，451b a =+．()1求{}n a 和{}n b 的通项公式；()2设1n n n n b c a +⋅=，*N n ∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对*N n ∀∈均满足2019n m T >，求整数m 的最大值．【答案】（1）()12n n n a +=，2n n b =；（2）1345.【解析】【分析】 ()1运用数列的递推式和恒等式，化简可得()12n n n a +=，*n N ∈；再由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；()2求得()()12112221221n n n n n n n b n c a n n n n ++++⋅⋅===-++++，由裂项相消求和，可得n T ，再由数列的单调性可得最小值和不等式恒成立思想，可得m 的最大值．【详解】()213n n n S a +=，且11a =， 当2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 即为()1121n n a n n a n -+=≥-， 即有()3211211341112212n n n n n a a a n n a a a a a n n -++=⋅⋅⋯=⋅⋅⋯⋅=--， 上式对1n =也成立，则()12n n n a +=，*n N ∈；{}n b 为公比设为q 的等比数列，134b a =-，451b a =+．可得1642b =-=，415116b =+=，则38q =，即2q =，2n n b =，*n N ∈；()()()121122221221n n n n n n n b n c a n n n n ++++⋅⋅===-++++， 前n 项和为3243212222222223243212n n n n T n n n +++=-+-+⋯+-=-+++， ()()()21112023n n n n n T T c n n ++++⋅-==>++， 即1n n T T +>，可得n T 递增，则n T 的最小值为123T =， 可得232019m >，即1346m <， 则m 的最大值为1345．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，数列的递推式和恒等式的运用，以及数列的单调性的运用：求恒成立问题，考查化简运算能力，属于中档题．22.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点． （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值． 【答案】（1）1 2-（2）8解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =. 所以椭圆222:184x y C +=. (1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=， 又MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=. 所以21211 2y y x x -=--.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为1 2-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时, 11 m n +=+=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ∆=--+22(88)32(1)0k k -=+>， 所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k-=+.所以m ==同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()118k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =. 所以椭圆221:184x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=， 又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--. 显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩ 消去y 并化简得()2222128880kx k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210k k k k ∆=--+-=+>， 所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k +==+， 同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ⎛⎫+++=+=⎪++⎭为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.。

2024年春期六校第一次联考高二年级数学试题（答案在最后）命题学校：（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知在等差数列{}n a 中，21016a a +=，54a =，则17a a +=A.0B.6C.8D.102.已知数列{}n a 为递减的等比数列，且4512a a +=，3632a a =，则{}n a 的公比为A.1212⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1312⎛⎫ ⎪⎝⎭C.12D.312⎛⎫ ⎪⎝⎭3.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP （国内生产总值）数据绘制出下面的散点图，该小组选择了如下2个模型来拟合GDP 值y 随年份x 的变化情况，模型一：()0,0y kx b k x =+>>；模型二：()e 0,0xy k b k x =+>>，下列说法正确的是A.变量y 与x 负相关B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况C.变量y 与x 有较强的线性相关性D.若选择模型二，e xy k b =+的图象不一定经过点(),x y4.已知数列{}n a 满足113n n n a a n ++=+，11a =，则11a =A.122B.126C.391D.1355.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是A.20B.21C.26D.276.某学习小组对一组数据()(),1,2,3,,7i i x y i =⋅⋅⋅进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程 32y x =+，样本点的中心为()2,m .乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据()4,6误输成()6,4，将这两个数据修正后得到回归直线方程 4y kx =+，则实数k =A.138B.53C.103D.527.设等差数列的前n 项和为n S ，已知592S =，5200n S -=，288n S =，则n 的值为A.16B.18C.24D.368.已知数列{}n a 满足：n a ∈Z ，41a =，1,,231,.nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则1a 所有可能的取值之和是A.6B.7C.9D.17二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420222023S S S <<，则下列选项正确的是A.0d >B.0n a <时，n 的最小值为2023C.n S 有最大值D.0n S >时，n 的最大值为404510.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，14n n a S +=，则A.25S = B.2024202225a a =C.数列{}n a 是等比数列D.数列{}n S 是等比数列11.已知数列{}n a 满足13a =，()*1332,nn n a a n n λ-=+⋅≥∈N ，则下列说法正确的是A.当0λ=时，数列{}n a 是递减数列B.当1λ=-时，数列3n n a ⎧⎫⎨⎩⎭是等差数列C.当1λ=时，3nn a n =⋅ D.当2λ=-时，数列{}n a 存在最小值12.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图所示，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知1,12a =，1,36,11a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有A.3m =B.76,7173a =⨯C.()1,313j i j a i -=-⨯ D.()()131314n S n n =+-三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设正项等比数列{}n a 满足1212a a +=，343a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为______.14.某同学在研究变量x ，y 之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程y x b a =+ ，则 a ______0（填“>”或“<”）.x 4.8 5.878.39.1y2.84.17.29.111.815.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且2331n n A n B n -=+，则88ab =______.16.若()g k 表示自然数k 的最大奇因数，例如()41g =，()55g =，()63g =⋅⋅⋅，记()()()()122n f n g g g =++⋅⋅⋅+（n 为自然数），则()3f =______.，()f n 的通项公式为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）爬虫软件是一种自动抓取互联网信息的程序，它能够模拟浏览器行为，自动化地获取网页源代码，并从中提取出所需数据。

2018-2019学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．04．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．15．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．36．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx=．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．19．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立【考点】数学归纳法．【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立．【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，即p（n）对所有正偶数n都成立故选：B．3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．0【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+1，∴f′（x）=．∴=﹣1×=﹣f′（1）=﹣．故选：A．4．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y′|x=m=﹣=解得m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．6．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点（0，1）处的切线的斜率等于1，相应的切线方程是y=x+1，当x=0时，y=1；即y=0时，x=﹣1，即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×1×1=．故选：A．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，故选D．8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+c，∴f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，∴必有f（﹣1）=﹣1+3+a=c+2=0，解得c=﹣2；故选：C．9．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小．【解答】解：当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线下包围的面积，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线上方包围的面积的负值，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=＞0，＜0；当函数y=f（x）的图象在[a，b]上x轴的上下方都有，不防设在[a，c）上在x轴上方，在（c，b]上在x轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；综上，三者的关系是．故选B．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．①．当x＜0时，由﹣x2+x=kx，化为x=﹣k＜0，解得k＞；②当x＞0时，只考虑k＞即可，令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则g′（x）=﹣k，A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B．当＜k＜1时，0＜＜1，g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1，列表如下：xg（x）+ 0 ﹣g′（x）单调递增绝对值单调递减由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g（）≥0时，g（x）才有零点，g（）=ln﹣（1﹣k）=k﹣lnk﹣1．下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，k∈（，1）．∵h′（k）=1﹣=＜0，∴h（k）在（，1）上单调递减，∴g（）=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，因此g（）＞0在k∈（，1）时成立．综上可知：当且仅当＜k＜1时，函数f（x）﹣kx有三个零点．故选：B．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx=．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法法则计算即可．【解答】解：∫（x+x2+sinx）dx=（﹣cosx）|=（+﹣cos1）﹣（﹣﹣cos1）=，故答案为：．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．【考点】数列递推式．【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，解得a=0或x=﹣1或x=a，若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，故答案为：a＜﹣1或a＞016．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．【考点】类比推理．【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论．【解答】解：设=x，则1+=x，∴2x2﹣2x﹣1=0∴x=，∵x＞0，∴x=，故答案为：三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（I）．∴=﹣1﹣i．（II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…由条件②式…由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣319．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小．（Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可．【解答】（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ）由（1）得．类似的，，又；∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx（另证：x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx，三式相加）．∴=20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？【考点】数学归纳法．【分析】假设存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．取n=1，2可得，解得a，b．再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．取n=1，2可得，解得a=1，b=4．则=对于一切n∈N*都成立．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即…+=．则当n=k+1时，…++=+====．也就是说当n=k+1时，等式也成立．综上所述：可知等式对于一切n∈N*都成立．21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴满足的最大整数M为4；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥122．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．。