2.8-矩阵的秩

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求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.

2 5
2 5
2 2
1 0
1 2
r4 r5
2 r1 5r1
0 0
2 5
4 13
1 5
1 3
～～ 1 r22r4
0 r4 2r3
2 0
3 0
1 0
1 0
r5 2r4
r12r3 r1r4
1 0
0 1
1 1
0 2
0 0
0 1 5 3 1 0 0 6 5 1
r5
5
r3
0 0
0 0
6 5 12 10
1 2 0 0 1
例
1.
求矩阵A
0 1 1
6 11 19
2 3 7
4 6 14
10
16 34
的秩
解：对A施行初等行变换
A
~
1 0 0
0
2 6 9 21
0 2 3 7
0 4 6 14
1 10 15 35
~
1 0 0 0
2 3 0 0
0 1 0 0
0 2 0 0
1
5 0 0
B
所以
R( A) R(B) 2
1 2
r3 r2 r4
r4 r3 r4
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
～ 1 r1
1 6
r3
0 r2
1 6
r3
0 1
0 0
56 7 6
16 16
0 0 1 56 16
1 6
r3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
由此可知R(B) R( A) 3，小于末知量的个数，故

2. 矩阵的秩

A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34 矩阵 A 的 2 阶子式
矩阵 A 的一个 3 阶子式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
当|A| = 0 时， R(A) < n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．
a11 a12 a13 a14
A
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
B
0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
0
0
0
0
0
12
解：在 A 中，2 阶子式
0．
23
A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ．
例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
A
2
3
5
4 7 1
2 1 0 3 2
B
0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．

矩阵的秩及其求法

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。

显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩定义2 设有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。

规定：零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1 设为阶梯形矩阵，求R (B )。

解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。

()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设如果求 a . 解或例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

2.7 矩阵的秩

有r (C )=r (C1 ) r (C2 )=r (C3 )=3 （此例对列也成立）
定理1说明：初等变换不会改变矩阵的秩则对角阵的秩等于主对角线上不为零的个数
1 如A 0 ,则r(A)=? 2
1 0 ,则r(A)=? 再如A 0 2
用定义来求矩阵的秩：当矩阵的行数、列数较小适用
思考：若矩阵的行数、列数较大，该怎么办呢？分析：我们知道，阶梯型矩阵的秩容易判断，而任何矩阵都可经过有限次的初等行变换化为阶梯型，因此，可以考虑用初等变换来求矩阵的秩。下面我们介绍用初等变换的方法来求矩阵的秩。
二、矩阵的秩求法
定理1 矩阵经过初等变换后, 其秩不变。
(3)
2 2 8 C 1 1 2
1 3 11 0 解 (2)因为B的二阶子式 2 5
1 2 4 7
3 1
而B的三阶子式只有一个, A 2 3 5 0 故r(B)=2。
(3)显然矩阵C有一个二阶子式
2 8 1 2
=-40。
且C没有三阶子式，根据定义, r(C)=2。
解对A做初等行变换将其化为行阶梯形矩阵：
1 r2 r1 r3 3 r1 0 A r4 5 r1 0 0 1 r3 r2 0 r4 2 r2 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 3 4 1 4 7 7 1 1 0 1 1 r2 r4 0 1 4 1 2 0 1 3 1 1 1 0 2 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 4 1 0 r r 0 0 7 0 所以r(A)=3 0 0 0 0 0
1 1 4 如C 0 1 0 ，r (C ) ? r(C)=3,故矩阵C为满秩矩阵 0 0 1

线性代数课件第三章矩阵的秩课件

VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。

矩阵的秩

. ）（若(1)只有零解，则 r n
（ 1 ）
a1n a2 n asn
n 的行秩 r ，那么它有非零解．
, , , 的秩为r，且不妨设为其一个极大无关组. 1 2 r
证：设矩阵 A 的行向量组 ( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , s i i 1 i 2 i n

, , , , , , 由于向量组与向量组等价， 1 2 s 1 2 r
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a a 1 1x 1 a 1 2x2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 0 a x a x a x 0 rn n r1 1 r2 2
a a n 1 2 1 k k 0 , 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 a a
改写一下，有
不全为零的n个数
, ,, 线性相关 R ( A ) n . 1 2 n
a a n 1 2 1 k k k 0 , k 2 n 1 22 n n a a 1 1 1 1
=0
R ( A ) n .
( ) 只有零解 A 0 R ( A ) n .
推论2
n 个 n 维向量

i
( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , n i 1 i 2 i n
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1 n a2n a nn a1 n a2n a nn 0. 0.
也线性无关．于是矩阵A的列秩 r1 r ．同理可证 r1 r . 所以 r1 r ．

矩阵的秩及其求法求秩的技巧

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ阶子式定义1 设在A 中任取k 行ｋ列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。

例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。

显然, 矩阵 A 共有个 k 阶子式。

２. 矩阵的秩定义2 设有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。

规定：零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ，０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵Ａ可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。

例1 设为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。

解由于存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。

矩阵的秩求法

(5) 对于 n 阶可逆矩阵A ，有
|A| ≠ 0 <=> R(A) = n <=> A 的标准形为 n 阶单位阵E
可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。
上上页页下下页页返回
例1 求矩阵A 和B 的秩，其中
1 A 2
4
2 3 7
3 5, 1
B

0 0 0
3 0 0
1 0 0
2 4 0
5 3 0
.
B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所有4 阶子式全为零，而 3 阶子式
2 1 3
0 3 2 24 0,
00 4
因此R（B）= 3 。
上页下页返回
从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。
定义2素不改变它们在a中所处的位置次序而得到的定义2设在矩阵a中有一个不等于0的r阶子式d且所有r1阶子式如果有的话全等于0那称为矩阵a的最高阶非零子式数r称为矩阵上页下页返回3对于任何mn矩阵a都有唯一确定的秩且raminm
§2. 矩阵的秩
★矩阵的秩的定义 ★矩阵的秩的计算
矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数是否唯一 ?其行数由什么决定?
A 中找要方便得多。
A1 的前三行构成的子式
325 3 2 6 16 0, 205
因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。
上页下页返回
注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，
从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。
由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：
设矩阵A 中有一个 r 阶子式Dr 0, 而所有包含 Dr的

第二章§6 矩阵的秩

ak l ak l L 阶子式，则必有 R( A) ≥ k . 2、若 A 有一个非零的 k ak l 阶子式，
11 1 2 1 r+2
3、A 是 m × n 矩阵，则必有 R( A) ≤ min( m , n) . 矩阵，
a l a R ( A) k R( ATk ) l =
r+2 1 r+2 2
ak l 阶方阵， L ， 4、A 是n 阶方阵ak l则 R( A) ≤ n .
2 2 2 r+2 11 1 r +2 r+2 2 r+2 r +2 r+2 1
r + 2 r +1
6.2 矩阵的秩的求法
方法一：寻找矩阵的最高阶非零子式方法一：寻找矩阵的最高阶非零子式. 矩阵的最高阶非零子式. 求矩阵A和的秩的秩. 例 32 求矩阵和B的秩
的值. 已知 R( A) = 2 ，求 λ 与 µ 的值解：
1 2 1 −1 1 −1 1 2 r2 − 3 r1 0 λ + 3 P73 EX2. −4 −4 已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目. 已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目如 A = 3 λ −1 2 → r3 − 5 r1 5 3 µ 6 8 µ − 5 −4 一般有两个解题途径.一是利用行列式，二是用初等变换. 一般有两个解题途径一是利用行列式，二是用初等变换 0
−1 −1 1 r3 − r2 −0 A→ 0 = 0 r4 + r2 0 0
6.2 矩阵的秩的求法
要有规律
2 3 6 2 4 1 −1 1
1 1
的秩，并求
解：
2 −1 −1 r3 ↔r4 2 1 3 6 1 2 4 − r1 2 0 → 0 → 0 1 1 2 4 0 0 0 0 0 −0 −1 1 −1 1 0 3 3 0 0 1 1 0 1

矩阵的秩ppt课件

00
行

0

阶梯形矩阵

行

最简
0

←r
行
形矩阵
定理1 任一矩阵的等价标准形唯一. >>>
矩阵的秩如果矩阵 A 的等价标准形为
F

Er O
O O
那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).
R( AB) R( A, AB) R( A,O) R( A)
类似可证 R( AB) R(B). 两式合起来, 即为
R(AB) min{R( A), R(B)}
定理2 若 Amn Bnl O, 则 R(A) R(B) n. 证明存在可逆方阵 P, Q, 使
于是
§2.3 矩阵的秩
0

0
0

0 0
0
r

0 0

0 0
c

Er O
0 a1 00 00
0 a2 00
00
00
00
00
0 a11
00 00
0 0 a12
00
00
00
00
00
O
O

标准形矩阵
0 ar 00
0 0 0 0 a1r
PAQ

F

Er O
O O

,
r
R( A)
FQ1B PAQQ1B PAB O
记
Q1B

C D

,
其中C

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例4:
1 2 2 3 C 4 t 3 12 , t为何值时，r (C ) 3？ 3 1 1 9
2 2 3 1 2 2 3 1 C 0 t 8 11 0 0 1 1 0 0 7 7 0 0 t 8 11 0
受到什么启示？
(a11a22 arr 0)
显然 r( A) r.
任意一个矩阵都可经初等变换化为梯形阵.
梯形阵的秩等于其非零行的行数. 只需考虑矩阵经初等变换后其秩是否不变？
回答是肯定的，我们有：
定理:矩阵经初等变换后其秩不变.
回忆初等变换
(i ) 对换矩阵中第i, j两行(列)的位置，记作 rij (cij )或ri rj (ci c j )
满秩矩阵
定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。定理：设A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵 E .即
A E
定义：若方阵A的行列式 A 0，则称A为非奇异矩阵；若 A =0，则称为A为奇异矩阵。
满秩非奇异
降秩奇异
(ii ) 用非零常数k乘第i行(列） , 记作kri (kci ).
(iii ) 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行（列）对应元素上去, 记作ri krj (ci kc j ).
自己完成定理的证明。
秩的求法：初等变换法。
例3:求下面矩阵的秩:
2 3 8 2 A 2 12 2 12 ， 1 3 1 4
2 3 1
2 1
共有4个3阶子式。
2 3 1
3 3
8 1
2 4
2 4
2 4
2 12 2 , 3
8 1
2 12 12 , 3
8 1
2 2 12 ,
12 2 12 .
计算知，这4个3阶子式全为零。
矩阵的秩
2.秩的定义:矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩.记作 r(A) . 显然:r(O)=0;只要A不是零矩阵, 就有 r(A)>0.并且:
－3 由于 A 的 3 阶子式 1 1
1 －3 1
1 1 ＝－16 0，－3
r ( A) 3，故a 3.
思考
为什么不用初等变换做？
矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).
a 1 1 1 | A | 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a (a 3)(a 1)3 0.
1 1 当 a 1 时，A 1 1
1 1 1 1 1 1 ，r ( A) 1； 1 1 1 1 1 1
1 1 3 1 1 1 3 1 当 a 3 时，A ， 1 1 3 1 1 1 1 3
(i ) r( Amn ) min{m, n};
(ii ) 若有一个r阶子式不为零，则 r ( A) r; 若所有的r阶子式全为零，则 r ( A) r.
(iii ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( A ) r( A).
(iv) 设Ann ,若 A 0, 则r ( A)=n; 若 A =0,则r ( A)<n.
1 2 2 3 0 1 1 0 t 3时, r (C ) 3. 0 0 t 3 0
练习
a 1 设A 1 1
1 1 1 a 1 1 ，若r ( A) 3，求a. 1 a 1 1 1 a
解: 因为r ( A) 3，所以 | A | 0，即
计算知，这4个3阶子式全为零。 r ( A) 2.
例2:求矩阵A的秩.
a11 A 0 0
a12 a1r a 22 a 2 r a rr
a1n a2n a rn 0 0
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
3 4 1 2 1 2 3 4 0 2 2 2 1 0 1 2 B 0 7 10 12 3 1 1 0 0 0 3 9 1 2 0 5 4 1 2 3 3 4 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 3 5 0 7 10 12 0 0 0 0 3 9 3 9 4 1 2 3 1 0 1 1 r ( B) 4 0 0 3 5 0 0 0 4
T
例1:求矩阵的秩:
2 2 3 8 A 2 12 2 12 1 3 1 4
有不为零的2阶子式 2 3 24 6 30. 2 12 r ( A) 2.
共有4个3阶子式：
2 3
8
2 3
2
2
8
2
3
8
2
2 12 2 , 2 12 12 , 2 2 12 , 12 2 12 . 3 1 4 1 1 4 1 3 1 1 3 4
1 2 3 4 1 0 1 2 B . 3 1 1 0 1 2 0 5
秩的求法：初等变换法。
2 2 3 8 A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 1 4 1 3 2 12 2 12 0 6 4 4 r1 r3 2 3 8 2 0 9 6 6
矩阵的秩
1.k阶子式：在Amn中任取k行k列，位于这些行、列相交处的k 个元素，按原次序组成的 k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.
2
一般地：
k k m n矩阵A的k 阶子式有Cm Cn 个。
2 2 3 8 A 2 12 2 12 1 3 1 4