常微分方程小结常微分:常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. 方程22()d y dybcy f t dt dt++= （1.11） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（1.12） 22sin 0d y gy dt l+= （1.13）是常微分方程的例子，y 是未知函数，仅含一个自变量t .微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.例如，方程（1.12）、（1.13）是二阶的常微分方程，一般的n 阶微分方程具有形式(,,,,)0n n dy d yF x y dx dx = （1.14） 这里(,,,,)n n dy d y F x y dx dx 是x 、y 、dy dx 、…、n nd ydx 的已知函数，而且一定含有n nd ydx；y 是未知函数，x 是自变量. 第二章 初等积分法§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程 形如()()dyf xg y dx= （2.1） 的一阶微分方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 在区间（a,b ）上连续，()g y 在区间（c,d ）上连续且不等于0. 2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y =这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+⎰⎰ （2.2）把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx= 解 将变量分离，得到 2cos dyxdx y = 两边积分，即得1sin x c y-=+ 因而，通解为1sin y x c=-+这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)mN t x t y t N x y≡事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y yx M M dy x x y y dx x N N x x== ⅱ)对方程 (,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dy y f dx x= 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令yu x=（2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u u dx x-= （2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy duu x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgu dx x= （2.9）分离变量，即有dxctgudu x= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这里的c是任意的常数，整理后，得到 sin u cx =（2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sin ycx x= 例如 求解方程13d y x y d x x y -+=+- （2.11） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程（2.11），则有 dY X YdX X Y -=+ （2.12） 再令Yu X= 即 Y u X = 则（2.12）化为2112dX udu X u u+=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=±记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.12）的解.因此方程（2.11）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx=+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dxx f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论 （1）120c c ==情形. 这时方程（2.11）属齐次方程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭此时，令yu x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为 22()dua b f u dx=+ 这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程（2.11）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此 1112220a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14）代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ （2.15）则（2.14）化为11220a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩从而（2.13）变为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.16），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.17）将方程化为齐次方程（2.18）； (3)再经变换Yu X=将（2.18）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.15）的解. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.15）更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c⎛⎫+== ⎪++⎝⎭此外，诸如()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyxf xy dx=2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.§2 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 (,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -= 把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.21） 假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.22)即(,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.23) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是 (,)u x y C ≡就是方程(2.21)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义).2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.24) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为0(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.25)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.26)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.23), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有22M u u Ny y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.23),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.22).从(2.25)可知(,)uN x y y∂=∂ 000000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)yy y x y yy y u M x y N x t dt x x M x y N x t dtM x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰即(2.23)成立,同理也可从(2.25)推出(2.23).例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.27)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.27)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.25)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+ 故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（2.21）如果方程（2.21）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.31)为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.21）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.21）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,)x y μ为(2.21)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M NNM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.32) 4、积分因子的求法方程(2.32)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.32）有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.41）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ=（2.42）就是方程（2.21）的积分因子.例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是 1y xM N My -=-- 它有仅依赖于y 的积分因子 11dy y e yμ-⎰≡= 方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解 21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解.§3隐式方程1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,,)0F x y y '=如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如方程2()()0y x y y x y ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.31） 的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为(,)y f x p = (2.32) 将(2.32) 的两边对x 求导数,得到f f dp p x y dx∂∂=+∂∂ (2.33) 方程(2.33)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.33)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.32),于是得到(2.31)通解为(,(,))y f x x c ϕ=若求得(2.33)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.31)的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.33)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩ 其中p 为参数, c 是任意常数.例1 求方程3()20dy dy x y dx dx +-= 的解 解：令dy p dx=，于是有 32y p x p =+ (2.34) 两边对x 求导数,得到 2322dp dp p px p dx dx =++ 即 2320p dp xdp pdx ++=当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而32320p dp xpdp p dx ++=由此可知4234p xp c += 得到42223344c p c x p p p -==- 将其代入(2.60),即得 43342()c p y p p -=+ 故参数形式的通解为22334 (0) 212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ 当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.第三章 线性方程§1 存在性与唯一性1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。
1 常微分方程的基本概念第十三章常微分方程简介本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。
因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。
由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解(即解的形式是初等函数)。
那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。
本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。
§ 常微分方程的基本概念像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。
1.1 两个实例例1.1设某一平面曲线上任意一点(x, y)处的切线斜率等于该点处横坐标的2倍，且曲线通过点(1,2)，求该曲线的方程。
解平面上的曲线可由一元函数来表示设所求的曲线方程为y f(x)，根据导数的几何意义，由题意得烹2x (这是一个含未知函数y f (x)的导数的方程)。
另外，由题意，曲线通过点(1,2)，所以，所求函数y f(x)还满足2。
y |x 1r血2x(1 1)从而得到(l.l)y|r"2o (1.2)i - ■为了解出y f(x)，我们只要将(1.1)的两端积分，得y 2xdx 2^ C x2C , y 2我们说y x2 C对于任意常数C都满足方程(1.1) o再由条件(1.2)，将y|xi 2代入y x2 C,即2 12 C C 1 o故所求曲线的方程为y x21。
再看一个例子：例1.2 设质点以匀加速度a作直线运动，且t 0时s 0, v v o。
求质点运动的位移与时间t的关系。
解这是一个物理上的运动问题。
设质点运动的位移与时间的关系为s s(t)。
则由二阶导数的物理意义，知¥善a,这是一个含有二阶导数的方程。
dt■s 0再由题意* L0.，因此，S s(t)应满足问题V |-o V oh■ ■r.2 ■^4 a, (1.3)dt -■ ■s|t：o.o, v|t[o.V o。
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后去求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
