2021届高三数学一轮复习 三角恒等变换

第三节ꢀ三角恒等变换内容索引【教材·知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos αcos β+sin αsin β(α-β)C：cos(α-β)=__________________________.ꢀcos αcos β-sin αsin β(α+β)C：cos(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β+cos αsin β(α+β)S：sin(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β-cos αsin β(α-β)S：sin(α-β)=__________________________.ꢀT：tan(α+β)=____________(α，β，α+β≠+kπ，k∈Z). (α+β)：tan(α-β)=____________ (α，β，α-β≠+kπ，k∈Z). T(α-β)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin αcos αS：sin 2α= ______________.ꢀ2αcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2αC：cos 2α=____________ = _________ =_________.：tan 2α=__________.T2α【常用结论】1.一组重要关系2.四个必备结论(1)降幂公式：cos2α=，sin2α=.(2)升幂公式：1+cos 2α=2cos2α，1-cos 2α=2sin2α.(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)1+sin 2α=(sin α+cos α)2，1-sin 2α=(sin α-cos α)2，sin α±cos α=.(4)辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+φ)【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(ꢀꢀ)(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(ꢀꢀ)(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β) (1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(ꢀꢀ)(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.(ꢀꢀ)提示:(1)√.(2)√.(3)×.变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ(k∈Z).(4)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T212忽视角的范围导致符号错误不知道化简方向考点二、角度13不能准确建立数学模型考点三、T1【教材·基础自测】1.(必修4P138练习AT2改编)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选D.sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°) =sin30°=.2.(必修4P136例1改编)若cosα=,α是第三象限的角,则sin等于(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选C.因为α是第三象限的角,所以所以3.(必修4P144 练习AT2改编)已知sinα-cosα=,则sin2α= (ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选A.sin2α=2sinαcosα==.4.(必修4P144练习BT1(4)改编)=.【解析】答案:考点一ꢀ三角函数式的化简求值【题组练透】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(ꢀꢀ)2.计算:3.化简:=________.ꢀ=________.世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.2.答案:3.原式==1.答案:1【规律方法】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式==1.三角形法解T1,因为α∈,所以sin α>0,cos α>0,由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,tan α=,画直角三角形如图,不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sin α=.考点二ꢀ条件求值问题命题考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.精解(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.读怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.学霸好方法(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=（其中sin φ=,cos φ=sin(x+φ)）【命题角度1】给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:=________.ꢀ【解析】=4.答案:4【解后反思】给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.【命题角度2】给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.ꢀ2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan,则tan α=________.ꢀ【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=.答案:2.因为tan=tan所以,解得tan α=.答案:【解后反思】给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.【命题角度3】给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sin α=,sin(α-β)=,α,β均为锐角,则角β值是________.世纪金榜导学号【解析】因为α,β均为锐角,所以<α-β<.又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.又sin α=,所以cos α=,sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,所以β=.答案:【解后反思】如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.【题组通关】【变式巩固·练】1.化简:=________.【解析】原式=答案:2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,,则A+B=()且sin B=【解析】选C.因为所以即sin A=,解得sin A=.因为A为钝角,所以cos A=为钝角,得cos B=-sin Asin B=由sin B=,且B 所以cos(A+B)=cos Acos B 又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.3.(2020·佛山模拟)已知cos α=,α∈(-π,0),则cos=()【解析】选A.因为cos α=,α∈(-π,0),所以sin α=所以cos=cos αcos+sin αsin【综合创新·练】1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=()【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°) =sin215°-cos215°=-cos 30°=.2.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β=________.【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,而cos α=,所以sin α=,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-,所以β=.cos αsin(α-β)=答案:考点三三角恒等变换的综合应用【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.世纪金榜导学号【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α<,则PM=1-sin α,PN=2-cos α,则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-,因为0≤α<,所以故当α+,即α=时,周长C有最小值6-2.2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.(2)求函数y=的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)看到“求函数y= y=的值域”,想到先化简(2)【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=或.(2)y=因此,函数的值域是.【规律方法】1.三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;②利用公式T=(ω>0)求周期;。

考点14 三角恒等变换【命题解读】1.记住三角恒等变换常用公式；2．能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明． 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 【命题预测】1. 考查利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题；2．考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法； 3.考查三角函数的综合应用和解三角形，要灵活运用三角函数的基本性质、恒等变换；4.主要以选择填空题为主，解答题也会与正余弦定理结合考查，预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +22)a b x ϕ=++，其中2222cos a ba b ϕϕ==++tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换1．降幂公式与半角公式2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角恒等式的化简与证明三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； (3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化.典例1 8π16π32πcoscos cos 777⋅⋅=______. 【答案】18【解析】 【分析】先利用诱导公式转化为π2π4πcos cos cos 777-⋅⋅，再分子分母同乘π2sin 7，利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】8π16π32ππ2π4πcoscos cos cos cos cos 777777⋅⋅=-⋅⋅ππ2π4π2π2π4π2sin cos cos cos 2sin cos cos7777777ππ2sin 4sin77⋅⋅⋅⋅⋅=-=- 4π4π8π2sin cos sin 1777ππ88sin 8sin77⋅=-=-=.故答案为：18【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.考向二 三角恒等变换的应用 解题技巧：讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)，y ＝A tan (ωx ＋φ)的形式才能进行讨论.典例1 若关于x 的方程21sin 3cos 4m x x m -+=+有意义，则m 的取值范围为_______． 【答案】7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先根据辅助角公式，由正弦函数的性质，求出sin 32sin [2,2]3x x x π⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，推出21224m m --≤≤+，求解即可得出结果.【详解】sin 32sin [2,2]3x x x π⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，则21224m m --≤≤+，即21920442147204440m m m m m m m m --⎧-=≤⎪++⎪-+⎪+=≥⎨++⎪+≠⎪⎪⎩，即90447044m m m m -⎧≤⎪+⎪+⎪≥⎨+⎪≠-⎪⎪⎩，解得74m ≥-，故7,4m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查正弦函数的性质，以及辅助角公式，属于常考题型．考向三 利用“齐次式”求值方法指导：题目中出现正切值，或者求正切值，可化简为“齐次式”求解,弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切．典例1 已知tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα--的值为______．【答案】16- 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式和倍角公式，化简为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】因为tan 3α=，可得22222222sin cos sin sin 2sin 2sin cos sin cos 2sin 1cos 22sin cos ααααααααααααα---==- 2tan 2312tan 236αα--===-⨯【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦与余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.考向四 辅助角公式的应用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b2)．典例1 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cosx ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[答案] π [3π8＋k π，7π8＋k π](k ∈Z ) [解析]由题意知，f (x )＝12sin2x ＋12(1－cos2x )＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．题组一 基础过关 1．已知,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根，则αβ+=（ ）A ．3π-或23πB ．3π-C ．23π D ．56π 2．已知0<α<2π<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )．A ．0B ．0或2425C ．2425D ．0或－24253．已知3sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．23 B ．13C ．23-D ．13-4．已知锐角α满足3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-5.已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．36.已知()()()sin sin cos f x x x x x =-∈R ，则（ ）A ．()f x 2B ．()f x 在区间ππ,48⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 的图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在[)0,2πx ∈内有4个极值点7.已知π3π,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝______.8.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 题组二 能力提升1．若3sin 2sin 703παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．23B 23C ．3D 32.π23sin =33⎛⎫--⎪⎝⎭αα，则πsin 26⎛⎫+= ⎪⎝⎭α______________. 3.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos 5α=. （1）求tan α的值； （2）求2sin sin 22αα+的值.4.已知α，β为锐角，4tan 3α=，()5cos αβ+= （1）求cos2sin 2αα+的值； （2）求()tan βα-的值.5.已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+- （1）求()f x 的最小正周期；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值，最小值.（3）求f (x )的单调递减区间.6.已知函数()cos2sin cos xf x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.题组三 体验真题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5 B ．23 C ．13 D 52.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1 C ．1 D ．23.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ． 4.【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．5．【2020年高考浙江】已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______． 6．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．7．【2019年高考江苏】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 8．【2018年高考全国II 卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 9．【2019年高考浙江】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．10．【2018年高考浙江】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．题组一1.【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可.【详解】因为tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根可得tan tan 43,αβ+= tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan 43tan 31tan tan αβαβαβ++===--⋅又()0,αβπ+∈.故23παβ+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型. 2.【答案】C【解析】试题分析：因为 30,sin 25παα<<=，所以 24cos 1sin 5αα=-=．因为434cos()cos cos sin sin cos sin 555αβαβαβββ+=-=-=-，所以3cos sin 14ββ=-，因为22cos sin 1ββ+=，所以223(sin 1)sin 14ββ-+=，整理可得225sin 24sin 0ββ-=，因为2πβπ<<，所以sin 0β≠，所以24sin 25β=．故C 正确． 考点：1两角和差公式；2同角三角函数关系式．3.【答案】D【解析】【分析】 由诱导公式得3cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再由余弦的二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意3sin sin cos 6323ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即3cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 则22231cos 2cos 22cos 1213333πππααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式及余弦的二倍角公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.4.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tan α的值，再利用两角和的正切公式可求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由于锐角α满足3cos 5α=，则24sin 1cos 5αα，sin 4tan cos 3ααα∴==， 因此，41tan 13tan 7441tan 13πααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-. 故选：A.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.5.【答案】A 【解析】【分析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．Ⅰ222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++， 故选A ．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言.6.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式，结合辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，然后根据正弦型函数的最值、单调性、对称性等性质，结合导数性质逐一判断即可.【详解】()2111sin sin cos cos 2sin 2222f x x x x x x =-=--12π2224x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 选项A ：函数()f x 的最大值是2122+，故本选项错误； 选项B ：当ππ,48x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，π24t x =+单调递增，且ππ,42t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 而此时1222y t =-在ππ,42t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减， 故函数()y f x =在ππ,48x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上单调递减，故本选项错误； 选项C ：令ππ2π()42x k k Z +=+∈，解得ππ()28k x k Z =+∈， 不存在整数k 使得πππ284k +=，故本选项错误； 选项D ：'π()224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令ππ2π()42x k k Z +=+∈，解得ππ()28k x k Z =+∈， 当0k =，1，2，3时，极值点满足题干要求，正确，【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，考查了二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了极值的性质，考查了数学运算能力.7.【答案】1 7 -【解析】【分析】由题可求得4tan3α=-，再利用和的正切公式即可求出.【详解】因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5α，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos5α=-，则4tan3α=-，则41tan tan134tan4471tan tan143παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-+.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查和的正切公式的应用，属于基础题.8.【答案】1【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解：1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 cos 36πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ cos cos 33311cos cos sin sin 126666662πππθθππππθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为1.【点睛】 本题主要考查两角差的余弦、同角基本关系式的应用，属于基础题．题组二1.【答案】A【解析】【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cos 7β=，3sin 7β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论．【详解】 由已知3sin 2sin 73sin 2sin cos cos sin 70333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 37αα=3177αα=，设cos 7β=3sin 7β=，且β为锐角， 3cos sin sin cos sin()177ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2327sin 33cos 27πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====--⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】 本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．2.【答案】59-【解析】【分析】 π23sin =33⎛⎫-- ⎪⎝⎭αα为π2sin +=33⎛⎫ ⎪⎝⎭α， 利用诱导公式及二倍角公式求解.【详解】π23cos sin =33αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭1323(cos )sin 23ααα+-=,312sin 2αα+=π2sin +=33α⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ππππsin 2sin 2()cos 2()6323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2252(139=⋅-=- 故答案为：59-【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式，诱导公式，二倍角公式，属于中档题. 3.【答案】（1）34；（2）5350. 【解析】【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin α，再由商的关系求得tan α；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）Ⅰ0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos 5α=，Ⅰ23sin 1cos 5αα=-=， 则sin 3tan cos 4ααα==； （2）Ⅰ3sin 5α=，4cos 5α=， Ⅰ21cos sin sin 22sin cos 22ααααα-+=+4134535225550-=+⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.4.【答案】（1）1725；（2）211. 【解析】【分析】 （1）利用二倍角的正弦余弦公式将原式化为2222cos sin 2sin cos cos sin αααααα-+=+，分子分母同除以2cos α，从而可得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再由()()tan tan 2βααβα⎡⎤-=+-⎣⎦，利用两角差的正切公式得结果.【详解】（1）cos2sin 2αα+22cos sin 2sin cos αααα=-+2222cos sin 2sin cos cos sin αααααα-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+16811793162519-+==+. （2）因为α，β为锐角，4tan 3α=，()5cos αβ+= 所以()()225sin 1cos 5αβαβ+=-+=，()tan 2αβ+=-， 22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()()()tan tan 22tan tan 21tan tan 211αβαβααβααβα+-⎡⎤-=+-==⎣⎦++. 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5.【答案】（1）π；（22，最小值是1-ⅠⅠ3Ⅰ5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式和辅助角法，将函数转化为()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式求解.（2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. （3）由正弦函数的单调性，令3222242k x k πππππ+≤+≤+求解. 【详解】 （1）函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-， cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以522,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 2，最小值是1-.（3）令3222242k x k πππππ+≤+≤+， 解得588k x k ππππ+≤≤+， 所以f (x )的单调递减区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.【答案】（1）|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；（2）1；（3）()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +≠2sin 04x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解. （2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()2cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()2cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦函数的性质，令 224k x k ππππ≤+≤+求解. 【详解】（1）因为sin cos 0x x +≠2sin 04x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，解得4x k ππ+≠，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++cos sin x x =-2cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，22cos 4x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是1；（3）令 224k x k ππππ≤+≤+，解得 32244k x k ππππ-≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.题组三1.【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又25(0,),sin 1cos 3ααα∈π∴=-=. 故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.2.【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.3.【答案】13【解析】22221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4.【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可） 【解析】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++， ()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.5.【答案】35；13 【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++， 故答案为：31,53- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-. 故答案为：524x π=- 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.7．【答案】210 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式22112()1()2233[1()13⨯-+---+ 综上，π2sin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.8．【答案】12- 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.9．【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[122-+. 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 21336212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.10．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.。

芯衣州星海市涌泉学校三角恒等变换一、课前检测1.〔2021全国卷2理13〕a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，那么tan a =． 【答案】12- 【命题意图】本试题主要考察三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考察考生的计算才能.【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22tan 4tan 21tan 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-. 2.〔2021全国卷1文14〕α为第二象限的角，3sin 5a =,那么tan 2α=. 答案247- 【命题意图】本小题主要考察三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考察了根本运算才能及等价变换的解题技能.【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=,所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==-- 3．〔2021文19〕02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+. 解析：原式lg(sinx cosx)lg(cosx sinx)lg(sinx cosx)20．二、知识梳理1．三角函数式的化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的根本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的根本类型及方法①“给角求值〞一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或者者互相抵消等方法进展求解．②“给值求值〞即给出某些角的三角函数〔式〕的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角一样；③“给值求角〞关键也是：变角，把所求的角用含角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．三、典型例题分析例1.化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+1cos 22x 变式训练1：xx x f +-=11)(，假设),2(ππα∈，那么+)(cos αf )cos (α-f 可化简为． 解：αsin 2 例2．求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+= 变式训练2在△ABC 中，22cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA＋cosA ＝22① ∵2sinAcosA＝－21从而cosA ＜0 A∈(ππ,2) ∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+＝26② 据①②可得sinA ＝426+cosA ＝426+-∴tanA＝－2－3 S△ABC＝4)26(3+例3tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈〔0，π〕，求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71β∈(0，π) 得β∈(2π,π)①由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31α∈(0，π) 得0＜α＜2π∴0＜2α＜π由tan2α＝43＞0∴知0＜2α＜2π② ∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1 由①②知2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－43π (或者者利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值． 解：由sinα＝415α为第二象限角 ∴cosα＝－41∴)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++ ＝αcos 221＝－2四、归纳与总结〔以学生为主，师生一一共同完成〕1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵敏运用和解题打破口的选择，认真分析所给式子的整体构造，分析各个三角函数及角的互相关系是灵敏选用公式的根底，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：①变换角度②变换函数名③变换解析式构造3．求值常用的方法：切化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4.5 三角恒等变换【考情分析】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。

【重点知识梳理】知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α【典型题分析】高频考点一 公式的直接应用【例1】 (2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D.255【答案】B【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55，故选B 。