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构建函数模型，解决实际应用苏州工业园区第六中学胡雪芹摘要：随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查显得越来越重要，而数学建模可以有效地解决实际中的应用。
本文通过举例对构建函数模型，解决实际应用作了初步探讨。
数学教师在新课程实施中要努力渗透数学建模思想，为全面实施素质教育服务。
关键词：函数建模，实际应用著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。
”《九年制义务教育数学课程标准（实验稿）》基本理念的第二条明确指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。
”恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。
”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中用好建模这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力是十分有益的。
可以说凡有数学应用的地方就有数学建模，数学建模在今后的数学教育中必将占有重要地位。
进入21世纪，不管是世界性的数学课程改革，还是我国的数学课程改革，也无论是哪一学段的数学课程，其中都加强了应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求。
随着新课程标准的实施与推进，对学生应用能力的考查是中考的一大热点。
中考中应用性试题的题量逐年增加，题型逐年丰富，问题的取材一改原先局限于工程问题、行程问题等老面孔，而富有时代气息，切合实际、贴近学生生活，或关系民情国情等实际问题。
特别是最近几年的中考应用题的设计背景材料趋于复杂，数学化比较困难，这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学知识和方法灵活运用于全新的问题情境中，抽取出问题的数学本质，建立适当的数学模型，尤其需要借助函数的模型，创造性地求解。
一、数学建模的含义及操作程序所谓数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。
课题：建立函数模型解决实际问题（复习课）陈妮丽(湖北省汉川市第一高级中学)一、教学设计1.教学内容解析本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2函数模型的应用实例.（高三复习课），属于“事实性知识”,“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽．本节课是学习完几类基本初等函数及函数图像、函数与方程的延续和发展，同时又对学习的函数的图像、性质的一个总结．它要求学生能够对现实情境中采集的信息借助观察分析，选择恰当的函数模型，结合实际问题解模，这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法与思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识．本节考纲要求①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．教学重点：实现实际问题转化为函数模型；然后解决实际问题，达成认知结构的形成、知识要点的梳理和知识体系的建构以及与相关知识的联系．2.学生学情诊断（1）学生具备的认知基础：①基本初等函数的图像和性质;②数与形相结合转化的意识;③初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程．（2）学生欠缺的实际能力：①数与形转化的意识还不够强;②从实际问题中抽象出数学问题的能力;③实际问题背景下解决数学问题的熟练程度不够．（3）本节课为高三复习课．虽然教材内容为几种函数增长模型的比较与函数模型应用举例，但作为高三第一轮复习课，函数模型不一定局限于高一所学过的幂指对三种，其他章节也都出现过建立函数模型的应用问题．比如数列，不等式，三角函数，导数等．但一节课要想把所有的函数模型都复习到是不现实的．因此只能以一些典型模型为载体，复习建立函数模型解决实际问题的基本方法，让学生在问题情境中加深对建模应用问题的理解．教学难点：对问题背景信息进行整合，建立最佳函数模型解决实际问题，然后通过分析对实际问题进行反馈．3．教学标准设置（1）通过实例探究，学生能将有关知识要点有机地联系在一起，能综合运用所学知识解决实际问题；（2）学生能根据实际问题建立恰当的数学模型，能应用数学建模的思想方法解决实际问题；（3）学生会采用题中抽知的方式梳理相关知识点，能系统地列出本节内容的特点；（4）能根据图象和表格等提供的有关信息和数据，建立函数模型，将实际问题抽象为数学问题．4.教学策略分析在设定教学目标后基于对教学内容和学生情况的分析，为解决问题采用了如下教学策略．教学理念①倡导积极主动、勇于探索、不怕挫折的学习精神和合作探究的学习方式;②营造一个生动和谐充满人文关怀的教学氛围;③追求合作探究与数学课程有机整合的高效课堂;教学方法设计任务驱动教学法（自主探究、合作交流、分享评价）（1）从教与学的现实出发，为了使得数学建模的开放性更大些，探究性更强些，设计了学生合作探究、提出建立解决问题的基本模型的方案．“课标”要求我们教师对待教材，不单单是课程的消费者和执行者，而应该是课程的策划者和设计者，我对课堂例题进行了精心设计，使得教学内容更加贴近学生，更显真实．（2）根据教学内容的特点和对学生情况分析，从学生原有的知识基础和实际能力出发，以任务驱动、问题引导为主线，以学生探究为载体，利用主动观察、思考、动手操作、小组合作、分享评价等形式来组织教学，努力营造一个合作学习、共同探究、展示成果、愉悦学习的舞台．（3）在教学过程中对基础较弱的同学进行指导，并请组内同学给予帮助指导．经历了整个建模过程后，给学生当堂练习的机会，及时反馈评价．并留下新的问题课后探究，让学生带着问题走进课堂，带着新的问题离开课堂．同时又给学有余力的学生提供继续学习的平台.教学流程：↓↓↓二、课堂实录1．情景引入引人：展示图片师：我们来看屏幕，这是谁啊？生：莫言.师：莫言是2012年诺贝尔文学奖获得者，莫言的文学成就令人感慨，但是很多人比较关系的是什么？生：钱．师：诺贝尔奖金到底有多少呢？大家猜一猜．生：……师：曾经传言，诺贝尔奖金高达1000万人民币，你怎么看，我们通过历史资料，可以知道，诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，要知道诺贝尔奖金有多少，就要用到我们所学过的什么问题？生：函数.师：这就是我们这节课要复习的函数的模型及其应用．2．实例探究例1：诺贝尔奖每年发放奖金的总金额是基金在一年获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝5.42%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)请写出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上传闻“莫言获奖奖金高达1000万元人民币”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.027112＝1.4)师：请各个小组讨论下，我们该如何解决这个问题呢？生：建立函数模型．小组探究……学生回答，教师板书【评析】以实际问题为载体，给出新信息情境，要求学生联系已学过的函数模型分析和解决问题，意在培养学生的阅读理解能力和知识的迁移能力．例2：李强大学毕业后决定自主创业，开了一家电子产品专卖店，他代理了一款苹果牌平板电脑．其进价2600元，零售价定为3000元时每月可卖出120台．李强经过网络调查发现，定价每降低50元，月销量可增加30台．李强应该怎样定价，才可以使得利润最大？（先让学生积极思考，再提问回答）师：我们应该通过什么方式解决这个实际问题呢？生：把利润的函数表示出来，再求它的最大值．师：也就是说，把实际问题先转化成什么？生：二次函数模型．师：具体怎么操作？生：先设降价50 x元，利润为y元．则y=(400－50x)(120＋30x)＝－1500(x－2)2＋54000.师：完了吗？生：还有定义域，0≤x≤8师：这位同学通过建立二次函数模型，把实际问题转化成了一个二次函数最值问题，接下来呢？生：配方，求它的最值．x=2时y取最大值.师：完了吗？生：再求出定价．即定价为2900元时利润最大．师：刚才这位同学设降价50x元，建立二次函数模型．有没有其他的解法呢？生：还可以设定价x元，一样可以得到一个二次函数模型．生：也可以设降价x元……师：我们发现，即使是同一个问题，建立模型的方法可能不止一种，所以怎样设未知数怎样建模非常关键，这直接影响到模型求解的难度．【评析】组织学生主动地探求、同伴间合作交流，有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际的问题，增强学生的应用意识．例3：李强所在的城市实施了阶梯电价，具体电价表如下：如果李强的专卖店8月份用电320千瓦时，则他应付电费多少元？师：阶梯电价是我们生活中很常见的问题，该问题如何计算？生：100×0.5＋200×0.6＋20×0.8＝186元师：如果用电量记为x ，电费记为y ，那么它们之间是什么关系？ 生：分段函数，解析式为0.5,0100500.6(100),100300501200.8(300),300x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪++->⎩变式：如果9月份李强支付了电费218元，则他9月份用电多少千瓦时？师：如何计算用电量？怎样选择解析式？(引导学生找出分段函数模型,并灵活运用模型解决问题)生：令170＋0.8(x －300)＝218，解得x ＝360【评析】通过对实例的探究，让学生自主或合作勾画本章知识网络图，有效地完成了新的知识建构．例4：李强店内某电子产品的包装盒是由一个正方形硬纸板裁剪而成．如图所示，正方形ABCD 边长为60(cm),切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状.E 、F 在AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).如果制造商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.(引导学生思考,找到三次函数模型)师: 该问题的关键在哪里?生:把容积V 表示成x 的函数,并求出最大值.设包装盒的高为h (cm )，底面边长为a (cm).由已知得x a 2=，)30(22260x x h -=-=，)30(22232x x h a v+-== )300(<<x )20(26'x x v -=由0'=v 得x =0(舍)或x =20 当x ∈(0,20)时, 0'>v ;当x ∈(20,30)时, 0'<v .所以当x =20时, v 取得极大值，也是最大值，此时21=a h，即包装盒的高与底面边长的比值为21 【评析】学生在谈收获的同时，加深了对本章知识的理解和思想方法的掌握程度，从而形成了自觉内化的意识．3．课堂小结常见的几种函数模型：(1)一次函数模型y = kx+b (k ≠0)(2)二次函数模型y = ax 2+bx+c (a ≠0)(3)指数型函数模型y = a·b x +c (b ＞0,b ≠1,a ≠0)(4)对数型函数模型y = mlog a x+n (a ＞0,a ≠1,m ≠0)(5)幂函数型模型y = a·x n +b (a ≠0)(6)对勾函数模型y =)0(>+a xa x (7)分段函数模型(8)三角函数模型师：生活中处处有数学，刚才我们用所学的知识解决了生活中的一些热点问题，这就是数学的魅力．在探究过程中我们运用到了本章所学的哪些数学知识或技能方法呢？请大家结合刚才两位同学的发言回答建立函数模型解决实际问题的时候需要哪些步骤呢，能不能再精炼些？生：四步八字：审题，建模，解模，还原．师：建立函数模型解决实际问题的基本步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；（3）求模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论.4．课后提升思考题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时) f (x )＝xv (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【评析】通过思考题，进一步内化学生的认知结构，并弄清知识和方法上的易混点、易错点；培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣．三、课后反思教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．教学设计符合学生认知的基本规律．符合探究的一般方法，在自主学习中由学生比较关注的诺奖问题，当年份取正整数，容易入手，作为本节课内容的切入口．指导学生从具体事例中抽象出函数模型，从数学的角度去认识问题，解决问题．在每个例题的处理上都让学生先合作探究，目的是让学生主动参与建立函数模型解决实际问题，对解决问题的步骤能够很好的体会出来．在回顾总结中体现“教师为主导，学生为主体”的思想．且通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习．教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，利用四个实例的探究完成本节课的教学标准，突出以学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建构；教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；多媒体课件的内容丰富而又简洁．改进之处：由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去梳理本章知识方法上的易混点、易错点，若时间充裕，可考虑布置一定数量的小题让学生在解题的过程中加以区分．四、教学点评本节课既较好地兼顾了认识结构的形成和知识要点的梳理，又突出体现了学生如何建立函数模型解决实际问题的能力提升，有效地突破了难点，两者有机匹配，相得益彰．高效地完成了教学任务的同时，体现了如下特色：1．悉心把握教材脉络，巧妙创设新颖别致的问题情境教师在对教材内容深层次的理解的基础上，对教材进行“二次加工”，选用学生熟知的社会生活中的热点问题切入，学生仿佛不是在学数学，而是在研究实际问题、承担经济学家的任务．通过本节课的学习，既增强了学生学习数学的兴趣，领悟到学习数学的价值，又培养了学生创新意识，体现了学以致用，发展了学生的数学应用意识．2．积极倡导探究教学，动态实现知识体系的有效构建本节课中充分体了教师的主导性、学生的主体性．整个课堂教学活动有条不紊，凡是学生自己能解决的事情，教师都没有包办代替，坚决让学生自己做，学生在自主、合作、探究学习的过程中，不仅完成了本节课的教学标准，而且尝到了学习数学的乐趣，处处感受到成功的喜悦和数学文化的魅力．3．有效渗透数学思想，恰当体现信息技术的有机融合本节课从问题的引入、重点的突出、难点的突破，都恰时恰当地利用多媒体课件展示，课堂中黑板、多媒体、计算器交互使用，显示了教师现代信息技术的纯熟地操作能力；重点内容的板书和解题示范，既留给了学生充分思考与探索的时间，又让留在黑板上的一副静态的本章知识结构图演变成动态知识网络图，培养了学生的分析概括能力，培养了学生如读图、分析已知数据等诸多方面的能力．通过思考题进一步达到巩固提高的目的．以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢顶岗实习总结专题13篇第一篇:顶岗实习总结为了进一步巩固理论知识，将理论与实践有机地结合起来，按照学校的计划要求，本人进行了为期个月的顶岗实习。
构建函数模型，成功把握解题专题讲座一、专题解读数学建模就是把生活实际问题或以不同背景下描述的问题，通过数学语言翻译后转化成用数学符号，数学式子连接而成的方程，不等式、函数等不同数学专属问题，通过观察，分析，思考，选择恰当的数学知识，科学的解题方法，严谨的推理思维，解决问题的数学解题思想.常见的建模思想有方程型建模和函数型建模两种.近几年考题中，函数型建模思想运用的较多些，建模的实质是把问题转化成一次函数，反比例函数，二次函数问题问题去求解，建模时，准确判断建模的类型，构建科学的模型并能熟练运用该模型的数学知识，基本数学方法，基本解题思路破解问题是解题的关键.二、典型例题1.构建一次函数型探求直线过定点问题例1 如图1，平面直角坐标系 xoy 中，点 A 的坐标为 (9,6)， AB ⊥y 轴，垂足为 B ，点 P从原点 O 出发向 x 轴正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发向点 B 运动，当点 Q 到达点 B时，点 P 、 Q 同时停止运动，若点 P 与点 Q 的速度之比为 1:2，则下列说法正确的是( )A. 线段 PQ 始终经过点(2,3)B. 线段 PQ 始终经过点(3,2)C. 线段 PQ 始终经过点(2,2)D. 线段PQ 不可能始终经过某一定点解析：设OP=t ，则点P 的坐标为（t ，0），点Q 的坐标为（9﹣2t ，6）．设直线PQ 的解析式为y=kx+b （k ≠0），将P （t ，0）、Q （9﹣2t ，6）代入y=kx+b ，kt+b =0(9-2t)k+b =6⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2k =3-t 2t b =t-3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以直线PQ 的解析式为y=23-t x+2t t-3． 整理，得（y-2）t=3y-2x,因为关于t 的方程有无数解，所以y-2=03y-2x =0⎧⎪⎨⎪⎩，解得x =3y =2⎧⎪⎨⎪⎩，所以 线段 PQ 始终经过点(3,2) 所以选B.点评：解答时，有三个环节非常重要：1.理解“始终经过”的意义是第一个重要条件；2.利用方程组的思想，待定系数法确定直线的解析式是第二个重要条件；3.把方程转化为速度t的一元一次方程，把速度值的多样性转化为一元一次方程有无数解的模型求解是第三个重要条件.2.构建一次函数模型探求决策型问题例2某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为 x（ x为正整数）.游泳次数10 15 20 …方式一的总费用（元）150 175 ________ … ________方式二的总费用（元）90 135 ________ … ________多？（3）当 x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.解析：（1）第一行：200，5x+100；第二行：180；9x.（2）解：方式一：5x+100=270，解得 x=34.方式二： 9x=270，解得 x=30.因为 34＞30，所以小明选择方式一游泳次数比较多.（3）解：设方式一与方式二的总费用的差为 y元.则 y=(5x+100)-9x=-4x+100，当 y=0时，即 -4x+100=0，解得 x=25.所以当x=25时，小明任意选择两种方式中的一种都是一样合算.因为-4＜0,根据一次函数的性质，得y随 x的增大而减小,所以当x＜25时，有y＞0，即5x+100＞9x，所以小明选择方式二更合算，因为x＞20，所以20＜x＜25时，小明选择方式二更合算；当x＞25时，有y＜0，即5x+100＜9x，所以小明选择方式一更合算.点评：优化方案设计思想是近年中考的热点思想，利用优化思想，确定最优方案不仅培养学生会用知识，更重要是培养学生学会选择知识解决实际问题的能力，同时也锻炼学生的良好消费观.通过问题的求解，更要掌握这种解题策略，为以后的解题奠定知识基础.3.构建一次函数模型探求网费问题例3 某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图2所示，则下列判断错误的是（）A. 每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C. 每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D. 每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱解析：根据图像，可知C方式不论时长是多少，都是收120元；A方式是一个分段函数，根据题意可得当x≤25时，y=30； x＞25时，y=3x-45；B方式是一个分段函数，根据题意可得当x≤50时，y=50； x＞50时，y=3x-100；当x≤25时，A方式支付30元，B方式支付50元，C方式支付120元，所以A选项是正确；当y=60时，3x-45=60，解得x=35；3x-100=60，解得x=1603＞50，所以B选项是正确；当x=35时，A方式支付y=3x-45=60元，B方式支付y=3x-100=5元，C方式支付120元，所以C选项是正确；当y=120时，3x-45=120，解得x=55；3x-100=120，解得x=2203＞73，所以当70≤x≤2203时，B方式便宜；当x＞2203时，选择C方式最省钱，所以D选项错误，所以选D.点评：利用数形结合思想，看懂图像，读懂图像展示出来的解题信息，确定各种方式的表达式是解题的关键，其次，要会比较，清楚需要的条件是比较时长，还是比较消费金额，进而结合图像作出正确的判断.4.构建一次函数模型探求利润最大值问题例4“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W 的最大值．解析：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据题意得：5000045000=m m-200，解得：m=2000，经检验，m=2000是分式方程的解，∴m﹣200=1800．答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．（2）根据题意得：2000x+180（50﹣x）≤98000，解得：x≤40．W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000，∵当70＜a＜80时，120﹣a＞0，∴W随x增大而增大，∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a，∴W的最大值是（23800﹣40a）元．点评：根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A 型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，从而完成一次函数模型的构建，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．5.构建一次函数模型探求利润最大购买方案问题例5 某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解析：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，3313≤x≤60，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．点评：（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）构建起一次函数模型，后利用分类思想。
分①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，三种情况讨论，分别进行求解，这是这道建模考题的精华所在．6.构建反比例函数模型探求传染病预防消毒型问题例6 （2018年•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/3m）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/3mB．室内空气中的含药量不低于8mg/3m的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/3m且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/3m时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/3m开始，需经过59min后，学生才能进入室内解析：仔细观察图像，OA段可构建正比例函数模型求解，即y=2x,(0≤x≤5),且y随x的增大而增大，所以x=5时，y最大，且y=10即经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/3m，所以A是正确的．当y=8时，所以8=2x，解得x=4时，∴室内空气中的含药量不低于8mg/3m的持续时间为15-4=11min，即室内空气中的含药量不低于8mg/3m的持续时间达到了11min，所以B是正确的；当y=5时，AO 段上的x=2.5；设BC 的解析式为y=k x ，所以k=120，所以y=120x，x ≥15， 当y=5时，x=24，所以持续的时间为：24﹣2.5=21.5＜35，所以选项C 错误，符合题意； 当y=2时，AO 段上的x=1；设BC 的解析式为y=k x ，所以k=120，所以y=120x，x ≥15， 当y=2时，x=60，所以持续的时间为：60﹣1=59，所以选项D 正确；所以选C ．点评：看清各段函数的图像，正确建立函数模型的对接，是解题的关键.AO 段是正比例函数，AB 段是一次函数，BC 段是反比例函数，这是解题的第一步；正确选择函数解析式，确定符合题意的临界时间值，是解题的根本，两个临界时间值的差就是持续时间这一点对解题来说也是很重要的.特别是反比例函数的性质对解题起到了重要作用.7.以销售单价与数量形式呈现数量关系建立二次函数模型例7某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；（2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润． 解析：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）；（2）由题意得：y=（x ﹣40）[200﹣10（x ﹣50）]=﹣102x +1100x ﹣28000=﹣102(x 55) +2250，∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．点评：（1）正确理解“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”的意义是解题的关键；（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，构建二次函数模型，借助二次函数的最值判断加以解决．8.以函数图像形式呈现数量关系建立二次函数模型例8 某绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图4，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价1y （元）、生产成本2y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系．（1）求该产品销售价1y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本2y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？解析：（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y =kx+b ，∵经过点（0，168）与（180，60），所以b =168180k+b =60⎧⎪⎨⎪⎩，解得：b =1683k =5⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，∴产品销售价1y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式为1y =﹣35x+168（0≤x ≤180）； （2）由题意，可得当0≤x ≤50时，2y =70；当130≤x ≤180时，2y =54；当50＜x ＜130时，设2y 与x 之间的函数关系式为2y =mx+n ，∵直线2y =mx+n 经过点（50，70）与（130，54）， ∴50m+n =70130m+n =54⎧⎪⎨⎪⎩，解得：n =801m =-5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴当50＜x ＜130时，y 2=﹣15x+80． 综上所述，生产成本2y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式为2y =70(0x 50)1-x+80(50x 130)554(130x 180)⎧≤≤⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎩p p ；（3）设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，①当0≤x≤50时，W=x（﹣35x+168﹣70）=﹣352245(x)3-+120053，因为在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；②当50＜x＜130时，W=x[（﹣35x+168）﹣（﹣15x+80）]=﹣252(x110)-+4840，因为在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；③当130≤x≤180时，W=x（﹣35x+168﹣54）=﹣352(x95)-+5415，因为在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．因为4840＞4680＞3400，所以当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．点评：（1）强化待定系数法的应用；（2）仔细观察图像，利用分类的思想求函数的解析式；（3）利用：总利润=每千克利润×产量，构建起二次函数模型，判定自变量的端点值与对称轴的大小，从而确定界点值与抛物线的位置关系，利用二次函数的增减性分别确定不同条件下的最值，比较最值得大小确定最后的答案．这里灵活运用了分类思想，这是本题的最大亮点.9.以实物抛物线形式呈现数量关系建立二次函数模型例9某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图5所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．解析：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a 2(x 3)-+5（a ≠0）， 将（8，0）代入y=a 2(x 3)-+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣15， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣152(x 3)-+5（0＜x ＜8）． （2）当y=1.8时，有﹣152(x 3)-+5=1.8，解得：1x =﹣1，2x =7， ∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣152(x 3)-+5=165． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣152x +bx+165， ∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣15×216+16b+165，解得：b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣152x +3x+165 =﹣15215(x )2-+28920．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米． 点评：把实际问题构建成二次函数模型时，要做好如下几点：1.把生活中的数字正确转化成二次函数模型中的数字，使其生活意义数学化；2.构建起二次函数模型后，还需要灵活运用模型知识，选择简洁的函数解析表达式，以利于问题的求解；3.利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；4.利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=152x +bx+165，代入点（16，0）可求出b 值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．10.以图形面积形式呈现数量关系建立二次函数模型例10 如图6，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．解析：（1）设AB=xm ，则BC=（100﹣2x ）m ，根据题意得x （100﹣2x ）=450，解得1x =5，2x =45，当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD 的长为10m ；（2）设AD=xm ，∴S=12x （100﹣x ）=﹣122(x 50) +1250， 当a ≥50时，则x=50时，S 的最大值为1250；当0＜a ＜50时，则当0＜x ≤a 时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为50a ﹣122a ， 综上所述，当a ≥50时，S 的最大值为1250；当0＜a ＜50时，S 的最大值为50a ﹣122a ． 点评：以矩形的面积为抓手构建二次函数模型，把图形面积的最大值转化为二次函数最大值问题加以解决，解答时，要注意对a 进行分类求解，不能只是一味的利用模型求解而求解，确保解后的答案全面和准确.11.以文字描述形式呈现数量关系建立二次函数模型例11 某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润1w （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2w 至少为多少万元．解析：（1）1w =（x ﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣2x +32x ﹣236．构建函数模型，成功把握解题专题讲座11 / 11 （2）由题意：20=﹣2x +32x ﹣236．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x ≤16，2w =（x ﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣2x +31x ﹣150，对车轴为x=312,所以在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∴x=7时， 2w 有最小值，最小值为18（万元），答：该公司第二年的利润W 2至少为18万元．点评：（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，构建二次函数模型；（2）方函数模型转化为方程模型问题即可解决；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性求解，注意当界点值不在对称轴的同侧时，要利用对称轴的性质迁移到同侧，后利用性质确定最值.。
