非线性系统作业-Backstepping设计

摘要滑模变结构控制出现在20世纪中后期，由于变结构系统的滑动模态运动对系统的参数摄动、外界的扰动、不确定模态和模型不确定性具有自适应性，也就是完全鲁棒性，使得滑模控制引起了人们的极大关注。

反演（backstepping）是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统分别设计李雅普诺夫函数和中间虚拟控制量，一直后退到整个系统，直到完成整个控制律的设计。

本课题与李雅普诺夫型自适应律结合，综合考虑控制律和自适应律，使整个闭环系统满足期望的动静态性能指标。

在本论文中，将滑模变结构控制和基于backstepping设计方法的自适应控制有机结合，实现了以下技术指标：研究了Backstepping的基本思想和设计方法，并通过仿真实例进行验证。

设计出Backstepping滑模控制器。

设计出自适应Backstepping滑模控制器,使整个闭环系统满足期望的动静态性能指标。

通过MATLAB平台，对实例进行了仿真。

仿真结果表明：研究自适应反演滑模控制策略，为一大类不确定非线性系统提供了一种更有效的控制策略。

关键词：滑模变结构，反演控制器，自适应，李雅普诺夫函数Adaptive Backstepping Sliding Mode ControlABSTRACTThe sliding mode variable structure control was brought in the mid-and late 20th century. It is attention-getting because the sliding mode movement of variable structure system holds the adaptability, an ideal robustness, for the change of system parameters, outside disturbance, uncertain mode and model uncertainty of the system.Backstepping algorithm is designed to decompose a complicated nonlinear system to several subsystems with lower orders, and then a Lyapunov function and an interim virtual control variable are respectively designed for each subsystem. The steps of recursive algorithm will continue until the whole control law is worked out. In order to make the whole closed-loop system meet the anticipant stable and dynamic performance indexes, the subject is combined to Lyapunov’s adaptive law, and the control law and adaptive law are also taken into consideration.In this paper, the sliding mode variable structure control is properly combined to adaptive control based on backstepping design and the technical goals are realized as following.The basic ideal and designing method of backstepping are studied and proved through the simulation of practical examples.Backstepping sliding mode controller is developed.Adaptive backstepping sliding mode controller is designed to make the whole closed-loop system meet the anticipant stable and dynamic performance indexes.The simulation of practical examples is carried out on the platform of MATLAB. The simulation results show that the adaptive backstepping slidingmode provides a more efficient control strategy for a large class of uncertain nonlinear systems.Key words:sliding mode variable structure，backstepping controller，adaptive，Lyapunov function自适应反演滑模控制0 引言进入20世纪80年代以来，随着计算机、大功率电子切换器件、机器人及电机等技术的迅速发展，变结构控制理论和应用研究开始进入了一个新阶段。

G( j)
1 N(A)G( j) 0
即：
G( j) 1
N ( A)
称 N为(1非A) 线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制负倒描述函数曲线
时，曲线上箭头表示随A增大的变化方向。
G(就j是) 系统线性部分的频率特性， 相N当(1A线) 性系统的(-1，j0) 点。
非线性系统的稳定判据：
若线性部分开环频率特性是稳定的，则
7.3.1 相平面的基本概念
相平面法——是一种二阶微分方程的图解法。 此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统。
设二阶系统用下面的微分方程
&x& f (x, x&) 来描述，其中 f (x为, x&) 和x 的线x&性函数或非线性函数。上式所示系统的 时间解可用 与 的x 关系t 图来表示，也可以 为参变t 量，用 和 x
为不稳定工作点。
如图7-11所示系统， N10点为不稳定工作点，N20点为自振点。
周期运动稳定性判据：
在 G曲( j线) 和
曲线的1 交点处，若
N ( A)
曲线沿 N着(1A)振幅A增加的方向由不稳定区
域进入稳定区域时，该交点为自振点。反之，若 曲线沿着 振1 幅A增加的方向在
N ( A)
交点处由稳定区域进入不稳定区域时，该交点为不稳定工作点。
1- mh 2
1
-
h
2
A
A
死区滞环继电特性的描述函数为：
N (A)＝2M
A
1- mh 2 A
1-
h A
2
j
2Mh
A2
(m
-1)
理想继电特性（h=0 ） N ( A) 4M

第４ ２卷 增－ （ ） ？ Ｉ ｌ 】
２１ ０ ２年 ９月
东 南 大 学 学 报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｒ Ｌ Ｏ ＯＵ Ｈ ＡＳ Ｉ Ｒ ＩＹ （ ａｕａ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） ＯＵ ＮＡ ＦＳ Ｔ Ｅ ＴＵＮ ＶＥ ＳＴ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｉ
Ｖｏ． １４２
Ａｂｓｒ ｃ ：Ａ ｎ ａ ａ ｔｖ ｏ ｌｎ ａ ｏ ｔｏ ｌｒｉ ｅ ｅｏ ｅ ｏ ｂ ｎ ｎ ｃ ｔ ｐ ｉ ｇ ｔｃ ｎ ｑ ｅ ｗｉｈ ｔ ｅ ｔａ ｔ ｄ ｐ ｉ ｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｃ ｎｒ ｌｅ ｓ ｄ ｖ ｌ ｐ ｄ ｃ ｍ ｉ ｉ ｇ ｂａ ｋｓｅ ｐ ｎ ｅ ｈ ｉ ｕ ｔ ｈ
！
Ｉ
戈 ＝ 贾） △ ） ｇ（ ） ＋ ｇ（ ＋ Ｉ （ ＋ （ ＋ “ △ 贾） ｄ
ｙ＝
误差 、 存在未 知外 界 扰 动 等 控制 问题 时 ， 果并 不 效 理想 ． 。
为 弥补 传统 自适应 Ｂ ｃ ｓ ｐ ｉｇ控 制 的 不足 ， ａｋ ｔ ｐｎ ｅ 解 决多 种不 确定 因素作 用 下 的非线 性 系 统 控 制 问 题 ， 多学 者将 智 能控 制 方 法 引入 其 中． 别 是 随 诸 特 着神 经 网络的发 展 ， 们利 用神经 网络 能够 以任 意 人 理想精 度 逼近平 滑非 线性 函数 的特性 ， 系统未 知 对 不确 定性 进行逼 近 ， 合 自适 应 Ｂ ｃｓ ｐ ｉｇ控 制 结 ａｋｔ ｐ ｅ ｎ 方法 ， 设计 具有 较 强鲁 棒 性 的 非线 性 控 制 器 ， 得 取 了一 系列 研究成 果 ” ． 同样 基于 “ ” 核 的学 习 方法 ， 支持 向量 机 （ｕ ． ｓｐ ｐ ｒ ｖｃｏ ｃｉｅ Ｓ Ｍ ）自 ２ ｏｔ ｅｔｒｍａｈｎ ， Ｖ ０世 纪 ９ ０年 代 由 Ｖａｎｋ１ 提 出 以来 ， ｐ ｉ ］ ４ 理论 研究 和算 法 实 现 上 都 取 得 了突 破性进 展 ． 同于神 经 网络 ， 持 向量 机 建 不 支 立在 结构 风 险最 小 化 （ｔ ｃｕａ ｒ ｋｍｉｉ ｚｔ ｎ， ｓｕ ｔｒｌ ｉ ｎｍｉａ ｏ ｒ ｓ ｉ Ｓ Ｍ） Ｒ 原则 基 础 之上 ， 不存 在 “ 数 灾 难 ” “ 学 维 和 过 习” 问题 ， 广 性 好 ， 解 决 控 制 问题 上 也 取 得 了 推 在 较 大进 展 ． 于神 经 网络 的 控 制方 法 与基 于支 基 持 向量 机 的控 制方 法 的主要不 同点 在于 ， 前者 通过 调 节未 知 的网络互 联权值 来 实现参 数 的优化 ， 而后 者 将状 态 向量序 列作 为未 知 参 数 向量 的一 部分 进 行 优 化 计 算 ． 径 向 基 函数 （ａｉｌ ａｉ ｆｎ ． 就 ｒｄａ ｂ ｓ ｕ ｃ ｓ ｔ ｎ Ｒ Ｆ 神经 网络而 言 ， 隐层节 点数 目， 向基 ｉ ，Ｂ ） ｏ 其 径 函数 中心 和宽度 需要依 赖 于经验 进行设 定 ， 而支持 向量机 则 在对偶 空 间 的优 化 计 算 过程 中 自动 确定 函数参 数 ， 有更 强 的适 应性 ． 具 本 文在 相关 研究基 础 上 ， 针对 一类 不确 定非线 性 系 统 ， 支 持 向量 回 归 （ｕ ｐ ｒ ｖｃｏ ｃ ｉｅ 将 ｓｐ ｏｔ ｅｔｒｍａｈｎ ｒｇｅｓ ｎ Ｓ ｅ ｒｓ ｏ ，ＶＲ） Ｂ ｃ ｓ ｐ ｉｇ控制 方法 相 结合 ， ｉ 与 ａｋｔ ｐｎ ｅ 基 于 Ｂ ｃｓ ｐ ｉ ａｋｔ ｐｎ ｅ ｇ方法 构造镇 定控 制器 ， 采用 Ｓ Ｒ Ｖ 逼 近系统 非线性 过程 不确 定项 ， 引入 自适应 算法 调 节Ｓ ＶＲ权 值 ， 最终 得 到 满 足 闭环 系统 全 局 渐 近 稳 定 的控制 器 ． 过 对 典 型系 统 的 仿 真分 析 表 明 ， 通 该 控制 方法 控制效 果 较好 ， 具有 一定 的鲁棒 性 ． 且

一类输入受限的不确定非线性系统自适应 Backstepping变结构控制李飞;胡剑波;王坚浩;汪涛【摘要】针对一类输入受限的不确定非线性系统,提出了一种自适应Backstepping变结构控制器设计方法.建立了受未知非线性特征约束的执行器故障模型,可以描述系统存在死区、齿隙、饱和、滞回等输入受限情形以及可能发生的执行器失效、卡死等故障情形.设计径向基函数神经网络补偿未建模动态项,引入一阶低通滤波器避免了Backstepping控制中的计算复杂性问题.自适应近似变结构控制能够有效削弱控制信号抖振.理论分析和仿真实验结果证明,提出的自适应鲁棒控制律能够在输入受限的情况下自适应地调节控制输入,使得闭环系统稳定且满足控制性能要求.%An adaptive Backstepping sliding mode control method is proposed for a class of uncertain nonlinear systems with input constraints.A model for the nonlinear actuator is developed, which includes input constrained situations such as dead zone, backlash, saturation, hysteresis, and unknown faults such as partial loss of effectiveness fault and actuator stuck fault.Radial basis function neural network is employed to approximate the unknown nonlinear functions.The explosion of complexity is avoided in the traditional Backstepping design method by introducing a first order filter.Adaptive approximate variable structure control is effective to reduce the chatting of the control signal.Theoretical analysis and simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of this method by adaptively adjusting control input.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2017(039)008【总页数】11页(P1823-1833)【关键词】未知非线性;未知故障;不确定性;自适应Backstepping控制;径向基函数神经网络【作者】李飞;胡剑波;王坚浩;汪涛【作者单位】空军工程大学理学院, 陕西西安 710051;空军工程大学装备管理与安全工程学院, 陕西西安 710051;空军工程大学装备管理与安全工程学院, 陕西西安710051;空军工程大学装备管理与安全工程学院, 陕西西安 710051【正文语种】中文【中图分类】TP273物理器件的固有特性、机械设计和制造偏差、外部环境干扰以及安全因素的制约,使得死区、齿隙、饱和以及滞回等非线性特征不可避免地存在于机械系统、伺服系统、压电系统等实际控制系统中,使得系统控制信号受到一定的约束限制,影响被控系统的性能,甚至会造成系统出现发散、震荡等不稳定情况。

摘要对于几类严格反馈的非线性系统, 本文依据模糊逻辑系统、Backstepping技术、command滤波和Nussbaum函数等方法对其进行控制器设计, 并且进行了稳定性分析. 具体内容如下:1.针对一类具有状态约束的严格反馈非线性系统, 构造了一个模糊跟踪控制器, 借助于模糊逻辑系统来近似非线性函数, 所提出的控制方案解决了有限时间跟踪控制问题.2.针对一类具有不确定参数的随机非线性系统, 构造了一个有限时间跟踪控制器. 通过构造一个tan−型的障碍Lyapunov函数, 证明了闭环系统是有限时间稳定的；跟踪误差在有限时间内收敛到零的一个足够小的邻域内.3.针对一类具有不确定扰动的非线性系统, 讨论了基于command滤波的有限时间自适应模糊控制问题. 通过用误差补偿信号和模糊逻辑系统, 提出了一个模糊控制方案, 保证了输出跟踪误差在有限时间内收敛到零的一个足够小的邻域内, 并且闭环系统中的所有信号都是有界的.4.为了处理一类具有未知控制方向的非线性系统, 提出了一个基于command滤波的自适应控制方案. 在控制方案中, 用模糊逻辑系统来处理非线性函数、用command滤波来解决由重复可导的虚拟函数引起的复杂性问题、用Nussbaum函数来解决未知控制方向问题.关键词：非线性系统; 模糊逻辑系统; 障碍Lyapunov函数;command滤波; 误差补偿信号;Nussbaum函数.ABSTRACTFor several classes of strict-feedback nonlinear systems, the controller is designed and stability is analyzed in this paper based on fuzzy logic system, backstepping technique, command filter and Nussbaum function. The specific contents are as follows:1. A fuzzy tracking controller is constructed for a class of strict-feedback nonlinear systems with full state constraints. Because fuzzy logic system is used to approximate the unknown nonlinear functions, the proposed control scheme addresses the finite-time tracking control problem.2. A finite-time tracking controller is constructed for a class of stochastic nonlinear systems with parametric uncertainties. By constructing a tan-type Barrier Lyapunov Function, the proposed control scheme ensures that the closed-loop system is finite-time stable and the output tracking errors converge to a sufficiently small neighborhood of the origin in finite-time.3. A command filter-based finite-time adaptive fuzzy control problem is discussed fora class of nonlinear systems with uncertain disturbance. By using the error compensation signals and fuzzy logic system, a fuzzy control scheme is proposed to ensure that the output tracking errors converge to a sufficiently small neighborhood of the origin in finite-time and all signals in the closed-loop systems are bounded.4. To deal with a class of nonlinear systems with unknown control directions, a command filter-based adaptive control scheme is proposed. In the design process, fuzzy logic system is required to handle nonlinear functions, command filter is employed to settle the explosion of complexity problem arose from repeated differentiation of virtual control function and Nussbaum function is introduced to deal with the problem of unknown control directions.Key words:nonlinear systems; fuzzy logic system; Barrier Lyapunov Function; command filter; error compensation signals; Nussbaum function.目录第一章前言 (1)1.1论文研究背景 (1)1.2本文的主要研究内容和安排 (3)第二章一类状态约束非线性系统的有限时间自适应模糊控制 (5)2.1模型描述及基本假设 (5)2.2控制器设计和稳定性分析 (7)2.3仿真结果 (12)2.4本章小结 (14)第三章一类状态约束随机非线性系统的有限时间跟踪控制 (15)3.1模型描述及基本假设 (15)3.2控制器设计和稳定性分析 (16)3.3仿真结果 (23)3.4本章小结 (25)第四章一类未知扰动非线性系统的有限时间自适应模糊控制 (26)4.1模型描述及基本假设 (26)4.2控制器设计和稳定性分析 (27)4.3仿真结果 (32)4.4本章小结 (33)第五章一类未知控制方向非线性系统的自适应跟踪控制 (34)5.1模型描述及基本假设 (34)5.2控制器设计和稳定性分析 (35)5.3仿真结果 (41)5.4本章小结 (42)第六章总结与展望 (43)参考文献 (44)致谢 (49)攻读硕士学位期间参与的科研项目和发表的学术论文 (50)第一章前言1.1 论文研究背景在工业、生活和生产中, 几乎所有系统都可以用非线性系统来描述, 例如机器人控制设计、无人机飞行器设计和网络信号传输控制设计等. 研究非线性系统为解决实际问题提供了理论帮助. 不像线性系统因其数学模型比较简单和容易建立, 非线性系统中包含了各种未知因素和扰动, 并且其系统不满足叠加原理. 所以研究非线性系统具有非常重要的意义.在之前的研究中, 可以用泰勒展式等处理非线性函数, 将其转化为线性问题, 从而应用线性系统完善的理论和方法解决非线性问题. 但是随着科技、计算机技术的发展和非线性系统的进一步研究, 应用线性系统来解决非线性问题显得捉襟见肘. 为了在研究中保证实际系统的良好性能和稳定性, 需要对实际系统建立精确的模型. 而实际系统存在不确定性和扰动等因素, 例如实际系统中能量消耗、重心转移引起的误差因素和系统本身的时滞性等. 这些因素难以测量, 不被我们熟知, 所以对非线性系统的研究比线性系统的研究更加困难和具有挑战性. 为了使非线性系统更加接近实际问题, 考虑非线性系统的不确定性是十分必要的.由于许多被控对象的数学模型随时间、能量消耗、环境等的变化而变化. 针对这类变化, 研究者们提出了许多解决方案. 当其数学模型变化的范围较小时, 可用反馈控制、最优控制等来消除或减弱对控制性能的不利影响. 而数学模型的变化范围较大时, 以上方法不可用, 从而引发了人们对自适应控制问题的研究. 在50年代末, Whitaker首次在飞机自动驾驶问题上提出了自适应控制方案, 但是没有进行实际应用. 1966 年, Parks根据Lyapunov方法提出了自适应算法, 保证了系统的全局渐近稳定. 但是该算法降低了自适应对干扰的抑制能力. Landau把超稳定性理论应用到自适应控制中, 使得系统是全局渐近稳定的, 并且增强了系统的抗干扰能力. 由于自适应控制对系统有良好的控制性能, 到目前为止自适应控制理论被广泛应用在线性系统理论、非线性系统理论、计算机控制、航空航天、空间飞行器的控制等各个方面[1]-[2].20世纪90年代初, 非线性系统自适应控制的研究引起越来越多的关注.Kanellakopoulos，Kokotovic和Morse等对部分线性的严格反馈系统提出了自适应反推(backstepping)方法. 在此基础上, [3]首次介绍了非线性系统的自适应backstepping设计方法. 但是, 由于自适应理论刚刚发展, 早期的backstepping方法还不成熟, 即存在过度参数化问题. Jiang和Praly将推广的匹配条件应用到高阶非线性系统, 成功的将估计参数减少了一半.Krsti在文[6]中通过引入调节函数处理了估计参数, 彻底地解决了过度参数化问题. 由于自适应backstepping设计方法不要求非线性系统满足匹配条件, 因此, 该方法在近年来引起了广泛的应用[4]-[10]. 但是backstepping设计方法Ge S S和存在局限性, 那就是针对的系统是严格反馈的非线性系统. 在2002年, .. Wang C用均值定理和隐函数定理, 通过设计backstepping方法, 解决了纯反馈系统.的自适应跟踪控制问题. 但到目前为止, 对于非严格反馈系统的控制器设计还没有得到解决.backstepping设计方法采用反向递推的设计思想, 对于严格反馈的系统, 将其分解成不超过系统阶数的子系统, 在每一个子系统中设计相应的Lyapunov函数和虚拟控制信号, 使得其具有一定的收敛性. 在下一个子系统中, 将上一个虚拟控制律作为跟踪目标, 获得该子系统的虚拟控制信号. 以此类推, 完成了整个backstepping设计, 构造了跟踪控制器, 并且实现系统的全局调节或跟踪.L A Zadeh在为了用数学方法解决自然界中不精确的信息, 1965年, 美国科学家..论文Fuzzy Set中提出了模糊理论. 模糊理论是建立在模糊集合和模糊逻辑的基础上,用于描述模糊信息, 处理模糊现象的一种新的数学工具. 至此, 模糊集理论得到了飞跃性的发展. 模糊控制是以模糊集理论、模糊语言变量、模糊逻辑推理为基础的一种智能控制, 是智能控制的重要组成部分. 同时, 模糊控制也是控制领域中非常有前景的一个分支, 并且已经得到了成功的应用. 1974年, Mamdani利用模糊语言构成模糊控制器, 首次在蒸汽机和锅炉的控制中应用模糊控制理论.当模糊控制应用于复杂的非线性系统时, 为了得到更好的控制效果, 需要有更完善的控制策略. 由于系统本身的性质、外界扰动等影响, 造成了原有的模糊机制不完善. 为了弥补这一问题, 自适应模糊控制被提出[11]. 自适应在处理和分析过程中, 能够自动的调节处理方法、参数等, 通过在线辨识, 使其达到最佳的效果, 使模型越来越接近实际系统. 将自适应控制和模糊控制相结合, 形成具有自我调节能力的更完善的控制系统. 根据控制对象的动态变化, 实时地调整对应的模糊控制器, 从而更有效的解决了非线性问题. 由于该控制系统能够不断的调节自己的控制机制来改变其性能, 因此越来越多的控制方案应用到工业、电力系统、航空航天等实际性问题中, 并且取得了令人瞩目的结果[12]-[17].在实际系统中, 我们常常需要在有限的时间内实现收敛. 因此, 有限时间控制问题已成为一个重要的研究课题. 随着有限时间稳定性理论的发展, 近年来有限时间控制问题得到了研究, 并给出了非线性系统的有限时间控制结果[18]-[27]. 随机现象在制造过程、机器人操作系统等实际系统中经常发生, 它会引起系统的不稳定性. 因此, 随机是需要考虑的另一个重要因素, 对随机非线性系统的研究近年来也受到越来越多的关注[28]-[38].此外, 以上文献中的控制方法都存在计算复杂性问题. 因为backstepping技术在α进行重复求导, 导致较高阶虚拟控制器和最终实际控每一步中都要对虚拟控制器i制器所含项随着系统阶数的增加呈现爆炸性增长, 使得控制器的计算复杂程度剧增, 从而限制了这种方法在实际工程中的应用. 庆幸的是, 文献[39]首次提出了一种动态面控制技术, 解决了以上复杂性问题. 随后, Levant[40]提出了Command滤波, 用来解决重复可导的虚拟控制器引起的复杂性问题. 之后, 各种非线性系统的动态面自适应控制方案[41]-[44]和Command滤波自适应控制方案[45]-[50]被提出.控制方向代表了系统在任意控制下的运动方向, 在控制设计中具有重要意义. 但是控制方向很难检测或从物理意义上决定, 这使得控制设计更加困难. 连续Nussbaum增益法在控制设计中易于实现, 是解决控制方向未知问题的一种常用方法. 该方法的关键是利用Nussbaum函数去估计控制系数的符号, 从而解决非线性系统中未知控制方向的问题[51]-[58].总的来说, 本文在有关不确定非线性系统的自适应控制方面已经取得了一定的研究成果, 但是还需要进一步的讨论与研究. 本文对几类严格反馈的非线性系统进行了稳定性分析及控制器设计, 对进一步研究基于自适应backstepping方法的非线性不确定系统控制问题具有一定的参考价值.1.2 本文的主要研究内容和安排本文主要对于几类严格反馈的非线性系统, 进行了控制器的设计, 并且以自适应控制、backstepping设计方法和模糊控制为理论基础进行了稳定性分析. 全文内容安排如下:第一章: 前言. 介绍了论文的研究背景以及本文的主要研究内容和安排.第二章: 针对一类状态约束的严格反馈非线性系统, 构造了一个模糊跟踪控制器, 证明了输出跟踪误差信号在有限时间收敛到零的任意小的领域内, 同时闭环系统中所有的信号都是有界的.第三章: 针对一类具有不确定参数的随机非线性系统, 研究了状态约束严格反馈随机非线性系统的稳定性问题, 证明了系统输出能够有效地跟踪参考信号, 并且闭环系统中所有的信号都是有界的.第四章: 针对一类具有不确定扰动的非线性系统, 构造了一个命令滤波模糊控制器, 保证了误差收敛于零的任意小邻域内, 而且系统中闭环信号均有界.第五章: 对于一类控制方向未知的非线性系统, 提出了一个command滤波跟踪控制方案. 保证了误差信号收敛到原点附近, 并且所有闭环信号都是有界的.第六章: 对全文的工作做了总结, 并指出了以后的工作中需要解决的问题.以上章节均给出仿真实例, 并且验证了所提出的方法的有效性.第二章 一类状态约束非线性系统的有限时间自适应模糊控制针对一类严格反馈的非线性系统, 本章设计了一个有限时间模糊跟踪控制器. 将tan −型障碍Lyapunov 函数、模糊逻辑系统和backstepping 技术灵活地结合起来, 给出了控制器的设计步骤. 所提出的控制方案保证了输出跟踪误差在有限时间内收敛到零的任意小的领域内, 同时系统中的所有信号均有界. 仿真实例说明了该方法的有效性.2.1 模型描述及基本假设2.1.1 模型描述:考虑如下严格反馈非线性系统:11,11,()()((,),)i i i i i i n n n n n i x f x g x x x f x g x n x u y +=≤≤−+==+ (2-1)其中12[,,,],,T n n x x x x R y R u R ∈∈∈ 分别为系统状态、输出和输入; 12[,,,]T i i x x x x = ; ()i i f x 是未知的光滑非线性函数并且满足(0)0i f =; ()i i g x 是已知的光滑非线性函数; 内, i c k 是正常数. 本章的目的是针对系统(2-1), 设计一个有限时间模糊跟踪控制器, 使得:(1)输出在有限时间内能够很好地跟踪参考信号;(2)闭环系统中所有信号均有界;(3)所有的状态都不能违反其约束边界.2.1.2 基本假设：模糊逻辑系统的基本原理:IF-THEN 规则: i R : 如果1x 属于1i F , ..., n x 属于i n F , 则y 属于,1,,i B i N = , 其中12[,,,],T n n x x x x R y R ∈∈ 分别为系统状态和输出; i j F 和i B 是模糊集; ()j i j F x µ和()iB y µ是模糊隶属度函数. 通过模糊系统规则, 可以将模糊逻辑系统表示为1111()()[()]i j i j nN i j F i j n N j F i j x y x x µµ====Φ=∑∏∑∏, 其中()i i y R B max y µ∈Φ=. 令111(()[)()]i j i j n j F j i n N j F i j x p x x µµ====∏∑∏, 12()[(),(),,()]T N P x p x p x p x = ,1[,,]T N Φ=ΦΦ , 则上式可写成()()T y x P x =Φ. (2-2)引理 2.1[16]. ()f x 是定义在紧集Ω上的一个连续函数, 则对于任何给定的常数0ε>, 存在模糊逻辑系统(2-2), 使得()()T x sup f x P x ε∈Ω−Φ≤.引理2.2[18]. 对于任何实数1,,n x x …和01b <<, 以下不等式成立:n 11(++)b n b bx x x x …≤…++. 定义2.1[19]. 如果对于任意00()t ζζ=, 存在正常数ε和驻留时间0(,)T εζ<∞, 对任意1120210()ln (1)1T V x λλµµµµ−+−≤.推论2.1.对于任何实数12,00µµ>>, 01λ<<, 01β<<和0τ<<∞, 如果存在一个21102011122()1ln (1)()(1)V x T λλλµβµµλτµβµβµ−−+≤−+−. 证明: 从(2-3)可知, 对于任意01β<<, 有122()()()(1)().V x V x V x V x λλµβµβµτ≤−−−−+定义集合2{()}(1)x x V x λτβµΩ=≤−∣和2{()}(1)x x V x λτβµΩ=>−∣. 以下分两种情形进行讨论: 情形1: 如果()x x t ∈Ω, 则12()()()V x V x V x λµβµ≤−− , 所以假设1. 对于连续函数)(i i g x , 存在正常数0g , 满足00()i i g g x <≤. 不失一般性, 假2.2 控制器设计和稳定性分析在这一部分中, 对于系统(2-1), 构造了一个有限时间自适应模糊跟踪控制器. 首先, 定义111,,id i i x y x ξξα−=−=− (2-5) 其中i ξ是状态跟踪误差, i α是虚拟控制器并且满足i i αα<, i α是正常数. 定义2i i θΦ. 给出以下tan −型的候选障碍Lyapunov 函数:22*2tan()2ii i b i b k V k πξπ=,其中:{,,1,,}i i i i b R k i n ξξξξ∈Ω=∈<=…, 11010,0i ib c b c i k k Y k k α−=−>=−>.第1步: 由(2-5)可得11112.d d x y f g x yξ−+==−选择如下障碍Lyapunov 函数:*121112V V θ=+ , 其中111ˆθθθ=− , 并且1ˆθ为1θ的估计. 定义222cos ()2iiiib k ξξϑπξ=, 计算1V 的导数:11122111111221112111ˆ(())cos ()2ˆ()),(d b V f g y k f g ξαθθπξϑξαξξθθ=−−=++−++ (2-6)其中11d f f y =− . 由引理2.1可知, 对于任何10τ>, 存在模糊逻辑系统111()TP X Φ, 使得以下式子成立:111111111()(),,()Tf P X X X δδτ=Φ+≤11)(X δ为近似误差. 通过使用'Young s 不等式, 可以得到:1111122221111111111121()()2222TTP P a f P X X a ξξξξξϑθϑτϑϑϑδ=Φ+≤+++, (2-7)1a 是一个给定的正常数. 设计虚拟控制器1α如下:11111122221111,1222111121111sin()cos()cos ()ˆ2221[]22tan Tb b b K K S k k k P P g aαξξπξπξπξϑθϑαξξ=−−−−, (2-8)其中1100,K K α>>是常数, ,tan i S 定义为:22,2221222tan ta (),0,2()(),,t 22n an i i i i i i b tan ii i i i b b if k S l l else k k απξξεπξπξ ≥> = +(2-9) 2212122251(),(),01,tan tan 04422i i i ii i i b b l l k k ααπεπεαε−−==−<<>. 根据洛必达法则可得 11221112211sin()cos()220,0.b b K k k πξπξξξ→→当这意味着奇点不会出现在1α的第一项中. 构造(2-9)是为了避免奇点发生在1α的第二项中. 根据洛必达法则, 有11221,1211cos ()20,0tan b K S k απξξξ→→当.将(2-7), (2-8)代入(2-6), 得到1111111111111122221111111211121222222221111111111112112222112211122ˆ()2222ˆˆ()(tan )22222222()(2tan tan tan 2TT T b b b b P P a V g a P P P P a K K g k k a a K K k k ξξξξξξξααξααϑθϑτϑξαθθϑθϑϑθϑπξπξτϑξθθπξπξ+++++−≤−−−−+++++−−−≤≤ 112221111121121ˆ)().222T P P a g a ξξϑτϑξθθ++++− (2-10)第i 步: 从(2-5), 可以得到111()ii i i i i i i x f g ξαξαα−+−=−=++− . 其中111(1)11111()101ˆ()ˆi i i j i i i j j jj i j d j j j j jd f g x y x y ααααθθ−−−+−−−−+===∂∂∂=+++∂∂∂∑∑∑ . 定义候选障碍Lyapunov 函数: 2112i i i i V V V θ∗−=++ , 其中ˆi i i θθθ=− , 并且ˆiθ是i θ的估计. 计算i V 的导数, 则有1111111ˆ(())ˆ(()),i iii i i i i i i i i i i i i i i i i i i V V f g g V f g ξξξξϑξααθθϑξϑξαθθϑ−−+−−−+=+++−−=+++−− (2-11) 其中111ii i ii i i g f f ξξϑξαϑ−−−=−+ . 根据引理 2.1, 对于任意0i τ>, 存在模糊逻辑系统()i i T i P X Φ, 使得下式成立:()(),,()i i i i i i i i T i f P X X X δδτ=Φ+≤)(i i X δ是近似误差. 利用'Young s 不等式, 以下不等式成立22222()(),2222iiiii i i i i i i i T i ii i i Tf P X X P P a a ξξξξξϑϑϑδϑθϑτ=Φ+≤+++ (2-12)i a 是一个给定的正常数. 设计控制器i α为2222,2222sin()cos()cos ()ˆ2221[]22i iiiiitan iT b i i i i i i ii ii b b iiK K S k k k P P g aαξξπξπξπξϑθϑαξξ=−−−−, (2-13)0,0i i K K α>>是常数. 相似于1α, 奇异点将不会发生在i α中, 将(2-10)、(2-12)和(2-13)代入(2-11), 可得1122222222222211122122112ˆ()222ˆˆtan()tan ()222222222i i i i i i i ii i i i i i i ii i i i i i i i iT T i i i i i i i i i i i i i i i i i b b i T i i i i P P P P a V K K P P a g g k k a V g a a V g ξξξξξξξααξξξϑθϑϑθϑθϑτϑξαϑξθθϑπξπξτϑξϑξθ−−−++−−−≤++++≤−−−−+++++−−++−− 2222212221111ˆ()()()().2222tan tan 2j j i j j i iiii j j j j j jj i j j T i j j j j b b j P g a P a K K k k ξααξϑπξπξτϑθθξθ+====≤−−++++−∑∑∑∑ (2-14)第n 步: 从(2-5), 可以得到11n n n n n n xf g u ξαα−−=−=+− , 其中111(1)11111()101ˆ()ˆn n n j n n n j j j jn j d j j j j jdf g x y x y ααααθθ−−−+−−−−+===∂∂∂=+++∂∂∂∑∑∑ . 定义候选障碍Lyapunov 函数: 2112n n n n V V V θ∗−++ , ˆn n nθθθ=− , 并且ˆn θ是n θ的估计. 计算n V 的导数, 可得11111ˆ()ˆ(),n n nnn n n n n n nn n n n n n n V V f g u g V f g u ξξξξϑαθθϑξϑθθϑ−−−−−=++−−=++−− (2-15)其中111n nn n nn n g f f ξξϑξαϑ−−−=−+ . 根据引理 2.1, 对于任意0n τ>, 存在模糊逻辑系统()n n T n P X Φ, 使得下式成立:()(),,()T n n n n n n n n n f P X X X δδτ=Φ+≤)(n n X δ是近似误差. 利用'Young s 不等式, 以下不等式成立22222()(),2222nnnnn T n n n n n n T n n nnn nf P X X P P a a ξξξξξϑϑϑδϑθϑτ=Φ+≤+++ (2-16)n a 是一个给定的正常数. 设计控制器u 为2222,2222sin()cos()cos ()ˆ2221[]22nnnnnnn n nn tan nT b b b n n n n n n nK K S k k k P P u g a αξξπξπξπξϑθϑξξ=−−−−, (2-17)0,0n n K K α>>是常数. 相似于1α, 奇异点将不会发生在n α中, 将(2-14)、(2-16)和(2-17)代入(2-15), 可得112222222212222111222122ˆˆtan()tan ˆ222()22222222ta 2n(n n n n n n n n nn n n T T n n n n n n n n n n n n n n n n b T n n nn n n n nn n n n nnb ni n i P P P P a V K K g k k a a P P a V V g u g a K ξξξξξααξξξξϑθϑϑθϑπξπξτϑξθϑθϑτϑϑξθθπξθ−−−−−−=≤+++++−≤−−−−++++−−−≤−∑ 22222222111ˆ)()()().2222tan 2iiiiT n n n i i i i i i i i i i i b b i P P a K k k a ξααϑπξτθθ===−+++−∑∑∑ (2-18) 设计自适应率为22ˆˆ2i T i i i i ii P P a ξϑθσθ=− , 则(2-18)能够写成 2222221111ta ˆ()()n t 22a )n (22i i i n n n ni i i i n i i i i i i i b b ia V K K k k ααπξπξτσθθ====≤−−+++∑∑∑∑ . (2-19) 由'Young s 不等式, ˆi i i σθθ 满足2222222222222ˆ222222(1)22222(1)(1).2222i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i iαααασθσθσθθσθσθσθσθσθσθσθασθασσθασθσθασ≤−=−−+−≤−−++−−≤−−+ (2-20)将(2-20)代入(2-19), 有22222222211(1)(tan tan 1)(()())().22222222i i i n ni i i i i i i i i i i n i i i b b a V K K k k αααπξπξτσθασθσθασ=−−≤−−+++−−+∑∑(2-21) 定义111122min{,,,(1),,(1)}nn n b b K K k k ππησασα=…−…−, 11112122}min{,,,2,,2n n n b b K K k k ααααααααππησσ−−=……, 则(2-21)能够写成222222122211tan tan 11[()][()]2222ii i inn b b i ini i i i b b k k V C k k αααααπξπξηθηθππ==≤−+−++∑∑ , 其中2221(1)()2222ni i i i i ia C τσθασ=−=+++∑. 由引理2.2可知:12n n nV V V C αηη≤−−+ . (2-22)定理: 在满足假设1和假设2的条件下考虑系统(2-1). 如果设计的控制器是(2-17),虚拟控制信号是(2-13)和自适应律是22ˆˆ2i T i i i i ii P P a ξϑθσθ=− , 则有: (1)未违反状态约束的条件;(2)闭环系统中的所有信号都是有界的; (3) 误差信号()i t ξ将收敛到max{i i ξε<内，并且驻留时间满足: 110111222((0))1ln (1)()(1)n V T Cαααηξβηηαηβηβη−−+≤−+−.证明: 从(2-22)中可得1n nV V C η≤−+ , 解不等式可得111((0))t n n CCV V e ηηη−≤−+. 因此n V 是有界的. 根据2112n n n n V V V θ∗−++ 可知, i V 和i θ 都是有界的. 因此ˆi i iθθθ=+ 也是有界的. 根据122211()(ta (n 0))2iib t i n n b k CV V e kCηπξπηη−≤≤−+可知ii b k ξ<成立. 由(2-5)和假设2可得11110d b c x y k Y k ξ≤+<+=. 从模糊逻辑系统的定义可知111TP P <. 根据假设1可得11i g g ≤, 所以1ig 是有界的. 因此1α是有界的并且满足11αα≤. 从(2-25)和11αα≤可知222211b c x k k ξαα≤+<+=. 所以2α是有界的并且满足22αα≤. 同理可知,3,,i i c x k i n <=…. 因此, 未违反状态约束的条件.因为控制器u 中的所有信号都是有界的,所以控制器u 是有界的, 由以上分析可知闭环系统中的所有信号都是有界的.根据推论 2.1可知, n V 将在有限时间内收敛到紧集12()(1)n n CV V αβη−≤内. 因为21222()()tan (1)2iib i n b k C V kαπξπβη≤≤−,所以max{ii ξε<, 并且收敛时间满足110111222((0))1ln (1)()(1)nV T Cαααηξβηηαηβηβη−−+≤−+−.证明完毕.2.3 仿真结果：考虑以下非线性系统:11221221,.,xx x x x x u y x =+=+= 参考信号是()0.5sin()d y t t =. 初始条件是12(0)=0.1,(0)=0.1x x , 状态约束在12=1.5,=1.5c c k k 内.在状态区间[-1.5,1.5]中定义了7个模糊集. 并且给出了隶属度函数:222123222456270.5( 1.5)0.5(1)0.5(0.5)0.5()0.5(0.5)0.5(1)0.5( 1.5),,,,,,.i i i iiii i i iiiii x x x F F F x x x F F F x F e e e e e e e µµµµµµµ−+−+−+−−−−−−−=======参数设计为121212122,2,1,1,0.75,0.01,0.01,0.01,0.01K K K K ααασσττ=========. 仿真结果如图2-1至2-5.图2-1 输出y 和参考信号d y 图2-2 系统状态1x 和2x图2-3 自适应率1ˆθ和2ˆθ 图2-4 系统输入u图2-5误差信号1S 和2S2.4 本章小结：针对一类具有状态约束的严格反馈非线性系统, 本章提出了一个自适应有限时间模糊控制方案. 在该方案中, 跟踪误差在有限时间内收敛到零的任意小邻域内. 闭环系统中的信号均有界, 并且不违反状态约束的条件.第三章 一类状态约束随机非线性系统的有限时间跟踪控制本章研究了状态约束随机非线性系统的稳定性问题. 采用反推技术设计了基于tan −型障碍Lyapunov 函数的非线性系统有限时间跟踪控制器. 保证了系统输出能够有效地跟踪参考信号, 并且闭环系统中所有信号都是有界的. 最后, 仿真结果说明了所提出的有限时间控制方案的有效性.3.1 模型描述及基本假设3.1.1 模型描述:考虑如下严格反馈非线性系统:11(()())(),1,,1,(()(),)(),T i i i i i i i i Tn n n n n n n dx f x g x x dt x d i n dx f x g x u dt x d y x φωφω+=++=…−=++= (3-1)其中12[,,,],,T n n x x x x R y R u R ∈∈∈ 分别为系统状态、输出和输入; 12[,,,]T i i x x x x = ;()i i f x 是未知的光滑非线性函数并且满足()()T i i i i f x x θϕ=; i ϕ是光滑函数向量, θ是不确定的常数向量满足{,,}m M M R R θθθθθθ+∈Ω=∈≤∈; ()i i g x 是已知的光滑非线性函数;()i i x φ是已知的非线性函数向量; ω是标准维纳过程.所有的状态都严格约束在紧集, 其中ic k 是正常数.本章的控制目标是针对系统(3-1), 设计一个有限时间跟踪控制器, 使得: (1)输出在有界误差范围内跟踪参考信号; (2)闭环系统中的所有信号都有界; (3)并且所有状态都满足约束条件. 3.1.2 基本假设：考虑如下随机系统:()()dxf x dtg x d ω=+,其中x 为状态向量; ()f x R ∈和()n r g x R ×∈满足局部李普希茨条件和线性增长条件, 并且满足(0)0,(0)0f g ==; ω是一个r 维的标准维纳过程.定义3.1[32] . 对于任何给定的正函数2,1(,)V x t C ∈, 我们定义微分算子L 如下:221[(,)]{}2T V V V L V x t f Tr g g t x x ∂∂∂=++∂∂∂, 其中(.)Tr 是矩阵的迹.引理3.1[33]. ()f x R ∈和()n r g x R ×∈满足局部李普希茨条件和线性增长条件, 如果存在一个2C 上的函数V , K ∞类函数12,µµ, 两个常数0c >和01γ<<, 满足12()()(),()(),x V x x LV x cV x γµµ≤≤≤−则系统是有限时间随机稳定的, 并且驻留时间满足:1001[()]()(1)E T x V x c γγ−≤−.引理3.2[34]. 存在一个2C 上的函数V , K ∞类函数12,µµ, 两个常数0γ>和0ρ>, 满足0[()]()/t E V x V x e γργ−≤+.3.2 控制器设计和稳定性分析在这一部分中, 对于系统(3-2), 构造了一个自适应有限时间控制器. 首先, 定义111,,i d i i x y x ξξα−=−=− (3-2) 其中i ξ是虚拟状态跟踪误差, i α是虚拟控制器并且满足i i αα<, i α是正的常数. 给出以下tan −型的候选障碍Lyapunov 函数:444tan()4iib i i b k V k πξπ∗=,其中:{,,1,,}ii i i b R k i n ξξξξ∈Ω=∈<=…, 11010,0iib c b c i k k Y k k α−=−>=−>.第1步: 由11d x y ξ=−和221x ξα=−可得 11112111211()(())T T T T d d d d dx dy g x y dt d g y dt d ξθϕφωθϕξαφω=−=+−+=++−+ .选择如下障碍Lyapunov 函数:1112T V V θθ∗=+ ,其中ˆθθθ=− 并且ˆθ为θ的估计. 定义3442cos ()4i ii ib k ξξϑπξ=, 由定义3.1可知: 111111444261111443211112114423411443cos()2sin()44(())cos ()2cos ()44b b b T T d b b b k k k LV g y k k kπξπξξπξξθϕξαφθθπξπξ+=++−++. (3-3) 令11ωϕ=和111ˆξθτωϑσθ=−. 设计虚拟控制器1α如下: 1111111144421111,144411331114411433322114441144),sin()cos()cos ()4441ˆ(2sin()41(3)cos()cos()44tan b b b T d b b b b K K S k k k y g k k kkαπξπξπξαθωξξπξπξφπξπξ=−−−++ (3-4)其中1100,K K α>>是常数, ,tan i S 定义为:44,4421244tan ta (),0,4()(),,t 44n an i i i i i i b tan ii i i i b b if k S l l else k k απξξεπξπξ ≥> = +(3-5) 4412124451(),()444t n n 4a ta i ii i i i b b l l k k ααπεπε−−==−. 根据洛必达法则可得 114411144131sin()cos()440,0.b b K k k πξπξξξ→→当这意味着奇点不会出现在1α的第一项中. 构造(3-5)是为了避免奇异发生在1α的第二项中. 根据洛必达法则, 有11421,14131cos ()400tan b K S k απξξξ→→当.通过使用'Young s 不等式, 以下不等式成立:1111111114444264111111444333231221114443343411114443cos()2sin()2sin()4441(3)32cos ()cos ()cos()444b b b b b b b b b k k k k S k k kkk πξπξπξξπξπξξφφπξπξπξ+≤++. (3-6)将(3-4)和(3-6)代入(3-3), 得到11111111144421111,1444311112433211144411433322111444114433121431sin()cos()cos ()444(cos ()42sin()41ˆ(3))cos()cos()44cos (4tan b b bT d bbT d b b b K K S k k k LV g y k k y k k k k απξπξπξξθϕξπξξξπξπξθωφπξπξξπξ≤+−−−−++ 111111111114411433214344411111214431144441114431111ˆˆtan()tan ()()442sin()41(3)3)cos()41ˆˆ()()()43tan tan 43bT b b bT T T b T T b bb K K k S k k g k k S K K k k S αξαθξααπξπξθϕξθωθπξπξφθθπξϑπξπξθθτσθθθϑ≤−−++−+−+++≤−−−−+++ 112.g ξ(3-7)第2步: 从221x ξα=−和332x ξα=−可得 22122312223212()(())T T T Td dx d g x dt d g dt d ξαθϕαφωθϕξααφω=−=+−+=++−+ ,其中1111211()Tg x x ααθϕη∂=++∂ ,22()11111111(1)2111ˆ()()ˆ2i Td i i d y x x y x αααηθφφθ−=∂∂∂=++×∂∂∂∑ . 上式可写为 12,2,223212121(())T Tr r d g dt d g x dt x αξθϕξαηφω∂=++−+−∂,其中1,2,2211[,],[,]TT T Tr r x αθθθϕϕϕ∂==−∂, 选择候选障碍Lyapunov 函数:212V V V ∗=+. 由定义3.1可得22222244426222244322121,2,2232112244234122443cos()2sin()44(())cos ()2cos ()44.b b b Tr r b b b k k k LV LV g g x x k k k πξπξξπξξαθϕξαηφπξπξ+∂=+++−−+∂(3-8) 令212212121,x ξαωϕϕττωϑ∂=−=+∂. 设计控制器2α为222221222244422222,2444221332224422433312122221244412244sin()cos()cos()4441ˆ[2sin()41(3)],cos()cos()44tanb b b Tbbb bK K Sk k kgk gg xxkk kαξξπξπξπξαθωηξξπξπξϑξαφϑπξπξ=−−−+∂++−∂(3-9) 220,0K Kα>>是常数. 通过使用'Young s不等式, 下列不等式成立:2222222224444264222222444333232222224443343422224443cos()2sin()2sin()4441(3)32cos()cos()cos()444bb b bb bb b bkk k kSk kk k kπξπξπξξπξπξξφφπξπξπξ+≤++. (3-10) 将(3-7), (3-9)和(3-10)代入(3-8), 得到2222221222244422222,24443221,2,2234332222444224333122222244422443222sin()cos()cos()444(cos()42sin()41ˆ(3))cos()cos()44tanb b bTr rbbTbb bK K Sk k kLV LV gkk gkk kαξξπξπξπξξθϕξπξξξπξπξϑξθωφϑπξπξξ≤++−−−+−2222221222442243332244334222444422122312244324422244112sin()41(3)3cos()cos()441tan()tan()443ˆtan()tan()()44ii ibbb bTb bTi iii ib bkSkk kLV K K g gk k SK Kk kααξξξααπξπξφπξπξπξπξϑξϑξϑθωπξπξθθτ==++≤−−++−≤−−−+−+∑∑2223311ˆ.3Ti igSθξσθθϑξ=++∑(3-11)第i步: 从1i i ixξα−=−和11i i ixξα++=−, 可得111(())Ti i i i iTi i iid dx d g dt dξαθϕξααφω−+−=−=++−+,其中111111()iTii jj jj jig xxααθϕη−−−+−=∂=++∂∑, 21()1111(1)1,11ˆ()()ˆ2ij Ti i ii d kij jjkjj j k kdy x xx xyαααηθφφθ−−−−−−==∂∂∂=++×∂∂∂∂∑∑. 上式能够写成11,,1111(())i iiT T ir i r iji i ji jjid g dt d g x dtxαξθϕξαηφω−−+−+=∂=++−+−∂∑,其中11,,1111[,,],[,,,]T T T Ti ir i r ii iix xααθθθϕϕϕϕ−−−−∂∂=…=−…−∂∂. 选择候选障碍Lyapunov函数:1i iiV V V∗−=+.根据定义3.1可得444264431211,,111441234443cos()2sin()44(())cos ()2cos ()44.i i iiiii i ii i i i i j b i b b Ti i r i r i i j ii i j i j b b b k k k LV LV g g x x k k kπξπξξπξξαθϕξαηφπξπξ−−−+−+=+∂=+++−−+∂∑(3-12)令1111,ii i j i i ji i i j x ξαωϕϕττωϑ−−−=∂=−=+∂∑. 设计控制器i α为14442,444133444331311221441444sin()cos()cos ()4441ˆ[2sin()41(3)],cos()cos()44i i i i ii i i i ii i ii i i i i ta ii ii ij n ib b b T i i b i i i j j b b b j i i K K S k k k g k g g x x k k k αξξπξπξπξαθωηξξπξπξϑξαφϑπξπξ−−−−−+==−−−+∂++−∂∑ (3-13)0,0i i K K α>>是常数.通过使用'Young s 不等式, 以下不等式成立:44442644443332322444334344443cos()2sin()2sin()4441(3)32cos ()cos ()cos()444i iiiiiii ii i i ib b bbii b b b b i ii ii i i ibk k k k S k k kk k πξπξπξξπξπξξφφπξπξπξ+≤++. (3-14) 将(3-11), (3-13)和(3-14)代入(3-12), 得到14442,44431,,14332444433312244444sin()cos()cos ()444(cos ()42sin()41ˆ(3))cos()cos()44i iiii i iii iita i i i i i i i ii i i n ib b b T i r i r i i b b i T ib b b iiiii i K K S k k k LV LV g k k g k kkαξξπξπξπξξθϕξπξξξπξπξϑξθωφϑπξπξ−−+−≤++−−−+−14443333224433444441114434444112sin()41(3)3cos ()cos()441tan()tan ()443tan()tan ()44iii ii i i iiji jj i i iii i i i i i i b it b b b T i i i b b i iij j j b j j b k S k k k LV K K g g kkS K K kk ααξξξααπξπξξφπξπξπξπξϑξϑξϑθωπξπξ−−+−==++≤−−+−++≤−−∑ 1311ˆˆ()3.i iii i jT T i j g S θξθθτσθθϑξ+=−++−+∑∑(3-15)第n 步: 从1nn n x ξα−=−可得 11()T Tn n n n n n n d dx d g u dt d ξαθϕαφω−−=−=+−+ ,其中2111()11111111(1)111,11ˆ()()()ˆ2,n nn n T i Tn n n n n i n n d k k i i i i i k k d i i i i i i g y x x x x x y x αααααθϕηηθφφθ−−−−−−−−+−−−====∂∂∂∂=++=++×∂∂∂∂∂∑∑∑∑ . 上式能够写成11,,111()n TT n nr nr n n n ni i i id g u dt d g x dt x αξθϕηφω−−−+=∂=+−+−∂∑, 其中11,,1111[,,],[,,,]T T T T n n r n r nn n n x x ααθθθϕϕϕϕ−−−−∂∂=…=−…−∂∂. 选择候选障碍Lyapunov 函数: 1n n n V V V ∗−=+. 根据定义3.1可得444264431211,,11441234443cos()2sin()44()cos ()2cos ()4.4nnnnnni n n b nn n b bTn n n n r n r n n n i n i nn b i bb k k k LV LV g u g x x k k kπξπξξπξξαθϕηφπξπξ−−−−+=+∂=++−−+∂∑(3-16)令1111,ni in n n n n n n i x ξαωϕϕττωϑ−−−=∂=−=+∂∑. 设计控制器u 为14442,444133444331311221441444sin()cos()cos ()4441ˆ[2sin()41(3)],cos()cos()44n nnnnn n nnnn n n n tan nb b b T n n nnnn i nn b n n n nni i n n b b ib K K S k k k u g k g g x x k kkαξξπξπξπξθωηξξπξπξϑξαφϑπξπξ−−−−−+==−−−+∂++−∂∑(3-17)0,0n n K K α>>是常数.通过使用'Young s 不等式, 以下不等式成立:44442644443332322444334344443cos()2sin()2sin()4441(3)32cos ()cos ()cos()444nnnnnnnn nn n n b nn nb bbn nnn n n n n bb b b bk k k k S k k kk k πξπξπξξπξπξξφφπξπξπξ+≤++. (3-18)将(3-15), (3-17)和(3-18)代入(3-16), 得到14442,44431,,433244443331224444432sin()cos()cos ()444ˆ(cos ()42sin()41(3))cos()cos()44n n n nnnn nn n nn n nn tan nb b b T T n n n r n r n nn n nb n nb n n nn n nb b b nK K S k k k LV LV k k g k k k αξξπξπξπξξθϕθωπξξξπξπξϑξφϑπξπξξ−−−≤+−−−+−14443332443344444114434444112sin()41(3)3cos ()cos()441tan()tan ()443ˆtan()tan ()()44nnn nn n n n n i i i n nb n n n n n b b b T n nn n n n nb b nnn T i ii n i i b b k S k k k LV K K g k k S K K k k ααξξααθπξπξφπξπξπξπξϑξϑθωπξπξθθτσ−−−==++≤−−+−≤−−−+−+∑∑ 311ˆ.3n T i i S θθ=+∑(3-19)。

性等问题。
文献[8-10]在自适应 Backstepping 设计的基础 上，提出了不同的神经网络自适应 Backstepping
控制方法，且取得了较好的控制效果，它们均是
针对如式(1)所示的严格参数反馈非线性系统进 行的，即
⎧ ⎪
xi
⎨ xn
= =
fi ( xi ) + gi ( fn ( xn ) + gn
应、飞行控制、生化过程等纯反馈非线性动力学
系统是一类更一般的且更能真实描述的非线性系
统[11]。纯反馈形式的非线性系统与严格反馈非线性
系统一样，均具有三角形结构，且状态变量 xi 仅依 赖于[x1,x2,…,xi+1]T，i=1,…,n−1。区别在于严格反馈 非线性系统是一类特殊形式的纯反馈非线性系统，
中图分类号：TP 273
文献标志码：A
文章编号：0438—1157（2016）07—2934—10
Adaptive control for a class of uncertain pure-feedback nonlinear systems using Backstepping based on extreme learning machine
第 67 卷 第 7 期 2016 年 7 月
化工学报 CIESC Journal
Vol.67 No.7
J·ul2y923041·6
DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151533
基于 ELM 的一类不确定性纯反馈非线性系统的 Backstepping 自适应控制
李军，石青
极限学习机(extreme learning machine, ELM)是 由 Huang 等[14-15]提出的用于单隐层前馈网络(single layer feedback networks, SLFNs)的快速学习算法，其 特点是随机选择 SLFNs 的隐含层节点及相应的节 点参数，在训练过程中仅需调节网络的输出权值。 针对单数单输出仿射非线性系统，文献[16]给出了 基于 ELM 的直接自适应神经控制方法，应用于倒 立摆基准实例中。针对一类多输入多输出严格反馈 非线性动力学系统，文献[17]给出了基于 ELM 的自 适应 Backstepping 控制方法，应用于双轴运动平台 实例中；文献[18]给出了基于 ELM 的鲁棒自适应控 制方法，应用于二自由度刚性机械臂实例中，均取 得了很好的控制效果。

基于非线性Backstepping的船舶动力定位控制算法研究黄珍;毕传林
【期刊名称】《舰船科学技术》
【年(卷),期】2018(0)2X
【摘要】船舶动力的定位控制属于是闭环控制系统,因风浪等一些环境产生的干扰,使船舶动力的定位控制存在不确定性的干扰控制问题。

当前算法对船舶的动力进行定位控制时没有对船舶的动力进行定位,导致船舶动力定位控制不准确的问题。

提出一种基于非线性Backstepping的船舶动力定位控制的算法。

对船舶动力定位控制的数学模型进行构建,利用非线性Backstepping反步积分的控制原理为基础,通过对Lyapunov函数递推进行2步船舶控制律进行构造,有效地提高了定位的精确度,由此完成对非线性Backstepping的船舶动力定位控制算法的研究。

实验结果证明,利用该算法使船舶动力定位控制的精确度较高。

【总页数】3页(P55-57)
【关键词】非线性;Backstepping;船舶动力;定位控制
【作者】黄珍;毕传林
【作者单位】九江职业技术学院信息工程学院，江西九江332007
【正文语种】中文
【中图分类】U664.82
【相关文献】
1.基于非线性模型预测的船舶动力定位控制器设计 [J], 王元慧;隋玉峰;吴静
2.基于非线性控制理论的船舶动力定位控制系统的数学模型 [J], 刘芙蓉;陈辉
3.基于迭代滑模的船舶动力定位非线性控制 [J], 陈海力;任鸿翔;杨柏丞;衣莹
4.基于非线性自适应控制器的船舶动力定位系统设计 [J], 吕莉;李艳
5.非线性Backstepping算法在船舶动力定位系统控制的应用 [J], 牛兴霞;章小丹因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

量，逐步构造 出偏差信 号的 李雅普诺夫函数 ，设 计 出了综合非线性控制器。该控 制器不仅保证 了系统稳定 性， 而且能够 实现跟踪误 差收敛于零。 仿真试验验证 了这种 非线性方法在协调 系统控制 器设计 中是可行 的。
关 键 词 ：协 调控 制 系统 ； ｂｃ ｓ ｐ ｉｇ 非 线 性控 制 ａｋｔ ｐ ； ｅ ｎ 中 图分 类 号 ：Ｔ ２ ２ Ｐ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １０ －６ １（０６ ５０ ４ －３ ０ ７２ ９ ２ ０ ）０ －０５０
Ｎｏ ｌｎｅ ｒｃ ｎ ｒ ｌｆ ｒｂｏ ｌ ｒｔ ｂｉ ｏ ｒ ｎａ ｅｓ ｔ ｍ ｓｏ ｗｅ ｔｂａ ｅ ｎ ｎ ｉ ａ ｏ ｔ ｏ ｏ ｉ —ｕｒ ｎｅｃ ｏ ｄｉ ｔ ｙｓｅ ｆｐｏ ｒｕｎｉ ｓ ｄ ｏ ｅ ｂａ ｋｓｅ ｃ ｔ ｐｐｉ ｎｇ
ＷＡ Ｇ Ｙｎｓ ｎ ，ＴＡ ｕ－，Ｂ Ｉ ｉ，ＷＡ Ｇ Ｙｎ Ｎ ｉ－ｏ ｇ ＩＮＲ ｉｉ Ａ ｅ ｌ Ｊ Ｎ ｉｇ （ｃｏ ｌ ｆ ｏ ｔ ｌ ｃｅｃ ｄ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｎｏｔ ｈｎ ｌ ｔｃ ｏ ｒ ｎｖ ｒｔ，Ｂ ｏ ｉｇ０ ０ ，Ｃ ｉａ Ｓｈ ｏ ｏ ｎ ｏ ｉ ｅ ｎ ｇｎ ｅ ｎ ， ｒ Ｃ ｉａ ｅ ｒ ｗｅ ｉｅｓｙ ａｄ ７ ３ ｈｎ ） Ｃ ｒ Ｓ ｎ ａ Ｅ ｉ ｈ Ｅ ｃ Ｐ ｉ Ｕ ｉ ｎ １ ０
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｒ ｉａ ｅ ｏ ｔｏ ｙ ｔｍ ；ｂ ｃ ｓｅ ｐ ｎ ；ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｏ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｄ ｃ ｎ ｌ ｓｅ ｒ ｓ ａ ｋ ｔｐ ｉ ｇ ｏ ｌ ａ ｎ ｌ ｎ ｃ ｒ
Ｂ ｃ ｓｅ ｐ ｎ 设计方 法 是一 种 非线 性控 制 的 ａ ｋ ｔｐ ｉｇ
ｂ ｃ ｓｅ ｐ ｎ ， ｏ ｕ ａ ｋ ｔｐ ｉ ｇ ｓ ｍｅ ｍｍｙｖ ｒａ ｌｓ ｅｉ￣ｏ ｕ ｅ ｏ ｓ ｕ ｔｈ ｙ ｐ ｎ ｖｆ ｎ ｔ ｎｏ ｅ ｒ ｒ ｉｎ ｌ． ｓ ｎ ｈ ｔ ｄ ａｉ ｂ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｃ ｄｔ ｃ ｎ ｔ ｃ ｅＬ ａ ｕ ｏ ｃｉ ｆ ｒｏ ｇ ａ ｓ Ａ ｙ ｔ ｅｉ ｏ ｒ ｔ ｕ ｏ ｓ ｃ

基于自适应Backstepping设计的TCSC非线性鲁棒控制器李文磊;张智焕;井元伟;刘晓平【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2005(22)1【摘要】电力系统是强非线性的动态大系统,在运行中总要受到外部干扰和内部干扰的影响,从而对其稳定运行造成严重威胁.本文针对带有TCSC单机无穷大母线系统的三阶鲁棒模型,在考虑阻尼系数未知及系统受外部扰动的情况下,将自适应backstepping方法与非线性L2增益干扰抑制理论融合,构造出系统的存贮函数,并获得非线性自适应鲁棒控制器及参数替换律.所得控制器不仅能够保证系统状态有界,而且能够有效抑制干扰对系统输出的影响.通过对单机系统的仿真结果表明采用该方法的控制器优于传统的控制器.【总页数】5页(P153-156,160)【作者】李文磊;张智焕;井元伟;刘晓平【作者单位】宁波大学,信息科学与工程学院,浙江,宁波,315211;宁波大学,信息科学与工程学院,浙江,宁波,315211;东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004;东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004【正文语种】中文【中图分类】TM712【相关文献】1.基于Backstepping设计的非线性鲁棒自适应控制 [J], 陈芳;田有先2.基于Backstepping设计的非线性大系统模糊自适应输出反馈分散控制 [J], 刘长亮;佟绍成3.基于Backstepping设计的非线性系统自适应模糊输出反馈控制 [J], 贺向雷;佟绍成4.基于扩展自适应Backstepping设计的TCSC非线性控制的新方法 [J], 付俊;赵军5.TCSC非线性自适应鲁棒控制器设计 [J], 王艳;井元伟;赵韦仑;杨秀敏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有非线性不确定参数的电液伺服系统自适应backstepping控制林浩;李恩;梁自泽【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2016(033)002【摘要】针对电液伺服系统中存在非线性不确定参数的问题，提出了一种采用积分型Lyapunov函数的自适应backstepping控制方法。

首先定义积分型Lyapunov函数，将电液伺服系统中的非线性不确定参数转化为线性表示；然后逐步递推设计backstepping控制器，同时在控制律中加入阻尼项，从而补偿外界干扰对控制性能的影响；基于Lyapunov稳定性方法，设计了参数自适应律，并且在自适应律中引入充分光滑投影算子，实现对电液伺服系统中不确定参数漂移的抑制作用。

搭建了AMESim与MATLAB的联合仿真平台，对所设计的自适应backstepping控制器进行仿真，作为对比，设计了不带有非线性参数估计的自适应backstepping控制器和PID算法。

仿真表明，本文所设计的控制器具有良好的跟踪性能和补偿非线性不确定参数变化的能力。

%An adaptive backstepping control method with an integral-type Lyapunov function is designed for an electro-hydraulic servo system with nonlinear uncertain parameters. Firstly, the integral-type Lyapunov function is defined to transform the nonlinear parameters to the linear parameters. Then, we design the adaptive backstepping controller with the nonlinear-damping which compensates for external disturbance. Based on Lyapunov method, parameter update laws are given. And sufficiently smooth projection operators are used toconquer the effects of the parameter-drift. Finally, a co-simulation platform using AMESim and Matlab is build to test the performace of the desigend controller. By contrast, PID and the adaptive backstepping controller without considering nonlinear parameters are designed and simulated, respectively. The simulation results show that the designed adaptive backstepping controller using nonlinear parameter adaption laws gives a satisfactory tracking performance and can compensate for the nonlinear uncertain parameters.【总页数】8页(P181-188)【作者】林浩;李恩;梁自泽【作者单位】中国科学院自动化研究所复杂系统管理与控制国家重点实验室，北京100190;中国科学院自动化研究所复杂系统管理与控制国家重点实验室，北京100190;中国科学院自动化研究所复杂系统管理与控制国家重点实验室，北京100190【正文语种】中文【中图分类】TP273【相关文献】1.基于奇异摄动理论的电液伺服系统Backstepping滑模自适应控制 [J], 吴忠强;夏青2.基于Backstepping的阀控非对称缸电液伺服系统非线性控制 [J], 郭洪波;李洪人3.具有参数不确定性的轮式移动机器人自适应backstepping控制 [J], 孙棣华;崔明月;李永福4.控制量前具有不确定系数的电液伺服系统自适应控制 [J], 方一鸣;韩永成;赵琳琳;李强5.基于Backstepping的电液伺服系统多级自适应滑模控制 [J], 管成;朱善安因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第27卷㊀第4期2023年4月㊀电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报Electri c ㊀Machines ㊀and ㊀Control㊀Vol.27No.4Apr.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀二自由度云台非线性反步控制器设计黄金杰1,2,㊀梁恒愉3,㊀宫煜晴3,㊀汪文1,㊀孙晓波1(1.哈尔滨理工大学自动化学院,黑龙江哈尔滨150080;2.黑龙江省复杂智能系统与集成重点实验室,黑龙江哈尔滨150080;3.哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院,黑龙江哈尔滨150080)摘㊀要:针对二自由度云台的跟踪控制问题,依据反步法控制思想,提出一种基于增广李雅普诺夫函数的反步控制器设计方法㊂首先建立二自由度云台的非线性数学模型,并为模型的机械子系统设计了虚拟输入,根据实际控制目标求解虚拟输入的具体表达式㊂其次基于增广李雅普诺夫函数,引入跟踪误差将机械子系统改写为线性微分方程,利用其特征方程根的特点,推导系统实际的控制律,以及控制器参数需满足的条件㊂最后数值实例采用了电动云台拍摄系统远距离跟踪拍摄风电叶片表面图像,对水平和俯仰方向追踪风机叶片上某一目标点的期望轨迹进行仿真,系统经过4.05s 可达到预期跟踪性能,验证了所提方法的有效性㊂关键词:非线性系统;二自由度云台;反步法;虚拟输入;增广李雅普诺夫函数;全局渐近稳定DOI :10.15938/j.emc.2023.04.015中图分类号:TP23文献标志码:A文章编号:1007-449X(2023)04-0148-07㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-02-22基金项目:国家自然科学基金(61305001);黑龙江省自然科学基金(F201222)作者简介:黄金杰(1967 ),男,博士,教授,博士生导师,研究方向为学习控制㊁自适应控制;梁恒愉(1992 ),男,博士研究生,研究方向为优化算法㊁学习控制研究;宫煜晴(1996 ),女,博士研究生,研究方向为切换控制系统㊁变参数系统;汪㊀文(1994 ),男,硕士,研究方向为系统辨识㊁学习控制;孙晓波(1964 ),男,教授,研究方向为数字控制㊁现代控制理论㊂通信作者:黄金杰Nonlinear backstepping controller design fortwo-degree-of-freedom pan-tiltHUANG Jinjie 1,2,㊀LIANG Hengyu 3,㊀GONG Yuqing 3,㊀WANG Wen 1,㊀SUN Xiaobo 1(1.School of Automation,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China;2.Heilongjiang Provincial Key Laboratory of Complex Intelligent System and Integration,Harbin 150080,China;3.School of Computer Science and Technology,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)Abstract :For the tracking control problem of two-degree-of-freedom (2-DOF)pan-tilt,a backstepping controller design method based on augmented Lyapunov function is proposed by the backstepping control.Firstly,a nonlinear mathematical model was established for the 2-DOF pan-tilt,and was converted into a state-space form.The specific expression of a virtual input which is designed for the mechanical subsys-tem can be solved according to the actual control target.Secondly,the mechanical subsystem was rewrit-ten into a linear differential equation by introducing tracking error based on an augmented Lyapunov func-tion,while the roots of its characteristic equation was used to find the actual control law of the system and the controller parameters conditions.Finally,in the numerical example,an electric pan-tilt camera sys-tem was used to track the wind turbine blade surface image from distance,and the desired trajectory of a target point on the wind turbine blade was tracked in the horizontal direction and the pitch direction to-gether.The experiment results show that the system can achieve the desired tracking requirements after4.05s,which verifies the effectiveness of the proposed method.Keywords:nonlinear system;two-degree-of-freedom pan-tilt;backstepping method;virtual input;aug-mented Lyapunov function;global asymptotic stability0㊀引㊀言在实际工业领域中,电动云台被广泛使用㊂在控制信号作用下,电动云台可以让其搭载的设备按照指定的速度㊁角度或按照预期的轨迹来运行,例如将电动云台应用于军舰炮台旋转,如果敌方导弹靠近而军舰无法迅速躲避时,可以通过云台搭载武器旋转拦截目标;巡检机器人上应用的云台可完成高效率㊁多角度的巡检工作;卫星信号接收器底部的云台搭载信号接收器可以寻找最优角度接收卫星信号;其中云台搭载摄像机(pan-tilt-zoom,PTZ)等设备实现自动变焦㊁扩大扫描范围㊁监视周围环境的系统应用更加普遍㊂例如文献[1]中提出了一种基于二自由度云台摄像机的人工地标低成本定位系统,利用二自由度云台辅助相机跟踪地标,扩大识别范围㊂许多学者对云台进行了研究[2],例如J.M. Hervé[3]就云台本身的机械结构提出了一种新的二自由度机制,使得水平方向的角度和垂直方向的角度以完全不耦合的方式进行控制㊂另外,云台应用的成果也颇为丰富:例如Robin Yosafat S等人[4]将照相机作为视觉传感器与二自由度伺服云台结合,提出了一种人脸跟踪系统的设计方案,该方案比较了超前滞后补偿器和PID控制方法,通过实验验证表明了PID控制的水平和垂直方向的瞬态响应都快于超前滞后补偿器;Agus Ramelan等人[5]也设计了一种基于二自由度伺服云台的人脸跟踪系统,在控制器设计方法上提出了一种基于仿真的线性二次型控制器(linear quadratic controller,LQC),这种LQC 控制器的输出可以为人脸跟踪控制系统连接的伺服控制系统提供一个参考,更好地满足水平和垂直方向的响应和超调率设计需求㊂肖杨等人[6]针对二自由度视觉伺服云台中相机采样率低的缺陷,基于角度与像素之间的转换关系,提出了一种双环结构的控制方案,取得了较好的控制效果,对响应速度和超调量要求较高的控制器设计有一定的指导意义㊂上述所提出的控制器设计方法都是关于线性控制器的设计方法,基于线性控制理论的结果使用了系统动力学的线性近似,所以控制器通常只在线性化点附近有较好的控制效果㊂要想使电动云台在整个工作范围内都取得较好的控制效果,其相应的控制器则需要基于电动云台的非线性模型进行设计㊂例如,Leng X等人[7]将模糊逻辑算法与滑模控制策略相结合,提出了一种由超声波电机驱动的PTZ系统,解决了传统PTZ系统精度较低㊁鲁棒性较差的问题㊂仇笑天[8]针对传统PID控制算法在面对非线性和参数不确定系统时难以取得较好控制效果的问题,引入模糊控制对PID参数进行实时整定,构建了模糊自整定PID控制器,并对PID控制器参数和模糊控制器的量化因子通过布谷鸟搜索算法(cuck-oo search,CS)进行调整,使所设计控制器达到了预期控制效果,具有良好的控制能力㊂除了通过引进模糊算法或者其他算法改进传统控制方法以应对非线性系统的控制之外,还可以考虑本身就具备处理非线性系统控制问题的方法,如反步法㊂例如Mouhacine Benosman等人[9]对电磁执行器利用反步法设计非线性控制器使得其控制性能得到有效提高㊂刘燕斌等人[10]针对高超音速飞机纵向运动的数学模型具有严重非线性㊁不稳定㊁多变量耦合的特点,采用非线性动态逆控制与反步法相结合的方法为其设计飞行控制系统,以确保高超音速飞机的纵向稳定性,改善其飞行品质㊂这些研究表明反步法为非线性系统控制问题提供了一个很好的思路㊂受上述学者启发,本文为实现一类二自由度电动云台的跟踪控制[11],分别对云台的水平轴运动和俯仰轴运动建立了非线性数学模型,采用反步控制法直接设计非线性水平轴控制器和俯仰轴控制器,无需对模型进行线性化处理,相比传统线性化控制方法能够更加有效跟踪目标的运动轨迹㊂在控制器设计过程中,根据实际跟踪目标,通过设计虚拟输入,将跟踪问题简化为一个关于待设计参数的线性模型稳定性问题,并利用增广李雅普诺夫函数推导出非线性反步控制律,直接处理了系统模型中的非线性项㊂最后结合LaSalle-Yoshizawa定理[12]证明了电动云台系统的全局渐近稳定性,通过电动云台平滑跟踪拍摄风机叶片目标点的实例验证本文方法的优越性㊂941第4期黄金杰等:二自由度云台非线性反步控制器设计1㊀系统模型为建立二自由度电动云台在水平轴上的动力学系统模型,假设水平轴电机的电枢电流和电枢运动范围在磁通线性区域,不考虑线圈产生的磁场中磁通饱和区域[13],那么根据电机的的机械运动特性和基尔霍夫电压平衡方程可得到Jd ωd t+fω=k a i ;a b +θd i d t +Ri +ai (b +θ)2d θd t=u ㊂üþýïïïï(1)式中:J 为电机转动惯量;f 为总摩擦系数;θ为角位移;ω为角速度;k a 为转矩常数;i 为电枢电流;u 为电枢电压;R 为电枢回路总电阻;a 和b 是线圈的常量参数;a /(b +θ)为电枢回路总电感;d θ/d t 为电机反电势㊂后文用 ㊃ 表示欧几里得范数,即对x ɪR n ,有 x =x T x ;用(.)㊃和(.)㊃㊃表示函数或变量对时间的一阶和二阶导数;用C k 表示k 阶可导函数的集合;用(.)T 表示向量或矩阵的转置㊂针对云台水平轴动力学系统(1),定义一个状态向量z =[z 1,z 2,z 3]T=[θ,θ㊃,i ]T,控制目标是使变量[z 1,z 2]T跟踪时变角度和角速度轨迹z ref 1(t ),z ref2(t )=z ㊃ref 1(t ),其中z ref i(t )ɪC k(k ȡ2,i =1,2)㊂于是,可以将原系统模型(1)改写为非线性状态空间模型为z ㊃1=z 2;z ㊃2=k a J z 3-f Jz 2;z ㊃3=-b +z 1a Rz 3-z 2z 3b +z 1+b +z 1au ㊂üþýïïïïïï(2)本文研究的二自由度云台在水平轴和俯仰轴上各由独立的电机进行控制,两轴之间基本没有耦合关系,根据对称性,俯仰轴模型与水平轴模型一致,不再赘述㊂为方便解释后续章节的控制器设计与稳定性分析等部分,下面给出相关定义定理的说明㊂定义1[14]㊀∀x ɪR n ,有V (x ):R n ңR +,当x ңɕ时,有V (x )ңɕ,则称V (x )径向无界㊂定义2[15]㊀若存在常数k >0,使得定义域D内的两个任意实数x 1㊁x 2均有 f (x 1)-f (x 2) ɤk x 1-x 2 成立,则称f (x )在定义域D 上满足Lipschitz 条件,f (x )在定义域D 上一致连续㊂定义3[16]㊀考虑如下系统x ㊃=f (x ,t );x (t 0)=x 0㊂}(3)其中,x ɪR n ,f (x )在定义域D 上连续且满足局部Lipschitz 条件,同时设f (0)=0,对任意初始值x 0存在系统(2)的唯一解x (t )=x (t ,x 0)满足x (0,x 0)=x (0)㊂由李雅普诺夫第二法,如果存在一个正定函数V (x ),且它关于系统(2)的导数d V (x )/d t 是负定的,那么系统(3)的奇点x =0是渐近稳定的,系统(3)的奇点x =0的吸引域是所有具有性质lim t ңɕx (t ,x 0)=0的点的集合㊂如果吸引域是整个相空间R n ,则x =0是全局渐近稳定的㊂引理1[17](LaSalle-Yoshizawa 定理)㊀假设x =0是系统(2)的一个平衡点,同时f 在时间t 内关于x是局部Lipschitz 的㊂假设V (x ):R n ңR +是连续可微且正定的径向无界函数,使得V ㊃(x )ɤ-W (x )ɤ0(∀t ȡ0,x ɪR n )成立,其中W 为连续函数,那么系统(3)所有的解都是全局一致有界的,且满足lim t ңɕW (x (t ))=0,当W (x )正定时,系统全局渐近稳定且收敛于平衡点x =0㊂2㊀控制器设计与稳定性分析通常二自由度电动云台两个维度的方向分别由两个参数性能相同的同类型电机控制,所以俯仰轴与水平轴控制器设计完全一致,下面推导水平轴方向的控制器设计步骤㊂由原系统的非线性状态空间模型(2)可以看出,前2个状态方程是由式(1)中电机的机械特性方程转化得到,故称为机械子系统,控制器设计目标是使机械子系统的状态变量z 1和z 2跟踪预期轨迹,而对状态变量z 3无特别要求㊂结合反步法控制思想,可将原系统控制问题分解为若干个简单的子系统控制问题,进而逆向设计控制器㊂步骤1:根据实际跟踪控制目标,推导虚拟输入u ~㊂观察系统(2)中机械子系统的状态方程,可将其看做状态变量为z 1和z 2,控制输入为z 3的二阶系统,于是引入虚拟控制输入,记u ~=z 3,代入得到机械子系统的跟踪控制模型为51电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀z ㊃1=z 2;z ㊃2=k a J u ~-f Jz 2㊂}(4)针对机械子系统构造李雅普诺夫函数V sub =c 32(z 1-z ref 1)2+12(z 2-z ref 2)2㊂(5)式中c 3>0为待设计参数㊂取V sub 沿着子系统(3)轨迹的导数,有V ㊃sub =c 3(z 1-z ref 1)(z ㊃1-z ㊃ref1)+(z 2-z ref2)(z ㊃2-z ㊃ref2)=(z 2-z ref2)c 3(z 1-z ref1)+k a J u ~-f Jz 2-z ㊃ref 2[]㊂(6)据定义3,使V ㊃sub =-c 1(z 2-z ref 2)2<0,其中c 1>0为待设计参数,则需设计虚拟输入u ~=Jk af Jz 2+z ㊃ref 2-c 3(z 1-z ref 1)-c 1(z 2-z ref 2)[]㊂(7)步骤2:基于增广李雅普诺夫函数,设计实际输入u ㊂为保证步骤1中机械子系统的状态变量能够按照预期轨迹运行,需使得u ~=z 3,即z 3渐近稳定到u ~,故令e =z 3-u ~表示两者之间的偏差,设计一个增广的李雅普诺夫函数V aug =V sub+e 22㊂(8)取V aug 沿着整个系统(3)的轨迹导数,并结合式(8)有V ㊃aug =c 3(z 1-z ref 1)(z ㊃1-z ㊃ref1)+(z 2-z ref 2)(z ㊃2-z ㊃ref2)+e (z ㊃3-u ~㊃)=(z 2-z ref 2)c 3(z 1-z ref 1)+k a J(e +u ~)-[fJz 2-z ㊃ref 2]+e (z㊃3-u ~㊃)㊂(9)考虑系统状态空间模型(2)和式(8),将上式整理为V ㊃aug=(z 2-z ref2)c 3(z 1-z ref 1)+k a J u ~-f Jz 2-z ㊃ref 2)+[e (k a J (z 2-z ref 2)-b +z 1a Rz 3-z 2z 3b +z 1+b +z 1a u -u ~㊃]=-c 1(z 2-z ref 2)2+e (k a J(z 2-z ref2)-[b +z 1a Rz 3-z 2z 3b +z 1+b +z 1au -u ~㊃)]㊂(10)据定义3,对所有的z 1ʂz ref 1㊁z 2ʂz ref2及e ʂ0,欲使V ㊃aug =-c 1(z 2-z ref 2)2-c 2e 2<0,其中c 2>0为待设计参数,则需设计控制输入u 满足c 2e =k a J (z 2-z ref2)-b +z 1a Rz 3-z 2z 3b +z 1+b +z 1au -u ~㊃㊂(11)最终,得到电动云台系统的控制律u =a b +z 1[-c 2(z 3-u ~)-J (z 2-z ref2)+b +z 1a Rz 3+z 2z 3b +z 1+u ~㊃]㊂(12)式中:u ~=J k af J z2+z ㊃ref 2-c 3(z 1-z ref 1)-c 1(z 2-z ref 2)[];(13)标量c i >0(i =1,2,3))是待设计参数㊂根据水平轴电动云台模型(1),结合上述推导的控制器u 表达式(12)㊁式(13),有如下定理:定理1㊀考虑由系统(1)和控制律式(12)㊁式(13)组成的闭环动力学非线性系统,若存在正标量c i >0(i =1,2,3),且-c 1ʃc 21-4c 3<0,则对任意初始状态[z 1(t 0),z 2(t 0),z 3(t 0)]T ,都有[z 1(t ),z 2(t )]T 一致有界且满足lim t ңɕ[z 1(t ),z 2(t )]=[z ref1(t ),z ref2(t )],则系统(1)全局渐近稳定㊂证明:虚拟输入u ~的导数可以由式(13)表示为u ~㊃=Jk af J z㊃2+z ㊃㊃ref 2-c 3(z ㊃1-z ㊃ref 1)-c 1(z ㊃2-z ㊃ref 2)[]㊂(14)将式(12)㊁式(13)和式(14)代入式(9)可知,控制输入u 作用下的增广李雅普诺夫函数导数满足V ㊃aug =-c 1(z 2-z ref 2)2-c 2e 2ɤ0㊂(15)由定义3可知,从任意初始状态z 2(t 0)和i (t 0)都有lim t ңɕz 2=z ref2且lim t ңɕe =0,即随着时间推进,角速度z 2(t )会渐近跟踪预期轨迹z ref 2(t ),电流z 3则趋近于虚拟输入u ~㊂电动云台系统实现跟踪控制的主要标志为设备的角度和角速度变化量z =[z 1,z 2]T 与目标轨迹z ref 1(t )和z ref 2(t )相一致㊂因此,控制器设计还需使得lim t ңɕz 1=z ref 1,保证角速度跟踪目标轨迹㊂根据上述分析,经过一段时间后,电流z 3会趋近于虚拟输151第4期黄金杰等:二自由度云台非线性反步控制器设计入u ~,那么用虚拟输入表达式(13)替换电流z 3,原机械子系统的状态方程(4)简化为z ㊃1=z 2;z ㊃2=z㊃ref 2-c 3(z 1-z ref1)-c 1(z 2-z ref 2)㊂}(16)定义角度跟踪误差e z 1=z 1-z ref 1,e z 2=z 2-z ref2,则e z 2=e ㊃z 1,将其代入式(16)可得e㊃㊃z 1+c 1e ㊃z 1+c 3e z 1=0㊂(17)显然,如果c 1㊁c 3满足-c 1ʃc 21-4c 3<0㊂(18)则微分方程式(17)的特征方程的根都为负数,这意味着从任意初始状态z 1(t 0)开始,都有lim t ңɕz 1=z ref1㊂此时,很容易找到一个正定的连续函数W (x )=c 0(z 2-z ref 2)2+c 0e 2(c 0<c 1,c 0<c 2)满足lim t ңɕW (x (t ))=0并使V ㊃aug ɤ-W (x )成立,结合引理1可知,定理1成立㊂3　数值仿真与实例分析本文以电动云台拍摄系统(PTZ)远距离跟踪拍摄风电叶片表面图像为例[2],考察二自由度电动云台反步控制器的控制效果㊂在该系统中,长焦相机固定在电动云台上,远距离拍摄运行中的旋转风机叶片表面图像,长焦相机需在电动云台的控制下在跟随风电叶片旋转的同时沿着风电叶片的轴线方向运动以连续拍摄足够清晰的局部图像,然后通过局部图像拼接,获得风电叶片的完整图像,检测叶片表面是否发生损伤以及损伤情况[18]㊂系统中,电动云台期望的水平角位移轨迹为z ref 1p(t )=0.423sin(0.293t ),期望俯仰角位移轨迹z ref 1t (t )=-0.280cos(0.293t )+0.616,二者均为周期性变化的正弦信号㊂对于这样的参考输入信号,采用一般的鲁棒H ɕ控制器,总是存在一定的稳态跟踪偏差[18]㊂文献[12]进行了改进,增加了动态补偿控制,能渐近跟踪阶跃型参考信号,但对周期变化的信号效果不大,难以消除稳态跟踪误差㊂本文采用反步法设计控制器对电动云台进行控制㊂电动云台参数如下:a =14.96ˑ10-6N㊃m 2/A 2;b =4ˑ10-5m;电枢电阻R =2.270Ω;转矩常数k a =0.250N㊃m /A;转动惯量J =0.002kg㊃m 2;总摩擦系数f =0.001N㊃m /s㊂控制器参数c 1㊁c 2和c 3的选取需要保证是满足式(18)的正实数,选取初始值后根据经验法进行微调,结合实际仿真曲线的效果,如角速度跟踪时间尽可以快,可得到参数c 1=100,c 2=5000,c 3=100㊂由上述给定的云台参数及控制器参数,结合式(12)㊁式(13)和式(14)得到相应地控制器为u =u ~+1.1968ˑ10-74ˑ10-5+z 1z ref 1+0.06174ˑ10-5+z 1z ref2+6.1037ˑ10-44ˑ10-5+z 1z ㊃ref 2+1.1968ˑ10-74ˑ10-5+z 1z ㊃㊃ref 2㊂(19)式中u ~=-0.05984ˑ10-5+z 1z 1-0.06144ˑ10-5+z 1z 2+(2.27-0.07634ˑ10-5+z 1)z 3+0.06144ˑ10-5+z 1z 2z 3㊂结合上述期望水平角位移轨迹z ref1p (t )和期望俯仰角位移轨迹z ref1t (t )可得水平方向控制器和垂直方向控制器u 1和u 2分别为u 1=u ^+5.0625ˑ10-84ˑ10-5+z 1sin(2.093t )+0.05464ˑ10-5+z 1cos(2.093t )-0.00114ˑ10-5+z 1ˑsin(2.093t )-4.6416ˑ10-74ˑ10-5+z 1cos(2.093t );(20)u 2=u ^-3.3510ˑ10-84ˑ10-5+z 1cos(2.093t )+7.3722ˑ10-84ˑ10-5+z 1+0.03624ˑ10-5+z 1sin(2.093t )+7.4867ˑ10-44ˑ10-5+z 1cos(2.093t )-3.072ˑ10-74ˑ10-5+z 1sin(2.093t )㊂(21)取水平方向初态为z 1p (0)=-0.1,z ㊃1p (0)=0,z ㊃㊃1p(0)=0;俯仰方向初态z 1t (0)=0.2,z ㊃1t (0)=0,z ㊃㊃1t (0)=0㊂水平方向角位移轨迹跟踪如图1所示,在3.33s 后角位移跟踪误差减小到0.0041rad 以下,跟踪误差逐渐收敛至0;俯仰方向角位移跟踪如图2所示,角位移误差在3.54s 后减小到0.0041rad 以下,成功追踪上目标的角位移㊂水平方向和俯仰方向的角速度跟踪情况如图3㊁图4所251电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀示,分别在3.64s 和4.05s 后,角速度误差减小到了0.0025rad /s 以下,实现平滑跟踪㊂水平方向和俯仰方向共同运动追踪风机叶片上某一目标点时的整体跟踪效果如图5所示㊂水平方向和俯仰方向在给定的初始状态下开始跟踪期望轨迹,刚开始误差明显存在,经过4.05s 调整后PTZ 运动轨迹与目标点运动轨迹大致重合,证明了系统具有良好的跟踪效果㊂图1㊀水平角位移跟踪Fig.1㊀Pan angular displacementtracking图2㊀俯仰角位移跟踪Fig.2㊀Tilt angular displacementtracking图3㊀水平角速度跟踪Fig.3㊀Pan angular velocitytracking图4㊀俯仰角速度跟踪Fig.4㊀Tilt angular velocitytracking图5㊀云台角位移跟踪轨迹三维图Fig.5㊀3D diagram of the pan-tilt angular displacementtracking trajectory4㊀结㊀论本文针对一类二自由度电动云台的跟踪控制问题提出了一种非线性反步控制器设计方法㊂在建立了电动云台的非线性数学模型后,根据反步法的设计思想,先采用一般李雅普诺夫函数确定虚拟输入,然后利用增广李雅普诺夫函数设计系统控制律;进而,根据机械子系统的跟踪误差微分方程求解控制器参数范围;最后,结合LaSalle-Yoshizawa 定理证明系统全局渐近稳定㊂经数值实例表明,所提方法设计的反步控制器能够有效实现二自由度电动云台的轨迹对周期信号的跟踪控制㊂参考文献:[1]㊀CHEN Diansheng,PENG Zhaoliang,LING Xiao.A low-cost lo-calization system based on artificial landmarks with two degree of freedom platform camera[C]//International Conference on Robot-ics and Biomimetics (ROBIO 2014),December 5-10,2014,Bali,Indonesia.2015:625-630.[2]㊀高松.基于电动云台的风机叶片表面图像跟踪拍摄[D].哈351第4期黄金杰等:二自由度云台非线性反步控制器设计尔滨:哈尔滨理工大学,2021.[3]㊀HERVÉJ M.Uncoupled actuation of pan-tilt wrists[J].IEEETransactions on Robotics,2006,22(1):56.[4]㊀YOSAFAT S R,MACHBUB C,HIDAYAT E M I.Design andimplementation of pan-tilt control for face tracking[C]//20177th IEEE International Conference on System Engineering and Tech-nology(ICSET),October2-3,2017,Shah Alam,Malaysia.2017:217-222.[5]㊀RAMELAN A,SAPUTRO J S,APRIBOWO C H B,et 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[6]㊀肖杨,李俊辉,闻成.基于双环结构的视觉伺服云台控制器设计[J].计算机应用研究,2018,35(12):3743.XIAO Yang,LI Junhui,WEN Cheng.Visual servo platform con-troller design based on double-loop structure[J].Application Re-search of Computers,2018,35(12):3743.[7]㊀LENG X,WU S,DU Y,et al.Fuzzy sliding mode control forpan-tilt-zoom system driven by ultrasonic motor[C]//2015IEEE International Conference on Automation Science and Engineering (CASE),August24-28,2015,Gothenburg,Sweden.2015: 868-873.[8]㊀仇笑天.基于布谷鸟搜索的伺服云台控制器设计[J].自动化装置与设备,2021,43(3):80.CHOU Xiaotian.Design of a servo PTZ controller based on cuckoo search[J].Automation Devices&Equipments,2021,43(3):80.[9]㊀BENOSMAN M,ATINÇG M.Nonlinear learning-based adaptivecontrol for electromagnetic actuators[C]//2013European Control Conference(ECC),July17-19,2013,Zurich,Switzerland.2013:2904-2909.[10]㊀刘燕斌,陆宇平.基于反步法的高超音速飞机纵向逆飞行控制[J].控制与决策,2007,1(3):313.LIU Yanbin,LU Yuping.Longitudinal inversion flight controlbased on backstepping for hypersonic vehicle[J].Control andDecision,2007,1(3):313.[11]㊀HUANG Jinjie,PAN Xiaozhen,HAO Xianzhi.Event-triggerednetworked Hɕoutput tracking control based on dynamic compen-sation controller[J].International Journal of Control,Automa-tion and Systems,2021,19(10):3318.[12]㊀CHEN Salle-Yoshizawa theorem for nonlinear systemswith external inputs:A counter-example[J].Automatica,2022:110636.[13]㊀吕德刚,姜国威,纪堂龙.永磁同步电机低速域改进高频脉振注入控制[J].哈尔滨理工大学学报,2022,27(6):32.LÜDegang,JIANG Guowei,JI Tanglong.Improved high fre-quency pulse injection control inlow speed domain of permanentmagnet synchronous motor[J].Journal of Harbin University ofScience and Technology,2022,27(6):32.[14]㊀何丹华,郭庆义,蒲志林.一类半线性合作椭圆系统在无界区域上的径向对称解[J].四川大学学报(自然科学版),2009,46(6):1611.HE Danhua,GUO Qingyi,PU Zhilin.Radially symmetric solu-tions of a semilinear cooperative system on the unbounded domain[J].Journal of Sichuan University(Natural Science Edition),2009,46(6):1611.[15]㊀USA Humphries,Grienggrai Rajchakit,Pramet Kaewmesri,etal.Global stability analysis of fractional-order quaternion-valuedbidirectional associative memory neural networks[J].Mathemat-ics,2020,8(5):801.[16]㊀BENOSMAN M.Learning-based adaptive control:an extremumseeking approach-theory and applications[M].Butterworth-Heinemann,2016:10.[17]㊀FISCHER N,KAMALAPURKAR R,DIXON W Salle-Yo-shizawa corollaries for nonsmooth systems[J].IEEE Transac-tions on Automatic Control,2013,58(9):2333. 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Backstepping设计方法及应用
王莉;王庆林
【期刊名称】《自动化博览》
【年(卷),期】2004(21)6
【摘要】Backstepping设计方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法,是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法.它通过从系统的最低阶次微分方程开始,引入虚拟控制的概念,一步一步设计满足要求的虚拟控制,最终设计出真正的控制律.本文介绍了Backstepping设计方法在线性系统和非线性系统中的具体实现,并对它的应用做了简单的综合介绍.
【总页数】5页(P57-61)
【作者】王莉;王庆林
【作者单位】北京理工大学自动控制系,北京,1000081;北京理工大学自动控制系,北京,1000081
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
【相关文献】
1.Integral Backstepping法在四旋翼飞行器抗干扰研究中的应用 [J], 程素平;刘祚时;胡智元
2.无人机密集编队Backstepping控制器设计方法研究 [J], 李继广;董彦非;屈高敏;岳源;魏佳豪;唐家坤
3.非线性Backstepping算法在船舶动力定位系统控制的应用 [J], 牛兴霞;章小丹
4.Backstepping设计方法在船舶航向控制器中的应用 [J], 李晓荣;刘志强
5.非线性Backstepping算法在舰船航行控制器的应用研究 [J], 段芃芃;刘锂因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

反步法matlab
反步法（Backstepping）是一种非线性控制方法，用于控制具有
非线性动态系统的系统。

该方法通过逐步“反向设计”系统的控制器
来使其稳定，并在有限时间内将系统输出从初始状态转移到期望状态。

反步法具有泛化能力和灵活性，适用于多种非线性动态系统，并可通
过MATLAB实现该方法。

反步法基于Lyapunov稳定性理论，通过“逐级反弹”设计控制器。

在该方法中，首先定义一个虚拟控制器并使用Lyapunov函数对其
进行分析。

然后，将该控制器与系统中的每个非线性项相结合，形成
一个新的虚拟系统，并应用类似的Lyapunov函数进行分析，逐步设计
和求解控制器。

最终，将所有的虚拟控制器组合成一个总控制器，并
将其应用于实际系统中以实现控制目标。

MATLAB可以帮助实现反步法。

通过MATLAB中的反步法工具箱，
可以自动生成反步法控制器，并根据系统的特定要求进行调整。

该工
具箱提供了各种分析工具，如Lyapunov稳定性分析、系统性能分析、
控制器设计等，甚至可以生成控制器的C代码以进行实时应用。

反步法是一种有效的非线性控制方法，MATLAB提供了方便的工具箱帮助实现该方法。

研究人员和工程师可以利用这种方法解决复杂的
非线性控制问题。

Ｂ ＫＳ Ｅ Ｐ Ｎ 控 制理 论 及 在 非线 性 ＡＣ Ｔ Ｐ Ｉ Ｇ 飞 控 系统 中 的 应 用
刘松 良 ，朱铁夫 ，郁万鹏
（ ．海军 装备部驻 沈阳地区航 空代 表室 ，辽宁 沈 阳 １
（ ．沈 阳飞 机 设 计 研 究 所 ，辽 宁 沈 阳 ２
１０ ３ ） １０ ５
１０ ３ ） １０ ５
ＢＡＣＫＳ ＴＥＰ ＮＧ ｅ ｒ ｎ ｔ ＳＡｐ ｌ ａ ｉ ｎ ＰＩ Ｔｈ ｏ ｙ ａ ｄ Ｉ ’ ｐ ｉ ｔｏ ｃ
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维普资讯
第２ ７卷 第 ４期
２０ ０ ７年 Ｏ ８月
飞
机
设
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第 ３ 卷第 ４期 １ ２ ｌ ０ １年 ８ 月
辽宁工业大学学报 （ 自然科学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｎｎ ｎｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ Ｌ ａ ｉｇＵ ｉｅｓｙｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ （ ｕａ ｉｎ ｅ ｉｏ ） ｏ ｔ Ｎａ Ｓ Ｅ ｉ
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设计虚拟反馈 2 k 2 z 2 f2 x 1 ,x 2 z 1 1 '
则有
v 2 v 1 1 2 z 2 2 , v 2 ' v 1 ' z 2 z 2 ' k 1 z 1 2 k 2 z 2 2 z 2 z 3
控制器设计过程3
• 第n-1步
zn1 ' xn1 ' n2 ' xn fn1 x1,..., xn1 n2 '
但系统的解不一定满足
x2， 再1次引入误差
z2 x2 1 ,设计李雅普诺夫函数，使v1渐进稳定
• 利用虚拟反馈定义n个误差变量
z1 x1
z ..
2
.
x2
1
z .. z

.
n
1
xi x n1
i1
n2
控制器设计过程1
• 第一步
z 1 ' x 1 ' x 2 f 1 x 1 z 2 1 f 1 x 1
李雅普诺夫函数
V1=½ *z12 V2=V1+½ *z22
…
Vn=∑( ½*zn2)
• 输出为x 1 ，希望输出跟踪0，定义跟踪误差
z1 x10x1
•
构造李雅普诺夫函数v1
1 2
z12
0
，则有v1 ' z1z1 '
• 由 z1'x1'x2f1x1，通过适当的反馈（虚拟）
x2 1 如 1 k 1 x 1 f1 x 1 ， k 1 0使系统达到稳定，
设计虚拟反馈 1k1z1f1x1
则 v11 2z12, v1'z1z1' k1z12z1z2
若z2=0，则z1渐进稳定，但一般情况下z2≠0， 所以需要进一步引入虚拟控制α2，使其误差 z2具有期望的渐进稳定

非线性控制系统设计和分析一、引言非线性控制系统是一类关于非线性系统的控制理论，具有一定的广泛性和复杂性。

在现代控制理论中，非线性控制系统一直是研究的热点，得到了广泛的应用。

本文旨在探讨非线性控制系统的设计和分析方法，对其进行深入剖析和研究。

二、非线性系统的基本概念1.非线性系统的概念非线性系统指的是一个不满足线性叠加原理的动态系统，即其输入和输出之间的关系不是简单的比例关系。

在现实中的很多系统，如电机、飞行器、化学反应、金融市场等，都是非线性系统。

2.非线性系统的分类按照系统的状态和输入可以将非线性系统分为时变和时不变两类。

按照系统的动态特性可以分为不稳定、稳定和渐进稳定三类。

按照系统的性质可以分为连续和离散两类。

三、非线性系统的数学模型非线性系统的数学模型可以用微分方程、差分方程、偏微分方程等方式表示，采用状态方程、输入-输出方程、状态-输出方程等方式描述。

若系统的动态方程可以表示为：$$\frac{dx}{dt}=f(x,u)$$其中$f(x,u)$是非线性函数，则上式就是非线性系统的微分方程。

四、非线性控制系统的设计方法1.线性化设计法线性化是将非线性动态系统在一个操作点附近，通过Taylor级数展开为线性动态系统。

因此，线性化设计法可以将非线性动态系统的设计问题转化为线性动态系统的设计问题。

线性化方法主要有两种：一是状态反馈线性化法；二是输出反馈线性化法，两种方法可以互相转化。

线性化方法的优点是简单易行，缺点是受到线性化误差的影响。

2.非线性控制设计法非线性控制设计法是基于非线性系统控制理论进行的，包括经典的反馈线性化控制法、滑模控制法、自适应控制法、模糊控制法和神经网络控制法等。

反馈线性化控制法：反馈线性化法是一种将非线性系统转化为线性系统的控制方法，它通过反馈来改变系统的输入来实现控制。

反馈线性化控制法有很好的稳定性和鲁棒性。

滑模控制法：滑模控制法是一种常用的非线性控制方法，具有较好的容错能力和鲁棒性。