2 求和约定和张量运算

x1
α12
α11 x′ 1
x2
α 21
α ij = cos ( xi′, x j )
图2.1 空间中的矢量
α ij ≠ α ji
∑ α ij u j → α ij u j = u i′
j =1
(2.5)
式中，为该矢量的方向余弦。 循环取值1， ， 变程规则 变程规则， 式中，为该矢量的方向余弦。i 循环取值 ，2，3变程规则，取消求和号写成 为加法规则。 双 j 为加法规则。
E9内张量的微积分仿照矢量进行,矢量描述张量实际上失去了张量的某些不变性， 矢量描述张量实际上失去了张量的某些不变性， 矢量描述张量实际上失去了张量的某些不变性 矢量a实际上只保留原张量一个不变量 矢量a的模 实际上只保留原张量一个不变量－ 的模( 矢量 实际上只保留原张量一个不变量－矢量 的模 第二不变量)
u
i,j
ε
ij
ω ij
x2
α=
β
∂u1 ∂u ≠β = 2 ∂x2 ∂x1
α
x1
1 ( ui, j + u j,i ) 2 ε12 = ε21 = (α + β ) /2 εij =
2.4 张量的矢量表达
• 2.4.1 张量在九维空间的表达
二矢量y和z的加法与数量乘法为
em(m=1,2,…9)表示九维空间E9的一个正交坐标基矢量，emen=δmn此空间任意
证 毕
矢量b对张量的左乘，乘积后得行矢量
( c1
c2
1:3
c3 ) = ( b1 b2
1:3
a11 a12 b3 ) a21 a22 a31 a32
3:3
a13 a23 → c a33
i
= bk aki → C = bAij
矢量b对张量的右乘， 矢量 对张量的右乘，乘相后得列矢量 对张量的右乘
克罗内克尔记号
ui = δ ij u j
称为代换规则 代换规则,即 代换规则
δ ij 与另一个矢量或张量一起求和时，等于把那个量中与
ij δ ij 相同的下标换成 其另一下标.
δ
2.2.1 张量的坐标变换
二阶应力张量
new
′ σ ij = σ mnα imα jn
( i, j, m, n = 1, 2,3) old
ɺ ε =
2 2 ɺij eij = ɺ e 3 3
2 ɺ ɺ eij eij = 3
2 ɺ ɺ em em = 3
2 ɺ e 3
c1 a11 a12 c2 = a21 a22 c a 3 31 a32
a13 b1 a23 b2 → ci = aik bk → C = Aij b a33 b3
对称(无旋 张量 对称 无旋)张量 无旋 张量:
1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
张量性质
′ σ kh = α kiα hjσ ij • 按一定的规则变换 • 通过坐标旋转，对称张量可化为主轴形式
T1′1 Tij′ = 0 0 0 T 2′2 0 0 0 T3′3
• 一次二次三次不变量不因坐标选择而变 .
I1 = T11 + T22 + T33
T22 T23 T11 T13 T11 T12 I2 = + + T32 T33 T31 T33 T21 T22
T11 T12
T13
I 3 = T21 T22 T23 T31 T32 T33
运算规则 • 加减 • 数乘
y + z = ( ym + zm )e m ∈ E 9 , yz = zy = ym zm ∈ E 9
TA = aij
就可看成空间E9内的矢量a,
am = aij (m = 1, 2,⋯ 9; i = 1, 2,3 j = 1, 2,3)
矢量a的模的平方规定为 的模的平方规定为
a 2 = am am = aij aij ; a = am am = aij aij
2 求和约定和张量运算
2.1.1 矢量的坐标变换
u 在 ox1 x2 x3 投影分别为u1，u2 ,u3则用ui,
′ x3
x3
′ x2
表示,和矢量在某方向投影等于其分矢量在同轴上
投影的代数和，
u
α13
3
u 1′ = α 11 u 1 + α 1 2 u 2 + α 1 3 u 3 = ′ u2 ′ u3 =
2.1.2 求和约定规则
1.方程式两边的自由下标数必须相同 ; 2.哑标双写是求和记号，可用任何字母表示，不能以数字表示. 3. Q为自由下标数，P为哑标数,则方程数 3P 每一方程内相加的项数
α ij = α ij = α ji ,
−1 T
3Q
α ij
Cij = Aij ± Bij ′ λ Aij = λ Amnα miα nj
张量的乘法-外积 四阶张量 张量的乘法 外积 –四阶张量
Cijkh = Aij Bkh
二阶张量乘积因重复下标求和-内积 而得到二阶张量 二阶张量乘积因重复下标求和 内积:而得到二阶张量 内积 证明: 证明 已知乘积为
Cik = Aij B jk
Tij = T ji
反对称张量 :主对角线元素为零
Tij = −T ji
张量分解:
∂u1 ∂x1 ∂u2 ∂x1 ∂u3 ∂x1
Tij =
∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2
1 1 Tij + T ji ) + (Tij − T ji ) ( 2 2
∂u1 1 ∂u1 + ∂u1 ∂x3 2 ∂x1 ∂x1 ∂u2 1 ∂u2 ∂u1 + = ∂x3 2 ∂x1 ∂x2 ∂u3 1 ∂u ∂u 3 1 2 ∂x + ∂x ∂x3 3 1
(2.8)
i = j = 1, m = 1, n = 1, 2,3 , m = 2, n = 1, 2,3 , m = 3, n = 1, 2,3
张量分量展开
′ σ 11 = α11σ 11 + α12σ 22 + α13σ 33 + α11α12σ 12 + α11α12σ 21 + α12α13σ 23 + α12α13σ 32 + α13α11σ 31 + ε13α11σ 13
对称张量的五维空间表达
• 某点应变张量的等效应变
Te = eij
′ I2 = 2 3 eij eij = 2 3 em em = 2 e 3
ε =
2 2 eij eij = 3 3
上式中e为某点应变张量 上式中 为某点应变张量
ɺ Teɺ = eij
ɺ′ I2 =
表示的矢量e的模 表示的矢量 的模(m=1,2…….9) 的模
0 1 ∂u ∂u + 2 − 1 2 ∂x1 ∂x2 1 ∂u3 ∂u1 2 ∂x − ∂x 3 1 1 ∂u1 ∂u2 − 2 ∂x2 ∂x1 0 1 ∂u3 ∂u2 − 2 ∂x2 ∂x3 1 ∂u1 ∂u3 − 2 ∂x3 ∂x1 1 ∂u2 ∂u3 − → ωij 2 ∂x3 ∂x2 0
1 ∂u1 ∂u3 + 2 ∂x3 ∂x1 1 ∂u2 ∂u3 + → ε ij 几何方程 2 ∂x3 ∂x2 1 ∂u3 ∂u3 + 2 ∂x3 ∂x3
反对称张量 ,主对角线元素为零(刚性转动张量,二阶反对称张量)
∑1 α 1 j u j j= 3 = α 2 1u 1 + α 22 u 2 + α 23 u 3 = ∑ α 2 j u j j =1 3 = α 3 1u 1 + α 3 2 u 2 + α 3 3 u 3 = ∑ α 3 j u j j =1
3 新
2 2 2
张量逆变换 单位张量: 单位张量
old
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ′ σij = σ mnαmiαnj
新
( 2.10)
α ik = cos θ ik = ei e k cos ( i , k ) = ei • e k
αikα jk = ei ⋅ ek ⋅ ej ⋅ ek
1 αikα jk = ei ⋅ e j = 0 i= j = δij i≠ j
分解例:
1 1 ui , j = ( ui , j + u j ,i ) + ( ui , j 6 2 6 10 0 −2 −4 8 10 12 = 6 10 14 + 2 0 −2 14 16 18 10 14 18 4 2 0
是正交矩阵，故有逆变换
new
ui′ = α ij u j
(2.5)
old
α ij −1ui′ = α ij −1α ij u j → u j = α ji ui′ → ui = α j i u ′j
o ld
u i = α ji u ′j
1 δ ij = 0
新
( 2 .6 )
当i = j 时 当i ≠ j 时
′ Aij = Amnα miα nj ; B jk = B′ α pjα qk pq
′ ′ p Aij B jk = Amnα miα nj B ′ α pjα qk = Amn B ′ qα miα njα pj α qk pq