2 求和约定和张量运算

爱因斯坦求和约定与张量爱因斯坦求和约定是一个非常重要的数学概念，它能够极大地简化数学公式的书写和推导，特别是与矩阵和张量有关的计算。

在物理学和工程学等应用领域，爱因斯坦求和约定经常被使用。

爱因斯坦求和约定的核心思想是对于一些下标相同的项，它们的和可以用一个简单的符号来表示。

这个符号是希腊字母sigma 上面带一个下标。

比如说，如果有两个向量X和Y，它们的内积可以写成：X·Y = X1Y1 + X2Y2 + X3Y3但是，若干个向量的内积就没法写成这样了。

比如说，如果有三个向量A、B、C，它们的内积就应该是：A·B·C = A1B1C1 + A1B2C2 + A1B3C3 + A2B1C1 + A2B2C2 + A2B3C3 + A3B1C1 + A3B2C2 + A3B3C3这样写起来很麻烦，也不利于推导和计算。

因此，爱因斯坦引入了一个求和约定，使得这个式子可以简化为：A·B·C = Σi,j,k AiBjCk其中，Σi,j,k是指对所有的下标i、j、k都进行求和。

这样，大大简化了运算的复杂程度。

爱因斯坦求和约定的应用不仅仅限于向量的内积，还可以用于张量的计算。

张量是一种类似于矩阵的数学对象，它有多个下标，可以表示多维物理量。

在数学和物理学中，张量经常被用来描述物理系统的运动状态、电磁场、强度等性质。

因此，张量的定义、性质和运算法则都非常重要。

利用爱因斯坦求和约定，可以简化张量的书写和计算。

比如说，如果有一个二阶张量A和一个向量X，它们之间的乘积可以写成：(A·X)i = Σj Aj Xi其中，i和j是张量的两个下标。

这个式子表示的是，将A中第j行的元素和X的第j个元素相乘，然后将所有这样的乘积相加，得到A·X的第i个元素。

同样地，爱因斯坦求和约定也可以用于张量的加法和乘法。

比如说，如果有两个三阶张量A和B，它们的乘积可以写成：(Cijk) = Σl,m,n AilBjmCkn其中，Cijk表示新的三阶张量的第i、j、k个元素，而另外三个下标l、m、n在求和约定中被省略了。

张量运算三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。

位移分量u ，v ，w 缩写记为u i （i =1, 2, 3）表示为u 1, u 2, u 39个独立变量的集合，两个下标来表示σij 和εij ——9个应力分量或应变分量σij,k ——27个分量D ijkl ——81个分量一基本概念张量定义求和约定张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。

=A ji ij y x a =k k k b a ∑=31∑∑==11i j jiij yx a kk b a =哑标：出现两次的下标——求和后消失=A jij i y c x =333232131332322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ++=++=++=自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数特殊张量Kronecker (克罗内克尔) 张量δijji j i ij ≠==1δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111δδδδδδδδδδij 运算规律ijmj im i m im ii T T a a ===++=δδδδδδ3332211置换张量e ijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211k j i k j i e ijk −=偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字偶数次而得到的排列奇排列11213321132312231123−======e e e e e e二张量运算kjik εσ=⋅εσ定义jij n σ=⋅n σ)(:Tij ij tr εσεσ⋅==εσij δ==⋅I σσ-1ijσ=σij ε=εijklD =D im =m in =n ji m n =⊗m n ε:D σ===kl ijkl ij D εσklijkl ij D εσ=ε:D :σii m n =⋅m n转动张量j ij i e Q e =']sin ,[cos ]sin ,[cos ββαα=′=e e iji j e'Q e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=θθθθcos sin sin cos Q ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⋅=′θαθαααθθθθsin cos sin cos cos sin sin cos e Q e kj kj j ij ik j ij kii kie e δe Q Q e Q Q e'Q ====-1T iik i T kik e Q e Q e ''==Tijij Q Q =-1jlj i T kij T lji T kil k il i T lil iik i T kik Q e'e'Q e'Q e'Q e e e Q e Q e e Q e Q e ======''''。

第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。

如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。

R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。

例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。

例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。

设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。

3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。

基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。

于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。

设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。

② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。

本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。

第一章矢量与张量§1. 矢量代数1.1 向量的定义1.2 Einstein约定求和1.3 e ijk与d ij 之间的关系§2. 张量代数2.1 张量的定义2.2 张量的运算2.3 张量与矢量之间的运算2.4 张量与张量之间的运算§3. 矢量分析3.1 Hamilton算子3.2 无旋场与标量势3.3 无散场与矢量势3.4 Helmholtz分解§4. 张量分析4.1 矢量的梯度4.2 张量的散度和旋度4.3 ▽(A·α)等公式4.4 两个有关左右旋度的展开式4.5 张量的Gauss公式和Stokes公式§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。

在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。

设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。

从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。

这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。

可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。