拉格朗日对偶问题解读

拉格朗⽇乘⼦法、对偶问题、KKT 条件、半⼆次⽅分裂法、ADMMTo Be Continued~共轭函数假设 f :R n →R ，函数 f ∗:R →R 。

若两函数满⾜：f ∗(y )=sup x ∈domf (y T x −f (x ))则 f ∗ 是 f 的共轭函数，共轭函数是使上式的上确界⼩于 ∞ 的部分。

可以理解为对于每⼀个确定的 y ，y T x 都是⼀个线性函数，此时 y T x −f (x ) 变为线性函数与原函数在 x 的定义域上的差值，这个差值即为 y T x −f (x ) 的值域，若此时确定的 y 不能使值域的上确界⼩于⽆穷⼤，则不保留，反之则保留。

所有保留的 y 构成共轭函数的定义域，⽽所有 y T x −f (x ) 不是 ∞的上确界构成共轭函数的值域。

易知共轭函数是凸函数⽰例放射函数：f (x )=ax +b 的共轭函数为：f ∗(y )=sup (yx −ax −b )观察易得，如果 y ≠a ，那么⽆论 y 取值多少，yx −ax −b 的上确界都是 ∞。

但是当 y =a 时，yx −ax −b 为常数 −b ，上确界为 −b ，即此共轭函数定义域为 a ，值域为 −b 。

负对数函数：f (x )=−log x 的共轭函数为：f ∗(y )=sup x >0(yx +log x )⾸先f ∗(y )′′<0， 对于某⼀ y 有 f ∗(y )′=y +1x =0 时，共轭函数取得最⼤值，此时 x =−1y 使得共轭函数取得上确界，即共轭函数简化为 f ∗(y )=−log(−y )−1拉格朗⽇乘⼦法⾸先解释拉格朗⽇函数的形式的原因由简单的⼆维形式，并且受到等式约束的例⼦出发min f (x ,y )s .t .g (x ,y )=c其中 g (x ,y )=c 可以理解为等⾼线，即 z =g (x ,y ) 为三维曲⾯，当 z =c 时，可以想象为⽤平⾯ z =c 去截 z =g (x ,y ) 这个三维曲⾯所获得的曲线，⽽这条曲线上满⾜g (x ,y )=c 。

拉格朗日对偶问题几何解释
拉格朗日对偶问题是一种优化问题的转化方法，将原始问
题转化为对偶问题求解。

在几何上，可以将拉格朗日对偶
问题理解为在原始问题的可行域和目标函数之间寻找一种
对偶关系。

具体来说，假设原始问题是一个有约束的优化问题，目标
是最小化一个目标函数，同时满足一系列约束条件。

拉格
朗日对偶问题的几何解释可以通过引入拉格朗日乘子来实现。

首先，我们可以将原始问题的可行域表示为一个凸集，即
原始问题的所有可行解构成的集合。

然后，我们引入一个
与约束条件对应的拉格朗日乘子，每个约束条件对应一个
乘子。

这些乘子可以看作是在可行域上的一组权重，表示
了每个约束条件对目标函数的影响程度。

接下来，我们可以构建拉格朗日函数，将原始问题的目标
函数与约束条件以及对应的拉格朗日乘子结合起来。

这个
函数可以看作是在可行域上的一个曲面，其高度表示了目
标函数的值。

通过调整拉格朗日乘子的取值，可以改变曲
面的形状，从而寻找到目标函数的最小值。

最后，拉格朗日对偶问题可以通过最大化拉格朗日函数来
求解。

这个对偶问题的可行域可以看作是原始问题的目标
函数曲面在可行域上的投影。

最大化对偶问题的目标函数，即找到了原始问题的最优解。

总结起来，拉格朗日对偶问题的几何解释是通过引入拉格朗日乘子，将原始问题的可行域和目标函数之间建立一种对偶关系。

通过最大化对偶问题的目标函数，可以找到原始问题的最优解。

langrange对偶算法-回复什么是langrange对偶算法以及其作用？Langrange对偶算法是数学中一种优化算法，由约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）于18世纪提出。

该算法主要用于解决约束优化问题，实际上它是一种通过将原问题转化为拉格朗日对偶问题来简化求解过程的方法。

在某些情况下，拉格朗日对偶性可以为原问题提供更为简洁且易于求解的表达式，从而大大减少计算的复杂性。

拉格朗日对偶性是一个重要的数学原理，指的是对于给定的原问题和对偶问题，如果一个问题存在最优解，那么另一个问题也存在最优解，并且两个最优解的目标函数值相等。

对于约束最优化问题，拉格朗日对偶算法将原始问题转化为一个对偶问题，在一些特定条件下，通过求解对偶问题，可以得到原始问题的最优解。

Langrange对偶算法的作用主要体现在以下几个方面：1. 简化求解过程：通过将原问题转化为对偶问题，可以得到一个简洁且易于求解的表达式。

对于复杂的约束优化问题，这种转化可以大大简化计算的复杂性，减少计算量。

2. 提供严格的界限：由于拉格朗日对偶性保证了原问题的最优解与对偶问题的最优解在目标函数值上的一致性，因此对偶问题的解可以提供对原问题目标函数值的一个上界。

这就为我们估计原问题的最优解提供了一种方法。

3. 解决非凸问题：Langrange对偶算法在解决非凸问题时也发挥了重要作用。

对于非凸问题，直接求解可能非常困难，而将其转化为对偶问题，可能使问题变得更具可行性。

接下来，我们将一步一步回答关于Langrange对偶算法的几个具体问题：一、如何构建拉格朗日函数？拉格朗日函数是将原问题的目标函数与约束条件相结合得到的函数。

我们首先需要定义目标函数，然后将其加上约束条件与拉格朗日乘子的乘积。

具体而言，拉格朗日函数的构建公式如下：L(x, λ) = f(x) + λg(x)其中，L(x, λ)表示拉格朗日函数，f(x)表示原问题的目标函数，λ表示拉格朗日乘子，g(x)表示约束条件。

凸优化问题中的对偶理论凸优化是指在最优化问题中，目标函数为凸函数，约束条件为凸集合的优化问题。

凸优化问题在实际问题求解中广泛应用，如机器学习、图像处理、控制理论等领域。

对偶理论是凸优化理论中的一个重要部分，它提供了一种有效的方法来解决原始优化问题和对偶优化问题之间的关系。

本文将探讨凸优化问题中的对偶理论。

1. 对偶问题的定义和性质在凸优化中，对偶问题是原始优化问题的补充和拓展。

对于一个凸优化问题，其对偶问题可以通过拉格朗日函数的定义和对偶性质得到。

拉格朗日函数是原始问题的目标函数与约束条件的线性组合。

对偶性质指出，原始问题的最优解和对偶问题的最优解之间存在一种对偶关系。

2. 对偶问题的构造对于一个凸优化问题，通过拉格朗日函数的定义，可以得到原始问题的拉格朗日函数。

然后，通过最大化或最小化拉格朗日函数，可以得到对偶问题。

对偶问题的构造需要满足一定的条件，如强对偶性和对偶性定理等。

3. 对偶间隙对偶间隙是凸优化中的一个重要概念。

它指的是原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间的差距。

当对偶间隙为零时，说明原始问题的最优解和对偶问题的最优解相等，即达到了最优解。

4. 对偶解的几何解释几何解释是理解对偶问题的重要方法之一。

通过对偶解的几何解释，可以帮助我们更好地理解和求解凸优化问题。

对偶解的几何解释可以使用图形的方式表示，如凸包、拐角点等。

5. 对偶问题在凸优化中的应用对偶问题在凸优化中具有广泛的应用。

例如，在支持向量机(SVM)中，通过对偶问题可以更快地求解分类器的最优解；在线性规划中，对偶问题可以用来求解线性规划问题的最优解等。

对偶问题在凸优化中的应用不仅提高了效率，还为解决实际问题提供了更多的选择。

综上所述，凸优化问题中的对偶理论在研究和应用中起着重要的作用。

通过对偶问题的定义和性质、对偶问题的构造、对偶间隙、对偶解的几何解释以及对偶问题在凸优化中的应用等方面的讨论，我们可以更好地理解和应用对偶理论。

向量优化中广义增广拉格朗日对偶理论及应用
广义增广拉格朗日对偶理论是一种强有力的数学理论，主要用于凸向量优化。

这一理论被广泛应用于机器学习、统计模型等计算机科学中，可以帮助运筹学从各个角度研究和推导问题，有助于准确地识别问题，并能够对现有问题进行有效求解。

广义增广拉格朗日对偶理论力求在一个更高层次上以及更无侷限地描述最优化
问题，而不太关注最优化问题的基础本质。

广义增广拉格朗日对偶理论的基本思想是：总是用原问题的凸双边优化条件建立另一个复杂的凸优化问题，包括一个原问题的对偶优化问题和原问题的线性最优化问题，从而实现解决原问题的目标。

广义增广拉格朗日对偶理论给凸向量优化和模型评估提供了新思路，能够以更
有效、更具效率的方式解决最优化问题，有助于提高机器学习系统的表现。

因此，不论是从技术角度还是从应用角度，广义增广拉格朗日对偶理论都是数学优化领域中极具价值的理论。

拉格朗日对偶问题计算步骤
嘿，咱今儿个就来唠唠拉格朗日对偶问题的计算步骤。

这玩意儿啊，就像是解开一个神秘的谜题。

首先呢，你得明确问题，知道自己要干啥。

就好比你要去一个陌生
的地方，得先搞清楚目的地在哪儿吧。

然后呢，构建拉格朗日函数。

这可就有点像搭积木啦，把各种元素
巧妙地组合在一起，形成一个独特的结构。

接下来，对拉格朗日函数求导。

哎呀呀，这就好像在寻找宝藏的线索，得仔细又认真地去摸索。

再然后呢，令导数等于零，解出那些关键的变量。

这就好比终于找
到了宝藏的关键所在，那叫一个兴奋啊！
解出来之后可别高兴太早，还得验证解的合理性。

这就像你找到了
一把钥匙，还得试试看能不能打开那扇神秘的门。

在这个过程中，可不能马虎大意哟！就像走钢丝一样，得小心翼翼，一步一个脚印。

要是一个不小心，那可就前功尽弃啦。

你说这拉格朗日对偶问题难不难？当然难啦！但咱不能怕呀，就得
迎难而上。

就好像爬山，虽然过程艰辛，但登顶后的风景那叫一个美呀！
想想看，当你成功解决了一个拉格朗日对偶问题，那种成就感，啧啧，别提多带劲了！
咱再回过头来看看这些步骤，每一步都不简单，但每一步都充满了挑战和乐趣。

这不就是学习的魅力所在嘛！
所以啊，遇到拉格朗日对偶问题别发愁，按照这些步骤一步步来，就像勇士闯关一样，总会成功的。

加油吧，朋友们！让我们在数学的海洋里尽情遨游，去探索那些未知的奇妙世界！。

拉格朗日对偶分解法matlab
一、拉格朗日对偶分解法
拉格朗日对偶分解法是一种在优化问题求解时非常有效的一种方法，它的主要思路是将原问题的特性分解为一系列的拉格朗日函数，然后用数学的方法对该函数进行求解，最后得到最优解。

拉格朗日对偶分解法的求解过程主要分为三步：
1、将原始问题转化为拉格朗日对偶问题；
2、求解拉格朗日对偶问题的最优解；
3、求解原始问题的最优解。

拉格朗日对偶分解法的应用以及成功的最优解的取决于对偶问题的求解。

因为拉格朗日对偶分解法可以提高很多复杂优化问题的解决难度，它也被广泛应用在求解复杂而又精确的控制系统当中，如：机器人路径规划、机器学习、软件定制、系统优化以及证券投资等。

二、matlab中拉格朗日对偶分解法的应用
1、将最优化问题转化为拉格朗日函数；
2、调用matlab自带的fmincon函数求解拉格朗日函数；
3、使用matlab自带的fsolve函数求解拉格朗日函数的一阶导数，即代价函数的最优解；
4、用matlab画出搜索空间图像，确定获得最优解的点；
5、根据matlab计算出的最优解，得到原始最优化问题的最优解。

拉格朗⽇对偶理解在约束最优化问题中，常常利⽤拉格朗⽇对偶性（Lagrange duality）将原始问题转换为对偶问题，通过解对偶问题⽽得到原始问题的解。

这是因为：1）对偶问题的对偶是原问题；2）⽆论原始问题与约束条件是否是凸的，对偶问题都是凹问题，加个负号就变成凸问题了，凸问题容易优化。

3）对偶问题可以给出原始问题⼀个下界；4）当满⾜⼀定条件时，原始问题与对偶问题的解是完全等价的；原始问题：假设f(x),ci(x),hj(x)是定义在Rn上的联系可微函数，考虑约束条件下最优化问题：称此约束最优化问题为原始问题。

⼴义拉格朗⽇函数：这⾥，x=(x1,x2,...,xn), α，β是拉格朗⽇乘⼦。

Lagrange对偶函数：定义拉格朗⽇对偶函数或者对偶函数g为拉格朗⽇函数关于x取得的最⼩值，即对α，β，有：通俗理解就是每确定⼀组(α，β)，就要找到⼀个x使得L最⼩，不同的(α，β)对应不同的g函数值。

对偶函数与原问题的关系：所以对偶函数是原问题的最优值下界，虽然不等式成⽴，但是如果α<0,并且让α趋近于负⽆穷，这个时候g(α,β)=-∞，虽然也满⾜不等式，但是此时没有任何意义。

所以只有当α≥0，这个时候g(α,β)＞-∞时，对偶函数才能给出原⽬标函数⼀个⾮平凡有意义的下界，称此条件下的(α,β)是对偶可⾏的。

图⽰如下：在图中，实线代表的是⽬标函数f(x)，⽽虚线代表的是约束条件c(x)，彩⾊的点线代表λ取不同值的时候对应的拉格朗⽇函数L。

我们可以看到，在约束条件可⾏(c(x)≤0)的区间内，拉格朗⽇函数都是⼩于⽬标函数的。

在可⾏区间内，⽬标函数的最值将在x = -0.46处取得p∗=1.54。

为什么对偶函数⼀定是凹函数呢？其实L可以理解为⼀个以固定x带⼊c(x)和h(x)作为常数值系数，α、β作为变量的仿射函数。

所谓仿射函数，就是f(x)=a*x+b形式，其实就是线性函数了。

所以，g(α,β)为很多个仿射函数的逐个x取值点取最⼩值：L=Aα+Bβ+C 其中：A=c(x) B=h(x) C=f(x)例如：L=2α+3β+1，L=α+2β+4， L=5α+β+3等等。

langrange对偶算法-回复什么是langrange对偶算法？如何使用这个算法解决优化问题？Langrange对偶算法（Langrange duality）是数学中一个重要的优化算法，在许多优化问题中得到了广泛的应用。

它是通过将原始优化问题转化为一个对偶问题，利用对偶问题的性质来求解原始问题的一种方法。

下面我将详细介绍Langrange对偶算法的原理及其在实际应用中的使用。

Langrange对偶算法是基于拉格朗日乘子法（Langrange multiplier）的一种优化算法。

在解决优化问题时，我们通常会遇到约束条件的限制。

如果我们直接将约束条件纳入目标函数中，并进行优化，那么会使问题变得非常复杂。

而拉格朗日乘子法通过将约束条件引入一个新的函数，从而使得优化问题可以更简单地进行处理。

对于一个带有约束条件的优化问题：\min f(x) \\s.t. g_i(x) \leq 0, h_j(x) = 0其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_j(x)是等式约束条件。

我们可以通过引入拉格朗日乘子\lambda_i和\mu_j，将原始问题转化为一个无约束问题：L(x, \lambda, \mu) = f(x) + \sum_{i}\lambda_i g_i(x) +\sum_{j}\mu_j h_j(x)其中，\lambda_i和\mu_j是拉格朗日乘子。

这个函数称为拉格朗日函数（Lagrangian）。

接下来，我们定义如下的对偶函数（dual function）：g(\lambda, \mu) = \inf_{x} L(x, \lambda, \mu)Langrange对偶算法的核心思想是，通过最大化对偶函数来寻找原始问题的下界。

首先，我们需要确定对偶问题的定义：\max g(\lambda, \mu) \\s.t. \lambda \geq 0对偶问题的解与原始问题的解之间存在着一种对偶性（duality），即对偶问题的解是原始问题的下界。

首先说明本文讨论用的符号，拉格朗日函数：L(x,λ,ν)=f0(x)+∑λi f i(x)+∑νi h i(x)对偶问题的对偶性体现这个理解来自于斯坦福的课程——凸优化：“我们注意到标准形式线性规划和不等式形式线性规划以及它们的对偶问题之间的有趣的对称性：标准形式线性规划的对偶问题是只含有不等式约束的线性规划问题，反之亦然。

”为了完整性，下面列出以上提到的两个线性规划问题。

标准形式线性规划：min s.t.c T xAx=bx≥0不等式形式线性规划：max s.t.−b TνA Tν+c≥0该理解说明了对偶问题真的具有对偶性，但是并没有说明对偶问题具有对偶性的原因。

接下来将说明这一点。

对偶问题具有对偶性的原因这个理解同样来自于斯坦福的课程——机器学习：一句话总结：调换对偶问题中对拉格朗日函数取最大化、最小化的顺序即可得到与原问题等价的优化问题。

即，对偶问题是对拉格朗日函数先取最小化，再取最大化；而原问题则是对拉格朗日函数先取最大化，再取最小化。

为了对比两优化问题之间的对偶性，我先列出对偶问题的形式：g d(λ,ν)=min x L(x,λ,ν)d∗=maxλ≥0,νg d(λ,ν)其中下标d表示对偶问题。

考虑对换取最小化和最大化的顺序：g p(x)=maxλ≥0,νL(x,λ,ν)p∗=min x g p(x)其中下标p表示原问题。

定理：上式中p∗就是原问题的最优解。

证明：当x不满足约束条件时：1. f i(x)>0⇒g p(x)=∞只要对应的λi取无穷大即可。

2. h i(x)≠0⇒g p(x)=∞只要对应的νi取无穷大或无穷小即可。

当x满足约束条件时：h i(x)=0，所以∑νi h i(x)=0；f i(x)≤0，所以为了使g p(x)最大化，则必须有∑λi f i(x)=0，因此g p(x)=f0(x)。

总结得：g p(x)={∞f0(x)x不满足约束条件else因此p∗为原问题最优解。