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材料力学课件(路桥)第9章应力和应变分析 强度理论(2)

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最新应力分析与应变分析教学讲义ppt

最新应力分析与应变分析教学讲义ppt
➢ 最大剪应力(maximun shear s3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
'
'
22
'
'
33

材料力学应力分析(共143张PPT)

材料力学应力分析(共143张PPT)

Mz Wz
17
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
主单元体：在单元体各侧面只有正应力而
无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
约定：
1
12 320
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。
3
一、什么是应力状态？
〔一〕、应力的点的概念:
最大正应力所在的面上切应力一定是零； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 7-2 二向应力状态分析--解析法 面将单元体截为两局部， 并注意到 化简得 三、如何描述一点的应力状态 应力圆上一点( ， ) 7-8 广义胡克定律 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 解: 该单元体有一个主应力 例2：纯剪切状态的主应力 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；
5
F
F
A
F
co2s
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称为
这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？

最新陈天富材料力学第九章应力和应变分析和强度理论修订版(精品资料)幻灯片课件

最新陈天富材料力学第九章应力和应变分析和强度理论修订版(精品资料)幻灯片课件
比较斜截面应力公式
x 2yx 2yco 2 sxs y i2 n 2 x 2 x 2ys y i2 n x 2x yc y co o 2 2s sxs y i2 n
三套公式类似
二 主应变和主应变方向
主应变
} εmax
εmin
= xy (xy)2(xy)2
2
4 体积应变
变形前体积
V=dxdydz
ε2dy
变形后体积
V1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz
dy
≈(1+ε1+ε2+ε3)dxdydz
单位体积改变
V 1 V V ( 1 1 2 V 3 ) V V 1 23
( 1 E 2)(1 23 ) 3 ( 1 E 2)1 3 23
3 最大最小正应力max1min3τ τ13τ23
τ12
4 主剪应力
12
1
2
2
0 σ3
σ2 D(σατα)
σ1 σ
23
2
3
2
131
3
2
max
三个圆周围成的区域中任一点D 表示任意斜截面上的应力.
§9.6平面应变状态分析 一 平面应变状态分析
y y´
在xoy座标下应变为
α
εx εy γxy 旋转α角度 在x´oy´座标下应变为εα,
τyz τyτx xy τzy τzτx xz
形状改变
{ 2 主应变
1E 1[1(23)]max 2E 1[2(31)]
σ2
3E 1[3(12)]
{ 3 平面问题
x E1(x y) y E1(y x)
xy
xy G

材料力学中的应力应变强度理论102页PPT

材料力学中的应力应变强度理论102页PPT

谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
材料力学中的应力应变强度理论
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。

材料力学第九章强度理论 ppt课件

材料力学第九章强度理论 ppt课件

假定：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时的 极限应力σu，材料即破坏。
在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
第一强度理论强度条件：
1 [ ]
[ ] b
n
PPT课件
5
第一强度理论—最大拉应力理论
2 1
3
=b
PPT课件
15
单向拉伸时： 1 s , 2 3 0
Uu

1
6E
2s2
屈服破坏条件是：
1 2
( 1

2 )2

(
2
3 )2

( 3
1)2



s
第四强度理论强度条件：
1 2
(1


2
)2

(
2


3
)2

(
3

1)2


[
（单位MPa）
PPT课件
23
其次确定主应力
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa
结论：强度是安全的。
PPT课件
23 11 10
（单位MPa）
24
课本例题9.3 已知： 和，试写出最大剪应力理论
和形状改变能密度理论的表达式。
解：首先确定主应力
屈服破坏条件是： max s
PPT课件
12
最大剪应力理论
2 1
3
=s
max

1
3
2
o max

材料力学之应力与应变分析(ppt 35页)

材料力学之应力与应变分析(ppt 35页)

2201705309M 0 Pa
③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：
s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa
y 140
z
A
150 x 300
90
A视
sy=140
txy=150 sx=300
y' 31o y s3
s2 z
s1
x'
31o x
④主应力方位：
tg2a0s2xtxsyy3200115400185 2a062o a031o a0212o1
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， y t z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
-40.3
(29.8,20.3) s
60o 35.3 29.8o D(30,-20)
第三节 三向应力状态下的最大应力
一、三向应力状态下的应力圆

材料力学精品课件《应力状态和强度理论》

材料力学精品课件《应力状态和强度理论》

h b

解：k点为纯剪切应力状态，单元体如图所示。
F FS 2
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
1
2 0
3
（c）
（b）
y
由广义胡克定律 1 K 1 1 ( 2 3 ) E
1
y
应力圆的作法：
y
x
x
x
x

D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A

max 1 2 2 min
x
§7-4 三向应力状态简介
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
一、 三向应力圆
已知受力物体内某一点处三个 主应力 1、2、3
利用应力圆确定该点的最大 正应力和最大切应力。
3
2 1
2
1
3 1
3
2
首先研究与主应力 3 平行的斜截面上的应力，由于 3 作用 平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 3 平行的斜截 面上的应力与 3 无关，这一组斜截面上的应力在—平面上
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 ·a3(1+3
a2
2
3

材料力学——应力分析【可修改】.ppt

材料力学——应力分析【可修改】.ppt

（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
精选
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
x
在坐标系内画出点A( x，
xy)和B(y，yx)
2a C
A(
x
,
a
xy)
AB与a 轴的交点C便是
圆心。
O
以C为圆心，以AC为
B( y ,yx)
半径画圆——应力圆；
精选
y
n 三、单元体与应力圆的对应关系
面上的应力( ， )
a xy x 应力圆上一点( ， )
y
面的法线 应力圆的半径
Oa n D(xa , a)
所在的平面)垂直的
1
斜截面上的应力。
3
精选
2
3
1
2
用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。
2
3
3
1
1
1
3
2
3
2
精选
主应力 3 所在的两平面上是一对
自相平衡的力， 因而该斜面上的
3
应力, 与 3无关, 只由主应力
1
1 , 2 决定。
3 2
与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由
精选
应力的点的概念与面的概念

材料力学应力分析PPT课件

材料力学应力分析PPT课件

假设σx>σy，则σmax与σx的夹角小于450。
2
+
xy
cos 2
n E( ,
x
OF OC - FC
x
+ y
2
-
R cos[180o
- (2
+ 20 )]
0
2
D1(x ,xy)
F
C
20
x
+ y
2
+
R cos(2
+ 20 )
D2(y ,yx)
x
+ y
2
+
R(cos 2
cos 20
- sin
2
sin
20 )
x
+ y
2
+
x
- y
2
cos 2
- xy
dA·cos t
e
n
x
xy
a
dA
y
f yx
dA·sin
t
x
xy n yx
y
平衡方程—— Fn 0 及 Ft 0
第20页/共123页
§2 平面应力状态分析
应力状态
Fn 0 dA - (dAcos) cos+ xy(dAcos) sin
+yx
x
(dAsin
)
cos-
(dAsin) sin
第11页/共123页
§1 概述
y
x
x
应力状态
y
yx xy
x
单向应力状态
纯剪应力状态
第12页/共123页
应力状态
§2 平面应力状态分析

工程力学-材料力学之应力应变状态分析PPT(共 56张)

工程力学-材料力学之应力应变状态分析PPT(共 56张)
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
7
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
体积应变（Volumetric strain）为
V1 V
V
a1(1 ε1 ) a2(1 ε2 ) a3(1 ε3 ) a1 a2 a3 a1 a2 a3
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.
x 方向的线应变
σ x 单独存在时 σ y单独存在时
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-6 广义虎克定律
(Generalized Hooke’s law )
一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
εx

材料力学之应力分析与强度理论课件

材料力学之应力分析与强度理论课件

材料在动载下的行为
冲击韧性
材料在动载下能够吸收能量的能 力称为冲击韧性。冲击韧性是衡 量材料抵抗冲击载荷能力的指标
。
疲劳强度
材料在交变载荷下发生疲劳断裂的 应力称为疲劳强度。疲劳强度是衡 量材料抵抗疲劳载荷能力的指标。
蠕变
材料在恒定载荷下发生的缓慢形变 称为蠕变。蠕变是衡量材料在高温 下抵抗形变的能力。
该理论适用于某些金属材料，这些材 料在拉应力作用下可能发生屈服或塑 性变形。
最大剪切力理论（第三强度理论）
最大剪切力理论认为，材料在 复杂应力状态下失效的主要原 因是最大剪切力达到材料的极 限抗剪强度。
该理论适用于某些复合材料和 橡胶等材料，这些材料在剪切 应力作用下容易发生断裂或屈 服。
该理论考虑了剪切应力和拉应 力的共同作用，因此在实际应 用中比第一和第二强度理论更 为全面。
材料力学的基本假设与单位
基本假设
连续性假设、均匀性假设、各向 同性假设、线性弹性假设。
单位
国际单位制中的基本单位有千克 、米、秒等，但在材料力学中， 常用的单位有牛顿、帕斯卡等。
材料力学的研究内容与任务
研究内容
研究材料的力学性能，包括弹性、塑性、强度、韧性等；研究材料的应力和应 变行为；研究材料的失效和破坏机理。
应力张量
描述三维空间中一点的应力状态，包括剪应力和正应力。
应力莫尔圆与应力图解法
应力莫尔圆
表示在同一切削平面内，不同方向上 的切线应力和其作用面的法线方向间 的关系的圆图。
应力图解法
通过图形方式表示应力的方向、大小 和作用面，常用于解决平面问题。
03
强度理论
强度理论概述
强度理论是材料力学中用于预测 材料在复杂应力状态下失效的准

应力和应变分析和强度

应力和应变分析和强度

泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关 系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单 位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的 形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段， 研究物体在受力状态下的 应力分布、大小和方向的 过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力 的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的应力，再组合得到 整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个 单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种 方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法 可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。

《应力与应变》PPT课件

《应力与应变》PPT课件

2
e
l1
l0
l0
8 5 0.6 5
2021/3/26
2
l1 l0
(1 e)2
构造地质学—郝建民主讲
11
线 应 变 实 例
2021/3/26
构造地质学—郝建民主讲
12
线应变计算的地质实例
箭石原来长度（l0）82mm 拉长箭石长度（ l1）185mm e=1.25 伸长率125％
λ=(1+e)2=5.06
2021/3/26
构造地质学—郝建民主讲
22
伸展盆地的两种动 力学模型
a. 纯剪切模型 （Mckenzie模型）；
b. 简单剪切模型 （Wernicke模型）
纯剪盆地从形态上看是对称的，下地壳和上地幔中没有剪切 滑脱面。而简单剪切伸展模式则以一条穿透上地幔或下地壳 的滑脱面为特征，盆地的构造形态不对称，软流圈物质的上 涌不像纯剪模式那样位于盆地的正下方，而是偏移到了盆地 的一侧。
非旋转变形又称无旋转变形， 1和3质点线方向在变形前后
保持不变。如果体积不变而且2=0，则称为纯剪应变。
旋转应变的1和 3质点线方向将 A 会改变。
C 56 20'
O
简单剪
切a
c 33 40'
（单剪）
40
O'
B
最典型的情况是
D
b
d
c
单剪应变，是由 物质中质点沿着 彼此平行的方向
刚体旋转＝ ＝22 40'
A
O' 纯剪
b
相对滑动而成。
单剪与纯剪应变
2021/3/26
构造地质学—郝建民主讲
21
2
1

工程力学之应力状态分析和强度计算PPT(50张)

工程力学之应力状态分析和强度计算PPT(50张)

3
2 主应变：主应力方向上的应变
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
工
1 单独作用 2 单独作用 3 单独作用
程 力
1
1
2
3
E
E
E
学
2
1
E
2
E
3
E
3
1
E
2
E
3
E
同时作用
1
1
E
( 2 ) ( 3
E
E
)
13
§10.应力状态分析和强度理论—— 广义胡克定律
Fn 0
A x Ax cos y Ay sin x Ax sin y Ay cos 0
F 0
A x Ax sin y Ay cos x Ax cos y Ay sin 0
x
2
y
x
y
2
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2 7
§10.应力状态分析和强度理论——平面应力状态分析
=0
tg2o
2 x x y
9
§10.应力状态分析和强度理论——平面应力状态分析
x 2y(x 2y)2(x)2sin 2 ()
工 程
(x 2y)2(x)2cos2 ()
力
学 ● 最大和最小剪应力
21 0
or
max min
(
x
2平面与主平面的夹角为45°： 1 0 45
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。 (3) 相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定.
4
§10.应力状态分析和强度理论——概 述

材料力学应力状态与强度理论及其工程应用优秀课件

材料力学应力状态与强度理论及其工程应用优秀课件
工程上还有一些构件或结构，其危险截面上危险点同时承 受正应力和剪应力，或者危险点的其他面上同时承受正应力或剪 应力。这种受力称为复杂受力。复杂受力情形下，由于复杂受力 形式繁多，不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因而， 必须研究在各种不同的复杂受力形式下，强度失效的共同规律， 假定失效的共同原因，从而有可能利用单向拉伸的实验结果，建 立复杂受力时的失效判据与设计准则。
第9章 应力状态与强度理论及其工程应用（A）
应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力 应力状态中的主应力与最大剪应力 应力圆及其应用 广义胡克定律 应变能与应变能密度 结论与讨论(1)
第9章 应力状态与强度理论及其工程应用（A）
应力状态的基本概念
第9章 应力状态与强度理论及其工程应用（A）
应力状态的基本概念
三向（空间）应力状态
( Three-Dimensional State of Stresses )
z
z
zx zy
xz yz
x
x
xy
yx
y y
第9章 应力状态与强度理论及其工程应用（A）
应力状态的基本概念
平面（二向） 应力状态
x
( Plane State of
Stresses )
受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
第9章 应力状态与强度理论及其工程应用（A）
应力状态的基本概念
受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉 后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
第9章 应力状态与强度理论及其工程应用（A）
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s ss t 令 :d d 0 xys in 20 2x yc o s20 0
tg20
2txy sx sy
sy
由此的两个驻点：
01、（01
π）和两各极值： 2
y
sx
txy
s max s min
sx
sy ±
2
（ sx
sy
2
）2
t2 xy
O
x
t0sx 2sysin2 0 txycos2 00
O
x
t
2 xy
t
st s s t 1; 2 0; 3 tg20sx 2txs yy 045
t max tmin
（sx 2sy） 2tx2y
t
tg21sx2txsy y 010
破坏分析
低 碳 钢 ：
ss 240M Pa;ts 200M Pa
灰口铸铁：
s Lb 98 ~ 280M Pa s yb 640 ~ 960M Pa; tb 198 ~ 300M Pa
力状态。
三、单元体：
单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质——
a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
s
y
y
四、普遍状态下的应力表示
sz z
sx
txy
x
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量， 则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
x
s pD 4
a
10
y
dq
p(lDdq ) 2、环向应力（hoop stress）
2
z
O
q
p
用纵截面将容器截开，受力 如图c所示。
s
D
s
图c
s (l D ) 2 p D l
s’
s” 外表面
s l pD l D 2
a
11
§9–2 平面应力状态分析—解析法
y
sy
sy
sx
等价
txy
y
sx
第九章 应力与应变分析 强度理论
§9–1 应力状态概述 §9–2 平面应力状态分析—解析法 §9–3 平面应力状态分析—图解法
一、引言
§9-1 应力状态概述
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸 M
铸铁压缩 P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应
低碳钢 铸铁
§9–3 平面应力状态分析—图解法
sy
t sx xy
y
O
x
s
sx
t
y
t sy yx
O
x
一、应力圆（Stress Circle）
ssx2sy
sxsy
2
co2stxysin2
tsx2sysin2txyco2s
对上述方程消去参数（2），得：
n ssx 2sy2t 2sx 2sy2tx2y
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆， t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
考虑剪应力互等和三角变换，得：
sx
txy
y
O
x
图1
s
sx
t
y
t sy yx
O
x
图2
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
同理：
Ft 0
n tsx 2sysi2n txc y o2s
t
二、极值应力
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
极值正应力就是主应力：
s max s min
sx
sy ±
2
（ sx
sy
2
）2
t2 xy
s s s s 1 m ax ; 3 m in
y
O
sy
s3
主 单元体
t sx xy
s1
x
s1在剪应力相对的象限内，且偏向于sx 及sy 大的一侧。
tsx 2sysi2n txc y o2s
令: dt
0
sy
n
二、应力圆的画法
s t
t sx xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
y
x O t n D( s , t
2 C O B(sy ,tyx)
在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx)
x A(sx ,txy)
s
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画圆—应力圆；
txy
x z
O
x
sy
一、任意斜截面上的应力
y
sx
txy
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
O
x
图1
s
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
sx y
t
t sy yx
Fn0
n
sdAsxdAcos2txydAcossin
O
x
图2 t sydAsin2tyxdAsincos0
sy
s1s2s3
三向应力状态（Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x M
tzx
txz
t yx
t C
xy
七、主单元体、主面、主应力：
sy y
主单元体（Principal body）：
各侧面上剪应力均为零的单元体。 sx
sz z
s2
s3
主平面（Principal Plane）： 剪应力为零的截面。
x 主应力（Principal Stress）： 主平面上的正应力。
s1 主应力排列规定：按代数值大小
例2 图a所示为承受内压的薄壁容器。试导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式 。
s1 sm
p p
p
l
x 图a
D
y
x
p
A
O
B
a
9
解：容器的轴向和环向应力表达式 1、轴向应力（longitudinal stress）
用横截面将容器截开，受力如图b所示，根据平衡方程
D
s’ p
s’ 图b
sπD pπD 24
d 1
tg21s2xtsxy y
ttmmainx
±
（sx
sy
2
）2 tx2y
01 π 4 ， 即 极 值 剪 应 力 面 与 主 面 成 4 5 0
a
17
例3 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原始
t yx
单元体
C M
t C
xy
sxsy0
t xy
t
M Wt
txy
求极值应力
tyx
y
s sm mainxsx 2sy（ sx 2sy） 2tx2y
t s y
yx
y
sz z
txy sx
x
证 明 ： 单 元 体 平 衡M z 0
t t (xd y y d z)d x (yd x z d x )d y 0
t xyt yx
六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
y B C z
A
P
sx
sx
A
P
sx B sx