分形生长计算机模拟——王超群

本科毕业论文（设计）题目分形生长的计算机模拟学院物理技术与科学学院专业物理学年级 2006级学号 222006315011211姓名王超群指导教师贾伟尧2010年 3 月目录引言 (1)1.综述 (3)1.1分形学的诞生 (3)1.1.1令人费解的数学怪物及其简单解释 (3)1.1.2分形的诞生历史 (5)1. 1.3分形的内涵 (6)1.2分形的现状及前景 (7)1.2.1分形在自然科学及工程技术上的应用 (7)1.2.2分形与艺术 (8)1.2.3分形的前景 (10)2.分形图形的计算机模拟： (10)2.1Mathematica数学软件简介 (11)2.2简单分形图形的Mathematica模拟 (13)2.2.1用Mathematica模拟Sierpinski三角形 (13)2.2.1用Mathematica模拟Koch曲线 (14)3. Mandelbrot集自相似性的探讨 (16)结论 (19)参考文献 (21)致谢 (22)分形生长的计算机模拟王超群西南大学物理科学与技术学院重庆 400715摘要：广泛而全面地介绍了分形理论，着重介绍了分形理论的形成、发展、应用及前景。

粗略介绍了相对于欧几里德几何经验维数的“分维”的概念。

并应用Mathematica数学软件对几个简单的分形几何图形——Sierpinski三角形、Koch曲线、Koch雪花——进行了计算机生成，对其性质进行了初步探讨。

最后，借助Mandelbrot集，通过Ultra Fractal软件生成图片并多次放大的方法，对分型图形的“局部与整体的自相似性”进行了探讨与展示，完成本次分形生长计算机模拟初步研究。

关键词：分形； Mandelbrot集；计算机模拟；Mathematica数学软件Fractal growth of computer simulationWang Chao-qunSchool of Physics and Technology Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: Comprehensively introduced to fractal theory, highlighted the formation, development, application and prospects of fractal theory. Simply decrypted "fractal dimension" concept，relative to the experience dimension in Euclidean geometry. And generated some simple fractal geometry - Sierpinski triangle, Koch line, Koch snowflake - with Mathematica，and discussed their properties. Finally, using Mandelbrot set, generated by Ultra Fractal，repeatedly zoomed in these images to discusse and demonstrate the “self-similarity" between "part and the whole”. That’s all about this paper.Key words: Fractal；Mandelbrot set；Computer Simulation；Mathematica引言2006年的一段时间，全球最大的网络搜索引擎公司Google将其主页的图标改为如下页图1的样子，这是为了纪念法国数学家Gaston Julia。

是他发现了在数论中有名的Julia序列，就是在这个Google 图标上面看到的数学公式：=………………（1）【1】图1 谷歌纪念法国数学家Gaston Julia 的图标Figure 1 Google ’logo for Gaston Julia图2 有趣的右手Figure 2Funny right hand通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则的图形：——分形（Julia 集）。

物理学家惠勒也曾经说过：“不知道熵的概念，就不能被认为是科学上的文化人；将来谁不知道分形概念，也不能被称为有知识。

”【2】 那么，究竟什么是分形呢？简单地说，分形就是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。

分形几何理论的创始人曼德勃罗（B.B.Mandelbrot ）在20世纪80年代中期曾明确指出：分形是“其部分与整体有相似性的体系”，是一类“组成部分与整体相似的形态”。

【2】如上图2所示的“有趣的右手”，可以很容易地看出“局部与整体的相似性”。

1.综述1.1分形学的诞生1.1.1令人费解的数学怪物及其简单解释在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在Euclid空间对其研究和度量，其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。

但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为“数学怪物(Mathematical Monsters)【3】”的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质，其中，比较著名的有：a、Sierpinski三角形（见下文图9、图10），此图形（黑色区域）面积为零；b、Von Koch曲线（见下图3），此曲线在一维下测量任意段长度为无穷大，在二维下测量面积为零图3 Koch曲线分形图Figure 3 The fractal of Koch Line那么，如此“不合常理”的数学怪物究竟是什么东西呢？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维，把平面或球面看成二维，而把直线或曲图4 欧几里德几何中的经验维数Figure 4 The experience dimension in Euclidean geometry线看成一维。

也可以稍加推广，认为点是零维的，并引入大于三维的更高维空间。

尽管如此，通常人们还是习惯于整数的维数。

这就造成了类似上文提到的“数学怪物”的困难。

为此，1919年，数学家从测度的角度引入了“分维”【4】的概念，将维数从整数推广至分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限，进而很好的解释了“数学怪物”。

首先，我们先简单的介绍一下分维的概念。

综合考察以下三个几何图形：通常意义下一维的线段、二维的正方形和三维的立方体，它们的边长（线度）都是1。

分别将它们的边长二等分，此时，原图被分成了多个线度均为1/2的更小的图形。

其中1维的线段被分成了=2个小线段、2维的正方形被分成了=4个小正方形，3维的立方体被分成了=8个小立方体。

其中的指数1、2、3，正好相应于原图形相应的经验维数。

（见下图4）基于以上思路，更一般的，如果某图形是由把原图缩小为1/a 的相似的b 个图形所组成，则有：=b ，D= (2)【5】 的关系成立，则指数D 称为相似性维数，D 可以是整数，也可以是分数（即分维）。

下面，我分就用分维的概念对上文提到的第一个“数学怪物”——Von Koch 曲线做一下简单的说明。

考察一条线段，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线段中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。

那么，用怎样的模型来量它才会得到有限值呢？显然，只有用与其维数相同的小线段（规定为单位线段）来量它才会得到有限值。

而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。

与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面是显而易见的）。

那么，只有找一个与Koch曲线维数相同的“尺子”量它才会得到有限值，而这个维数显然大于线段的维数1、小于平面的维数2，那么就只能是小数（即分数）了，此即Koch曲线的分维。

事实上，Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么按照（1）式，它的分维数（亦称豪斯多夫维数)为D==1.26185950714……………（3）【6】1.1.2分形的诞生历史正如20世纪初“物理学大厦上空的乌云”【7】一样，在数学领域，这些一时无法解释的困难，催生了新学科的诞生。

事实上，上文所提到的Koch曲线和Sierpinski三角形分别早在1906年和1914年就被创造（或发现）了。

而较早的Cantor集合更是可以追溯到1872年。

但一般认为，分形理论的真正诞生是在1977年，以数学家曼德布劳特(B. B. Mandelbrot)出版他的关于分形几何的专著《分形、机遇和维数》为标志。

1967年，Mandelbrot在美国《Science》杂志上发表题为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想萌芽的出现。

文中，Mandelbrot提出，海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。

在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。

所以，对于“英国的海岸线有多长”这个问题的回答，依赖于测量时所使用的尺度。

如果用大尺度量级作测量单位，那么小量级的一些曲折线段会被忽略。

但是无论我们选用什么样的尺度量级作为标准，整个海岸线的结构并不发生变化，这就就是分形的最朴素的概念解释之一。

1973年，曼德布劳特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

此后的1975年，Mandelbrot创造了Fractal这个词，它来源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即为“不规则、支离破碎”的物体。

1977年，Mandelbrot在巴黎出版了法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》,并在美国出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形状机遇和维数》）。

同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)，但是这三本书当时还未对社会和学术界造成太大的影响。