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全等三角形1已知：AB=4, AC=2, D 是BC 中点，AD 是整数，求AD3 已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC4 已知：AD 平分ZBAC, AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC5 已知：AC 平分ZBAD, CE 丄AB, ZB+ZD=180° ,求证：AE=AD+BEZC=ZD, F 是 CD 中点，求证：Z1=Z22 已知：BC=DE, ZB=ZE,6如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
7 已知：AB=CD, ZA=ZD,求证：ZB=ZC&P 是ZBAC 平分线AD 上一点，AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC13已知：如BD1AC ,分别为D、E, BD、CE相交于点F。
求证：BE=CD. 图，AB=AC, CEXAB,垂足10.如图，已知AD/7BC, ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB. 11如图，AABC中，AD是ZCAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：ZC=2ZB12 如图：AE、BC 交于点M, F 点在AM 上，BE/7CF, BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
14 在AABC 中，ZACB = 90°, AC = BC ,直线MV 经过点C ,且AD 丄MZV 于D , BE L MN 于E . (1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ^ADC竺ACEB；② DE = AD + BE ；(2)当直线MV绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明; 若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE丄AB, AF丄AC, AE=AB, AF=AC。
求证:16.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分ZCAB和ZE,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由DBA, CD过点(1) EC=BF； (2) EC丄BFB C17.如图9所示，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90° , AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.图9全等三角形证明经典（答案）1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52证明：连接BF和EF。
第四节全等三角形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·安徽)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD2．(2018·黔南州)下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲，乙，丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙3．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是( )A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°4．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE 的长是( )A.32B ．2C ．2 2D.106．(2018·济宁)在△ABC 中，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在BC 边上，连接DE ，DF ，EF ，请你添加一个条件________，使△BED 与△FDE 全等．7．(2018·金华)如图，△ABC 的两条高AD ，BE 相交于点F ，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是________．8．(2018·福州质检)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF 且AC ＝DF ，求证：AB ＝DE.9．(2018·云南省卷)如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADC.10．(2018·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.求证：OB＝OC.11．(2018·陕西)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.12．(2017·恩施州)如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P. 求证：∠AOB＝60°.13．(2018·恩施州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O. 求证：AD与BE互相平分．14．(2018·怀化)已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．1．(2018·桂林)如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．2．(2018·衡阳)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．3．(2018·莆田质检)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE，连接DE.(1)判断△ADE的形状，并加以证明；(2)过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线段，并说明理由．4．(2018·哈尔滨)已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE.(1)如图①，求证：AD＝CD；(2)如图②，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．5．(2018·滨州)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 是BC 的中点7．AC ＝BC8．证明： ∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠E ∠ACB＝∠DFE，AC ＝DF∴△ABC≌△DEF(AA S )，∴AB＝DE.9．证明：∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAC＝∠DAC，AC ＝AC∴△ABC≌△ADC.10．证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，CB ＝BC ， ∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL )，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO.11．证明： ∵AB∥CD.∴∠A＝∠D.∵EC∥BF.∴∠BHA＝∠CGD.∵AB＝CD ，∴△ABH≌△DCG.∴AH＝DG.∴AG＝DH.12．证明：∵△ABC、△CDE 为等边三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(S A S )，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠AOB＋∠CBD＋∠BPO＝180°，∠BCA ＋∠CAE＋∠APC＝180°，且∠BPO＝∠APC，∴∠AOB＝∠BCA＝60°.13.证明：如解图，连接BD ，AE ，∵FB＝CE ，∴BC＝EF ，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC＝∠DEF，BC ＝EF ，∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(A S A)，∴AB＝DE ，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分．14．证明：(1)∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AB ＝CD ，∠B＝∠D，∴△ABE≌△CDF(A S A)；(2)解：∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴EG＝12CD ，∵EG＝5，∴CD＝10，∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD ＝10.【拔高训练】1．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ，∴AC＝DF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE BC ＝EF ，AC ＝DF∴△ABC≌△DEF(SSS )；(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB.∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°，∴∠F＝∠ACB＝37°.2．(1)证明：在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ∠AEB＝∠DEC，BE ＝EC∴△AEB≌△DEC(S A S )．(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴AB＝CD ，∵AB＝5，∴CD＝5.3．解： (1)△ADE 是等腰直角三角形．理由：在等边△ABD 和等边△ACE 中，∵BA＝DA ，CA ＝EA ，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD.即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE ，∠ABC＝∠ADE，∵AB＝BC ＝AD ，∠ABC＝90°，∴AD＝DE ，∠ADE＝90°，即△ADE 是等腰直角三角形．(2)连接CD ，则直线CD 垂直平分线段AE.(或连接BE ，则直线BE 垂直平分线段AC) 理由：由(1)得DA ＝DE.又∵CA＝CE ，∴直线CD 垂直平分线段AE.4．(1)证明：∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF，∴∠ADE＝∠CGF，∵AC⊥BD，BF⊥CD，∴∠ADE＋∠DAE＝∠CGF＋∠GCF，∴∠DAE＝∠GCF，∴AD＝CD.(2)解：△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.【解法提示】设DE ＝a ，则AE ＝2DE ＝2a ，EG ＝DE ＝a ，∵S △ADE ＝12AE·DE＝12·2a·a＝a 2， ∵BH 是△ABE 的中线，∴AH＝HE ＝a ，∵AD＝CD ，AC⊥BD，∴CE＝AE ＝2a ，则S △ADC ＝12AC·DE＝12·(2a＋2a)·a＝2a 2＝2S △ADE ； 在△ADE 和△BGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED＝∠BEG DE ＝GE ，∠ADE＝∠BGE∴△ADE≌△BGE(A S A)，∴BE＝AE ＝2a ，∴S △ABE ＝12AE·BE＝12·2a·2a＝2a 2， S △BCE ＝12CE·BE＝12·2a·2a＝2a 2， S △BHG ＝12HG·BE＝12·(a ＋a)·2a＝2a 2， 综上，面积等于△ADE 面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.5．(1)证明：连接AD ，如解图①所示.第5题解图①∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∵点D 为BC 的中点，∴AD＝12BC ＝BD ，∠FAD＝45°. ∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD BD ＝AD ，∠BDE＝∠ADF∴△BDE≌△ADF(A S A)，∴BE＝AF.(2)解：BE ＝AF ，证明如下：连接AD ，如解图②所示.第5题解图②∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°， ∴∠EDB＝∠FDA.在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠FAD BD ＝AD∠EDB＝∠FDA， ∴△EDB≌△FDA(A S A)，∴BE＝AF.。
