5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→
r )，b ψ(→
r )，c ψ(→
r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。 （i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准
1、（a ），（b ）各10分
（a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →
r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧
K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧
F ψ＝λψ，ψ∧
F ＝λψ K ＝ψ∧
K ψ＝i
ψ∧F ∧
G -∧
G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧
G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧
F 2
+∧
G 2
-∧
K
ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧
F -i ∧
G )ψ︱2≥0 ∴<∧
F 2
+∧
G 2-∧
K >≥0，即2F +2
G ≥K
3、(a)，(b)各10分
(a) ∧
H ＝ω∧
z S +ν∧
x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων
ν
ω
-］
∧
H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2
λ，则
［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων
ν
λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22
νω+，E 1＝-2
2
2
νω+，E 2＝2
22νω+
当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2
22ων）＝ω+ων22
E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2
［ω+ων22］
（b ）∧
H ＝ω∧z S +ν∧
x S ＝∧H 0+∧H ’，∧
H 0＝ω∧
z S ，∧
H ’＝ν∧
x S
∧
H 0本征值为ω 21±
，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）
＝ω 21
相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01
]
则∧
H ’之矩阵元（S z 表象）为
'11H =0，'22H =0，'12H ＝'
21H ＝ν 21 E 1＝E 1
（0）+'
11H +
)0(2)0(12
'21
E E H
-＝-ω 21+0-ων
2241＝-ω
21-ων241 E 2＝E 2（0）+'
22H +)0(1
)0(22
'
12
E E H -＝ω 21+ων241
4、E 1＝2
22
2ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00
x ＝dx x a ⎰02
1
ψ＝2sin 20
2a dx a x x a a
=⎰π x p ＝-i ⎰=a dx dx d
11ψψ-i ⎰=a
a x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ⎰⎰-=a
a
a x
d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝
⎰-a a x xd a i 02)
(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰a
dx a x 0
2]sin π
＝0+⎰=a
i dx ih 0
2
122 ψ 四项各5分
5、（i ），（ii ）各10分
（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
),(21→
→r r ψ有：)(1→
r a ψ→
)(2r a ψ，)(1→
r b ψ→
)(2r b ψ，)(1→
r c ψ→
)(2r c ψ，
)]
()()()([21
2121→
→→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。
（ii ）s ＝21
，单粒子态共6种：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡0
1a ψ，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡1
0a ψ，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡0
1b ψ，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡1
0b ψ，
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡0
1c ψ，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡1
0c ψ。
