高一数学人教版必修一 第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)

高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案高一数学（必修1）第一章：函数及其表示基础训练选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A。

⑴、⑵B。

⑵、⑶C。

⑷D。

⑶、⑸2.函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是（）A。

1B。

0或1C。

2D。

1或23.已知集合A={1.2.3.k}，B={4.7.a。

4.a^2+3a}，且a∈N，x∈A，y∈B*，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则a，k的值分别为（）A。

2，3B。

3，4C。

3，5D。

2，54.已知f(x)={x+2(x≤-1)，x^2(-1<x<2)，2x(x≥2)}，若f(x)=3，则x的值是（）A。

1B。

1或-3C。

1，或±3D。

35.为了得到函数y=f(-2x)的图象，可以把函数y=f(1-2x)的图象适当平移，这个平移是（）A。

沿x轴向右平移1个单位B。

沿x轴向右平移1/2个单位C。

沿x轴向左平移1个单位D。

沿x轴向左平移1/2个单位6.设f(x)={x-2(x≥10)，f[f(x+6)](x<10)}，则f(5)的值为（）A。

10B。

11C。

12D。

13填空题1.设函数f(x)={1/(x-1)(x≥1)，2/x(xa，则实数a的取值范围是（0.1）。

2.函数y=(x-2)/(x^2-4)的定义域是R-{-2.2}。

3.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。

4.函数y=(x-1)/(x-x^2)的定义域是(-∞。

0)∪(1.+∞)。

5.函数f(x)=x+(1/x)的最小值是2.解答题1.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。

解：当x+1≠0时，即x≠-1时，f(x)有意义，所以f(x)的定义域为R-{-1}。

2.求函数y=(x^2+x+1)/(x+1)的值域。

解：y=(x^2+x+1)/(x+1)=x+1+1/(x+1)，当x→±∞时，y→±∞，所以y的值域为R-{-1}。

高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩， 即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==； （6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,AB A B ． 1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}AB ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ． 2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,AB A B ． 3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B 痧?．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （4R（5Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集． 4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅． （1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð，{|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R AB x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R AB x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}AB =，则集合B 有 个． 1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？ 2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上， 得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,AB A B ． 3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅． 4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆ð，即()U U A B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x ． 1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与A 的B 中的元素是什么？与B相对应的A 中元素是什么？4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是2； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素2相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-； （2）()f x =（A ）（B ）（C ）（D ）（3）26()32f x x x =-+； （4）()1f x x =-1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x =-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x =-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．3y x =； （2）8y x =； （3）45y x =-+；（4） （1）267y x x =-+．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定义（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象： （1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x =>，10(0)x y y=>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=， 显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即125xt -=，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()55t h -==+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-. 1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减. 2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ）2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a 814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx=x 4y -9;(4)4a 32b31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-yx =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=- 2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-；（3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5. 练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=； （2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e == 3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x=(5) 100.3x = (6) xe 3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a+===+=+; (4)3lg lg 3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) m x n =; (3) 3n x m =; (4)x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x +=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番. 7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2)m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位. B 组。

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

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集合与函数概念 测试题（时间：120分钟 满分：150分）学号:______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个函数：①1y x =+，②21y x =-，③21y x =-，④2y x =，其中定义域与值域相同的是( ） A ．①② B ①②④ C. ②③ D. ①③④2．设全集为A B A B C A U U 则集合若},2{},1{,=⋂=⋂可表示为 ( )A ．｛1｝B ．｛2｝C ．{1，2｝D ．φ3设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射B A f →:是把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素246x x -+,则在映射f 下,B 中的元素2在A 中所对应的元素组成的集合是（ ）A . {2}-B 。

{2}C 。

{2,2}-D . {0} 4。

设全集{},|-24,{|2},U R A x x B x y x ==≤<==+则下图中阴影部分表示的集合为 （ )A. {|2}x x ≤-B. {|2}x x >- C 。

{}|4x x ≥ D 。

{|4}x x ≤5．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x =( ）A 21x +B 21x -C 23x -D 27x +6。

微专题27 常见复合函数及其性质7种常考题型总结题型1 判断复合函数的单调性题型2 已知复合函数的单调性求参数题型3 求复合函数的值域或最值题型4 根据复合函数的值域或最值求参题型5 复合函数的奇偶性及应用题型6 与复合函数有关的不等式问题题型7 复合函数性质的综合应用1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：()[]x g f y =，令：()x g t =，则()()x g f y =转化为()()x g t t f y ==,其中t 叫作中间变量.()x g 叫作内层函数，()t f y =叫作外层函数.2.求复合函数单调性的步骤：①确定函数的定义域②将复合函数分解成两个基本函数 ()[]x g f y = 分解成()()x g t t f y ==,③分别确定这两个函数在定义域的单调性④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。

))((x g f y =在),(b a 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”)(x g t =)(t f y =))((x g f y =增增增增减减减增减3.指数型复合函数值域的求法（1）形如()=xy f a （0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令=xa t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围．（2）形如()=f x y a（0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令()=f x m ，先求出()=f x m 的值域，再利用=y am的单调性求出()=f x y a的值域．4.对数型复合函数值域的求法（1）形如(log )=a y f x （0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ，再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域．（2）形如()log =a y f x （0>a ，且1¹a ）的函数的值域：令()=f x m ，先求出()=f x m 的值域，再利用log =ay m 的单调性求出()log =a y f x 的值域．题型1 判断复合函数的单调性【例1】函数()122(23)f x x x -=-++的单调递减区间为（ ）A ．[]1,1-B ．(],1-¥C ．(]1,1-D ．()1,3【答案】C【分析】令223t x x =-++，12u t -=，利用复合函数的单调性求解.【详解】解：由2230x x -++>，得2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以()f x 的定义域为{}|13x x -<<，令223t x x =-++，在(]1,1-上递增，在[1,3）上递减，又12u t -=，在()0,¥+上递减，所以()f x 在(]1,1-上递减，所以函数()f x 的单调递减区间为(]1,1-，故选：C【变式1】函数y =的单调递增区间是 .【答案】(),5-¥-【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间．【详解】由2450x x +->得5x <-或1x >，∴函数y =的定义域为()(),51,¥¥--È+．∵函数245y x x =+-在(),5-¥-上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又∵函数y =在其定义域()0,¥+上单调递减，∴函数y =在(),5-¥-上单调递增，在()1,+¥上单调递减．故答案为：(),5-¥-．【变式2】已知函数24()2x x f x -=，则函数()f x 的递增区间为（ ）A ．(4,)+¥B ．(,0)-¥C ．(,2)-¥D ．(2,)+¥【答案】D【解析】令24u x x =-，则函数()u x 在(),2-¥上单调递减，在()2,+¥单调递增，而函数2u y =在R 上单调递增，所以函数()f x 在(),2-¥上单调递减，在()2,+¥单调递增.故选：D【变式3】函数21181722x xy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø的单调递增区间为.【答案】[)2,-+¥【解析】设12xt æö=ç÷èø，则()2281741y t t t =-+=-+，对称轴为4t =，当4t ≥，即142xæö≥ç÷èø，即2x -≥，即2x £-时，12xt æö=ç÷èø为减函数，函数()241y t =-+为增函数，则21181722x xy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø为减函数，即函数单调减区间为(],2-¥-；当4t £，即142xæö£ç÷èø，即2x -£，即2x ≥-时，12xt æö=ç÷èø为减函数，函数()241y t =-+为减函数，则21181722xxy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø为增函数，即函数单调增区间为[)2,-+¥.故答案为：[)2,-+¥【变式4】函数()()2lg 4f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,¥+B ．(),0¥-C ．()2,+¥D ．(),2-¥-【答案】C【分析】求出函数的定义域，由复合函数单调性求出答案.【详解】函数()f x 的定义域为()(),22,¥¥--È+．令24t x =-，其中t 在(),2-¥-上单调递减，在()2,+¥上单调递增．()lg f t t =Q 为单调递增函数，()f x \的单调递增区间为()2,+¥．故选：C【变式5】函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(,6)-¥-B ．52æö-¥-ç÷èø,C ．5,2æö-+¥ç÷èøD ．(1,)+¥【答案】D【解析】由不等式2560x x +->，即(1)(6)0x x -+>，解得6x <-或1x >，又由函数256y x x =+-在(,6)-¥-单调递减，在(1,)+¥单调递增，因为ln y x =在定义域上为单调递增函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为(1,)+¥.故选：D.【变式6】若()()2log 1f x x =-在区间M 上单调递增，则M 可以是（ ）A ．(),2-¥-B ．()2,1--C ．()1,0-D ．()0,1【答案】D【分析】根据复合函数的单调性可知函数2log (1)y x =-在(,1)-¥上单调递减，且过原点(0,0)，进而得2()log (1)f x x =-在(0,1)上单调递增，即可求解.【详解】函数1y x =-在R 上单调递减，函数2log y x =在(0,)+¥上单调递增，又函数()f x 的定义域为(,1)-¥，所以函数2log (1)y x =-在(,1)-¥上单调递减，且过原点(0,0)，所以函数2()log (1)f x x =-在(,0)-¥上单调递减，在(0,1)上单调递增.故选：D.【变式7】已知函数()112æ=ç÷èøf x ，则()f x 的单调递增区间为，值域为 ．【答案】(,0]-¥(0,2]【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令220x x ≥－，解得2x ≥或0x £，∴()f x 的定义域为(][),02,¥+¥U -，令1t =，则其在(,0]-¥上递减，在[2,)+¥上递增，又12ty æö=ç÷èø为减函数，故()f x 的增区间为(,0]-¥．∵11t ≥-，∴(]10,22tæöÎç÷èø，故()f x 的值域为(0,2]．故答案为：(,0]-¥，(0,2].题型2 已知复合函数的单调性求参数【例2】函数()2232x ax f x --=在[)1,+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是．【答案】(],1-¥【解析】设223u x ax =--，函数()2232xax f x --=在[)1,+¥上单调递增，函数2u y =在R 单调递增，故223u x ax =--在[)1,+¥上单调递增，故1a £.故答案为：(],1-¥.【变式1】已知函数()22321x x y a -+=-在区间[)1,+¥上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-¥-È+¥B ．()1,1-C ．()1,+¥D．(),-¥+¥U【答案】D【解析】由题意知函数()22321x x y a -+=-由22(1),23t y a t x x =-=-+复合而成，223t x x =-+在[)1,+¥上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知2(1)t y a =-需为R 上的增函数，故211a ->，∴22a >，∴a >或a < D.【变式2】设0a >，函数()22()log f x ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <£B ．102a <£C ．1a ≥D ．12a ≥【答案】C【分析】根据复合函数的单调性，列出关于a 的不等式，求解即可.【详解】因为函数()22()log f x ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，所以2y ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，且20ax x ->在(1,)x Î+¥上恒成立，所以011210a a a >ìïï£íï-≥ïî，解得1a ≥.故选：C【变式3】已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-¥B ．[6,)+¥C ．10,43éùêúëûD ．10,43æùçúèû【答案】C【解析】令2()1t x x ax =-+-，因为lg y t =为增函数，函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，所以2()1t x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，且(3)0t ≥，所以229310aa ì£ïíï-+-≥î，解得1043a ££，故选：C【变式4】若函数()()212log 65f x x x =-+-在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,3éö+¥÷êëøB ．5,33éùêúëûC ．5,23éùêúëûD ．5,23éö÷êëø【答案】D【解析】由已知得2650x x -+->，解之得()1,5x Î，即()f x 的定义域为()1,5，又()f x 在区间()32,2m m -+内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：3233225m m m -≥ìí-<+£î，解得523m £<．故选：D【变式5】已知()21log 3af x x ax a=--（0a >且1a ¹）在区间(),1-¥-上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．10,2æùçúèûC ．1,12éö÷êëøD ．[)2,+¥【答案】B【分析】依题意可得()()2log 3a f x x ax a =---，即可得到()2log 3a y x ax a =--在区间(),1-¥-上为增函数，结合二次函数及对数函数的性质计算可得.【详解】函数()()221log log 33a a f x x ax a x ax a==-----，因为()21log 3af x x ax a=--（0a >且1a ¹）在区间(),1-¥-上为减函数，则()2log 3a y x ax a =--在区间(),1-¥-上为增函数，所以23y x ax a =--在区间(),1-¥-上单调递减，且大于(等于)0恒成立，log a y x =为减函数，所以()20112130a aa a ì<<ïï≥-íïï-+-≥î，解得102a <£，即实数a 的取值范围是10,2æùçúèû.故选：B【变式6】已知函数21,01()2,12x ax ax a x f x x -+-££ìï=í<£ïî，若12,[0,2]x x "Î，12x x ¹，都有()()21210f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,2]B ．(,1]-¥C ．(0,1]D ．(0,)+¥【答案】C【分析】由题意，函数()f x 是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求a 的取值范围.【详解】因为对于12,[0,2]x x "Î，12x x ¹，都有()()21210f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是增函数，则函数()101y ax a x =+-££和()2212x axy x -=<£均为增函数，且有112a -£，即10,1,221,a a a ->ìïï£íï≥ïî解得01a <£.故选：C ．题型3 求复合函数的值域或最值【例3】函数2222x x y -+=，[]1,2x Î-的值域是（ ）A ．RB ．[]4,32C ．[]2,32D ．[)2,+¥【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】函数2222xx y -+=，是由2t y =和222t x x =-+，[]1,2x Î-复合而成，因为()222211t x x x -+==-+对称轴为1x =，开口向上，所以222t x x =-+在[)1,1-单调递减，在[]1,2单调递增，所以=1x -时，()()2max 12125t =--´-+=，1x =时，min 12121t =-´+=，所以15t ££，因为2t y =在R 上单调递增，所以15222232t y =£=£=，所以函数2222x x y -+=，[]1,2x Î-的值域是[]2,32.故选：C.【变式1】函数()()22log 22f x x x =++的值域为（ ）A ．(),1-¥B ．[)0,¥+C ．[)0,1D ．(],0-¥【答案】B【解析】函数()()22log 22f x x x =++的定义域为R ，令222t x x =++，则()2111t x =++≥，又2log y x =在[)1,+¥上单调递增，则22log log 10t ≥=，则函数()()22log 22f x x x =++的值域为[)0,¥+故选：B【变式2】函数()1422x x f x +=-+ 在11x -££时的值域是．【答案】[]1,2【解析】当11x -££时，1222x ££，函数22()(2)222(21)1x x x f x =-×+=-+，显然当21x =，即0x =时，min ()1f x =，当22x =，即1x =时，max ()2f x =，所以所求值域是[]1,2.故答案为：[]1,2【变式3】函数()()()22log 2log 4f x x x =×的值域为（ ）A ．RB ．1,24éö-+¥÷êëøC ．1,4éö-+¥÷êëøD ．3,2éö-+¥÷êëø【答案】C【分析】()()()221log 2log x x f x =++，设2log x t =，23124y t æö=+-ç÷èø，计算得到答案.【详解】()()()()()2222log 2log 41log 2log f x x x x x =×=++，设2log x t =，则()()223111232244y t t t t t æö=++=++=+-≥-ç÷èø，故函数的值域为1,4éö-+¥÷êëø.【变式4】已知函数()2m f x x-=，且()()415216f f -=．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2243g x f x x =-+在[]1,2-上的值域．【答案】(1)()4f x x=(2)11,2434éùêúëû【分析】（1）由题目条件代入即可求得2216m -=，从而求出24m -=，即可求出()f x 的解析式.（2）由（1）可知，()221111684g x x æö=-+ç÷èø，由二次函数求值域即可求出函数()g x 在[]1,2-上的值域.【详解】（1）因为()()415216f f -=，所以224152160m m ---´-=，整理得()()22216210m m ---+=，即2216m -=或221m -=-（舍去），则24m -=，故()4f x x =．（2）由（1）可知，()()2242222111164316431684g x x x xx x æö=-+=-+=-+ç÷èø．因为[]1,2x Î-，所以，[]20,4x Î，所以221111116,243844x æöéù-+Îç÷êúèøëû．故()g x 在[]1,2-上的值域为11,2434éùêúëû．题型4 根据复合函数的值域或最值求参【例4】已知4323x x y =-×+的值域为[]1,7，则x 的取值范围可以为（ ）A ．[]2,4B ．(),0¥-C ．()[]0,12,4U D ．(][],01,2¥-È【答案】D【分析】令2x t =，根据值域解不等式组可得t 的范围，然后解指数不等式可得.【详解】令2x t =，则233y t t =-+，由题知，22331337t t t t ì-+≥í-+£î，解得11t -££或24t ££，即121x -££或224x ££，解得0x £或12x ££.故选：D【变式1】已知函数()121x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，则实数m 的值为.【答案】3【分析】根据图象的变换得到函数()121x f x -=-，然后根据函数图象求m 即可.【详解】作出函数()121x f x -=-的图象如图，函数()121x f x -=-在[]0,1上单减，在[)1,+¥上为增函数，又()01f =，()10f =，()33f =，\若函数()121x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，则实数3m =.故答案为：3.【变式2】已知函数()log 4a af x x xæö=+-ç÷èø在(0,)+¥上的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+¥B ．(],4¥-C ．(]0,4D ．()(]0,11,4È【答案】D【解析】设()4ag x x x=+-，因为()log 4a a f x x x æö=+-ç÷èø的值域为R ，所以()min 0g x £，又0,1a a >¹，,()0x Î+¥，所以444a x x +-≥=-，即()min 40g x =£，解得：04a <£且1a ¹，所以实数a 的取值范围是()(]0,11,4È.故选：D.【变式3】若函数()()2log 23a f x x x =--+（0a >且1a ¹）的最小值为－4，则实数a 的值为 .【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出.【详解】由题意知，2230x x --+>，解得31x -<<，因为()()()22log 23log 14a a f x x x x éù=--+=-++ëû，因为()3,1x Î-，则()20144x <-++£，又因为()f x 的最小值为－4，则01a <<，所以()2log 14log 4a a x éù-++≥ëû，即()min log 44a f x ==-，得44a -=，因为01a <<，所以a =.【变式4】已知函数()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<.(1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为2-，求a 的值.【答案】(1)()3,3-(2)13【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域；（2）求得()()2log 9a f x x =-，求出29x -的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数a 的等式，结合01a <<可求得实数a 的值.【详解】（1）解：对于函数()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<，有3030x x ->ìí+>î，解得33x -<<，因此，函数()f x 的定义域为()3,3-.（2）解：因为()()2log 9a f x x =-，且33x -<<，则2099x <-£，因为01a <<，则函数log a y u =为()0,¥+上的减函数，故()min log 92a f x ==-，可得29a -=，01a <<Q ，解得13a =.【变式5】已知函数()()()log 21log 82(0x xa a f x a =-+->且1)a ¹．(1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,3；(2)存在实数a =时，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2．【分析】（1）由题意210820x xì->í->î解出x 即可；（2）利用换元法以及对数函数性质分析即可.【详解】（1）依题意210820x xì->í->î，即128x <<，所以03222,x <<即03x <<，所以函数()f x 的定义域为()0,3．（2）()()()()()log 21log 82log 2182x x x xa a a f x éù=-+-=--ëû，令()()()2,18xt g t t t ==--，则()()log a f x g t =，][1,22,4x t éùÎ\ÎëûQ ．易知二次函数()g t 的图像开口向下，对称轴为直线18922t +==，所以函数()g t 在[]2,4上单调递增，所以()()min max ()26,()412g t g g t g ====．假设存在满足题意的实数a ，当1a >时，函数log a y x =单调递增，max ()log 122a f x \==，解得a =或a =-（舍去），当01a <<时，函数log a y x =单调递减，max ()log 62a f x \==，解得a =综上，存在实数a =时，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2．【变式6】已知函数()()()25112a x a x f x --+-=的值域为()0,¥+，()()23log 85g x x x b =-+的值域为[)2,+¥，则a b -=（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】A【解析】因为函数2(5)(1)1()2a xa x f x --+-=的值域为(0,)+¥，所以函数2(5)(1)1y a x a x =--+-的值域为R ，所以50a -=，解得5a =，因为23()log (85)g x x x b =-+的值域为[2,)¥+，所以()22854516y x x b x b =-+=-+-的最小值为9，所以5169b -=，解得5b =，所以0a b -=．故选：A ．题型5 复合函数的奇偶性及应用【例5】已知3()31xx f x a =+-是奇函数，则=a （ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A【解析】由函数3()31x x f x a =+-，可得31()3131x x x f x a a ---=+=-+--，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即3103131x x x a a +-+=--，解得12a =-.故选：A.【变式1】函数lnx ay x a-=+（a 为常数）的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．都不是【答案】A【解析】根据题意，设()lnx af x x a-=+，其定义域为{}x x a ¹±，()()lnln x a x af x f x x a x a--+-===--+-所以函数f （x ）为奇函数，故选：A ．【变式2】已知函数()222e ex x f x -+=+，则（ ）A ．()1f x +为奇函数B ．12f x æö+ç÷èø为偶函数C ．()1f x -为奇函数D ．12f x æö-ç÷èø为偶函数【答案】B【分析】方法一：可得()()1f x f x -=，即可得到函数()f x 关于12x =对称，从而得到12f x æö+ç÷èø为偶函数；方法二：求出12f x æö+ç÷èø的解析式，即可判断.【详解】方法一：因为()222e e x x f x -+=+，所以()()2221ee xx f x f x --=+=，所以函数()f x 关于12x =对称，将()f x 的函数图象向左平移12个单位，关于y 轴对称，即12f x æö+ç÷èø为偶函数.方法二：因为()2121221ee e e e 2x x x xf x +-+-æö+=+=+ç÷èø，x ÎR ，则()2211e e e22x xf x f x -æöæö-+=+=+ç÷ç÷èøèø，所以12f x æö+ç÷èø为偶函数；又()2221ee x xf x +-+=+，故()022111e e e f ==++-+，()422411e e e 1e f -=+++=，所以()()1111f f -+¹+，()()1111f f -+¹-+，故()1f x +为非奇非偶函数；又()22241ee x xf x --+-=+，故()466411e ee 1e f -=-=+-+，()022111e e e f ==+-+，所以()()1111f f --¹-，()()1111f f --¹--，故()1f x -为非奇非偶函数；又21231e e 2x x f x --+æö-=+ç÷èø，故533511e 1e e 2e f -æö--=+=+ç÷èø，11e e 2e 2f æö-=+÷è=çø，所以111122f f æöæö--¹-ç÷ç÷èøèø，111122f f æöæö--¹--ç÷ç÷èøèø，故12f x æö-ç÷èø为非奇非偶函数.故选：B题型6 与复合函数有关的不等式问题A ．1,1010æöç÷èøB ．()1,10C ．()1,11,1010æöç÷èøU D ．()10,10,10¥æöÈ+ç÷èø【答案】D【分析】先得到函数定义域和奇偶性，由复合函数单调性得到()21log 1f x x æö=++ç÷èø(0)+¥，上单调递减，结合(1)3f =，从而得到|lg |1x >，求出解集.【详解】()f x 的定义域为(0)(0)-¥+¥U ，，，又()()2211log 1log 1f x f x x x æöæö-=+=++=ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，故()f x 为偶函数，当0x >时，()21log 1f x x æö=++ç÷èø因为11t x =+，213u x=+在()0,¥+上单调递减，又()()2,log t h u g t ==在()0,¥+上单调递增，根据复合函数单调性可知，()21log 1f x x æö=++ç÷èø(0)+¥，上单调递减；又2(1)log 223f =+=，(lg )3f x <可化为(lg )(1)f x f <，即(|lg |)(1)f x f <，得|lg |1x >，即lg 1x >或lg 1x <-，解得10(10)10æö+¥ç÷èøU ，，.故选：D.【变式1】已知定义域为R 的函数()22x x f x -=-，则满足条件()()22100f t t f t ++->的实数t 的取值范围是 .【答案】2t >或5t <-.【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再变形不等式，即可求解.【详解】()()22x xf x f x --=-=-，所以函数为奇函数，且()22x xf x -=-为单调递增函数，所以不等式()()()()222100102f t t f t f t t f t ++->Û+>-，则2102t t t +>-，即23100t t +->，解得：2t >或5t <-.故答案为：2t >或5t <-【变式2】若函数()32e 1xf x x =-+，则()()()()()21012f f f f f -+-+++的值为 .；不等式()()212f x f x +->-的解集为 .【答案】5-1,3æö+¥ç÷èø【分析】根据函数的解析式，由()()2f x f x +-=-求得()()()()()21012f f f f f -+-+++的值，根据函数的单调性化简不等式()()212f x f x +->-，从而求得不等式的解集.【详解】∵()()()33222e 1e 1x x f x f x x x -+-=-+--=-++且()01f =-，∴()()()()()210125f f f f f -+-+++=-；又不等式()()212f x f x +->-可化为：()()()()21f x f x f x f x +->+-，即()()21f x f x ->-，且由基本初等函数知()f x 在R 上单调递增，∴()()21f x f x ->-，即21x x ->-，∴13x >.故答案为：5-；1,3æö+¥ç÷èø【变式3】函数()lg(931)x x f x a =×+-.(1)如果()0,1x Î时，()f x 有意义，求实数a 的取值范围；(2)当0a £时，()f x 值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()()101f x g x =+.解关于x 的不等式()22(2)g x tx t g x +-≥.【答案】(1)[)0,¥+(2)0(3)答案见解析【分析】（1）变换1193x x a æöæö>-ç÷ç÷èøèø，令13xu æö=ç÷èø，计算最值得到答案.（2）令()931x xh x a =×+-，()h x 的值域包含()0,¥+，考虑0a =和a<0两种情况，计算得到答案.（3）确定()3x g x =，函数单调递增，得到2220x tx t x +-≥>，考虑2t <-，2t =-，02t >>-，0t ≥几种情况，解得答案.【详解】（1）()0,1x Î，9310xxa ×+->，即1193x xa æöæö>-ç÷ç÷èøèø，令13xu æö=ç÷èø，113u <<，则2a u u >-恒成立，221124u u u æö-=--ç÷èø，()2max110u u-<-=，故0a ≥，a 的取值范围为[)0,¥+.（2）令()931x xh x a =×+-，()h x 的值域包含()0,¥+，①0a =时，()31xh x =-，其值域为()1,-+¥，满足条件；②a<0时，()931xxh x a =×+-，令3x t =，0t >，22111124y at t a t a a æö=+-=+--ç÷èø，函数为开口向下的抛物线，()h x 的值域为1,14a æö-¥--ç÷èø，不满足条件；综上所述：0a =.（3）()lg(31)x f x =-，定义域为()0,¥+，()()1013f x x g x =+=，函数单调递增，2(2)(2)g x tx t g x +-≥，即2220x tx t x +-≥>，即()()()22220x t x t x x t +--=-+≥，且0x >，①当2t <-时，解集为{02x x <£或}x t >-；②当2t =-时，解集为{}0x x >；③当02t >>-时，解集为{0x x t <£-或}2x ≥；④当0t ≥时，解集为{}2x x ≥；【变式4】已知函数 ()221x xaf x -+=+是定义域为R 的奇函数.(1)求()f x 并判断 ()f x 的单调性；(2)解关于 x 的不等式()()()()22log 2log 20f x f x ++->.【答案】(1)21()21x x f x -+=+，()f x 在R 上单调递减；(2)．【解析】（1）由题意1(0)011af -+==+，1a =，此时21()21x x f x -+=+，2112()()2112x xx xf x f x ---+-+-===-++，()f x 是奇函数，设任意两个实数12,x x 满足12x x <，则122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以2122x x >，所以21220x x ->，又12120,120x x +>+>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减；（2）因为()f x 是奇函数，因此原不等式化为()()()()22log 2log 2f x f x +>--，又()f x 在R 上单调递减，所以不等式化为22log (2)log (2)x x +<--，即22log (4)0x -<，所以2041x <-<，又20,20x x ->+>，故解得2x <<所以原不等式的解集为．题型7 复合函数性质的综合应用数()f x 图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则51i i x ==å（ ）．A ．0B ．5C ．6D ．10【答案】B 【分析】由题意可得，函数()g x 与函数()f x 的图像都关于点()1,0对称，有152x x +=，242x x +=，31x =，可求和.【详解】∵()1f x +为奇函数，函数图像关于原点对称，且()1f x +是由()f x 向左平移1个单位长度得到，∴()f x 的图像关于点()1,0对称，对于函数())ln =h x x ，定义域为R ，有()()))ln ln ln10h x h x x x -+=+==，∴函数()h x 为奇函数，其图像关于原点对称，∴函数()()()1ln 1g x h x x ù=-=-úû的图像关于点()1,0对称，∴152x x +=，242x x +=，31x =，∴515i i x ==å．故选：B ．【变式1】【多选】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()10f =B ．()30f =C ．()20f =D ．()00f =【答案】AB【分析】由条件判断函数的对称性，即可判断选项.【详解】由条件可知，()()22f x f x -=+，函数关于2x =对称，()()11f x f x -+=-+，所以函数关于点()10，对称，因为函数的定义域为R ，所以()10f =，因为函数关于直线2x =对称，所以()30f =，所以AB 正确.故选：AB【变式2】【多选】已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()f x 为偶函数，当[]0,1x Î时，()21f x x =-+，则以下结论正确的有（ ）A ．点()1,0-不是()f x 的图象的对称中心B ．x "ÎR ，()()4f x f x +=C ．当[]5,7x Î时，()21235f x x x =-+D ．91053f æö=ç÷èø【答案】BCD【分析】利用函数对称性和奇偶性可得出()()20f x f x ++-=，进一步推导可判断B 选项；利用()()()2f x f x f x -=-=--结合函数对称性的定义可判断A 选项；利用函数对称性和周期性求出函数()f x 在[]5,7上的解析式，可判断C 选项；利用周期性计算可得出103f æöç÷èø的值，可判断D 选项.【详解】对于B 选项，因为()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -=-+，即()()110f x f x -++=，()()20f x f x ++-=，又因为()f x 为偶函数，则()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，所以，()()()42f x f x f x +=-+=，B 对；对于A 选项，()()()2f x f x f x -=-=--，即()()20f x f x -+-=，所以，点()1,0-是()f x 的图象的对称中心，A 错；对于C 选项，当10x -£<时，01x <-£，则()()()2211f x f x x x =-=--+=-+，所以，对任意的[]1,1x Î-，()21f x x =-+，所以，当[]1,3x Î时，121x -£-£，则()()()()2222121f x f x x x =--=--=--，故当[]5,7x Î时，[]41,3x -Î，所以，()()()224611235f x f x x x x =-=--=-+，C 对；对于D 选项，210102254133339f f f æöæöæöæö=-=-=--=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，D 对.故选：BCD.。

第一章集合与函数建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( )A．3 B．6C．7 D．82．下列五个写法，其中错误．．写法的个数为( )①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝Ø.A．1 B．2C．3 D．43．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值的集合可以表示为( )A．M∪F B．M∩FC．∁M F D．∁F M4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于( )A．N B．MC．R D．Ø5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R 上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于( ) A．20－2x(0<x≤10)B．20－2x(0<x<10)C．20－2x(5≤x≤10)D．20－2x(5<x<10)7．用固定的速度向如图所示形状的瓶中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是 ( )8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y＝f(|x|); ②y＝f(－x);③y＝xf(x); ④y＝f(x)＋x.A．①③ B．②③C．①④ D．②④9．已知0≤x≤32，则函数f(x)＝x2＋x＋1( )A．有最小值－34，无最大值B．有最小值34，最大值1C．有最小值1，最大值19 4D．无最小值和最大值10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(|x|)的图象是 ( )c11．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)12．(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则52f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是( ) A.0 B.12C.1D.52二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，A ＝{a ，c ，d }，B ＝{b ，d ，e }，则ðU A ∩ðU B ＝________. 14．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1≤x <2}，则ðU (A ∩B )＝________.15．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上为减函数，则实数a 的取值范围为________． 16．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(ðU A )∪ (ðU B )；(3)写出(ðU A )∪(ðU B )的所有子集18．(12分)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且BA ，求a ，b 的值．19．(12分) 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．20．(12分)已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值．21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/时，其他主要参考数据如下：工具 途中速度 (千米/时) 途中费用(元/千米) 装卸时间(小时) 装卸费 用(元)汽车 50821 000火车100 4 4 1 800问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？ 22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围一、选择题1. C 解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故共有7个．2. C 解析：②③正确．3. B 解析：根式x －1＋x －2有意义，必须x －1与x －2同时有意义才可．4. A 解析：M ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－2}＝{y |y ≥－2}，故M ∩N ＝N . 5. D 解析：当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴ 当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴ (2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）.6. D 解析：C ＝20＝y ＋2x ，由三角形两边之和大于第三边可知2x >y ＝20－2x ，x >5； 由得.7. B 解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．8. D 解析：因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．①y ＝f (|x |)为偶函数；②y ＝f (－x )为奇函数；③令F (x )＝xf (x )，所以F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )·[－f (x )]＝xf (x )，所以F (－x )＝F (x )，所以y ＝xf (x )为偶函数；④令F (x )＝f (x )＋x ，所以F (－x )＝f (－x )＋(－x )＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]，所以F (－x )＝－F (x )，所以y ＝f (x )＋x 为奇函数．9. C 解析：f (x )＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，画出该函数的图象知，f (x )在区间[0，32]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝f (32)＝194.10. B 解析：因为y ＝f (|x |)是偶函数，所以y ＝f (|x |)的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．11. D 解析：由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (2)<f (－32)<f (－1)．12. A 解析：令x ＝－12，则－12 f (12)＝12 f (－12)，又∵ f (12)＝f (－12)，∴ f (12)＝0；令x ＝12，则12f (32)＝32 f (12)，得f (32)＝0；令x ＝32，则32 f (52)＝52 f (32)，得f (52)＝0；而0· f (1)＝f (0)＝0，∴ f ＝f (0)＝0，故选A. 二、填空题13. Ø 解析：ðU A ∩ðU B ＝ðU (A ∪B )，而A ∪B ＝{a ，b ，c ，d ，e }＝U .14. {x |x <1或x ≥2} 解析：A ∩B ＝{x |1≤x <2}，∴ ðU (A ∩B )＝{x |x <1或x ≥2}． 15. a ≤－2 解析：函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1－a ，则由题意知：1－a ≥3，即a ≤－2.16.11)(2-=x x f 解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴21111()()2111f x x x x =+=----．三、解答题17.解：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得，ðU A ＝{－5}，ðU B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(ðU A )∪(ðU B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(ðU A )∪(ðU B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.18.解：(1)当B ＝A ＝{－1,1}时，易得a ＝0，b ＝－1.(2)当B 含有一个元素时，由Δ＝0得a 2＝b . 当B ＝{1}时，由1－2a ＋b ＝0，得a ＝1，b ＝1； 当B ＝{－1}时，由1＋2a ＋b ＝0，得a ＝－1，b ＝1. 19.解：(1)∵ f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴ f (x )的最小值是f (1)＝1.又f (12)＝54，f (3)＝5，∴ f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵ g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴ m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． 20.解：f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a22＋2－2a .(1)当a2<0，即a <0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得a ＝1－2或a ＝12（舍去）.(2) 当0≤a 2≤2，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝⎝⎛⎭⎫a 2＝2－2a ＝3，解得a ＝－12(舍去)．(3) 当a2>2，即a >4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得a ＝5＋10或a ＝510（舍去）.综上可知：a 的值为1－2或5＋10.21.解：设甲、乙两地距离为x 千米(x >0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2.由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：工具途中及装卸费用途中时间汽车8x＋1 000x50＋2火车4x＋1 800x100＋4于是y1＝8x＋1 000＋(x50＋2)×300＝14x＋1 600，y2＝4x＋1 800＋(x100＋4)×300＝7x＋3 000.令y1－y2<0得x<200.①当0<x<200时，y1<y2，此时应选用汽车；②当x＝200时，y1＝y2，此时选用汽车或火车均可；③当x>200时，y1>y2，此时应选用火车．故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．22.解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3.(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8).又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴解得2<x≤4.∴x的取值范围为(2,4]。

§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是( )2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是( )A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点( )A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为( )A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为( )A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A．k<0或k>4B．0≤k<4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x)等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x )C.1f xD.1f －x2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( ) A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞) 6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (x －a )＋f (x ＋a )(0<a <12)的定义域为( )A ．∅B ．[a,1－a ]C ．[－a,1＋a ]D ．[0,1]13．已知函数(1)求f (－3)，f [f (－3)]；(2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若f (a )＝12，求a 的值．否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C [C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C [值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C [当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A [当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a＝ 3.]5．B [由－1≤x2≤4，得x2≤4，∴－2≤x≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx2＋kx＋1≠0对任意实数x恒成立，当k＝0时，1≠0恒成立，∴k＝0符合题意．当k≠0时，Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4，综上，知0≤k<4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝x －＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12) 解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎨⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4， 又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25. 11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.] 13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5， ∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

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高一数学必修一第一章集合与函数测试题及答案（120分钟）一、选择题（每小题5分，共计50分） 1. 下列命题正确的是（ )A ．很小的实数可以构成集合。

B ．集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合。

C ．自然数集N 中最小的数是1.D ．空集是任何集合的子集。

2.函数2()f x ( ）A. 1[,1]3- B 。

1(,1)3- C 。

11(,)33- D. 1(,)3-∞- 3. 已知{}{}22|1,|1==-==-M x y x N y y x ， N M ⋂等于（ ）A. N B 。

M C.R D.∅4。

下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ）A ．2()1,()1x f x x g x x=-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+C．2(),()f x x g x = D ．0()1,()f x g x x ==5。

已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为 （ ) A 。

13 B.13- C.7 D 。

7-6。

复合函数练习题2f (x )的定义域（）f (x)[0,1]1、已知函数的定义域为，求函数。

析：由已知，x ∈[0,1],故x ∈[-1,1]。

所以所求定义域为[-1,1]2、已知函数f (3-2x)的定义域为[-3,3]，求f (x)的定义域（）析：由已知x 的范围为[-1,1],那么3-2x 的范围为[1,5],从而f (x )的定义域为[1,5]3、已知函数y =f (x +2)的定义域为(-1,0)，求f (|2x -1|)的定义域（）。

2由f (x +2)的定义域可知f (x )的定义域为(1,2),则求f (2x -1)的定义域应满足析：132x -1∈(1,2),解得x ∈(-,1)⋃(1,)224、设f (x )=lg 2+x ⎛x ⎫⎛2⎫，则f ⎪+f ⎪的定义域为（）2-x ⎝2⎭⎝x ⎭A.(-4,0)Y (0,4)B.(-4,-1)Y (1,4)C.(-2,-1)Y (1,2)D.(-4,-2)Y (2,4)2+x 由已知，>0，即(2+x )(2-x )>0,得-2<x <2.那么由题意应有2-x析：⎧-2<x <2-4<x <4⎪⎧2,解得⎨,综上x ∈(-4,-1)⋃(1,4),选B ⎨2⎩x <-1或x >1⎪-2<<2x ⎩5．函数y ＝log 1（x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（）2A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，3）2D ．（3，＋∞）2析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。

对于对数型复合函数，应先求定义域，即x 2-3x +2>0,得定义域为(-∞,1)⋃(2,+∞).1由于外函数是以0<<1为底，故为减函数。

则求y 的减区间，只需要求内函数的增23区间。

内函数为t =x 2-3x +2，其对称轴为x =,在函数y 的定义域内，t 在(2,+∞)上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.（1）y =a -x 2+3x +2(a >1)；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。