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高中数学必修4(必修四)课件第一章：三角函数

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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件

2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件

建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4

sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)

高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象

高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象

[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z

.

(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．

高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系

高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系

互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角

高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角

S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋

高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)

1.4.1
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T

-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k

2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k

2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2

o -1
2

3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？

高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)



tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?

高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件

第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.

高中数学 第一章 三角函数 1.7.1-1.7.2 正切函数的定义、正切函数的图像与性质课件 北师大版必修4


K12课件
7
做一做3 已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终 边( ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上
解析:由题意可知tan α=±1,所以角α的终边在直线y=x或y=-x上.故
选D. 答案:D
K12课件
8
三、正切函数的图像
根据正切函数的定义域,我们可选择区间
+
3π 4
,������∈Z
解析:y=tan π -������ =-tan ������- π ,因此,应有 x-π≠kπ+π(k∈Z),即
4
4
4
2
x≠kπ+34π(k∈Z).
答案:D
K12课件
12
做一做 6
函数 f(x)=tan
������ + π
4
的单调增区间为
A. ������π- π ,������π + π ,k∈Z
22
θ=
.
答案: 3 做一做 2 若角 α 的终边上有一点 P(2,x),且 tan α=-3,则 x 的值等于
()
A.6
B.-2
3
答案:D
C.2
D.-6
3
K12课件
6
二、正切线 如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意 角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边 或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第 三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位 于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终 边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为 角α的正切线.
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思考1 在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观 察这三个角终边之间的关系和角的大小关系. 答 终边相同，并相差360°的整数倍. 思考2 对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？ 答 所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与整数个周角的和.
角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是
.如果
角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何第一几个象象限限角.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β
＝
}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成
角α与
的和.
α＋k·360°，k∈Z
整数个周角
探要点·究所然
情境导学
思考1 象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如 果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？ 答 不行，因为始边包括端点(原点).
思考2 是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落 在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的 角，请完成下表. 答 不是，因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终 边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇 到其他角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常 听到“转体1080°”、“踺子后手翻转体 180°接前直空翻 540°”等这样的解说.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够 的，我们必须将角的概念进行推广.
探究点一 角的概念的推广
思考1 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发 的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具 有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？ 正角、负角、零角是怎样规定的？ 答 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角， 射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫 做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.
终边所在的位 置
x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
角的集合
{α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α终边所在的 象限
例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解 所有与90°终边相同的角构成集合 S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}. 所有与270°角终边相同的角构成集合 S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}. 于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2 ＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}.
角α的集合
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第一象限
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第二象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第三象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
第四象限
探究点三 终边相同的角
思考3 集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边 相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45° ＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？ 答 330°；第一或第三象限的角平分线上.
例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它 们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－ 150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角. (2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边 相同的角是290°角，它是第四象限角. (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内， 与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
(1)角的概念：角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个
位置
到另一个位置所成的图形.
旋转
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型
定义
按 正角
逆时针方向旋转
的角
形成
按 顺时针方向旋转
形
负角
成的角
一条射 没有作任何旋转
零角 线
，称
它形成了一个零角
图示
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，
反思与感悟 解答本题可先利用终边相同的角的关系β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利 用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.
跟踪训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 016°. 解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角. (2)－2 016°＝－6×360°＋144°，∴－2 016°与144°终边相同. ∴－2 016°是第二象限角.
思考2 如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则 β、－α、－β、γ分别等于多少度？ 答 －240°；－120°；240°；480°.
思考3 经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角. 答 经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角 是－3 600°.
探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角
第一章 三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数
§1.1 任意角和弧度制
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
探要点
03 究所然
当堂测
查疑缺 04
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角.
填要点·记疑点
1.角的概念