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四川省对口升学考试研究联合体第一次模拟考试数学试卷姓名准考证号本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)㊂第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页,共4页㊂考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷㊁草稿纸上答题无效㊂满分150分㊂考试时间120分钟㊂考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑㊂2.第Ⅰ卷共1大题,15小题,每小题4分,共60分㊂一㊁选择题(本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1.集合M={x|-1ɤxɤ10},N={x|xɤ1或xȡ7},则MɘN等于()A.{x|7<x<10}B.{x|-1ɤxɤ1或7ɤxɤ10}C.{x|-1ɤxɤ1}D.{x|1ɤxɤ10}2.函数f(x)=4x|x|,则f(x)是()A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3.已知a>0,b>0,c<0,则二次函数f(x)=a x2+b x+c的顶点在第象限.()A.一B.二C.三D.四4.已知π4<α<π2,则下列不等式正确的是()A.s i nα<c o sα<t a nαB.c o sα<s i nα<t a nαC.t a nα<c o sα<s i nαD.c o sα<t a nα<s i nα5.若{a n}是等差数列,且S20=200,则a7+a14等于()A.40B.10C.20D.306. 两直线没有公共点 是 两直线异面 的条件.()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要7.已知函数f(x)=l o g a(x+3),则函数f(x)的图像恒过定点()A.(1,0)B.(0,1)C.(-3,0)D.(-2,0)8.已知a=(s i nα-1,c o sα+1),b=(s i nα+1,c o sα-1),则|a+b|等于()A.1B.2C.4D.89.过点P (2,1)与圆x 2+y 2=5相切的直线方程为( )A.x +2y +5=0B .x +2y -5=0C .2x +y -5=0D.2x +y +5=010.a -12b æèçöø÷8的展开式中的所有项系数和为( )A.28B .2-8C .0 D.111.某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方法有种.( )A.14B .24C .28D.4812.在әA B C 中,A B =4,øA B C =60ʎ,B C =6,则A C 为( )A.28B .76C .27 D.7613.一中职学校为了了解教师的教学情况,拟采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行评教.已知该校高一,高二,高三年级的学生人数分别为600,500,400,则三个年级抽取的人数分别为( )A.12,18,15B .18,15,12C .18,12,15 D.15,15,1514.把两个半径为1的铁球,熔化成一个球,这个球的半径为( )A.2B .2C .32 D.123415.从长度为1,3,5,7,9个单位的5条线段中任取3条作边,能组成三角形的概率为( )A.15B .25C .12D.310第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项:1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区内作答㊂作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚㊂答在试卷㊁草稿纸上无效㊂2.第Ⅱ卷共2大题,11小题,共90分㊂二㊁填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)16.过点A (3,-2)且与直线5x -y +3=0垂直的直线方程为.17.1-t a n 12ʎt a n 18ʎt a n 12ʎ+t a n 18ʎ=.18.直线3x +y -23=0截圆x 2+y 2=4所得劣弧所对的圆心角为.第20题图19.已知函数f (x )=3x +1(x ɤ0),l o g 2x (x >0),{则f (-1)=.20.某通信公司推出手机两种收费方式:A 种方式是月租20元,B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费x (元)的函数关系如图,当打出电话150(分钟)时,两种方式电话费相差元.三㊁解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或推演步骤)21.(本小题满分10分)求函数f (x )=l o g 3(x 2-2x -3)+16-x 2定义域.22.(本小题满分12分)已知在等比数列{a n }中,如果a 1+a 3=5,a 2+a 4=10.求:(1)首项a 1和公比q ;(2)该数列的前6项的和S 6的值.23.(本小题满分12分)四边形A B C D 中,B C ңʊA D ң,A B ң=(6,1),B C ң=(x ,y ),C D ң=(-2,-3).(1)求x 与y 的关系式;(2)若A C ңʅB D ң,求x ,y 的值.第23题图24.(本小题满分12分)已知函数f (x )=c o s 4x -2s i n x c o s x -s i n 4x .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)当x ɪ0,π2éëêêùûúú时,求函数f (x )的最小值及此时x 的值.25.(本小题满分12分)已知D是等腰直角әA B C斜边的中点,A B=6,P是平面A B C外一点,P Cʅ平面A B C,D EʅP B于E,D E=1.(1)求证:A Dʅ平面P B C;(2)求二面角A P B C的大小.第25题图26.(本小题满分12分)已知椭圆方程为x22+y2=1,直线l的倾斜角为60ʎ,且过椭圆的左焦点F1,直线l和椭圆相交于M,N两点.求:(1)直线l的方程;(2)|MN|的长.四川省对口升学考试研究联合体第一次模拟考试数学试卷参考答案一㊁选择题(本大题共15小题,每小题4分,共60分)1.B ʌ提示ɔM ɘN ={x |-1ɤx ɤ10}ɘ{x |x ɤ1或x ȡ7}={x |-1ɤx ɤ1或7ɤx ɤ10}.2.B ʌ提示ɔȵf (-x )=4ˑ(-x )ˑ|-x |=-4x |x |=-f (x ),ʑf (x )是奇函数.3.C ʌ提示ɔȵx =-b 2a <0,y =4a c -b24a<0,ʑ顶点在第三象限.4.B ʌ提示ɔ取α=π3,则c o s α=12,s i n α=32,t a n α=3,故c o s α<s i n α<t a n α.5.C ʌ提示ɔ由S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 1+a 20)=200得a 1+a 20=20,ʑa 7+a 14=a 1+a 20=20.6.B ʌ提示ɔ两直线没有公共点⇒/两直线异面,但两直线异面⇒两直线没有公共点.7.D ʌ提示ɔ当x +3=1即x =-2时,y =0,故函数f (x )过定点(-2,0).8.B ʌ提示ɔȵa +b =(2s i n α,2c o s α),ʑ|a +b |=(2s i n α)2+(2c o s α)2=2.9.C ʌ提示ɔȵk O P =12,k =-2,ʑ所求切线方程为y -1=-2(x -2),即2x +y -5=0.10.B ʌ提示ɔ当a =b =1时,所有项系数和为12æèçöø÷8=2-8.11.A ʌ提示ɔC 12C 34+C 22C 24=8+6=14.12.C ʌ提示ɔȵA C 2=A B 2+B C 2-2A B ㊃B C c o s B =28,ʑA C =27.13.B ʌ提示ɔȵ抽取比例为25,13,415,ʑ抽取人数分别为18,15,12.14.C ʌ提示ɔȵ43πR 3=83π,ʑR =32.15.D ʌ提示ɔ构成三角形的只有3,5,7和5,7,9和3,7,9.故P =3C 35=310.二㊁填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)16.x +5y +7=0 ʌ提示ɔȵ直线5x -y +3=0的斜率为5,ʑ所求直线斜率为-15,故所求直线方程为y +2=-15(x -3),即x +5y +7=0.17.3 ʌ提示ɔ由t a n 12ʎ+t a n 18ʎ1-t a n 12ʎt a n 18ʎ=t a n 30ʎ=33,得原式=3.18.60ʎ ʌ提示ɔȵ圆心到直线的距离为3,可求出弦长为2,ʑ弦长与半径构成等边三角形,即圆心角为60ʎ.19.1 ʌ提示ɔf (-1)=3-1+1=30=1.20.10 ʌ提示ɔ如题图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费差为线段B D 的长度,根据相似三角形的性质可得B D =10.三㊁解答题(本大题共6小题,共70分)21.(本小题满分10分)解:由题意得x 2-2x -3>0,16-x 2ȡ0,{ʑx >3或x <-1,-4ɤx ɤ4,{ʑ函数的定义域为{x |3<x ɤ4或-4ɤx <-1}.22.(本小题满分12分)解:(1)ȵa 1+a 3=5,a 2+a 4=10,ʑa 1(1+q 2)=5,a 1q (1+q 2)=10,{ʑa 1=1,q =2.{(2)S 6=1ˑ(1-26)1-2=63.23.(本小题满分12分)解:(1)ȵA B ң=(6,1),B C ң=(x ,y ),C D ң=(-2,-3),ʑA D ң=A B ң+B C ң+C D ң=(4+x ,y -2),又ȵB C ң//A D ң,ʑx =-2y .(2)ȵA C ң=A B ң+B C ң=(6+x ,1+y ),B D ң=B C ң+C D ң=(x -2,y -3),且A C ңʅB D ң,ʑA C ң㊃B D ң=0.ʑ(x +6)(x -2)+(y +1)(y -3)=0,即x 2+y 2+4x -2y -15=0,又ȵx =-2y ,ʑy 2-2y -3=0,ʑy =3或-1.ʑx =-6,y =3{或x =2,y =-1.{24.(本小题满分12分)解:(1)ȵf (x )=c o s 4x -2s i n x c o s x -s i n 4x=(c o s 2x +s i n 2x )(c o s 2x -s i n 2x )-s i n 2x=c o s 2x -s i n 2x=-2s i n 2x -π4æèçöø÷,ʑ函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π.(2)ȵx ɪ0,π2éëêêùûúú,ʑ-π4ɤ2x -π4ɤ3π4,ʑ-22ɤs i n 2x -π4æèçöø÷ɤ1.ʑ-2ɤ-2s i n 2x -π4æèçöø÷ɤ1,即-2ɤf (x )ɤ1,ʑ当2x -π4=π2,即x =3π8时,函数f (x )有最小值为-2.25.(本小题满分12分)(1)证明:ȵA B =A C ,D 为B C 的中点,ʑA D ʅB C .ȵP C ʅ平面A B C ,A D ⊂平面A B C ,ʑA D ʅP C .ȵB C ɘP C =C ,ʑA D ʅ平面P B C .(2)解:连接A E .ȵA D ʅ平面P B C ,P B ⊂平面P B C ,ʑP B ʅA D .ȵD E ʅP B ,A D ɘD E =D ,ʑP B ʅ平面A D E .ȵA E ⊂平面A D E ,ʑA E ʅP B .ʑøA E D 是二面角A P B C 的平面角,ȵA B =A C =6,øB A C =90ʎ,ʑB C =23,ʑA D =12B C =3.ȵA D ʅ平面P B C ,D E ⊂平面P B C ,ʑA D ʅD E .ʑ在R t әA D E 中,t a n øA E D =A D D E=3,ʑøA E D =60ʎ.ʑ二面角A P B C 的平面角的大小为60ʎ.26.(本小题满分12分)解:(1)ȵ椭圆方程为x 22+y 2=1,ʑa 2=2,b 2=1,ʑc 2=a 2-b 2=1,即c =1,ʑ左焦点F 1(-1,0).ȵα=60ʎ,ʑk =t a n α=t a n 60ʎ=3,ȵ直线l 过点F 1(-1,0),ʑ直线l 的方程为y =3(x +1),即3x -y +3=0.(2)ȵy =3(x +1),①x 22+y 2=1,②ìîíïïïï把①代入②得x 22+3(x +1)2=1,ʑ7x 2+12x +4=0,设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),ȵx 1+x 2=-127,x 1㊃x 2=47,ʑy 1-y 2=3(x 1+1)-3(x 2+1)=3(x 1-x 2),ʑ|MN |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=4(x 1-x 2)2=4[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=2-127æèçöø÷2-4ˑ47=872.。
对口升学数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)答案：B2. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第5项。
A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 计算以下极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 以下哪个选项是二项式定理的展开式？A. \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)B. \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \)C. \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)D. \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \)答案：B5. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为-4，求b的值。
A. 4B. -4C. 2D. -2答案：B6. 计算以下定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：A7. 已知圆的方程为 \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \)，求该圆的半径。
A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A8. 计算以下二重积分：\[ \iint_{D} (x^2 + y^2) dxdy \]其中D是由x=0，y=0，x+y=1构成的区域。
四川省2015年普通高校职教师资和高职班对口招生统一考试信息技术二类专业综合本试卷分第I 卷(选择、判断题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至6页．第Ⅱ卷6至11页，共11页。
考生作答时。
须将答案答在答题卡上．在本试卷和草稿纸上答题无效。
满分350分。
考试时间150分钟。
考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择、判断题共150分)注意事项:1．必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2．本部分共2个大题，其中单项选择题共25小题，每小题4分，共100分；判断题共25个小题，每小题2分．共50分。
一、单项选择题(共25小题．每小题4分．共l00分。
每题所给的四个选项中。
只有一个正确答案。
请在答题卡上将该项涂黑)1．小球自由下落．不考虑空气阻力．在第ls 末和第3s 末的动能之比为( )。
A ．1:2B ． l:2C ．1:4D ． 1:9 2．以下说法不正确的是( )。
A ．同一运动选择不同的参考系，观察结果可能会有所不同B ．由于仪器结构上的不完善所产生的误差属于系统误差C ．若测量结果为1.30，则有效数字为3位D ．物理实验中的误差是可以避免的3．两球相向运动发生正碰，碰撞后两球均静止。
因此．可以判定在碰撞之前，( )。
A ．两球的质量相等 B ．两球的速度大小相同 C ．两球的动量大小相等 D ．两球的动能相等 4．图l 所示电路中，A 点电位为( )。
A ．－3V B ． 4V C ．5V D ． 6V5．R 1和R 2为两个串联电阻且正常工作，已知R 1＝R 2，R 1消耗的功率为5W ， 则R 2消耗的功率为( )。
A ．5WB ． l0WC ．1WD ．不确定6．电源电动势是5V ，内电阻是0.5Ω。
当外电路短路时，电路中电流和端电压分别是( )。
A ．0A ，5V B ．10A ，5V C ．l0A ，0V D ．0A ，0V7．视在功率S 、有功功率P 和无功功率Q 三者的关系式正确的是( )。
四川省2015年普通高校单独招生考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．设全集{}{}{},,,,,,,I a b c d A b c B a c ===,则()I C A B =U ( )A ．{},,,a b c d ； B ．{},,a c d ； C ．{},c d ； D ．{},,b c d2．a<b<0，下列不等式错误的是( ) A. |a|>|b| B.-a>-b C.a 3>b 3 D. a 2>b 2 3．(2)(3)0x x -+=是2x =的（ ）条件。
A ．充分且不必要；B ．必要且不充分；C ．充要；D ．既不充分也不必要 4．二次函数221y x x =-+的单调递减区间是（ ）A ．[0,)+∞；B ．(,)-∞+∞；C ．(,1]-∞；D ．[1,)+∞ 5．设自变量x R ∈，下列是偶函数的是（ ） A ．34y x =+； B ．223y x x =++； C ．cos y α=； D ．sin y α=6．函数y = ）A ．{}2x ≥； B ．{}2x >； C ．{}2x ≤； D ．{}2x <7．已知等差数列1,1,3,5,,---L则89-是它的第（ ）项A ．92；B ．46；C ．47；D ．458．已知11(,4),(,)32a b x =-=r r ，且//a b r r ，则x 的值是（ ）A ．6；B ．—6；C ．23-；D ．16-9．圆方程为222440xy x y ++--=的圆心坐标与半径分别为（ ）A ．(1,2),3r -=；B ．(1,2),2r -=；C ．(1,2),3r --=；D ．(1,2),3r -=10．五个人拍照，甲只能站中间，有多少种站法？( ) A. 120种 B. 24种 C. 48种 D. 60种二、填空题（每小题4分，共12分）11. 在等比数列{}n a 中,若1420a a ⋅=,则23a a ⋅=___________;12. 若6log 2x =-,则x =________________;13. 在正方体''''ABCD A B C D -中,二面角'D BC D --的大小是___________;三、解答题（共38分）14.（12分）函数f(x)=x 2-3x+c(c 为常数)经过点(1,2)， ⑴求函数解析式.⑵求不等式f(x)≤4x+1的解.15.（13分）已知函数y=1+2sinxcosx. ⑴求函数的最小正周期；⑵当x ∈[62-ππ，]时，求最大值和最小值16.（13分）求过点(2,3)-,且平行于直线3570x y +-=的直线方程.。
数学试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}{}2,05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B =（ ）A. {}02x x <<B. {}02x x <≤C. {}02x x ≤<D. {}02x x ≤≤2.函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是（ ）A.π2B. πC. 2πD. 4π3.已知复数2iz x i+=-为纯虚数，其中i 虚数单位，则实数x 的值为（ ） A ．－12 B. 12C. 2D. 1 【答案】B4.已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为（ ）A.3 B. 3- C.33 D. 33-5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则说法正确的是（ ）A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】C 【解析】试题分析：由图可得，平均数都为6，所以A 错；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，所以B 错；甲的方差为2，乙的方差为125，所以C 正确. 考点：统计及样本数据的基本数字特征.6.如图程序运行后,输出的值是（ ）A ．-4B . 5 C. 9 D . 14A=5B=9x=A-BIF A>B THEN x=A+B (END IF). PRINT xEND7.设实数x和y满足约束条件1024x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y=+的最小值为（）A．26B．24C．16D．148.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A.15 B.25 C.35 D.459.已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-C ．33D 33【答案】B 【解析】试题分析：因为()a ab ⊥+，所以2()93||cos 0,||cos 3a a b a a b b b θθ+=+=+=∴=-. 考点：向量的相关概念及运算.10.已知函数1,0()ln ,0.x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[()1]y f f x =+的零点个数（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为4:3:2，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本容量=n ．13.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 3．【答案】24322 正视图侧视图俯视图15.已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是 . 【答案】4(1,]3（Ⅱ）证明有关数列前n 项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（Ⅰ）可得：n n a b n n 1)2(21log 212=--=-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=+=+21121)2(12n n n n b b n n .这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.17.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且有(2)cos cos a c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值.【答案】(1) 4B π=；(2) tan()74A π+=.【解析】(2)8cos 21cos 05m n A A ⋅=+-=24(cos )cos 05A A ∴-= cos 0A ∴=或者4cos 5A =. 当cos 0A =时，0m =（舍去）；当4cos 5A =时，3tan tan 1344tan ,tan()73441tan tan 144A A A A πππ++=+===--.………………12分 考点：1、三角变换；2、正弦定理与余弦定理；3、向量.18.（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，ABCD PD 底面⊥，点E 在棱PB 上.（1）求证：平面⊥AEC 平面PDB ；（2）当22==AB PD ，且31=-PED A V 时，确定点E 的位置，即求出EBPE 的值.B EPD CA19.（本题满分12分）成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。
机密★启用前四川省2015年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试数学本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1－2页，第II 卷第3－4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在考试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．2.第I卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分．一、选择题：（每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则A∩B＝A． B．{3}C．{1,2} D．{1,2,3,4,5}2.与340°角终边相同的是A．－160°B．－20°C．20°D．160°3.函数f(x)＝1x－2的定义域为A．{x∈R|x≠2} B．{x∈R|x＜2}C．{x∈R|x≥2} D．{x∈R|x＞2}4.已知甲、乙两组数据的平均数都是10，甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.8，则A．甲组数据比乙组数据的波动大B．甲组数据比乙组数据的波动小C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较5.抛物线y2＝4x的准线为A．x＝2 B．x＝－2C．x＝1 D．x＝－16.已知y＝f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝3，f(－2)＝－5，则f(－1)＋f(2)＝A．－2 B．－1C．1 D．27.已知直线x＋5y－1＝0与直线ax－5y＋3＝30平行，则a＝A．－25 B．－1职教数学试卷第1页(共7页)数学试卷 第2页(共7页)C ．1D ．258.已知正四棱锥的高为3，底面边长为2，则该棱锥的体积为 A ．6 B ．3 2 C ．2 D ． 29.如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝6，那么a 1＋a 2＝ A ．2 B ．4 C ．6 D ．810.从10人的学习小组中选出正、副组长各一人，选法共有 A ．30种 B ．45种 C ．90种 D ．100种11.“x ＜2”是“x 2－x －2＜0”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12.以点(1,－2)为圆心，且与直线x －y －1＝0相切的圆的方程是 A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 13.某函数的大致图像如右图所示，则该函数可能是A ．y ＝3－x B ．y ＝3xC ．y ＝－3xD ．y ＝－3－x14. 已知α∈[π2,π]，cos α＝35，则tan α＝A ．2B ．12C ．－12D ．－215. 设α为非零向量，λ为非零实数，那么下列结论正确的是A ．α与－λα方向相反B ．|－λα|≥|α|C ．α与λ2α方向相同D ．|－λα|＝|λ|α第II卷（非选择题共90分）注意事项：1.非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．答在试题卷上无效．2.本部分共2个大题，11个小题．共90分．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）16.已知向量a＝(1,2)，那么|a|＝____．17.log28的值为____．18.二项式(x＋1x)6展开式中的常数项为____．(用数字作答)19.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为2，则a＝____．20.已知某电影院放映厅共有6排座位，第1排座位数为10，后面每排座位数比前面一排多2，则该电影院放映厅的座位总数为____．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21.(本小题满分10分)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n，求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．22.(本小题满分10分)已知向量a＝(2,3)，b＝(2,－10)．(I)求2a＋b；(II)证明：a⊥(2a＋b)．23.(本小题满分12分)已知点A(0,2)，B(－2,2)．(I)求过A、B两点的直线l的方程；(II)已知点A在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，且(I)中的直线l过椭圆C的左焦点，求椭圆C的标准方程．24.(本小题满分12分)某商品的进价为每件50元．根据市场调查，如果售价为每件50元时，每天可卖出400件；商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件．设每件商品的售价定为x元(x≥50,x∈N)．数学试卷第3页(共7页)(I)求每天销售量与自变量x的函数关系式；(II)求每天销售利润与自变量x的函数关系式；(III)每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？25.(本小题满分13分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3，底面Rt△ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝2，D为BC的中点．(I)证明：AB⊥平面BCC1B1；(II)求二面角C1－AD－C的大小．26.(本小题满分13分)已知△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝5，c＝23，A＝2π3．(I)求sin C的值；(II)求5sin2C＋2sin(C＋π4)．AA1B1C1BCD数学试卷第4页(共7页)数学试卷第5页(共7页)数学试卷第6页(共7页)数学试卷第7页(共7页)。
成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题数学（理科参考答案）提示：9．构造函数()()x f x g x e=，则2()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''--'==， ∵任意x R ∈均有()()f x f x '>，并且0x e >，∴()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R 上单调递减，也就是20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><故选C.10. 不妨设a b ≤，122222221b c a b b b b b c b +<=+≤+=⇒<≤+， ,b c Z ∈，1c b ∴=+，1222b a b +∴=+1a b c ⇒==-．a b t c +∴=22c=-. ,a t Z ∈，1,2c ∴=±±，0,1,3,4t ∴=，故2max 2(log )log 42t ==．15．②④由题，“可平行性”曲线的充要条件是：对域内1x ∀都21x x ∃≠使得12()()f x f x ''=成立．①错，12(2)y x x '=-+，又1212112(2)2(2)x x x x -+=-+ 1212x x ⇔=，显然1x =时不满足；②对，由()()()()f x f x f x f x ''=--⇒=-即奇函数的导函数是偶函数，对10x ∀≠都21x x ∃=-使得12()()f x f x ''=成立（可数形结合）；③错，2()32f x x x a '=-+，又当时，2211223232x x a x x a -+=-+2212123()2()x x x x ⇔-=-1223x x ⇔+=,当11=3x 时不合题意；④对，当0x <时，()(0,1)x f x e '=∈，若具有“可平行性”，必要条件是：当0x >时，21()1(0,1)f x x'=-∈，解得1x >，又1x >时，分段函数具有“可平行性”，1m ∴=（可数形结合）． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 52115,51020a a d S a d =+=-=+=-．联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得161a d ⎧⎨⎩=-=． ∴ 6(1)17n a n n =-+-⋅=-． n N *∈ ……………6分 （Ⅱ）7n a n =-，∴1()(13)22n n a a n n n S +-== ． 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ， ……………10分 解得1n <或14n >．又*n ∈N ，∴14n >．n ∴的最小值为15． ……………12分17．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，即222a b c ab +-=．①结合0C π<<，得3C π=． …………………………………………………6分 （Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ，∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． ………………………………………………8分若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π， 于是b=ctanB=2tan 6π，∴ S △ABC =12． ……………………10分若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．②联立①②，结合c=2，解得∴ S △ABC =12absinC=12．综上，△ABC 12分（Ⅱ）连CE ，过F 作FH CE ⊥于H .由于//FH PE ，故FH ABCD ⊥面.过H 作HM BE ⊥于M ，连FM .则FM BE ⊥，即FMH ∠为二面角F BE C --的平面角. 60,FMH FH ∴∠==．23FH PE =，1233MH BC AE == PE ∴=．………………10分1,AE PE =∴=在Rt PBE ∆中，3BE =， tan PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=． ∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分解法二：以E 为坐标原点，,,EB ED EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． (0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C2CF FP = ，22(1,,)33F m ∴． ………………7分设平面BEF 的法向量1(,,)n x y z =，由00n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1n =(0,,1)m -． 又面ABCD 法向量为2(0,0,1)n =．由1212cos 60n n nn ⋅=⋅ ， 解得m =． ………………10分在Rt PBE ∆中，3BE =， tan PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=． ∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分19．解：（Ⅰ）由直方图知： (200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………………4分 （Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道：[15,25)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中1人不赞成．[25,35)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中2人不赞成． ………………6分 X 的所有可能取值为0,1,2,3．338733995(0)18C C P X C C ==⋅=，23312878273333999917(1)36C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=， 212321827827333399992(2)9C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，21287233991(3)36C C C P X C C ==⋅=．……………10分 X ∴的分布列为012311836936EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分20．(Ⅰ)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ………………3分 （Ⅱ）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分(Ⅲ)解 设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧ x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧ x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t ＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1. 当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. ………………13分 21．解：(Ⅰ)由题意得ln ()(1ln )x f x a x x ⋅=-⋅()(1)ln x f x ax x x ∴=-≠． ………………2分 ()f x 在(1,)+∞上是减函数，∴等价于2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立max 2ln 1()(ln )x a x -⇔≥．…………4分 222ln 1111111()()(ln )ln ln ln 244x x x x x -=-+=--+≤， 当且仅当11ln 2x =即2x e =时取到最大值． ∴1=4a ． ………………6分 （Ⅱ）题意等价于min max 1()(())4f x f x a '≤+=． 由(Ⅰ)知2111()()ln 24f x a x '=--+-． 2e x e ≤≤，∴1112ln x ≤≤．∴()f x '在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，且()f x '的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． ………8分 1 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，min 1()()4f x f e e ae ==-≤11-04a e⇒≥>与前提矛盾，无解． 2 当14a ≥时，()0f x '≤，()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减， 222min1()()24e f x f e ae ==-≤2111244a e ⇒≥->． ∴21124a e ≥-． 3 当104a <<时， ()y f x '=存在唯一零点20(,)x e e ∈，且 []0,x e x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，(20,x x e ⎤∈⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增， 0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ∴==-≤0011ln 4a x x ⇒≥-． 设211()()ln 4h x e x e x x =-<<，2111()()(ln )4h x x x x'∴=--， 211(,1)(ln )4x ∈，2111(,)444x e e ∈211()0()(ln )4h x h x x x '>∴<∴单减． 222111111111()ln 4ln 424244h x x x e e e ∴=->-=->-=． 00111ln 44a x x ⇒≥->与前提矛盾，无解． 综上所述，实数a 的取值范围是211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． ………………14分。
2015年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•成都模拟）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）（2015•成都模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”3．（5分）（2015•成都模拟）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）4．（5分）（2015•成都模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5 B．7 C．9 D．115．（5分）（2015•余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n6．（5分）（2015•成都模拟）二项式（+）10展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．3607．（5分）（2015•成都模拟）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=2B．∥C．=﹣D．⊥8．（5分）（2015•成都模拟）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的取值范围是（）A．[1，]B．[2，]C．[1，2]D．[0，]9．（5分）（2015•成都模拟）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线x﹣2y+4=0与C交于A、B两点，则sin∠AFB=（）A．B．C．D．10．（5分）（2015•成都模拟）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0．给出下列四个命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）（2015•南海区校级模拟）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为．12．（5分）（2015•成都模拟）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．13．（5分）（2015•岳阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）（2013春•衡水校级月考）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．15．（5分）（2015•成都模拟）给出下列命题：①函数y=cos（2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）（2015•成都模拟）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+ϕ0 π2πAsin（ωx+ϕ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．17．（12分）（2015•成都模拟）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率．（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望．18．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．19．（12分）（2015•成都模拟）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n （1）求a1（2）求数列{a n}的通项；（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．20．（13分）（2015•成都模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点（，﹣），且椭圆的离心率e=．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．21．（14分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．2015年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•成都模拟）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]【考点】指数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由题意，可先化简两个集合，得，，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．【解答】解：由题意，，∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}∩{x|x＞﹣1}=（﹣1，2），故选C．【点评】本题考查求集合的交，解分式不等式，指数不等式，解题的关键是正确化简两个集合及理解交的运算．2．（5分）（2015•成都模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，则A错误．B．由x2﹣3x+2＞0，解得x＞2或x＜1，则“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故B 错误．C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题，故C正确．D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有量词的题目的真假判断．3．（5分）（2015•成都模拟）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】令f（x）=ln（x+1）﹣，得出f（1）f（2）＜0，从而得出答案．【解答】解：令f（x）=ln（x+1）﹣，而f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2），故选：B．【点评】他考查了函数的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题．4．（5分）（2015•成都模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】程序框图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S＜20，计算输出k的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3；第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5；第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7；第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；此时不满足条件S＜20，程序运行终止，输出k=9．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．5．（5分）（2015•余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）（2015•成都模拟）二项式（+）10展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．360【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：二项式（+）10展开式的通项公式为T r+1=•2r•，令5﹣=0，求得r=2，可得展开式中的常数项是•22=180，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7．（5分）（2015•成都模拟）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=2B．∥C．=﹣D．⊥【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量，共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．【解答】解：由+=，得若=﹣≠，即有=﹣，则，共线且方向相反，因此当因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立．对照各个选项，可得A项中向量、的方向相同，B项中向量，共线，方向相同或相反，C项中向量、的方向相反，D项中向量、的方向互相垂直故选：C．【点评】本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．8．（5分）（2015•成都模拟）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的取值范围是（）A．[1，]B．[2，]C．[1，2]D．[0，]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案．【解答】解：+=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则|+|=，设z=|+|=，则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即|+|的取值范围是[1，]，故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题．9．（5分）（2015•成都模拟）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线x﹣2y+4=0与C交于A、B两点，则sin∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先有抛物线方程求得F的坐标，进而直线方程与抛物线方程联立求得A，B的坐标，利用两点间的距离公式分别求得|AB|，|AF|，|BF|，利用余弦定理求得cos∠AFB，进而求得sin∠AFB．【解答】解：由抛物线方程可知，2p=4，p=2，∴焦点F的坐标为（0，1），联立直线与抛物线方程，求得x=﹣2，y=1或x=4，y=4，令A坐标为（﹣2，1），则B坐标为（4，4），∴|AB|==3，|AF|==2，|BF|==5，∴在△ABF中cos∠AFB===，∴sin∠AFB==，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系，余弦定理的应用等知识．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．10．（5分）（2015•成都模拟）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0．给出下列四个命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】①在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=﹣3，可得f（﹣3）=0，f（x）是R上的偶函数，从而可判断①；②由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，再利用f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），从而可判断②；③依题意知，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，利用f（x）的周期为6，且f（x）是R 上的偶函数，可判断函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，从而可判断③；④由题意可知，y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，从而可判断④．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），即f（﹣3）=0，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，即①正确；②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0，所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，故③错误；④：f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，所以：y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+4，所以，函数y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，故④错误．故正确命题的个数为2个，故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）（2015•南海区校级模拟）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．【解答】解：∵|4+3i|=．由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，即z=．∴z的虚部为．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）（2015•成都模拟）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征，根据四棱锥的左视图为直角三角形，得到四棱锥的高即可求出它的体积【解答】解：由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，若该四棱锥的左视图为直角三角形，则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，∵B0=1，∴PO=BO=1，则它的体积为．故答案为：．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力．13．（5分）（2015•岳阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，分别求出甲、乙都不选、甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论．【解答】解：甲、乙都不选时，有=60种；甲、乙两个专业选1个时，有=120种，根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．【点评】本题考查计数原理的运用，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．14．（5分）（2013春•衡水校级月考）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．【考点】等差数列的性质；点到直线的距离公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．【解答】解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．【点评】本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．15．（5分）（2015•成都模拟）给出下列命题：①函数y=cos（2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为①②（写出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】①由x=时，y=﹣1，可得结论；②利用函数图象，求解；③根据图象的平移规律可得结论；④根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，可以判断．【解答】解：①函数y=cos（2x﹣），x=时，y=﹣1，所以函数y=cos（2x﹣）图象的一条对称轴是x=，正确；②在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2（x﹣）+]，即y=sin（2x﹣）的图象，故不正确；④sinx+cosx=sin（x+）≤＜，故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：①②．【点评】本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）（2015•成都模拟）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+ϕ0 π2πAsin（ωx+ϕ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x1、x2、x3；（Ⅱ）由函数图象平移求得，求出最高点和最低点的坐标，进一步求出三角形OPQ的边长，由余弦定理求得∠OQP的大小．【解答】解：（Ⅰ）由表可知，+φ=，+φ=，解得，ω=，φ=．由x1+=0、x2+=π、x3+=2π，得，，．∴；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，∵P、Q分别为该图象的最高点和最低点，∴．∴OP=2，PQ=4，，∴．∴．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，考查了余弦定理的应用，训练了五点作图法，是中档题．17．（12分）（2015•成都模拟）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率．（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意利用互斥事件加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率．（2）由题意知某两人可获得优惠金额X的可能取值为400，500，600，700，800，1000．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为：．（2）由题意知某两人可获得优惠金额X的可能取值为400，500，600，700，800，1000.，，，，，，综上可得X的分布列为：X 400 500 600 700 800 1000PX的数学期望．【点评】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力．18．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．19．（12分）（2015•成都模拟）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n （1）求a1（2）求数列{a n}的通项；（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）a2n+a n=2S n中令n=1求a1（2）又a2n+a n=2S n有a2n+1+a n+1=2S n+1，两式相减得并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，数列{a n}是以a1=1，公差为1的等差数列，以此求数列{a n}的通项；（3）由（2）得出a n=n，利用放缩法求证：T n＜．【解答】解：（1）令n=1，得a12+a1=2S1=2a1，∵a1＞0，∴a1=1，（2）又a2n+a n=2S n，有a2n+1+a n+1=2S n+1，两式相减得并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}是以a1=1，公差为1的等差数列，通项公式为a n=1+（n﹣1）×1=n；（3）n=1时b1=1＜符合…（9分）n≥2时，因为==2（﹣）所以T n=b1+b2+…b n＜1+2（++…+﹣）=1=∴T n＜．【点评】本题考查等差数列的判定与通项公式求解，不等式的证明，是数列与不等式的结合．20．（13分）（2015•成都模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点（，﹣），且椭圆的离心率e=．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知得，，由此能求出椭圆的方程．（2）当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则BD：y=0．直线PQ恒过一个定点；当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x﹣1）（k≠0），BD：．联立方程组，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线PQ恒过一个定点．【解答】（1）解：由，得，即a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2．…（1分）由椭圆过点知，．…（2分）联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3．…（3分）故椭圆的方程是．…（4分）（2）证明：直线PQ恒过一个定点．…（5分）椭圆的右焦点为F（1，0），分两种情况．1°当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则BD：y=0．由椭圆的通径得P（1，0），又Q（0，0），此时直线PQ恒过一个定点．…（6分）2°当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x﹣1）（k≠0），则BD：．又设点A（x1，y1），C（x2，y2）．联立方程组，消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（8分）所以．．．…（10分）由题知，直线BD的斜率为﹣，同理可得点．…（11分）．，…（12分）即4yk2+（7x﹣4）k﹣4y=0．令4y=0，7x﹣4=0，﹣4y=0，解得．故直线PQ恒过一个定点；…（13分）综上可知，直线PQ恒过一个定点．…（14分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过一个定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（14分）（2015•成都模拟）已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数即为g′（x）≥0，x＞0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=，讨论①若1＜t，②若＜t≤2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证．【解答】解：（1）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）=+2x﹣a由题意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+）min．又x＞0，2x+，当且仅当x=时等号成立．故（2x+）min=2，所以a．（2）由（Ⅰ）知，1＜a，令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3atH′（t）=3t2﹣3a=3（t﹣）（t），由H′（t）=0，得t=，由于1＜a，则∈[1，]，①若1＜t，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln]也单调递减；②若＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln，ln2]也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=﹣2a．（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．证明：F（x）=2lnx﹣x2﹣k.x、F'（x）、F（x）的变化如下：x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗↘即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，即G（x）=（2lnx﹣x2）﹣[2ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2]=2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，=，当且仅当x=1时G'（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）＜G（1）=0．所以0＜x＜1时，F（x）＜F（2﹣x）．又0＜m＜1＜n，所以F（m）＜F（2﹣m），所以F（n）=F（m）＜F（2﹣m）．因为n、2﹣m∈（1，+∞），所以根据y=F（x）的单调性知n＞2﹣m，即．又在（0，+∞）单调递减，所以．即函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．【点评】本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；maths；1619495736；清风慕竹；zlzhan；caoqz；双曲线；wsj1012；wfy814；sxs123；刘长柏；minqi5；zwx097（排名不分先后）菁优网2016年2月2日。
成都市2015年高中阶段教育学校统一招生考试数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．－3的倒数是（）A．B．C．－3 D．3答案：A 【解析】本题考查倒数的定义，难度较小．根据互为倒数的两数的乘积是1，得－3的倒数是，故选A．2．如图所示的三棱柱的主视图是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查三视图，难度较小．主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中，从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内，故选B．3．2015年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相．新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市．按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米．用科学记数法表示126万为（）A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×107答案：C 【解析】本题考查用科学记数法表示较大的数，难度较小．科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．即126万＝1260000＝1.26×106，故选C．4．下列计算正确的是（）A．a2＋a2＝2a4B．a2·a3＝a6C．(－a2)2＝a4D．(a＋1)2＝a2＋1答案：C 【解析】本题考查幂的运算，难度较小．a2与a2是同类项，能合并，a2＋a2＝2a2，故A错误；a2与a3是同底数幂，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a2·a3＝a2＋3＝a5，故B错误；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，(－a2)2＝a2×2＝a4，故C正确；根据完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，得(a＋1)2＝a2＋2a＋1，故D错误，综上，故选C．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（）A．1 B．2C．3 D．4答案：B 【解析】本题考查平行线分线段成比例，难度较小．根据平行线段的比例关系，，即，解得EC＝2，故选B．6．一次函数y＝2x＋1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D 【解析】本题考查一次函数的图象与性质，难度较小．∵k＝2＞0，b＝1＞0，根据一次函数的图象即可判断函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D．7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结果为（）A．a＋b B．a－bC．b－a D．－a－b答案：C 【解析】本题考查绝对值的化简，难度较小．根据数轴上两数的特点判断出a，b 的符号及绝对值的大小，再对|a－b|进行分析即可．由图可知a＜0，b＞0，所以a－b＜0，|a－b|为a－b的相反数，故选C．8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞－1 B．k≥－1C．k≠0 D．k＞－1且k≠0答案：D 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度中等．因为方程是一元二次方程，则二次项系数k≠0，又方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，即Δ＝22－4×(－1)k＞0，解得k＞－1，所以k＞－1且k≠0，故选D．9．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3答案：A 【解析】本题考查抛物线的平移，难度中等．根据函数的平移原则“左加右减，上加下减”即可作答．向左平移2个单位得y＝(x＋2)2，再向下平移3个单位得y＝(x＋2)2－3，故选A．10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．，D．，答案：D 【解析】本题考查正多边形的性质、弧长公式，难度中等．在正六边形中，连接OB，OC，可以得到△OBC为等边三角形，边长等于半径4．因为OM为边心距，所以OM⊥BC，所以在边长为4的等边三角形中，边上的高．弧BC所对的圆心角为60°，由弧长计算公式知的长为，故选D．第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）11．因式分解：x2－9＝_________．答案：(x＋3)(x－3) 【解析】本题考查分解因式，难度较小．根据平方差公式a2－b2＝(a ＋b)(a－b)，得x2－9＝(x＋3)(x－3)．12．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝_______度．答案：45 【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形性质，难度较小．因为△ABC为等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，又m∥n，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1＝∠ABC＝45°．13．为响应“书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是_________小时．答案：1 【解析】本题考查中位数计算，难度中等．把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，最中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．此题由条形统计图可知40个数据按从小到大顺序排列，最中间有两个数，分别是第20和第21个数，它们都是1，故中位数是1（小时）．14．如图，在□ABCD中，，AD＝4，将□ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_________．答案：3 【解析】本题考查折叠的性质、勾股定理，难度中等．点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据折叠的性质，则AE⊥BC，BE＝CE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得．三、解答题（本大题共6小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：．（2）解方程组：答案：（1）本题考查实数的计算，难度较小．涉及知识点有二次根式、特殊角三角函数值、0次幂、平方计算等．解：（4分）＝8．（6分）（2）本题考查解二元一次方程组，难度较小．解：①＋②得4x＝4，x＝1．（3分）将x＝1代入①得1＋2y＝5，y＝2．（5分）所以原方程组的解是（6分）16．（本小题满分6分）化简：．答案：本题考查分式的化简，难度较小．解：（3分）（5分）．（6分）17．（本小题满分8分）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C．其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）答案：本题考查解直角三角形的应用，难度中等．解：根据题意可知∠BAD＝30°，∠CBE＝42°，AB＝BC＝200 m．在Rt△ABD中，．（3分）在Rt△BCE中，CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134（m），（6分）∴BD＋CE≈100＋134＝234(m)，因此，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m．（8分）18．（本小题满分8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革．为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）求获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．答案：本题考查扇形统计图的运用、列表法或画树状图求概率，难度中等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解：（1）获奖学生总人数为（名），（1分）获一等奖学生人数为200×(1－20%－25%－40%)＝30（名）．（3分）（2）列表如下：或画树状图如下：（6分）由表（或树状图）可知，共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中选到A，B两所学校的结果有2种：(A，B)，(B，A)，所以P（选到A，B两所学校）．（8分）19．（本小题满分10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1，a)，B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．答案：本题考查待定系数法求反比例函数解析式、求点的坐标、最值问题、三角形面积等，难度中等．解：（1）∵点A(1，a)在一次函数y＝－x＋4的图象上，∴a＝－1＋4＝3，∴点A的坐标为(1，3)．（1分）将点A(1，3)代入中，得k＝3，∴反比例函数的表达式为．（2分）由解得∴点B的坐标为(3，1)．（4分）（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求的点．由B(3，1)得点B′的坐标为(3，－1)．（5分）设直线AB′的函数表达式为y＝k′x＋b，则有解得∴直线AB′的函数表达式为y＝－2x＋5．（7分）令y＝0，得，∴点P的坐标为，（8分）∴S△PAB＝S△ABB′－S△BPB′．（10分）20．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝1，求HG·HB的值．答案：本题是几何综合题，难度较大．考查的知识点有全等三角形的判定、圆的切线的判定、相似三角形的运用等，主要考查考生的逻辑推理能力．解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB＋∠A＝90°，Rt△ADF中，∠AFD＋∠A＝90°，∴∠ACB＝∠AFD．（1分）又∵BC＝BF，∠ABC＝∠EBF＝90°，∴△ABC≌△EBF．（3分）（2）BD与⊙O相切．（4分）理由如下：连接OB．∵⊙O是Rt△EBF的外接圆，∴O是EF的中点，OB＝OF，∴∠OBF＝∠OFB．又∵∠C＝∠OFB，∴∠C＝∠OBF．∵∠ABC＝90°，D是AC的中点，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠DBC＝∠OBF，（5分）∴∠OBD＝∠OBE＋∠DBC＝∠OBE＋∠OBF＝∠EBF＝90°，∴BD与⊙O相切．（6分）（3）连接AE，OH．∵△EBF≌△ABC，∴BE＝AB＝1，∴Rt△ABE中，．∵DF垂直平分AC，∴，（7分）∴．在Rt△BEF中，．（8分）∵BH平分∠EBF，∴∠EBH＝∠HBF＝45°，∠HOF＝2∠HBF＝90°．又∵∠HFE＝∠EBH，∴∠HFE＝∠HBF．而∠FHG＝∠BHF，∴△FHG∽△BHF，∴，即HG·HB＝HF2．（9分）∵Rt△HOF中，，∴，∴．（10分）B卷（共50分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在题中的横线上）21．比较大小：_________（填“＞”“＜”或“＝”）．答案：＜【解析】本题考查实数的大小比较，难度中等．比较方法（1）取近似值比较：为黄金分割比，约等于0.618，，显然前者小于后者；（2）作差比较：，所以前者小于后者．22．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为_________．答案：【解析】本题考查解不等式组的应用、概率计算，难度中等．不等式组即解不等式①得x≥3，解不等式②得，若不等式组有解，则解为，那么必须满足，∴满足条件的a的值为6，7，8，9，∴有解的概率为．23．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，……，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为_________．答案：(3n－1，0) 【解析】本题考查菱形的性质、求点的坐标、规律探究，难度较大．由题意得OA1＝1，点A1的坐标为(1，0)，，，点A2的坐标为(3，0)，即(32－1，0)，，点A3的坐标为(9，0)，即(33－1，0)，同理点A4的坐标为(27，0)，即(34－1，0)，…，∴点A n的坐标为(3n－1，0)．24．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为_________．答案：8或或【解析】本题考查圆的有关性质及计算、等腰三角形的判定和性质，难度较大．解题时应注意分情况讨论：（1）当AB＝AP＝8时，如图1，作OH⊥AB于点H，则，由勾股定理得OH＝3，延长AO交PB于点G，连接BO，易知，由射影定理知；（2）当PA＝PB时，如图2，连接PO并延长交AB于点K，易知OK＝3，PK＝8，，易证△APC∽△KOA，故，即，解得，所以；（3）当BA＝BP＝8时，如图3，由∠C＝90°－∠P＝90°－∠PAB＝∠CAB BC＝AB ＝8．综上，BC＝8或或．25．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是_________（写出所有正确说法的序号）．①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；③若点(p，q)在反比例函数的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y ＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为．答案：②③【解析】本题考查新定义的理解和运用、一元二次方程的解法、反比例函数及二次函数的图象和性质，难度较大．研究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a(x－t)(x－2t)＝ax2－3atx ＋2t2a，所以，记，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题：对于①，，因此①错误；对于②，mx2＋(n－2m)x－2n＝0，令，因此②正确；对于③，显然pq＝2，且，因此③正确；对于④，由M(1＋t，s)，N(4－t，s)知，由倍根方程的结论知，则，原方程可变形为，因此④错误．综上可知，正确的选项有②③．【关键点】根据方程两根之间的两倍关系设ax2＋bx＋c＝a(x－t)(x－2t)＝ax2－3atx＋2t2a，从而得出是解决本题的关键．二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）26．（本小题满分8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出．如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？答案：本题考查分式方程及不等式在实际生活中的应用，难度中等．解：（1）设该商家购进的第一批衬衫为x件，由题意得，（2分）解这个方程得：x＝120，经检验，x＝120是所列方程的根．所以，该商家购进的第一批衬衫是120件．（4分）（2）设每件衬衫的标价是y元，由题意得(3×120－50)·y＋50·0.8y≥(13200＋28800)(1＋25%)，（6分）解这个不等式得y≥150，因此，每件衬衫的标价至少是150元．（8分）27．（本小题满分10分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE ＝90°．（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（ⅰ）求证：△CAE∽△CBF；（ⅱ）若BE＝1，AE＝2，求CE的长；（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；（3）如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）答案：本题是四边形的综合题，难度较大．考查特殊平行四边形性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等．解：（1）（ⅰ）证明：∵正方形ABCD中，，∠ACB＝45°，正方形EFCG中，，∠ECF＝45°，∴，∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF．（2分）（ⅱ）∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，，∴∠EBF＝∠CBE＋∠CBF＝∠CBE＋∠CAE＝90°，，∴，∴．（4分）（2）连接BF．∵，∠ABC＝∠EFC＝90°，∴△CAB∽△CEF，∴，∠ACB＝∠ECF，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，，∴∠EBF＝∠CBE＋∠CBF＝∠CBE＋∠CAE＝90°．（5分）∵Rt△ABC中，，∴，∴，则．由△CEF∽△CAB得，则．（6分）在Rt△EBF中，由勾股定理得，（7分）∴．（8分）（3）．（10分）28．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．答案：本题是二次函数的综合题，难度较大．考查待定系数法求解析式、三角形的面积、动点问题、二次函数最值问题、点的存在性等，综合性较强．解题时注意数形结合、逻辑推理及分类讨论等数学方法．解：（1）点A的坐标为(－1，0)．（1分）过点D作DH⊥x轴于点H，则DH∥y轴．于是，，即OH＝4AO＝4，∴点D的横坐标为4．又∵点D在抛物线y＝ax2－2ax－3a上，∴点D的坐标为(4，5a)．（2分）把A(－1，0)，D(4，5a)代入l：y＝kx＋b，得解得∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（3分）（2）过点E作y轴的平行线交x轴于点F，交直线l于点G，再作CK⊥EG于点K，则设E(x，ax2－2ax－3a)，则G(x，ax＋a)，∴EG＝ax2－3ax－4a．又AO＝1，∴∴当时，．（6分）∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得．（7分）（3）分类讨论如下：①当AD为矩形的一边时，显然点P只能在直线l的下方．此时，设四边形ADP1Q1为矩形，过点D作抛物线的对称轴的垂线，垂足为L，则有△P1DL∽△ADH，，即，∴点P1的坐标为．由P1Q1AD，可得点Q1的坐标为．把代入抛物线的表达式得，∴，此时，点P1的坐标为．（9分）②当AD为矩形的一条对角线时，显然点P只能在直线l下方．此时，设四边形AP2DQ2为矩形，分别过A，D两点作过点P2且平行于x轴的直线的垂线，垂足为M，N．设点P2的坐标为(1，m)，＝6．①又由AD，P2Q2互相平分得点Q2的坐标为(2，5a－m)．把Q2(2，5a－m)代入抛物线的表达式得4a－4a－3a＝5a－m，即m＝8a．②由①②得，m＝－4，此时，点P2的坐标为(1，－4)．综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形可能成为矩形，当该四边形为矩形时，点P的坐标为或(1，－4)．（12分）综评：本套试卷难度较大，对考生思维能力的训练有所突破，既考查了大多数考生解决数学问题的基本能力，也对优秀考生的选拔有较明显的区分．如第25题知识点的融合度较高，第27，28题，考生在解答过程中，不仅要经历推理、猜想的过程，而且还需要对结论进行证明，强调了对演绎推理能力的考查，使考生经历了数学发现的全过程，体会到了合情推理的重要性和证明的必要性．。
数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.i 为虚数单位，则2013i =（ ）A.i -B.1-C. iD.1答案：C解析： 201345031i i i ⨯+==2. 若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3. 已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是（）A. 34y x =±B. 43y x =±C. y x =D.y x =答案：B解析：知双曲线2219x y m-=的焦点在x 轴，且0,3m c >，又一个焦点是()5,0，5,16m == 双曲线的渐近线方程为43y x =±4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ）A.0个B.1个C.2个D.3个答案：B解析：①正确，②③错误.5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A.7个B.12个C.24个D.35个答案：D6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B.由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C.由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D.由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>答案：A解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7. 已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值围为( )A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)·(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(3,5]时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的极小值为f (3)＝－24，极大值为f (－1)＝8；而f (－2)＝1，f (5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g (x )＝f (x )－m 在x ∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f (x )在[－2,5]的函数图象与直线y ＝m 有3个交点．故⎩⎨⎧m <8，m ≥1，即m ∈[1,8)．[答案] D8. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=o.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN ABu u u u r u u u r 的最大值为A.22B.32C. 13答案：A解析：试题分析：设12,AF rBF r ==，则 2222121122121222222222121212121()2211122112222r r MN r r r r r r r r AB r r r r r r r r ++++===+≤+=++++二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．9. 204sin xdx π=⎰答案：4解析：22004sin 4cos |4xdx x ππ=-=⎰10.已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值围是 答案：()1,2解析：∵01a <<，∴()211,2OZ a =+∈ 11. 曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 答案：1y x =-解析：设f(x)＝ln x x ，则f ′(x)＝1－ln xx 2.所以f ′(1)＝1.所以所求切线方程为y ＝x －1.12. 棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=u u r u u r u u r u u u r ，则SP u u r的最小值为 . 答案：6解析：∵SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x ，∴,,,A B C P 四点共面，SP 的最小值即为点S 到底面ABC 的高6h =.13. 我国第一艘航母“舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 . 答案:24解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A ，有A 22种方法；A 与戊机形成三个“空”，把–112NB丙、丁两机插入空中有A 23种方法；考虑A 与戊机的排法有A 22种方法．可知共有A 22A 23A 22＝24种不同的着舰方法．14. 椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 答案：－34解析：椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x 0，y 0)， 则k PA1k PA2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4，而x 204＋y 203＝1，即y 20＝34(4－x 20)，所以k PA1k PA2＝－3415.函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的围是答案：10,2⎛⎫⎪⎝⎭解析：()f x 定义域为(1,)-+∞()21a f x x x '=++，令()0f x '=，则201a x x +=+在(1,)-+∞有两个不同的实数根 2(1)a x x =-+，结合图象知102a <<三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<.(1)若1,a =且p q ∧为真，数x 的取值围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,数a 的取值围. 解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值围是13x <<.……………2分 由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值围是24x <<,……………4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值围是23x <<. ……………6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则A B ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x ≥4或x ≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值围是423a≤≤……………12分 17. （本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===.（1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小. 解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BC CC C ⊥⊥=I 且 ∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=I 且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =I ∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又11623C H A AB HQ ==V ，在内，解得 ∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒ ∴二面角111C AB A －－为60°.18. （本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，1C A BC1A 1B假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m 的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++L )，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….(1)求12,a a ；(2)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明． 解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， 于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0， 解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……………5分(2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分 (ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，……………10分即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分 综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝n n ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分20. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>离心率为2，且椭圆的长轴比焦距长2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知22212a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a 1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分（2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--u u r u u r 及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--u u r u u rg2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =u u r u u rg 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++= ……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩. 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=， 过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--=设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-u u r u u r， 21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++u u r u u r g222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥u u r u u r，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21. （本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x xx x ϕ………………….2分Θ当0=x 时，)(x ϕ有最大值0 ∴0)(≤x ϕ恒成立。
