3第三部分、数列

【题 5-4】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－2，求 a2 和{an}. 【题 5-5】数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．求{an}. 注：用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二 为一” ，即 a1 和 an 合为一个表达， （要先分 n 1 和 n 2 两种情况分别进行运算，然后验证 能否统一） 。
an f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1) a1,(n 2)
①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 【题 5-6】已知{������������ }中, ������������ +1 = ������������ + ������ ������ ∈ ������ ∗ , ������1 = 1 , 求通项������������ . 【题 5-7】在数列 an 中，已知 a1 =1，当 n 2 时，有 an an1 2n 1 n 2 ，求 an 【题 5-8】已知数列 an ， a1 =2， an 1 = an +3 n +2，求 an 。 【题 5-9】已知{������������ }中, ������������ = ������������ －1 + 3������－1 , (������ ≥ 2), ������1 = 1, 求通项������������ . ② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 【题 5-10】已知数列 an 满足 a1 1, an 3
20 ，求 an 的通项式。 3
a1 1 q n 1 q

a1 an q 1 q
② m n p qm, n, p, q N ，则 am an a p aq ； （重点） ② ak , ak m , ak 2m ,为等比数列，公比为 qm (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 an （ 为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列；正项等比数列 an ；则
1 2
1 4
5 8
13 29 61 ， ， 16 32 64
写出此数列的一个通项公式。
, (n 1) S1 构造两式作差求解。 Sn Sn1 , (n 2)
求此数列的通项公式。
【题 5-2】已知数列{an}的前������和 S n 满足 log2 (S n 1) n 1, 【题 5-3】｛������������ ｝的前项和������������ = 2������2 －1，求通项｛������������ ｝.
lg an 是公差为 lg q 的等差数列；
④若 an 是等比数列，则 can ，an
1 公比依次是 q，q 2， ，q r . q
1 a ( r Z ) 是等比数列， ， ， a
2 r

n

n
⑤单调性：
a1 0, q 1或a1 0,0 q 1 an 为递增数列；
【题 2-2】{an}为 an＝2n－49，前 n 项和 Sn 达到最小时，n 等于多少？ ⑸常用性质： ①若 m n p qm, n, p, q N ，则 am an a p aq ； （重点） 【题 2-3】在等差数列 an 中，前 15 项的和 S15 90 ， a8 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4
，…也成等差数列。 {apnq }( p, q N * ) 、 ⑤单调性： an 的公差为 d ，则： ⅰ） d 0 an 为递增数列； ⅱ） d 0 an 为递减数列； ⅲ） d 0 an 为常数列； ⑥数列{ a n }为等差数列 an pn q （p,q 是常数） ⑦若等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2k Sk 、 S3k S 2 k … 是等差数列。 【题 2-6】设等差数列前 n 项和为 Sn ，S10=100，S20=400，则 S30= S3 S2 【题 2-7】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 － ＝1，求{an}的公差. 3 2
a1 0,0 q 1或a1 0, q 1 an 为递减数列；
q 1 an 为常数列； q 0 an 为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 an 的前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2k Sk 、 S3k S 2 k … 是等比数列. 【题 3-4】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*. (1)求 q 的值；(2)若 a3＝8，数列{bn}满足 an＝4log2bn，求数列{bn}的前 n 项和．
【题型五】非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察
分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
【题 5-1】已知数列 ， ， ，
类型Ⅱ
用公式 an
公式法： 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系， 求数列 an 的通项 an 可
ab 2
⑵等差中项：若三数 a、A、b 成等差数列 A
⑶通项公式： an a1 (n 1)d am (n m)d 或 an pn q ( p 、q是常数）. ⑷前 n 项和公式： Sn na1
n n 1 n a1 an d 2 2
【题 2-4】等差数列 an 中, a1 a2 a3 24, a18 a19 a20 78 ,则前 20 项和为（ ） A.160 B.180 C.200 D.220
【题 2-5】等差数列 {an } 满足 a2 a4 4 ， a3 a5 10 ，则前 10 项的和等于 ②下标为等差数列的项 ak , ak m , ak 2m , ，仍组成等差数列； ③数列 an b（ , b 为常数）仍为等差数列； ④若 {an } 、 {bn } 是等差数列，则 {kan } 、 {kan pbn } ( k 、 p 是非零常数)、
第三部分、数列
【题型一】数列的通项公式与前 n 项的和的关系
n 1 1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn a1 a2 an ). an sn sn1 , n 2
【题 1-1】已知数列 ������������ 的前 n 项和������������ = ������2 + ������ ·3������ ．求 ������������ . 【题 1-2】已知{������������ }中，������1 + 2������2 + 3������3 + ••• +������������������ = 3������, 求通项������������ . 【题 1-3】数列 an 的前 n 项和 Sn＝ 3n n2 ，则 an ＝___________. 注：不要忘了这是分段的，莫忘了首项
类型Ⅲ
累加法：
形如 an1 an f (n) 型的递推数列（其中 f ( n) 是关于 n 的函数）可构造：
an an 1 f (n 1) a a f (n 2) n 1 n 2 ... a2 a1 f (1)
将上述 n 1 个式子两边分别相加，可得：
【题型二】等差数列
⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 即 a n － a n 1 = ������ ，（������ ≥ 2，������ ∈ ������ ），那么这个数列就叫做等差数列. 【题 2-1】已知数列 an 为等差数列，前

n 项和为������������ ，������1 = 2，������3 = 6．求 ������������ .
【题型三】等比数列
⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数 a、 。反之不一定成立。 G、 b 成等比数列 G2 ab, （ ab 同号） ⑶通项公式： an a1qn1 amqnm 【题 3-1】等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2 a6 . 求数列 an . 【题 3-2】已知数列{������������ }的前 n 项和������������ 满足条件 2������������ =3(������������ -1)，其中 n∈N*.求������������ . 【题 3-3】在等差数列 an 中， a1 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列，求 an 的通项公式. 【题 3-4】已知 an 为等比数列， a3 2, a2 a4 ⑷前 n 项和公式： S n ⑸常用性质
【题型四】等比差数列
an1 qan d , a1 b(q 0) 的通项公式为
b (n 1)d , q 1 an bq n (d b)q n 1 d ； ,q 1 q 1
其前 n 项和公式为
nb n(n 1)d , (q 1) sn d 1 qn d ( b ) n, (q 1) 1 q q 1 1 q
【题 4-1】数列������������ 满足������������ +1 = 4������������ + 4，������1 = 2，求 ������������ 及前 n 项和������������ 【题 4-2】已知数列 an 满足 a1 1, an1 2an 1(n N * ). 求数列 an 的通项公式. 【题 4-3】数列������������ 满足������������ +1 = ������������ + 4，������1 = 2，求 ������������ 及前 n 项和������������ . 【题 4-4】数列������������ 满足������������ +1 = 2������������ + 4，������1 = 1，求 ������������ 及前 n 项和������������ . 【题 4-5】数列������������ 满足������������−1 = 4������������ + 4，������1 = 2，求 ������������ 及前 n 项和������������ . 【题 4-6】数列������������ 满足������1 = 4������������ + 4，求 ������������ 及前 n 项和������������ . 【题 4-7】数列������������ 满足������������ +1 = 3������������ + 4，������1 = 3，求 ������������ 及前 n 项和������������ . 【题 4-8】数列������������ 满足������������ +1 = 2������������ + 1，������1 = 3，求 ������������ 及前 n 项和������������ .