2014年中考数学一轮复习讲义：一次方程(组)

2014年中考数学一轮复习讲义：一次方程(组)
【考纲要求】
1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 【命题趋势】
一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.
【知识梳理】
知识点一：一元一次方程
1、等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 等式的两边都加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立。

② 等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不等于0），等式仍然成立。

2、 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程：含有未知数的等式叫做方程。

使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。

求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同。

⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0()0≠a .
3、 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 4、易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像
21
=x
，()1222+=+x x 等
不是一元一次方程.
（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：
①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解 ②去分母时，不要漏乘没有分母的项； ③解方程时一定要注意“移项”要变号. 知识点二：二元一次方程组的相关概念. 1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
注意问题：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩
⎨
⎧b a
＝＝y x 的形式. 3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数。

例如，二元一次方程组345
2x y x +=⎧⎨=⎩。

4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立； 知识点三：二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
转化
消元一元一次方程
二元一次方程组
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示
y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；
②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；
④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可. 知识点四：列方程(组)解应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．
列：根据题意寻找等量关系列方程(组)． 解：解方程(组)．
验：检验方程(组)的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)．
知识点五：常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系 路程＝速度×时间；
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程； 流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系 工作效率＝工作总量
工作时间
.
(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”． 题型分类 、深度剖析： 考点一、一元一次方程的解法 【例1】解方程：2x ＋13－10x ＋1
6
＝1.
解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6，去括号，得4x ＋2－10x －1＝6，移项，得4x －10x ＝6－2＋1，合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－5
6
.
方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
考点二、二元一次方程组的有关概念 【例2】已知⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝1
是二元一次方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1
的解，则2m －n 的算术平方
根为( )
A ．4
B ．2
C ． 2
D ．±2
解析：∵⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
mx ＋ny ＝8，
nx －my ＝1
的解，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2m ＋n ＝8，
2n －m ＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝3，
n ＝2.
∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2.
答案：B
方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．
触类旁通1 已知⎩⎨
⎧
x ＝2，
y ＝3
是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a
－1)＋7的值．
考点三、二元一次方程组的解法
【例3】解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧ 3x －y ＝5，
5x ＋2y ＝23.
①②
解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③ ②＋③得11x ＝33，解得x ＝3. 把x ＝3代入①得9－y ＝5，解得y ＝4.
所以原方程组的解为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝4.
方法二：用代入消元法解方程组． 由①得y ＝3x －5，③
把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23，即11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入③得y ＝4.所以
原方程组的解为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝4.
方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．
触类旁通2 解方程组：⎩⎪⎨
⎪⎧
4x －3y ＝11，①
2x ＋y ＝13.②
考点四、列方程(组)解决实际问题
【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A ，B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A ，B 两种饮料共100瓶，问A ，B 两种饮料各生产了多少瓶？
分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．
解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了(100－x )瓶，依题意，得2x ＋3(100－
x )＝270.
解得x ＝30,100－x ＝70.
解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y
瓶，依题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝100，
2x ＋3y ＝270，解
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝30，
y ＝70.
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
方法总结对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．。