直角三角形的边角关系综合检测题

第一章 直角三角形的边角关系 单元综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________基础达标卷一、选择题1．（2021·兰州市九年级期末）计算2cos 30°的值为 （ ）A ．1BCD ．12【答案】B【分析】直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案．【详解】解:2cos 30°,故选B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，ABC V 中，37,cos 5BC B C ===，则ABC V 的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D ．21【答案】A【分析】根据已知作出三角形的高线AD ，进而得出AD 的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ，∵△ABC 中，cosB ，sinC =35，BC =5，∴cosB =BDAB ，∴∠B =45°，∴AD =BD ，∵sinC =35=ADAC ，∴35AD AC =∴45CD AC ==，∴43CD AD =，∵7BD CD AD DC BC +=+==，∴3AD =，则△ABC 的面积是：12×AD ×BC =12×3×（3+4）=212．故选A ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD ⊥BC ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．3．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）锐角△ABC 中，∠B ＝45°，BC ，则AC 的长可以是（ ）A ．1BCD 【答案】D 【分析】作CD ⊥AB 于D ，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD =CD =1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD ⊥AB 于D ，如图所示：∵∠B ＝45°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD ＝CD ＝sin =1BC B g，∠BCD ＝45°，当AC ＝1时，点D 与A 重合，△ABC 是直角三角形，选项A 不符合题意；当AC 时，1AD CD ===，则△ACD 是等腰直角三角形，∠ACD ＝45°，∴∠ACB ＝90°，△ABC 是直角三角形，选项B 不符合题意；当AC AC ＜CD ，∴∠ACD ＞∠A ，则△ABC 是钝角三角形，选项C 不符合题意；当AC 时，12AD CD ==<∴∠ACD ＜∠A ，则△ABC 是锐角三角形；选项D 符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·江苏扬州中学九年级月考）如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于（ ）A B C ．13D 【答案】B 【分析】根据网格的特点求得,,AB AC BC 的长，根据勾股定理的逆定理判断ABC V 是Rt V ，进而根据正弦的定义求得sin ∠ABC 的值．【详解】∵AB BC AC ∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°．∴sin ∠ABC ＝AC AB ==故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，正弦的定义，求得ABC V 为Rt V 是解题的关键．5．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为6，AC 为对角线，取AB 中点E ，DE 与AC 交于点F ．则sin ∠DFC ＝（）A B C D【答案】A【分析】连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．【详解】解：连接BD与AC交于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝12B D，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝，∵E为AB中点，∴AE＝12AB＝12CD＝3，由勾股定理得，DE=∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△CFD，∴12 EF AEFD CD==，∴DF＝23DE＝∴sin∠DFC＝ODDF==故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．6．（2021·重庆八中九年级月考）如图，某大楼AB正前方有一栋小楼ED，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E 的俯角为45度，从大楼底端B测得小楼顶端E的仰角为24度，小楼底端D到大楼前梯坎BC的底端C有90i=，则大楼AB的高度为（）（结果精确到1米，参考数据：米，梯坎BC长65米，梯坎BC的坡度1:2.4°»，cos240.91°»）sin240.41°»，tan240.45A．217B．218C．242D．243【答案】B【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=25米，CH=60米，得出EG的长度，在Rt△GBE中，利用正切函数得出BG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=150米，即可得出大楼AB的高度．【详解】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则四边形GHDE为矩形，∴GH =DE ，EG =DH ，∵梯坎坡度i =1：2.4，∴BH ：CH =1：2.4，设BH =x 米，则CH =2.4x 米，在Rt △BCH 中，BC =65米，由勾股定理得：x 2+（2.4x ）2=652，解得：x =25(负值已舍)，∴BH =25米，CH =60米，∴EG =DH =CH +CD =60+90=150（米），在Rt △GBE 中，∠BEG =24°，∴BG =EG tan 24°=150´0.45=67.5（米），在Rt △GAE 中，∠EAG =90°-45°=45°，∴△AEG 是等腰直角三角形，∴AG =EG =150（米），∴AB =AG +BG =150+67.5≈218（米）；故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH ，得出EG 是解决问题的关键．7．（2021·湖南芙蓉九年级期中）在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11k y x=（x ＞0），经过点B ，双曲线22ky x =（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（ ）A ．﹣3B ．3C．D【答案】A【分析】作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，由反比例函数系数k 的几何意义得到k 1＝2S △AOM ，k 2＝﹣2S △BON ，解直角三角形求得o tan 30OB OA =通过证得△AOM ∽△OBN ，得到2=3AOM BOMS OA S OB æö=ç÷èøV V 进而得到123k k =-．【详解】作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，∴S △AOM ＝12|k 1|，S △BON ＝12|k 2|，∵k 1＞0，k 2＜0，∴k 1＝2S △AOM ，k 2＝﹣2S △BON ，在Rt △AOB 中，∠BAO ＝30°，∴o tan 30OB OA =，∵∠AOM +∠BON ＝90°＝∠AOM +∠OAM ，∴∠OAM ＝∠BON ，∵∠AMO ＝∠ONB ＝90°，∴△AOM ∽△OBN ，∴2=3AOM BOM S OA S OB æö=ç÷èøV V ，∴12232AOMBOMk S k S ==--V V ,故选A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．（2021·山东青岛市中考真题）如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B Ð=°．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，折痕为EF ．若45BFE Ð=°，则BF 的长为（）A ．5B ．C ．D 【答案】C 【分析】过点A 作AH BC ^ 于H ，由折叠知识得：90BFG Ð=° ，再由锐角三角函数可得AH =然后根据//AD BC ，可证得四边形AHFG 是矩形，即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ^ 于H ，由折叠知：BF =GF ，∠BFE =∠GFE ，45BFE Ð=°Q ，90BFG \Ð=° ，在Rt ABH V 中，10AB =，60B Ð=°，sin sin 601010AH B AB =´=°´== ，//AD BC Q ，90GAH AHB \Ð=Ð=° ，90GAH AHB BFG \Ð=Ð=Ð=° ，\ 四边形AHFG 是矩形，FG AH \== ，BF GF \==．故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．9．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，ABC V 中，CD AB ^，BE AC ^，sin A 的值为35，则DEBC =（）A B C ．35D ．45【答案】D 【分析】根据CD AB ^，BE AC ^，可得ADC AEB V V ∽,进而可得ADE ACB V V ∽，进而可得DE ADBC AC=，根据已知条件设3CD a =，则5AC a =，求得AD ，即可求得答案．【详解】Q CD AB ^，BE AC ^，\90ADC AEB Ð=Ð=°，A A Ð=ÐQ ，\ADC AEB V V ∽，AD ACAE AB\=，A A Ð=ÐQ ，\ADE ACB V V ∽，DE ADBC AC\=，3sin 5CD A AC==Q ，设3CD a =，则5AC a =，4AD a \==，44=55DE AD a BC AC a \==．故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据两边成比例夹角相等证明三角形相似是解题的关键．10．（2021·甘肃兰州市中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BD 上，连接AE ，CE ，60ABC Ð=°，15BCE Ð=°，2ED =+AD =（）A ．4B ．3C ．D ．2【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得ABC V 是等边三角形，可得OB =，进而根据15BCE Ð=°，可得45ECO Ð=°，进而可得OC OE =,根据DE OE OD =+， 2ED =+，AD BC =，即可求得AD ．【详解】Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^,,,AO OC BO OD AB BC ===，Q 60ABC Ð=°，\ABC V 是等边三角形，\160,,sin 2ACB BAC OC BC OB BC ACB Ð=Ð=°==×Ð=，Q 15BCE Ð=°，601545ECO ACB \Ð=Ð=°-°=°，Q AC BD ^，45CEO \Ð=°，OC OE \=，2DE OE OD OE OB =+=+=+Q即122BC BC =+，4BC \=，4AD BC \==．故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．二、填空题11．（2021·江苏灌云九年级期中）在ABC V 中，若A Ð，B Ð满足1cos sin 2A B -+，则C Ð的度数是_______．【答案】75°【分析】根据绝对值的非负性，可得出cosA 及sinB 的值，从而得出∠A 及∠B 的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】解：∵1cos sin 2A B -+，∴cosA =12，sinB 则∠A =60°，∠B =45°，故∠C =180°-∠A -∠B =75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA 及sinB 的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．12．（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，点()2,A m 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为a ，5tan 4a =，则m =_____．【答案】52【分析】利用三角函数的定义求m 的值．【详解】解：由三角函数的定义得：5tan 24m a ==．∴52m =．故答案为：52．【点睛】本题考查三角函数的定义，利用定义得到关于m 的方程是求解本题的关键．13．在Rt ABC V 中，90C Ð=°，且cos A B =Ð平分线的长为26，则a =______，b =______，=c ___．【答案】；39； 【分析】根据三角函数值cos A =，可求∠A =30°，由90C Ð=°，可求∠ABC =60°，由BD 平分∠ABC ，可得∠CBD =∠DBA =30°=∠A ，利用等腰三角形判定可得AD =BD =26，利用三角函数可求CD =BD ×sin 30°=13，AC =AD +DC =39， 利用三角函数BC ==30°角直角三角形可求AB =2BC =【详解】解：∵cos A =∴∠A =30°，∵90C Ð=°∴∠A +∠ABC =90°，∴∠ABC =60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠DBA =30°=∠A ，∴AD =BD =26，∴CD =BD ×sin 30°=26×12=13，∴AC =AD +DC =26+13=29，在Rt △CBD 中，cos BC BD =，∴26BC ===∴AB =2BC =∴a BC ==39b AC ==，c AB ==．故答案为，39，【点睛】本题考查锐角三角函数值求角度，角平分线定义，等腰三角形判定，解直角三角形，掌握锐角三角函数值求角度，角平分线定义，等腰三角形判定，解直角三角形是解题关键．14．（2021·哈尔滨市九年级月考）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AB ＝15，AD ＝7，则AC ＝_____．【答案】356．【分析】如图，过点B 作BH ∥AC ，交AD 的延长线于H ，作BG ⊥AH 于G ，设DG ＝x ，证明△ACD ∽△HBD ，根据相似三角形的性质与判定，进而得出比例式求解即可得AC ．【详解】如图，过点B 作BH ∥AC ，交AD 的延长线于H ，作BG ⊥AH 于G ，设DG＝x，∵AC∥BH，∴∠CAD＝∠H，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠H，∴AB＝BH＝15，∵BG⊥AH，∴AG＝GH＝7+x，∴DH＝7+2x，∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，∴△ACD∽△HBD，∴AC ADBH DH=，即71572ACx=+，∴AC10572x=+，∵∠CAD＝∠H，∴cos∠CAD＝cos∠H，∴AC GHAD BH=，即105772715xx++=，解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，∴AC10535 7116==+．故答案为：356．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，添加辅助线，证明△ACD∽△HBD 是解题的关键．15．（2021·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图所示，CD、EF表示高度不同的两座建筑物，已知CD高15米，小明站在A处，视线越过CD，能看到它后面的建筑物的顶端E，此时小明的视角∠FAE＝45°，为了能看到建筑物EF上点M的位置，小明沿直线FA由点A移动到点N的位置，此时小明的视角∠FNM＝30°，则小明由点A移动到点N的距离是___米．【答案】15【分析】本题中，CD是直角三角形CDN和ACD的公共边，因此可用CD求出DN和AD，然后再求AN．【详解】解：直角三角形CDN中，tan30DN CD=¸°=直角三角形CDA中，tan4515AD CD=¸°=米，因此，15)AN DN AD=-=米，故答案是：15．【点睛】本题考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．（2021·山东南区九年级期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝___．【答案】45或411根据勾股定理先求出BD 的长，本题有两种情况，若高AD 在△ABC 内部，CD ＝BC ﹣BD ，若高AD 在△ABC 外部，CD ＝BC +BD ，再根据三角函数的知识求出tanC 的值．【详解】解：如图所示：BD ==3，若高AD 在△ABC 内部，CD ＝BC ﹣BD ＝5，∴tanC 45AD CD ==．若高AD 在△ABC 外部，CD ＝BC +BD ＝11，tanC 411AD CD ==．故答案为：45或411【点睛】本题考查了分类讨论的数学思想及三角函数的定义．17．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ^于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB ¢的位置，且点B ¢的坐标为()1,1．若反比例函数k y x=()0x >的图象经过A 点，则k =______．【答案】2+过点B′作B′D ⊥x 轴于点D ，根据BA ⊥OB 于点B 及图形旋转的性质求出∠B′BD 的度数，再由直角三角形的性质得出BD 及BB′的长，故可得出点A 的坐标，进而可得出结论．【详解】解：如图，过点B′作B′D ⊥x 轴于点D ，∵BA ⊥OB 于点B ，∴∠ABD ＝90°．∵线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD ＝90°−60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，1），∴OD ＝ B′D ＝1，∴BB′＝2B′D ＝2，BD ＝1tan 30°∴1OB =+AB ＝BB′＝2，∴(12)A ，∴2(12k =´=+．故答案为：2+【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出A 点坐标是解答此题的关键．三、计算题18．（2021·济宁市第十五中学九年级月考）求下列各式的值：（1）222sin 303sin 604tan 45°+°-°；（2）()101tan 6042cos304p -æö°--+°+ç÷èø．【答案】（1）54-；（2）3【分析】（1）利用特殊角的三角函数计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的意义完成即可．【详解】（1）222sin 30604tan 45°°-°2212+3412æö=´´-´ç÷èø19424=+-54=-（2）()101tan 6042cos304p -æö°--+°+ç÷èø124=-+3=【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零指数和负整数指数幂的意义，牢记特殊角的三角函数值，掌握零指数和负整数指数幂幂的意义是解答本题的关键．19．（2021·济宁市九年级月考）计算：（1）22sin 456cos303tan 454sin 60-++o o o o （2）011tan 60(4)2cos30()4p ---++o o【答案】（1）4；（2）3【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果；（2）根据特殊角三角函数值，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果．【详解】解：（1）原式＝226314´-´+＝13-+＝4；（2124+＝3．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键．四、解答题20．在Rt ABCV中，90BCAÐ=°，CD是AB边上的中线，8,5BC CD==，求sin,cosACD ACDÐÐ和tan ACDÐ．【答案】.4sin5ACDÐ=，3cos5ACDÐ=，4tan3ACDÐ=【分析】利用90BCAÐ=°，CD是AB边上的中线，5CD=先求解,AB证明,ACD AÐ=Ð再利用勾股定理求解,AC再由等角的三角函数值相等，从而可得答案.【详解】解：如图，90BCAÐ=°，CD是AB边上的中线，5CD=210,5,AB CD CD AD BD\=====,ACD A\Ð=Ð10,8,90,AB BC C==Ð=°Q6,AC\==4sin sin ,5BC ACD A AB \Ð=== 3cos cos ,5AC ACD A AB Ð=== 4tan tan .3BC ACD A AC Ð===【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键.21．（2021·山东济宁九年级月考）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，测得∠CAB =30°，∠ABC =45°，AC =8千米，求A ，B 两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A 、B 两点间的距离约为（）千米．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，通过解直角三角形可求出AD ，CD 的长，在Rt △BCD 中，由∠BDC =90°，∠CBD =45°可得出BD =CD ，再结合AB =AD +BD 即可求出A 、B 两点间的距离．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图所示．在Rt △ACD 中，AC =8（千米），∠CAD =30°，∠CDA =90°，∴CD =AC •sin ∠CAD =4（千米），AD =AC •cos ∠CAD ．在Rt △BCD 中，CD =4（千米），∠BDC =90°，∠CBD =45°，∴∠BCD =45°，∴BD =CD =4（千米），∴AB =AD +BD （千米）．答：A 、B 两点间的距离约为（）千米．【点睛】本题考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通过解直角三角形以及利用等腰直角三角形的性质，找出AD ，BD 的长是解题的关键．22．（2021·重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图，在矩形 ABCD 中，AD =10，tan ÐAEB =34，点E 为BC 上的一点，ED 平分ÐAEC ，（1）求BE 的值；（2）求sin ÐEDC ．【答案】（1）8；（2【分析】（1）根据矩形的性质，角平分线的定义，可得AD AE =，进而根据已知正切的值以及勾股定理即可求得BE ;（2）由（1）可得,BE AB 的长，根据矩形的性质，以及勾股定理和正弦的定义即可求得sin ÐEDC ．【详解】（1）Q ED 平分ÐAEC ，AED CED \Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC \，90B Ð=°，ADE CED =Ð\Ð，AED ADE \Ð=Ð，AD AE \=，Q tan ÐAEB =AB BE =34，设3AB k =,则4BE k =，5AE k \==，10AE AD ==Q ，2k \=，68AB BE \==，，（2）Q 四边形ABCD 是矩形，,AB CD AD BC \==，90C Ð=°，10,8BC AD BE ===Q ，2CE BC BE \=-=，6CD AB ==Q ，DE \===sin EC EDC ED \Ð===．【点睛】本题考查了矩形的性质，等角对等边，解直角三角形，掌握锐角三角函数的基本定义是解题的关键．23．（2021·杭州市九年级开学考试）如图，//AB CD ，90ACB BDC Ð=Ð=°，CE AB ^于点E ，DF CB ^于点F ．（1）求证：ABC BCD △∽△；（2）已知tan 2ABC Ð=，求DF CE的值．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）根据平行线性质得∠ABC =∠BCD ，即可求证△ABC ∽△BCD ；（2）设BC =k ，则AC =2k ，根据勾股定理可求得AB ，再根据△ABC ∽△BCD 得对应边比值相等即可解题．【详解】（1）∵//AB CD ，∴ABC BCD Ð=Ð，又∵90ACB BDC Ð=Ð=°∴ABC BCD △∽△；（2）∵tan 2ABC Ð=∴可设2AC k =，则BC k =，∵90ACB Ð=°，∴22225AB AC BC k =+=，∴AB =，∵ABC BCD △∽△，∴BAC CBD Ð=Ð，90ACB BDC Ð=Ð=°，∴sin sin BAC CBD Ð=Ð，∵CE AB ^于点E ，DF CB ^于点F ，∴DF DF BC CE BD AB ====【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．24．（2021·辽宁盘锦中考真题）如图，小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M ，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6米，且12FN FB =，楼AB ，MN ，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos 31°≈0.86， tan 31°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）【答案】38米【分析】过A 作AC MN ^于C ，易证EFN ABN △∽△，得318()AB EF m ==，则18CN m =，再由锐角三角函数求出30()AC m »，然后在Rt ACM V 中，由锐角三角函数定义求出AM 的长即可．【详解】解：过A 作AC MN ^于C ，如图所示：则CN AB =，AC BN =，Q12FN FB =，\13FN BN =，由题意得：6EF m =，AB BN ^，EF BN ^，//AB EF \，EFN ABN \△∽△，\13EF FN AB BN ==，318()AB EF m \==，18CN m \=，在Rt ACN △中，3tan tan 310.605CN CAN AC Ð==°»=，551830()33AC CN m \»=´=，在Rt ACM V 中，4cos cos370.805AC MAC AM Ð==°»=，553038()44AM AC m \»=´»，即无人机飞行的距离AM 约是38m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明EFN ABN △∽△是解题的关键．25．（2021·四川仁寿九年级期末）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，EM ⊥AM 交AD 的延长线于点E ．①求证：△ABM ∽△EMA ．②若AB ＝4，BM ＝3，求sinE 的值．【答案】①见解析；②sinE＝3 5【分析】①根据矩形的性质得到∠B＝90°，AD∥BC，则∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；②利用△ABM∽△EMA得到∠E＝∠BAM，再利用勾股定理计算出AM，然后根据正弦的定义得到sin∠BAM＝35，从而得到sinE的值．【详解】①证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB，∵EM⊥AM，∴∠AME＝90°，∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，∴△ABM∽△EMA；②解：∵△ABM∽△EMA，∴∠E＝∠BAM，在Rt△ABM中，AM5，∴sin∠BAM＝35 BMAM=，∴sinE＝35．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.26．（2021·四川内江市中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度1:4i=，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D 的仰角为60°，求树高CD ．（结果保留根号）【答案】3)米．【分析】作BF ⊥CD 于点F ，设DF =x 米，在直角△DBF 中利用三角函数用x 表示出BF 的长，在直角△DCE 中表示出CE 的长，然后根据BF -CE =AE 即可列方程求得x 的值，进而求得CD 的长．【详解】解：作BF CD ^于点F ，设DF x =米，在Rt DBF D 中，tan DF DBF BF Ð=，则tan 30DF BF =°（米)，∵14AB AE =，且AE =8∴2AB =∴2CF AB ==在直角DCE D 中，(2)DC x CF x =+=+米，在直角DCE D 中，tan DC DEC ECÐ=，22)tan 60x EC x +\==+°米．BF CE AE -=Q 2)8x +=．解得：1x =，则123)CD =+=米．答：CD 的高度是3)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．27．（2021·厦门市九年级二模）如图，在Rt ABC △中，∠BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ．（1）若旋转角为60°，求∠ACB 的度数；（2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin ∠DAC 的值．【答案】（1）30°；（2）725【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD Ð=°，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出60B ADB Ð=Ð=°，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ^于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案．【详解】解：（1）Q 将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，AD AB \=，60BAD Ð=°，60B ADB \Ð=Ð=°，90BAC Ð=°Q ，9030ACB B \Ð=°-Ð=°，∴∠ACB 的度数为30°；（2）90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，5BC \===，如图，过点A 作AF BC ^于点F ，\1122ABC S AB AC BC AF =×=×V ，341255AB AC AF BC ×´\===，95BF \===，=Q AD AB ，AF BC ^，95DF BF \==，75CD BC BD \=-=，设AC 与DE 相交于点K ，∵将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，AD AB \=，AE AC =，90BAC DAE Ð=Ð=°，B ADB \Ð=Ð，ACE AEC Ð=Ð，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，∴90BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð=°，BAD CAE \Ð=Ð，又1902B BAD Ð=°-ÐQ ，1902ECA CAE Ð=°-Ð，ECA B \Ð=Ð，又∵旋转，∴B ADE Ð=Ð，5DE BC ==，ECA B ADE Ð=Ð=ÐQ ，AKD EKC Ð=Ð，DAC CED \Ð=Ð，90ACB B Ð+Ð=°Q ，ECA B Ð=Ð，90ACB ECA \Ð+Ð=°，775sin sin 525CD DAC CED DE \Ð=Ð===．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．28．（2021·珠海市九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 为△ABC 的角平分线，将线段BM 绕点B 顺时针方向旋转使点M 刚好落在AM 的延长线上的点N 处，此时作ND ⊥BC 于点D ．（1）求证：∠ABN ＝90°；（2）求证：CM ＝BD ；（3）若32BD DM =，AB ＝10，求线段BN 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5【分析】（1）根据旋转的性质，可得对应线段相等，根据根据等腰三角形的性质，可得∠BMN 与∠BNM 的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据角平分线的性质，可得ME ＝CM ，根据AAS ，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；（3）根据勾股定理，可得DN 的长，根据等角的锐角三角函数相等，可得答案．【详解】（1）证明：∵线段BM绕点B旋转后得线段BN∴BM＝BN∴∠BMN＝∠BNM，∵AM平分∠BAC∴∠CAM＝∠BAM∠AMC＝∠BMN＝∠BNM∴△ACM∽△ABN∴∠ABN＝∠C＝90°；（2）证明：作ME⊥AB于E，∵AM平分∠BAC，∠C＝90°，ME⊥AB∴ME＝CM，∵ND⊥BC于D∴∠MEB＝∠NDB＝∠ABN＝90°∴∠MBE＋∠MBN＝∠MBN＋∠BND＝90°∴∠MBE＝∠BND∵∠MEB＝∠NDB，∠MBE＝∠BND，BM＝BN∴△MEB≌△BDN（AAS），∴ME＝BD∴CM＝BD；（3）解：设DM＝2x，则CM＝BD＝3x，BN＝BM＝BD＋DM＝5x在Rt△BDN中，DN4x=在Rt△MDN中，2142 tanDM xDMNxDN===Ð，∵∠C＝∠NDM＝90°∴AC∥DN∴∠BAM＝∠CAM＝∠MND，∴1 tan tan2 BAM MNDÐ=Ð=在Rt△ABN中，1tan1052BN AB BAM=×Ð=´=．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，补角的性质，全等三角形的判定与性质，等角的锐角三角函数相等等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．。

中考数学直角三角形的边角关系综合题及答案解析一、直角三角形的边角关系1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴=6（cm ），∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCO ，∵∠DOC=∠ACB ，∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ，易知：PE=34t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ， ∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ） =1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG ，∴tan ∠EOC=tan ∠QOG ， ∴EC GQ OC OG =， ∴358544345t t t -=-， 整理得：5t 2-66t+160=0， 解得165t =或10（舍弃） ∴当165t =秒时，OE ⊥OQ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.3．如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则x-33x=6，解得：3则BE=（3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（3+3）=（3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ 的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．4．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG 3，∴FG =tan 3AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ， ∴CG =tan AG ACG∠=3． 又∵CG ﹣FG =24m ，33=24m ， ∴AG 3，∴AB 3+1.6≈22.4m ．5．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且»»AC BD=. （1）求证：AB CD =；（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；（3）如图，在（2）的条件下，点P 在»CG上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O e 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 10.【解析】【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；（3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有22LK KG n ==，2222FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HF FK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10．【详解】 解：（1）证明：∵»»AC BD =，∴»»»»AC CBBD CB +=+， ∴»»AB CD =，∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =，∴AOJ DOQ ∆≅∆，∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥，∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒， 如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =， 在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒，∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =，在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL =设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，22LK KG ==，222FK FL LK =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠，∴tan tan KFG HMF ∠=∠， ∴KG HF FK HM =，∴2222222nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =10FO =即O e 10【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．6．如图，直线y＝1 2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x+2≥﹣12x2+bx+c的x的取值范围；（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）213222y x x=--+；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y＝12x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，DE COAE BO=,最后分类讨论确定点D的坐标．【详解】解：（1）由y＝12x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣12x2+bx+c得：322bc⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，∴抛物线的解析式为：213222y x x=--+（2）当x≥0或x≤﹣4时，12x+2≥﹣12x2+bx+c（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ， 由213222y x x =-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，∴CO ＝1，AO ＝4，设点D 的坐标为（m ，213222m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE CO AE BO =， 当D 在x 轴上方时，213212242--+=+m m m 解得：m 1＝0，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（0，2）．当D 在x 轴下方时，213(2)12242---+=+m m m 解得：m 1＝2，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．7．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中， ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFH ≌△ABE （AAS ），∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ，∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，∴EH ＝AD ＝BC ＝8，∴CH ＝BE ， ∴EH FH FH AB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．8．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AC ⊥BC 于点C ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，连接DE ．（1）求证：四边形ACED 是矩形；（2）若AC ＝4，BC ＝3，求sin ∠ABD 的值．【答案】（1）证明见解析（2）613 【解析】【分析】 （1）根据▱ABCD 中，AC ⊥BC ，而△ABC ≌△AEC ，不难证明；（2）依据已知条件，在△ABD 或△AOC 作垂线AF 或OF ，求出相应边的长度，即可求出∠ABD 的正弦值．【详解】（1）证明：∵将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，∴BC ＝CE ，AC ⊥CE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ＝CE ，AD ∥CE ， ∴四边形ACED 是平行四边形，∵AC ⊥CE ，∴四边形ACED 是矩形．（2）解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，∴在Rt △BDE 中，2222BD BE DE 64213=+=+=∵S △BDE ＝12×DE•AD ＝12AF•BD ， ∴AF 61313213=， ∵Rt △ABC 中，AB 2234+5，∴Rt △ABF 中，sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝6136135AF AB ==方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，同理可得，OB ＝1132BD = ∵S △AOB ＝11OF AB OA BC 22⋅=⋅，∴OF ＝23655⨯=， ∵在Rt △BOF 中， sin ∠FBO ＝0613513F OB ==， ∴sin ∠ABD ＝613．【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD ．9．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，动点P 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且PQ ＝BQ ，延长QP 交射线AC 于点D ．（1）求证：QA ＝QD ；（2）设∠BAP ＝α，当2tanα是正整数时，求PC 的长；（3）作点Q 关于AC 的对称点Q′，连结QQ′，AQ′，DQ′，延长BC 交线段DQ′于点E ，连结AE ，QQ′分别与AP ，AE 交于点M ，N （如图2所示）．若存在常数k ，满足k•MN ＝PE•QQ′，求k 的值．【答案】（1）证明见解析（2）PC的长为37或32（3）8【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性质得出∠BAC＝∠D，即可得出结论；（2）过点P作PH⊥AB于H，设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意知tanα＝1或12，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，与勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝57，即可求出PC长；当tanα＝12时，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝12，即可求出PC长；（3）设QQ′与AD交于点O，由轴对称的性质得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四边形AQDQ′是菱形，由菱形的性质得出QQ′⊥AD，AO＝12AD，证出四边形BEQ'Q是平行四边形，得出QQ′＝BE，设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，由三角函数得出MOAO＝tan∠PAC＝PCAC，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵PQ＝BQ，∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，∵∠ACB＝∠PCD＝90°，∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，∴∠BAC＝∠D，∴QA＝QD；（2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示：设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意得：tan∠BAC＝43，∠BAP＜∠BAC，∴2tanα是正整数时，tanα＝1或12，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，∴3x+4x5，∴x ＝57， 即PC ＝4﹣5x ＝37； 当tanα＝12时，HA ＝2PH ﹣6x ， ∴6x+4x ＝5，∴x ＝12， 即PC ＝4﹣5x ＝32； 综上所述，PC 的长为37或32； （3）解：设QQ′与AD 交于点O ，如图2所示：由轴对称的性质得：AQ′＝AQ ＝DQ ＝DQ′，∴四边形AQDQ′是菱形，∴QQ′⊥AD ，AO ＝12AD ， ∵BC ⊥AC ，∴QQ′∥BE ，∵BQ ∥EQ′，∴四边形BEQ'Q 是平行四边形，∴QQ′＝BE ，设CD ＝3m ，则PC ＝4m ，AD ＝3+3m ，即QQ′﹣BE ＝4m+4，PE ＝8m ， ∵MO AO ＝tan ∠PAC ＝PC AC， ∴332MO m +＝43m ， 即MN ＝2MO ＝4m （1+m ），∴k ＝PE QQ MNg ′＝8(44)4(1)m m m m ++＝8．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键．10．抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y轴交于点C．（1）求抛物线表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，①求点P坐标;②过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+2GF2最小时,求点G坐标.（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值【答案】（1）y=x²﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313【解析】【分析】（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；（2）①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为▱CBPQ的面积为30，所以S△PBC=1 2×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+2 2GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；（3）先用面积法求出sin∠ACB=213，tan∠ACB=23，在Rt△ABE中，求得圆的直径，因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=MBBN＝23，所以BN=32MB，当MB为直径时，BN的长度最大．【详解】(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），∴1412554a ba b-++⎧⎨-++⎩＝，＝解得16ab⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线表达式为y=x²﹣6x+4．(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，设直线BC的解析式为y=kx+m，∵B（5，-1），C（0，4），∴154k mm-+⎧⎨⎩＝＝，解得14km＝，＝-⎧⎨⎩∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），∵▱CBPQ的面积为30，∴S△PBC=12×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t=2或t=3，当t=2时，y=-4当t=3时，y=-5，∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；②当点P为（2，-4）时，∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，设直线QP的解析式为：y=-x+n，将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，∴直线QP的解析式为：y=-x-2，∴F（0，-2），∠GOR=45°，∴GB+2GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，同理可得点G的坐标为（0，-2），(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），∴AC=26，BC=52，∵S△ABC=12AC×BCsin∠ACB＝12AB×5，∴sin∠ACB=213，tan∠ACB=23，∵AE为直径，AB=4，∴∠ABE=90°，∵sin∠AEB=sin∠ACB=213＝4AE，∴AE=213，∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，∴∠N=∠AEB=∠ACB，∴tanN=MBBN ＝23，∴BN=32MB，当MB为直径时，BN的长度最大，为313．【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质．解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则3x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴3∴D（03）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴BD BC BO AB =且BD=AC ， ∴6633BD -= ∴BD=123﹣18∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan ∠ABO=3OB AO =， ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan ∠ABO=3BD 3CD =， ∴CD=12﹣63∴D （12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E∵CE ⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE ⊥AO ，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE ⊥AO∴AC=2，3∵BC=AB ﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A 点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE ⊥OA∴22'13B C CE -=∴13∴B'（130）若点B'落在A 点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE⊥OA∴=∴2∴B'（20）综上所述：B'（0），（20）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。

直角三角形的边角关系测试题1、在Rt △ABC 中，∠A=90º，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC=2、在△ABC 中，∠B=90º，21cos =C ，则∠C=】3、在△ABC 中，∠C=90º，∠A=60º，AC=34，则BC=4、在△ABC 中，∠C=90º，BC=3，AB=32，则∠A=5、在△ABC 中，∠C=90º，若tanA=21，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90º，∠A=45º，则tanA+sinB=7、如图1，在△ABC 中，∠C=90º，∠B=30º，AD 是∠BAC 的平分线。

已知AB=34，那么AD=#8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=︒+α，那么锐角α=10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角º︒=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。

（结果保留四位 有效数字）11、在△ABC 中，∠C=90º，BC=5，AC=12，则tanA=（ ） A 、512 B 、125 C 、513 D 、135 12、在Rt △ABC 中，∠C=90º，53cos =A ，AC=6cm ，则BC=（ ）cm A 、8B 、C 、D 、 !13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tanA （ ） A 、53B 、54C 、34343 D 、3434514、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD638642382423231,23-1,23--3253500)3sin 2(3tan 2=-+-A B 5米353103︒+︒+︒-︒45tan 30cos 230tan 330sin ︒-︒+︒-︒-︒60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地上一幢建筑物与铁塔图，题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度.…图6-1 图6-2图2a CAE B)图1 BCDA图3图4 图524、如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路。

直角三角形边角关系单元综合评价测试题一、填空题 （每题3分，共27分） 1．cos81°25' = sin ． 2．若sin(10)2α-︒=α为 ．3．比较大小：sin48°______cos48°． 4．在△ABC ，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，若BC =10，∠BAC =120°，则AD = ． 5．已知直角三角形中，较大直角边长为30，此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为 ，面积为 ．6．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin θ= ． 7．在平行四边形ABCD 中，AD ∶AB =1∶2，∠A =60°，AB =4cm ，则四边形面积为 ．8．AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，若 BD ＝2，DC ＝8，则tan C 的值为 ．9．已知在△ABC 中， 90=∠C ，3cos B =2，AC =52，则AB = ． 二、选择题（每题3分，共18分）1．若α是锐角，sin αcos α=p ，则sin α＋cos α的值是（ ）A ．1＋2pB．C ．1－2pD2．若三角形三个内角的比是1∶2∶3，则它们正弦值的比为（ ）A ．1∶B ．1∶ 2 C ．12D23．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60º，CD ＝2cm ，则梯形ABCD 的面积为（ ）cm 2．A．B ．6C． D ．124．因为1s i n 302︒=，1sin 2102︒=-，所以s i n 210s i n (18030)︒=︒+︒=-︒；因为s i n 452︒=sin 2252︒=-所以sin 225sin(18045)sin 45︒=︒+︒=-︒，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα︒+=-，由此可知：sin 240︒=（ ）A ．12-B．2- C．2- D．5．如图，两根等高的电线杆的水平距离是50米，某人在杆的底部连结上E 处，测得一根杆顶的仰角是60°，另一根杆顶的仰角为30°，则电线杆顶距地面的高度是（ ）A ．25米B ．12.5米C ．D ．米（第6题图）EDCBA6．在△ABC中，∠A=30°，AC=4，BC=ABC为（）A．45°B．60°或120°C．45°或135°D．30°三、解答题（共55分）1．（5分）计算：230116(2)(πtan60)303-⎛⎫--÷-+-︒-︒⎪⎝⎭．2．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sin A，cos B是方程2210x mx-+=的两实根，求m的值和∠A的度数是多少？3．（6分）如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线AC 与江岸所成的夹角∠ACE＝60°．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由．B C E4．（7分）某海滨浴场的海岸线可以看作直线l（如图），有两位救生员在岸边的点A同时接到了海中的点B（该点视为定点）的呼救信号后，立即从不同的路径前往救助．其中1号救生员从点A先跑300米到离点B最近的点D，再跳入海中沿直线游到点B救助；2号救生员先从点A跑到点C，再跳入海中沿直线游到点B救助．如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，且∠BAD=45°，∠BCD=60°，请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B？5．（8分）在△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C对的边分别为a、b、c．（1）若∠A=60°，a＋b=3a、b、c及S△ABC；（2）若△ABC的周长为30，面积为30，求a、b、c．6．（7分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）7．（8分）如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点E 是A C 上一点，ED ⊥AB 于D，cos A =，3cot 4BED CE ∠==，DE 的长．EDC BA8．（8分）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i （即tan α）为1︰1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1︰1.4．已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少土方？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率．甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？HG。