第五章 弯曲应力

9
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z

h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m

z1 A 2 1 2
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z

y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力

材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
§5.3横力弯曲时的正应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲
横力弯曲的特点：
梁的横截面上不但有正应力还有切应力，
横截面不再保持为平面。
注意：
纯弯曲时的正应力计算公式 仍然适用于横力弯曲。
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力

第五章 弯曲应力
材料力学
§5.1 纯弯曲
材料力学
弯曲应力/纯弯曲 横力 F 弯曲 a F (+) (-)
FS 图
纯弯曲
F
一. 纯弯曲和横力弯曲： 横力
弯曲
纯弯曲：梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪
a L
力（
M 0 , Fs 0
）。
横力弯曲：梁弯曲变形
Fa
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（
M 图
材料力学
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
3.减小支座跨度或增加支座
F A L 0.125FL (+)
M 图
F BA 0.2L 0.6L 0.2L 0.025FL (+) 0.02FL
M 图
F BA 0.5L
9 512
B
0.5L
9 512
FL
FL
(+) 0.02FL
1 32 FL
(+)
M 图
h
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时的正应力
圆形截面：
实心：
d z
Iz
空心：

64

d
4
D d z
IZ
D (1 )