第五章 弯曲应力1

5-1 把直径1d mm =的钢丝绕在直径为2m 的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。

设200E GPa =解：钢丝绕在直径为D 的卷筒上后产生弯曲变形，其中性层的曲率半径为22D d Dρ+=≈（因D d >>） 该钢丝中产生的最大应力为39maxmax/211020010100/22y d d E E E Pa MPa D D σρ-⨯====⨯⨯=5.4 矩形截面悬臂梁如图所示。

已知4l m =，23b h =，10/q kN m =，[]10MPa σ=，试确定此梁横截面的尺寸。

解：作梁的弯矩图如图所示。

梁的最大弯矩发生在固定端截面上。

22max 111048022M ql kN m ==⨯⨯=⋅ 由强度条件，有max maxmax 26[]z M M W bhσσ==≤ 将23b h =代入上式，得0.416416h m mm ≥=== 22773b h mm =≥ 5.5 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。

若[]160MPa σ=，试求许可载荷F 。

解：（1）求支座反力。

选整个梁为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有0yF =∑，0A B F F F F ++-=()0AM=∑F ，6240B F F F ⨯-⨯+⨯=解得：13A F F =，13B F F =-M O212qlM O（2）作梁的弯矩图如图所示。

由图可知该梁的最大弯矩为max 23C M M F ==查表得No.20a 工字钢的抗弯截面系数为3237z W cm =，由强度条件，有max max 2/3[]z zM F W W σσ==≤ 解得663[]3237101601056.922z W F kN σ-⨯⨯⨯⨯≤==所以许可载荷56.9F kN =。

5.8 压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为45钢，380s MPa σ=，取安全因数1.5n =。

试校核压板的强度。

解：由受力分析可知最大弯矩发生在m m -截面处，且其值为3max 10.0215.4100.02308M P N m =⨯=⨯⨯=⋅m m -截面的抗弯截面系数z W 为333max11302030121212156810zz I W mm y ⨯⨯-⨯⨯=== 压板的最大应力为max max 9308197156810z M MPa W σ-===⨯ 而许用应力为380[]2531.5sMPa nσσ===截面m-m因最大应力小于许用应力，所以压板的强度足够。

第 五 章 弯 曲 应 力一、是非判断题1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。

（ × ）2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。

梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。

（ √ ）3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力maxσ不一定出现在maxM的截面上。

（ × ）4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。

（ √ ）5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。

（ × ）6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。

（ × ）7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。

（ √ ）二、填空题1、应用公式y I Mz=σ时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。

2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。

3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力=S FbhF23 。

4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为226161bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 Hbh BH 66132- 。

x三、选择题1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。

2、如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。

则当F增大时，破坏的情况是（ C ）。

A 同时破坏；B （a）梁先坏；C （b）梁先坏3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。

若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ）A B C DA BDx四、计算题1、长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知m h 18.0=，m b 12.0=，m y 06.0=，m a 2=，kN F 1=，求C 截面上K 点的正应力。

第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。

二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。

变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。

三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。

四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。

变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。

五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。

2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。

3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。

4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。

5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。

六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。

（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。

（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。

2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。

3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。

（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。

2、固定铰支座——有二个约束反力。

3、可动铰支座——有一个约束反力。

（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。

超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。

§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。

求：距A 端x 处截面上内力。

解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。

第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。

弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。

MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。

二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。

CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。

此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。

三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。

在梁两端对梁施加纯弯矩M 。

A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。

•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。

3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。

——平截面假定。

•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。

•中性层与横截面的交线叫中性轴。

梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。

中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。

材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。

习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。

解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。

试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。

并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。

解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。

处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。

试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。

解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。

6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。

已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。

第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。

Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。

(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。

Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。

2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。

3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。

2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。

横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。

Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。

当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。