XX高考数学必考点：摆动数列

2008高考数学复习 数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。

下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。

一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。

(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32(4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1. （方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n n a n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。

二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。

（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1.（3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,1211321--=∴⨯-⨯---n a n n n（3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n ,∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22nn a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。

高考数学必考知识点总结一、集合与常用逻辑用语。

1. 集合。

- 集合的概念：元素与集合的关系（属于、不属于），集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图）。

- 集合间的关系：子集、真子集、相等集合的判定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

- 集合的运算：交集、并集、补集的运算性质，例如A∩ B = B∩ A，A∪ (A∩B)=A等。

2. 常用逻辑用语。

- 命题：命题的真假判断，四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）的关系，互为逆否命题同真同假。

- 充分条件与必要条件：若pRightarrow q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pLeftrightarrow q，则p是q的充要条件。

- 逻辑联结词：“且”“或”“非”的含义，命题pwedge q、pvee q、¬ p的真假判断。

二、函数。

1. 函数的概念与性质。

- 函数的概念：函数的三要素（定义域、值域、对应法则），函数的表示方法（解析式、图象、表格）。

- 函数的单调性：增函数、减函数的定义，用定义法判断函数单调性的步骤，函数单调性的性质（如增 + 增 = 增等），复合函数单调性的判断（同增异减）。

- 函数的奇偶性：奇函数、偶函数的定义（f(-x)= - f(x)为奇函数，f(-x)=f(x)为偶函数），奇偶性的图象特征（奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称），函数奇偶性的运算性质（奇×奇 = 奇等）。

- 函数的周期性：若f(x + T)=f(x)（T≠0），则T是函数f(x)的周期。

2. 基本初等函数。

- 一次函数y = kx + b（k≠0）：图象是直线，k决定斜率，b决定截距。

- 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）：图象是抛物线，对称轴为x =-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})，根据a的正负判断开口方向。

- 幂函数y = x^α（α∈ R）：常见幂函数（α = 1,2,3,(1)/(2), - 1等）的图象和性质。

高考数列必考知识点数列作为高中数学中的重要知识点之一，在高考中占据着重要的位置。

掌握数列的概念、性质以及常见的数列类型是高考数学取得好成绩的必备知识。

本文将为同学们总结归纳高考数列必考的知识点。

一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的由数字组成的序列。

2. 数列的通项公式：数列的通项公式表示数列中第n个数的一般项，常用符号有an或者Un。

3. 数列的首项和公差：对于等差数列，首项表示数列的第一个数，常用符号是a1；公差表示相邻两项之间的差值，常用符号是d。

4. 数列的递推公式：数列的递推公式表示数列中第n+1项与第n项的关系式。

二、等差数列1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

2. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 等差数列前n项和：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。

三、等比数列1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，且首项不能为0。

2. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3. 等比数列前n项和：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)。

四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和，首几项为0、1、1、2、3、5、8、13……2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中既存在等差关系又存在等比关系的数列。

五、数列求和问题1. 常用的数列求和方法：对于等差数列或者等比数列，可以通过数列求和公式或者特殊方法进行求和。

2. 数列求和的技巧：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质进行化简，从而简化求和的过程。

六、题目实战演练1. 高考数列选择题：通过对历年高考数学试卷中关于数列的选择题进行分类整理，帮助同学们熟悉数列的考点和解题思路。

an
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三 数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列 或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.