2020年湖北省咸宁市中考数学试卷及答案解析.pdf

2020年咸宁市中考数学试题、试卷（解析版）一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）1．（3分）（2020•咸宁）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（）A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）2．（3分）（2020•咸宁）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（）A．0.305×1011B．3.05×108C．3.05×106D．305×1083．（3分）（2020•咸宁）下列计算正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a4 4．（3分）（2020•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）（2020•咸宁）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）A ．乙的最好成绩比甲高B ．乙的成绩的平均数比甲小C ．乙的成绩的中位数比甲小D ．乙的成绩比甲稳定6．（3分）（2020•咸宁）如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π2−√2B ．π−√2C ．π2−2D ．π﹣27．（3分）（2020•咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）A ．y ＝﹣xB ．y ＝x +2C ．y =2xD ．y ＝x 2﹣2x8．（3分）（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√5，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ∠ECF 的值为（ ）A ．23B ．√104C ．√53D ．2√55二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）9．（3分）（2020•咸宁）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是 ．10．（3分）（2020•咸宁）因式分解：mx 2﹣2mx +m ＝ ．11．（3分）（2020•咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ，∴a ∥b ．12．（3分）（2020•咸宁）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是．13．（3分）（2020•咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是．14．（3分）（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile．（结果保留一位小数，√3≈1.73）15．（3分）（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是．16．（3分）（2020•咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①△ABE∽△ECG；②AE＝EF；③∠DAF＝∠CFE；④△CEF的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是．（把正确结论的序号都填上）三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8分）（2020•咸宁）（1）计算：|1−√2|﹣2sin45°+（﹣2020）0；（2）解不等式组：{−(x−1)＞3，2x+9＞3．18．（7分）（2020•咸宁）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC 于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）19．（8分）（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2=mx的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．20．（8分）（2020•咸宁）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．在线阅读时间频数分布表组别在线阅读时间t人数A10≤t＜304B30≤t＜508C50≤t＜70aD70≤t＜9016E90≤t＜1102根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有人，a＝，m＝；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？21．（9分）（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．22．（10分）（2020•咸宁）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？23．（10分）（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．24．（12分）（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（52，34）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠P AO＝∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N（n，0）（0＜n＜52）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？2020年湖北省咸宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）1．（3分）（2020•咸宁）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（）A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）【解答】解：A.3+（﹣2）＝1，故A不符合题意；B.3﹣（﹣2）＝3+2＝5，故B不符合题意；C.3×（﹣2）＝﹣6，故C符合题意；D．（﹣3）÷（﹣2）＝1.5，故D不符合题意．综上，只有C计算结果为负．故选：C．2．（3分）（2020•咸宁）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（）A．0.305×1011B．3.05×108C．3.05×106D．305×108【解答】解：305000000＝3.05×108，故选：B．3．（3分）（2020•咸宁）下列计算正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a4【解答】解：3a﹣a＝a，因此选项A计算错误，不符合题意；a•a2＝a3，因此选项B计算正确，符合题意；a6÷a2＝a4，因此选项C计算错误，不符合题意；（3a2）2＝9a4≠6a4，因此选项D计算错误，不符合题意．故选：B．4．（3分）（2020•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看有两层，底层是2个正方形，上层的左边是1个正方形．故选：A．5．（3分）（2020•咸宁）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）A．乙的最好成绩比甲高B．乙的成绩的平均数比甲小C．乙的成绩的中位数比甲小D．乙的成绩比甲稳定【解答】解：由折线图可知，甲的5次射击成绩为6，7，10，8，9，乙的5次射击成绩为8，9，8，7，8，∵10＞9，∴甲的最好成绩比乙高，故选项A错误，不符合题意；∵x甲=15（6+7+10+8+9）＝8，x乙=15（8+9+8+7+8）＝8，∴乙的成绩的平均数与甲相等，故选项B错误，不符合题意；∵甲的成绩按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，10，所以中位数为8，乙的成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，所以中位数为8，∴乙的成绩的中位数与甲相等，故选项C错误，不符合题意；∵s 甲2=15[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，s 乙2=15[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4， 2＞0.4，∴乙的成绩比甲稳定，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．6．（3分）（2020•咸宁）如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π2−√2B ．π−√2C ．π2−2D ．π﹣2【解答】解：∵∠C ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △AOB=90⋅π×22360−12×2×2 ＝π﹣2．故选：D ．7．（3分）（2020•咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）A ．y ＝﹣xB ．y ＝x +2C ．y =2xD ．y ＝x 2﹣2x【解答】解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，∴当x ＝y 时，A ．x ＝﹣x ，解得x ＝0；不符合题意；B ．x ＝x +2，此方程无解，符合题意；C ．x 2＝2，解得x ＝±√2，不符合题意；D ．x ＝x 2﹣2x ，解得x 1＝0，x 2＝3，不符合题意．故选：B ．8．（3分）（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√5，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ∠ECF 的值为（ ）A ．23B ．√104C ．√53D ．2√55【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∵E 是BC 的中点，BC ＝2√5，∴BE ＝CE =12BC =√5，∴AE =√AB 2+BE 2=√22+(√5)2=3，由翻折变换的性质得：△AFE ≌△ABE ，∴∠AEF ＝∠AEB ，EF ＝BE =√5，∴EF ＝CE ，∴∠EFC ＝∠ECF ，∵∠BEF ＝∠EFC +∠ECF ，∴∠AEB ＝∠ECF ，∴cos ∠ECF ＝cos ∠AEB =BE AE =√53．故选：C ．二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）9．（3分）（2020•咸宁）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是 ﹣3 ．【解答】解：∵点A 在数轴上表示的数是3，∴点A 表示的数的相反数是﹣3．故答案为：﹣3．10．（3分）（2020•咸宁）因式分解：mx 2﹣2mx +m ＝ m （x ﹣1）2 ．【解答】解：mx 2﹣2mx +m ＝m （x 2﹣2x +1）＝m （x ﹣1）2，11．（3分）（2020•咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180° ，∴a ∥b ．【解答】解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，∴a ∥b ．故答案为：∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°．12．（3分）（2020•咸宁）若关于x 的一元二次方程（x +2）2＝n 有实数根，则n 的取值范围是 n ≥0 ．【解答】解：原方程可变形为x 2+4x +4﹣n ＝0．∵该方程有实数根，∴△＝42﹣4×1×（4﹣n ）≥0，解得：n ≥0．故答案为：n ≥0．13．（3分）（2020•咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 16 ．【解答】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，∴P （小聪和小慧）=16，故答案为：16． 14．（3分）（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是20.8nmile．（结果保留一位小数，√3≈1.73）【解答】解：过P作PD⊥AB于D．∵∠P AB＝30°，∠PBD＝60°，∴∠P AB＝∠APB，∴BP＝AB＝24nmile．在直角△PBD中，PD＝BP•sin∠PBD＝24×√32=12√3≈20.8（nmile）．即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．故答案为20.8．15．（3分）（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是a÷b＝c．【解答】解：∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，∴a，b，c满足的关系式是a÷b＝c．故答案为：a÷b＝c．16．（3分）（2020•咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①△ABE∽△ECG；②AE＝EF；③∠DAF＝∠CFE；④△CEF的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是①②③．（把正确结论的序号都填上）【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ECG＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠CEG，∴△ABE∽△ECG，故①正确；②在BA上截取BM＝BE，如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，BA＝BC，∴△BEM为等腰直角三角形，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵BA﹣BM＝BC﹣BE，∴AM＝CE，∵CF为正方形外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF ＝135°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠FEC ＝90°，而∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEC ，在△AME 和△ECF 中{∠MAE =∠CEFAM =EC ∠AME =∠ECF，∴△AME ≌△ECF ，∴AE ＝EF ，故②正确；③∵AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∵∠BAE +∠CFE ＝∠CEF +∠CFE ＝45°，∴∠DAF ＝∠CFE ，故③正确；④设BE ＝x ，则BM ＝x ，AM ＝AB ﹣BM ＝4﹣x ，S △ECF ＝S △AME =12•x •（2﹣x ）=−12（x ﹣1）2+12，当x ＝1时，S △ECF 有最大值12， 故④错误．故答案为：①②③．三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8分）（2020•咸宁）（1）计算：|1−√2|﹣2sin45°+（﹣2020）0；（2）解不等式组：{−(x −1)＞3，2x +9＞3．【解答】解：（1）原式=√2−1﹣2×√22+1=√2−1−√2+1＝0；（2）解不等式﹣（x﹣1）＞3，得：x＜﹣2，解不等式2x+9＞3，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．18．（7分）（2020•咸宁）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC 于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∵AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图所示：点P即为所求：19．（8分）（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2=mx的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为8；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．【解答】解：（1）把A （6，1）代入y 2=m x 中，解得：m ＝6，故反比例函数的解析式为y 2=6x ；把B （a ，﹣3）代入y 2=6x ，解得a ＝﹣2，故B （﹣2，﹣3），把A （6，1），B （﹣2，﹣3）代入y 1＝kx +b ，得{6k +b =1−2k +b =−3，解得：{k =12b =−2， 故一次函数解析式为y 1=12x ﹣2；（2）如图，设一次函数y 1=12x ﹣2与x 轴交于点C ，令y ＝0，得x ＝4．∴点C 的坐标是（4，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×4×1+12×4×3＝8． 故答案为8；（3）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞6时，直线y 1＝kx +b 落在双曲线y 2=m x 上方，即y 1＞y 2，所以y 1＞y 2时x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞6．20．（8分）（2020•咸宁）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．在线阅读时间频数分布表组别在线阅读时间t人数A10≤t＜304B30≤t＜508C50≤t＜70aD70≤t＜9016E90≤t＜1102根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有50人，a＝20，m＝8；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？【解答】解：（1）这次被调查的同学共有8÷16%＝50（人），a＝50×40%＝20，∵m%=450=8%，∴m＝8．故答案为：50，20，8；（2）扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×1650=115.2°；（3）950×50−4−850=722（人），答：估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min的有722人．21．（9分）（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．【解答】解：（1）连接OD，如图1，∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，∴∠ODF＝90°，∴∠ADO+∠BDF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠BDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF；（2）连接OF ，OD ，如图2，设圆的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，∵AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，∴OC ＝4﹣r ，DF ＝BF ＝3﹣1＝2，∵OD 2+DF 2＝OF 2＝OC 2+CF 2，∴r 2+22＝（4﹣r ）2+12，∴r =138．故圆的半径为138．22．（10分）（2020•咸宁）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意，得1200 x =300x−150，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，∴x﹣150＝50，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100m＝2×10y，则y＝5m，答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）若200m+50×5m≤1800，∴450m≤1800，∴m≤4，即m≤4时，w＝450m；若m＞4，则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，综上所述：w={450m(m≤4)360m+360(m＞4)．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：900×2＝1800（支），水银体温计：900×1＝900（支），此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），则w＝360×18+360＝6840（元）．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．23．（10分）（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为90°或270°；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BF A，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BF A+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BF A+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠F AD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．24．（12分）（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（52，34）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠P AO＝∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N（n，0）（0＜n＜52）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？【解答】解：（1）直线y =−12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，则点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，2），将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得{−23×(52)2+52b +c =34c =2，解得{b =76c =2， 故抛物线的表达式为：y =−23x 2+76x +2①；（2）如图1，作点B 关于x 轴的对称点B ′（0，﹣2），连接AB ′交抛物线于点P （P ′），则∠P AO ＝∠BAO ，由点A 、B ′的坐标得，直线AB ′的表达式为：y =12x ﹣2②，联立①②并解得：x ＝3或﹣2，故点P 的坐标为（3，−12）或（﹣2，﹣3）；（3）①过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，∵∠MNC ＝90°，∴∠MNO +∠CNH ＝90°， ∠CNH +∠NCH ＝90°， ∴∠MNO ＝∠NCH ，∴tan ∠MNO ＝tan ∠NCH ，即OM ON =NH CH ，即m n =52−n 34， 解得：m =−43n 2+103n ；②m =−43n 2+103n ，∵−43＜0，故m 有最大值，当n =54时，m 的最大值为2512，而m ＞0，故0＜m ＜2512时，符合条件的N 点的个数有2个．。

2020年湖北省咸宁市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共24分）1．早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（）A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）2．中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（）A．0.305×1011B．3.05×108C．3.05×106D．305×1083．下列计算正确的是（）A．3a﹣a＝2 B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a44．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）A．乙的最好成绩比甲高B．乙的成绩的平均数比甲小C．乙的成绩的中位数比甲小D．乙的成绩比甲稳定6．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．π﹣C．﹣2 D．π﹣27．在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+2 C．y＝D．y＝x2﹣2x8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos∠ECF的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）9．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是．10．因式分解：mx2﹣2mx+m＝．11．如图，请填写一个条件，使结论成立：∵，∴a∥b．12．若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是．13．某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是．14．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile．（结果保留一位小数，≈1.73）15．按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，34，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是．16．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①△ABE∽△ECG；②AE＝EF；③∠DAF＝∠CFE；④△CEF的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是．（把正确结论的序号都填上）三、解答题（共72分）17．（8分）（1）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（﹣2020）0；（2）解不等式组：18．（7分）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）19．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．在线阅读时间频数分布表组别在线阅读时间t 人数A 10≤t＜30 4B 30≤t＜50 8C 50≤t＜70 aD 70≤t＜90 16E 90≤t＜110 2根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有人，a＝，m＝；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．22．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？23．（10分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC ＝90°．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？参考答案与试题解析一、1．【解答】解：A.3+（﹣2）＝1，故A不符合题意；B.3﹣（﹣2）＝3+2＝5，故B不符合题意；C.3×（﹣2）＝﹣6，故C符合题意；D．（﹣3）÷（﹣2）＝1.5，故D不符合题意．综上，只有C计算结果为负．故选：C．2．【解答】解：305000000＝3.05×108，故选：B．3．【解答】解：3a﹣a＝a，因此选项A计算错误，不符合题意；a•a2＝a3，因此选项B计算正确，符合题意；a6÷a2＝a4，因此选项C计算错误，不符合题意；（3a2）2＝9a4≠6a4，因此选项D计算错误，不符合题意．故选：B．4．【解答】解：从左面看有两层，底层是2个正方形，上层的左边是1个正方形．故选：A．5．【解答】解：由折线图可知，甲的5次射击成绩为6，7，10，8，9，乙的5次射击成绩为8，9，8，7，8，∵10＞9，∴甲的最好成绩比乙高，故选项A错误，不符合题意；∵＝（6+7+10+8+9）＝8，＝（8+9+8+7+8）＝8，∴乙的成绩的平均数与甲相等，故选项B错误，不符合题意；∵甲的成绩按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，10，所以中位数为8，乙的成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，所以中位数为8，∴乙的成绩的中位数与甲相等，故选项C错误，不符合题意；∵＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，＝[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，2＞0.4，∴乙的成绩比甲稳定，故选项D正确，符合题意．故选：D．6．【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣＝π﹣2．故选：D．7．【解答】解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，∴当x＝y时，A．x＝﹣x，解得x＝0；不符合题意；B．x＝x+2，此方程无解，符合题意；C．x2＝2，解得x＝±，不符合题意；D．x＝x2﹣2x，解得x1＝0，x2＝3，不符合题意．故选：B．8．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵E是BC的中点，BC＝2，∴BE＝CE＝BC＝，∴AE＝＝＝3，由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，∴EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB＝∠ECF，∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．故选：C．二、9．【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是3，∴点A表示的数的相反数是﹣3．故答案为：﹣3．10．【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，11．【解答】解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，∴a∥b．故答案为：∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°．12．【解答】解：原方程可变形为x2+4x+4﹣n＝0．∵该方程有实数根，∴△＝42﹣4×1×（4﹣n）≥0，解得：n≥0．故答案为：n≥0．13．【解答】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，∴P（小聪和小慧）＝，故答案为：．14．【解答】解：过P作PD⊥AB于D．∵∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝24nmile．在直角△PBD中，PD＝BP•sin∠PBD＝24×＝12≈20.8（nmile）．即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．故答案为20.8．15．【解答】解：∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，∴a，b，c满足的关系式是a﹣b＝c．故答案为：a﹣b＝c．16．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ECG＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠CEG，∴△ABE∽△ECG，故①正确；②在BA上截取BM＝BE，如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，BA＝BC，∴△BEM为等腰直角三角形，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵BA﹣BM＝BC﹣BE，∴AM＝CE，∵CF为正方形外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF，故②正确；③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，∴∠DAF＝∠CFE，故③正确；④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝4﹣x，S△ECF＝S△AME＝•x•（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，当x＝1时，S△ECF有最大值，故④错误．故答案为：①②③．三、17．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+1 ＝﹣1﹣+1＝0；（2）解不等式﹣（x﹣1）＞3，得：x＜﹣2，解不等式2x+9＞3，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∵AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图所示：点P即为所求：19．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，解得：m＝6，故反比例函数的解析式为y2＝；把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函数解析式为y1＝x﹣2；（2）如图，设一次函数y1＝x﹣2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4．∴点C的坐标是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．故答案为8；（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞6时，直线y1＝kx+b落在双曲线y2＝上方，即y1＞y2，所以y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．20．【解答】解：（1）这次被调查的同学共有8÷16%＝50（人），a＝50×40%＝20，∵m%＝＝8%，∴m＝8．故答案为：50，20，8；（2）扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×＝115.2°；（3）950×＝722（人），答：估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min的有722人．21．【解答】解：（1）连接OD，如图1，∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，∴∠ODF＝90°，∴∠ADO+∠BDF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠BDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF；（2）连接OF，OD，如图2，设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，∴r2+22＝（4﹣r）2+12，∴．故圆的半径为．22．【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意，得＝，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，∴x﹣150＝50，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100m＝2×10y，则y＝5m，答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）若200m+50×5m≤1800，∴450m≤1800，∴m≤4，即m≤4时，w＝450m；若m＞4，则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，综上所述：w＝．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：900×2＝1800（支），水银体温计：900×1＝900（支），此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），则w＝360×18+360＝6840（元）．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．23．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．24．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，由点A、B′的坐标得，直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，联立①②并解得：x＝3或﹣2，故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）；（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠MNC＝90°，∴∠MNO+∠CNH＝90°，∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠MNO＝∠NCH，∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，解得：m＝﹣n2+n；②m＝﹣n2+n，∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，而m＞0，故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个。

2020年湖北省咸宁市中考数学试卷一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）1．（3分）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是( )A ．3(2)+-B ．3(2)--C ．3(2)⨯-D ．(3)(2)-÷-2．（3分）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为( )A ．110.30510⨯B ．83.0510⨯C ．63.0510⨯D ．830510⨯3．（3分）下列计算正确的是( )A ．32a a -=B ．23a a a =C ．623a a a ÷=D ．224(3)6a a =4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是( )A ．乙的最好成绩比甲高B ．乙的成绩的平均数比甲小C ．乙的成绩的中位数比甲小D ．乙的成绩比甲稳定6．（3分）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为( )A ．22π-B ．2π-C ．22π- D ．2π-7．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( )A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x =D ．22y x x =-8．（3分）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，25BC =，E 是BC 的中点，将ABE ∆沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ECF ∠的值为( )A ．23B ．104C ．53D ．255二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）9．（3分）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是 ．10．（3分）因式分解：22mx mx m -+= ．11．（3分）如图，请填写一个条件，使结论成立： ，//a b ∴．12．（3分）若关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，则n 的取值范围是 ．13．（3分）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ．14．（3分）如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60︒方向上，一艘轮船从小岛A 出发，由西向东航行24nmile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30︒方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是nmile ．（结果保留一位小数，3 1.73)≈15．（3分）按一定规律排列的一列数：3，23，13-，33，43，73，113-，183，⋯，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 ．16．（3分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有下列结论：①ABE ECG ∆∆∽；②AE EF =；③DAF CFE ∠=∠；④CEF ∆的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8分）（1）计算：0|122sin 45(2020)-︒+-；（2）解不等式组：(1)3,293x x -->⎧⎨+>⎩18．（7分）如图，在ABCD 中，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点E ，在AD上截取AF BE =．连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）请用无刻度的直尺在ABCD 内找一点P ，使90APB ∠=︒．（标出点P 的位置，保留作图痕迹，不写作法）19．（8分）如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ，(,3)B a -两点，连接OA ，OB ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）AOB ∆的面积为 ；（3）直接写出12y y >时x 的取值范围． 20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t （单位：)min ，然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表． 在线阅读时间频数分布表 组别 在线阅读时间t 人数A 1030t < 4B 3050t < 8C 5070t <a D7090t < 16 E 90110t < 2根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有人，a=，m=；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？21．（9分）如图，在Rt ABCC∠=︒，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB∆中，90于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF DF=；（2）若4CF=，求半圆O的半径长．AC=，3BC=，122．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒(m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？23．（10分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A∠与C∠的度数之和为；证明：（2）如图1，MN 是O 的直径，点A ，B ，C 在O 上，AM ，CN 相交于点D ． 求证：四边形ABCD 是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ∠=︒，探究线段AD ，CD 和BD 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++过点B 且与直线相交于另一点5(2C ，3)4． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，当PAO BAO ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）点(N n ，50)(0)2n <<在x 轴的正半轴上，点(0,)M m 是y 轴正半轴上的一动点，且满足90MNC ∠=︒．①求m 与n 之间的函数关系式；②当m 在什么范围时，符合条件的N 点的个数有2个？2020年湖北省咸宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）1．（3分）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是( )A ．3(2)+-B ．3(2)--C ．3(2)⨯-D ．(3)(2)-÷-【分析】分别按照有理数的加减法、有理数的乘除法法则计算即可．【解答】解：.3(2)1A +-=，故A 不符合题意；.3(2)325B --=+=，故B 不符合题意；.3(2)6C ⨯-=-，故C 符合题意；D ．(3)(2) 1.5-÷-=，故D 不符合题意．综上，只有C 计算结果为负．故选：C ．2．（3分）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为( )A ．110.30510⨯B ．83.0510⨯C ．63.0510⨯D ．830510⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：8305000000 3.0510=⨯，故选：B ．3．（3分）下列计算正确的是( )A ．32a a -=B ．23a a a =C ．623a a a ÷=D ．224(3)6a a =【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．【解答】解：3a a a -=，因此选项A 计算错误，不符合题意；23=，因此选项B计算正确，符合题意；a a a624÷=，因此选项C计算错误，不符合题意；a a a2244=≠，因此选项D计算错误，不符合题意．a a a(3)96故选：B．4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是()A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看有两层，底层是2个正方形，上层的左边是1个正方形．故选：A．5．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是()A．乙的最好成绩比甲高B．乙的成绩的平均数比甲小C．乙的成绩的中位数比甲小D．乙的成绩比甲稳定【分析】利用折线统计图可得甲、乙两名射击运动员5次射击的成绩，把他们的最好成绩进行比较，即可判断A；利用平均数、中位数、方差的意义分别求出他们的平均数、中位数、方差，即可判断B、C、D．【解答】解：由折线图可知，甲的5次射击成绩为6，7，10，8，9，乙的5次射击成绩为8，9，8，7，8，109>，∴甲的最好成绩比乙高，故选项A 错误，不符合题意； ()167108985x =++++=甲，()18987885x =++++=乙， ∴乙的成绩的平均数与甲相等，故选项B 错误，不符合题意；甲的成绩按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，10，所以中位数为8， 乙的成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，所以中位数为8， ∴乙的成绩的中位数与甲相等，故选项C 错误，不符合题意；(2222221[(68)(78)(88)(98)108)25s ⎤=-+-+-+-+-=⎦甲， (22221[(78)3(88)98)0.45s ⎤=-+⨯-+-=⎦乙， 20.4>，∴乙的成绩比甲稳定，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．6．（3分）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为( )A ．22πB ．2πC ．22π- D ．2π-【分析】由45C ∠=︒根据圆周角定理得出90AOB ∠=︒，根据AOB AOB S S S ∆=-阴影扇形可得出结论．【解答】解：45C ∠=︒，90AOB ∴∠=︒，AOB AOB S S S ∆∴=-阴影扇形29021223602π⨯=-⨯⨯ 2π=-．故选：D ．7．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( )A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x =D ．22y x x =-【分析】根据横、纵坐标相等的点称为“好点”，即当x y =时，函数解析式变为方程后，方程有解即可判断．【解答】解：横、纵坐标相等的点称为“好点”，∴当x y =时，A ．x x =-，解得0x =；不符合题意；B ．2x x =+，此方程无解，符合题意；C ．22x =，解得2x =±，不符合题意；D ．22x x x =-，解得10x =，23x =，不符合题意．故选：B ．8．（3分）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，25BC =，E 是BC 的中点，将ABE ∆沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ECF ∠的值为( )A ．23B 10C 5D 25 【分析】由矩形的性质得出90B ∠=︒，由勾股定理求出AE ，由翻折变换的性质得出AFE ABE ∆≅∆，得出AEF AEB ∠=∠，5EF BE ==，因此EF CE =，由等腰三角形的性质得出EFC ECF ∠=∠，由三角形的外角性质得出AEB ECF ∠=∠，cos cos BE ECF AEB AE∠=∠=，即可得出结果． 【解答】解：如图，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，E 是BC 的中点，25BC =，152BE CE BC ∴=== 22222(5)3AE AB BE ∴=+=+，由翻折变换的性质得：AFE ABE ∆≅∆，AEF AEB ∴∠=∠，5EF BE ==， EF CE ∴=，EFC ECF ∴∠=∠，BEF EFC ECF ∠=∠+∠，AEB ECF ∴∠=∠，5cos cos 3BE ECF AEB AE ∴∠=∠==． 故选：C ．二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）9．（3分）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是 3- ．【分析】A 在数轴上表示的数是3，根据相反数的含义和求法，判断出点A 表示的数的相反数是多少即可．【解答】解：点A 在数轴上表示的数是3，∴点A 表示的数的相反数是3-．故答案为：3-．10．（3分）因式分解：22mx mx m -+= 2(1)m x - ．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2222(21)(1)mx mx m m x x m x -+=-+=-，11．（3分）如图，请填写一个条件，使结论成立： 14∠=∠或24∠=∠或34180∠+∠=︒ ，//a b ∴．【分析】要使得//a b ，判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依此即可求解．【解答】解：14∠=∠或24∠=∠或34180∠+∠=︒，//a b ∴．故答案为：14∠=∠或24∠=∠或34180∠+∠=︒．12．（3分）若关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，则n 的取值范围是 0n ．【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式△0，即可得出关于n 的一元一次不等式，解之即可得出n 的取值范围（利用偶次方的非负性也可以找出n 的取值范围）．【解答】解：原方程可变形为2440x x n ++-=．该方程有实数根，∴△2441(4)0n =-⨯⨯-， 解得：0n ．故答案为：0n ．13．（3分）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 16． 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．【解答】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，()16P ∴=小聪和小慧， 故答案为：16． 14．（3分）如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60︒方向上，一艘轮船从小岛A 出发，由西向东航行24nmile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30︒方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是 20.8nmile ．3 1.73)≈【分析】过P 作PD AB ⊥于D ，易证ABP ∆是等腰三角形，得到24BP AB nmile ==．然后在直角PBD ∆中，利用三角函数的定义求得PD 的长即可．【解答】解：过P 作PD AB ⊥于D ．30PAB ∠=︒，60PBD ∠=︒，PAB APB ∴∠=∠，24BP AB nmile ∴==．在直角PBD ∆中，3sin 2412320.8()2PD BP PBD nmile =∠=⨯=≈． 即此时轮船与灯塔P 的距离约为20.8nmile ．故答案为20.8．15．（3分）按一定规律排列的一列数：3，23，13-，33，43，73，113-，183，⋯，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 a b c -= ．【分析】首项判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，1-，3，4-，7，11-，18⋯，从第三个数起，每个数的指数都是前两数指数之差；可得这列数中的连续三个数，满足a b c -=，据此解答即可．【解答】解：3，23，13-，33，43-，73，113-，183，⋯，121-=-，2(1)3--=，134--=-，3(4)7--=，4711--=-，7(11)18--=，⋯， a ∴，b ，c 满足的关系式是a b c -=．故答案为：a b c -=．16．（3分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有下列结论：①ABE ECG ∆∆∽；②AE EF =；③DAF CFE ∠=∠；④CEF ∆的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）【分析】①由AEB CEG AEB BAE ∠+∠=∠+∠得BAE CEG ∠=∠，再结合两直角相等得ABE ECG ∆∆∽；②在BA 上截取BM BE =，易得BEM ∆为等腰直角三角形，则45BME ∠=︒，所以135AME ∠=︒，再利用等角的余角相等得到BAE FEC ∠=∠，于是根据“ASA ”可判断AME ECF ∆≅∆，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；③由45MAE DAF ∠+∠=︒，45CEF CFE ∠+∠=︒，可得出DAF ∠与CFE ∠的大小关系，便可对③判断；④设BE x =，则BM x =，4AM AB BM x =-=-，利用三角形面积公式得到1(2)2AME S x x ∆=-，则根据二次函数的性质可得AME S ∆的最大值，便可对④进行判断． 【解答】解：①四边形ABCD 是正方形，90B ECG ∴∠=∠=︒，90AEF ∠=︒，AEB CEG AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠，BAE CEG ∴∠=∠，ABE ECG ∴∆∆∽，故①正确；②在BA 上截取BM BE =，如图1，四边形ABCD 为正方形，90B ∴∠=︒，BA BC =，BEM ∴∆为等腰直角三角形，45BME ∴∠=︒，135AME ∴∠=︒，BA BM BC BE -=-，AM CE ∴=， CF 为正方形外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=︒，90AEF ∠=︒，90AEB FEC ∴∠+∠=︒，而90AEB BAE ∠+∠=︒，BAE FEC ∴∠=∠，在AME ∆和ECF ∆中MAE CEF AM ECAME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， AME ECF ∴∆≅∆，AE EF ∴=，故②正确；③AE EF =，90AEF ∠=︒，45EAF ∴∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒，45BAE CFE CEF CFE ∠+∠=∠+∠=︒，DAF CFE ∴∠=∠，故③正确；④设BE x =，则BM x =，4AM AB BM x =-=-，2111(2)(1)222ECF AME S S x x x ∆∆==-=--+， 当1x =时，ECF S ∆有最大值12， 故④错误．故答案为：①②③．三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8分）（1）计算：0|12sin 45(2020)-︒+-；（2）解不等式组：(1)3,293x x -->⎧⎨+>⎩【分析】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式121=-+11=- 0=；（2）解不等式(1)3x -->，得：2x <-，解不等式293x +>，得：3x >-，则不等式组的解集为32x -<<-．18．（7分）如图，在ABCD 中，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点E ，在AD 上截取AF BE =．连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）请用无刻度的直尺在ABCD 内找一点P ，使90APB ∠=︒．（标出点P 的位置，保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定，菱形的判定即可证明；（2）连结AE ，BF ，根据菱形的性质可得AE 和BF 的交点即为点P ．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AF BE ∴，AF BE =，∴四边形ABEF 是平行四边形，BA BE =，∴四边形ABEF 是菱形；（2）如图所示：点P 即为所求：19．（8分）如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ，(,3)B a -两点，连接OA ，OB ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）AOB ∆的面积为 8 ；（3）直接写出12y y >时x 的取值范围．【分析】（1）首先把(6,1)A 代入反比例函数解析式中确定m ，然后把(,3)B a -代入反比例函数的解析式确定a ，然后根据A ，B 两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）求得一次函数与x 轴的交点，根据AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+即可求解；（3）根据图象，写出直线1y kx b =+落在双曲线2m y x =上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）把(6,1)A 代入2m y x =中， 解得：6m =，故反比例函数的解析式为26y x =； 把(,3)B a -代入26y x=，解得2a =-， 故(2,3)B --，把(6,1)A ，(2,3)B --代入1y kx b =+，得6123k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故一次函数解析式为1122y x =-； （2）如图，设一次函数1122y x =-与x 轴交于点C ， 令0y =，得4x =．∴点C 的坐标是(4,0)， 114143822AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=． 故答案为8；（3）由图象可知，当20x -<<或6x >时，直线1y kx b =+落在双曲线2m y x=上方，即12y y >， 所以12y y >时x 的取值范围是20x -<<或6x >．20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：)min，然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．在线阅读时间频数分布表组别在线阅读时间t人数t<4A1030t<8B3050t<aC5070t<16D7090t<2E90110根据以上图表，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有50人，a=，m=；（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？【分析】（1）根据B组的频数和所占的百分比，可以求得这次被调查的同学总数，用被调查的同学总数乘以C组所占百分比得到a的值，用A组人数除以被调查的同学总数，即可得到m；（2）用360︒乘以D组所占百分比得到D组圆心角的度数；（3）利用样本估计总体，用该校学生数乘以样本中平均每天的在线阅读时间不少于50min的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）这次被调查的同学共有816%50a=⨯=，÷=（人)，5040%204m==，%8%50∴=．8m故答案为：50，20，8；（2）扇形统计图中扇形D 的圆心角的度数为：16360115.250︒⨯=︒；（3）504895072250--⨯=（人)， 答：估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min 的有722人．21．（9分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ．（1）求证：BF DF =；（2）若4AC =，3BC =，1CF =，求半圆O 的半径长．【分析】（1）连接OD ，由切线性质得90ODF ∠=︒，进而证明90BDF A A B ∠+∠=∠+∠=︒，得B BDF ∠=∠，便可得BF DF =；（2）设半径为r ，连接OD ，OF ，则4OC r =-，求得DF ，再由勾股定理，利用OF 为中间变量列出r 的方程便可求得结果．【解答】解：（1）连接OD ，如图1，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ，90ODF ∴∠=︒，90ADO BDF ∴∠+∠=︒，OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠，90OAD BDF ∴∠+∠=︒，90C ∠=︒，90OAD B ∴∠+∠=︒，B BDF ∴∠=∠，BF DF ∴=；（2）连接OF，OD，如图2，设圆的半径为r，则OD OE r==，4AC=，3BC=，1CF=，4OC r∴=-，312DF BF==-=，22222 OD DF OF OC CF+==+，22222(4)1r r∴+=-+，∴138r=．故圆的半径为138．22．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒(m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x 元，(150)x -元，根据题意列出分式方程即可；（2）根据配套问题，设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m 的代数式表示；（3）根据题意列出不等式：2005051800m m +⨯，可得4m 时，450w m =；当4m >时，1800(4501800)0.8360360w m m =+-⨯=+，进而可得w 关于m 的函数关系式．【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x 元，(150)x -元，根据题意，得1200300150x x =-， 解得200x =，经检验，200x =是原方程的解，15050x ∴-=，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100210m y =⨯，则5y m =，答：购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套；（3）若2005051800m m +⨯，4501800m ∴，4m ∴，即4m 时，450w m =；若4m >，则1800(4501800)0.8360360w m m =+-⨯=+，综上所述：450(4)360360(4)m m w m m ⎧=⎨+>⎩． 若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：90021800⨯=（支)，水银体温计：9001900⨯=（支)，此时180010018m =÷=（盒)，51890y =⨯=（盒)，则360183606840w =⨯+=（元)．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．23．（10分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD 是对余四边形，则A ∠与C ∠的度数之和为 90︒或270︒ ； 证明：（2）如图1，MN 是O 的直径，点A ，B ，C 在O 上，AM ，CN 相交于点D ． 求证：四边形ABCD 是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ∠=︒，探究线段AD ，CD 和BD 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；（2）由圆周角定理得出90BAM BCN ∠+∠=︒，即90BAD BCD ∠+∠=︒，即可得出结论；（3）对余四边形的定义得出30ADC ∠=︒，将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，则BCD BAF ∆≅∆，60FBD ∠=︒，得出BF BD =，AF CD =，BDC BFA ∠=∠，则BFD ∆是等边三角形，得出BF BD DF ==，易证30BFA ADB ∠+∠=︒，由180FBD BFA ADB AFD ADF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，得出90AFD ADF ∠+∠=︒，则90FAD ∠=︒，由勾股定理即可得出结果． 【解答】（1）解：四边形ABCD 是对余四边形，90A C ∴∠+∠=︒或36090270A C ∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：90︒或270︒；（2）证明：MN 是O 的直径，点A ，B ，C 在O 上，90BAM BCN ∴∠+∠=︒，即90BAD BCD ∠+∠=︒，∴四边形ABCD 是对余四边形；（3）解：线段AD ，CD 和BD 之间数量关系为：222AD CD BD +=，理由如下： 对余四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，30ADC ∴∠=︒，AB BC =，∴将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，如图3所示： BCD BAF ∴∆≅∆，60FBD ∠=︒BF BD ∴=，AF CD =，BDC BFA ∠=∠， BFD ∴∆是等边三角形，BF BD DF ∴==，30ADC ∠=︒，30ADB BDC ∴∠+∠=︒，30BFA ADB ∴∠+∠=︒，180FBD BFA ADB AFD ADF ∠+∠+∠+∠+∠=︒， 6030180AFD ADF ∴︒+︒+∠+∠=︒，90AFD ADF ∴∠+∠=︒，90FAD ∴∠=︒，222AD AF DF ∴+=，222AD CD BD ∴+=．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++过点B 且与直线相交于另一点5(2C ，3)4． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，当PAO BAO ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）点(N n ，50)(0)2n <<在x 轴的正半轴上，点(0,)M m 是y 轴正半轴上的一动点，且满足90MNC ∠=︒．①求m 与n 之间的函数关系式；②当m 在什么范围时，符合条件的N 点的个数有2个？【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）如图1，作点B 关于x 轴的对称点(0,2)B '-，连接AB '交抛物线于点()P P '，则PAO BAO ∠=∠，即可求解； （3）①证明tan tan MNO NCH ∠=∠，即OM NH ON CH=，即5234n m n -=，即可求解；②241033m n n =-+，当54n =时，m 的最大值为2512，即可求解． 【解答】解：（1）直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，则点A 、B 的坐标分别为(4,0)、(0,2)，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得22553()32242b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得762b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：227236y x x =-++①；（2）如图1，作点B关于x轴的对称点(0,2)B'-，连接AB'交抛物线于点()P P'，则PAO BAO∠=∠，由点A、B'的坐标得，直线AB'的表达式为：122y x=-②，联立①②并解得：3x=或2-，故点P的坐标为1(3,)2-或(2,3)--；（3）①过点C作CH x⊥轴于点H，90MNC∠=︒，90MNO CNH∴∠+∠=︒，90CNH NCH∠+∠=︒，MNO NCH∴∠=∠，tan tanMNO NCH∴∠=∠，即OM NHON CH=，即5234nmn-=，解得：241033m n n =-+； ②241033m n n =-+， 403-<，故m 有最大值，当54n =时，m 的最大值为2512， 而0m >， 故25012m <<时，符合条件的N 点的个数有2个．。