【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点.2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQ⊥x轴时，PA=10，△PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p>0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k≥6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D6,0，求ABCD的最大值．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=10<a10,b的右顶点为A，左焦点F-c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为13的直线l1交双曲线C于A，B两点，且AB=8103．(1)求双曲线C的方程；(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N 两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为⊙O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得MN= MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆Cλ是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆Cλ的左､右顶点.点Q是Cλ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求AB+DE的值.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN ，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为-1,△OFM 的面积为1．(1)求C 的方程；(2)过点F 作一条直线l ，交C 于A ,B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，且经过点P-3,12．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值．15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.16.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为32的椭圆x2a2+y2 b2=1a>b>0的一个焦点F．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F的直线l交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设a=AC，b=μCD，c=DB．①当μ=2时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l，使得a，b，c成等差数列，求μ的范围．17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F和抛物线C2:y2=2px p>0的焦点重合，且C1和C2的一个公共点是23,263．(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线C2于P，Q，是否存在常数λ，使1AB-λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x24+y2=1的左､右顶点分别为A,B，点C是椭圆上异于A,B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P,Q，点P,C,M在x轴的上方.(1)当AC=5时，求cos∠POM；(2)求PQ⋅MN的最大值.19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F3,0，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点(其中A在第一象限)，交直线x=53于点M，(i)求|AF|⋅|BM||AM|⋅|BF|的值；(ii)过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：MP=PQ.20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.(2023春·浙江·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点M(-2,0)，F 1,F 2为椭圆C 的左右焦点，Q x 0,y 0 为平面内一个动点，其中y 0>0，记直线QF 1与椭圆C 在x 轴上方的交点为A x 1,y 1 ，直线QF 2与椭圆C 在x 轴上方的交点为B x 2,y 2 ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①若AF 2∥BF 1，证明：1y 1+1y 2=1y 0；②若QF 1 +QF 2 =3，探究y 0,y 1,y 2之间关系．22.(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)如图，椭圆x 24+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P x 0,y 0 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，F 1，F 2的圆与y 轴正半轴交于点A 0,y 1 ，经过点B (3,0)且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：y 0y 1=1．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．23.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A 2,0 ，直线l 过点P 4,0 ，当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，点A 到直线l 的距离为255.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与双曲线E 交于M ,N 两点，且x 轴上存在一点Q t ,0 ，使得∠MQP =∠NQP 恒成立，求t .24.(2023·广东梅州·统考一模)已知动圆M经过定点F1-3,0，且与圆F2：x-32+y2=16内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B，点P为轨迹C上异于A,B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP､AQ的斜率分别为k AP､k AQ.(i)求证：k AP⋅k AQ为定值；(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.25.(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线E：x24-y2=1与直线l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．26.(2023·山东·日照一中校考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，斜率为-3的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，点M (4,-22)在双曲线C 上，且MF 1 ⋅MF 2 =24.(1)求△MF 1F 2的面积；(2)若OB +OB=0(O 为坐标原点)，点N 3,1 ，记直线NA ,NB 的斜率分别为k 1,k 2，问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.27.(2023秋·山东泰安·高三统考期末)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过A 1,62 ，B 3,22两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知Q 4,0 ，过P 1,0 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP NP=MQ NQ．28.(2023·浙江·模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，且经过点M(8,33)．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D(不同于A，B)．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．29.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为B，O为坐标原点，P-a2,0为椭圆C的长轴上的一点，若∠BPO=45°，且△OPB的面积为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k AM，k AN，且k AM⋅k AN=-112，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN面积的最大值．30.(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12.且经过点1,32 ，P ，Q 是椭圆C 上的两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP 与OQ 的斜率之积为-34(O 为坐标原点)，点D 为射线OP 上一点，且OP =PD ，若线段DQ 与椭圆C 交于点E ，设QE =λED(λ>0).(i )求λ值；(ii )求四边形OPEQ 的面积.。
