第二章部分习题解答

(
)
(
)
（3）
sin z =
1 i z −i z 1 i z −i z 1 e −e = e −e = (e−i z − ei z ) 2i − 2i 2i
(
)
(
)
1 iz e − e−i z = sin z = 2i 。
8．试证：对任意的复数 z 及整数 m 有 证 对任意的复数 z，当 m为自然数时，
即
∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ 。又
∂u ∂u (− r sinθ ) + ∂u r cosθ = ∂θ ∂x ∂y
∂v ∂v ∂v ∂u ∂u = cos θ + sinθ = − cos θ + sinθ ∂r ∂x ∂y ∂y ∂x
⎞ ∂u 1 ⎛ ∂u 1 ∂u =− ⎜ θ − r sinθ ⎟ =− r cos ⎜ ⎟ ∂x r ⎝ ∂y r ∂θ ⎠
z 解（1）原方程等价于 e = −1，于是它的解为：
(− 1) + 2kπ ] = i π (1+ 2k) z = Ln(− 1) = ln | −1| + i[arg
（2）由于
k = 0,±1,±2,L
sin z = − cos,
ei z − e− i z
2i
=−
1 i z −i z e +e 2 ，故
ez = e( x+i y) = ex − y +i 2xy = ex
2 2 2 2
1
2
− y2
（3） Re{e z }
1
= Re{e
x+iy
x−iy x y ⎫ ⎧ ⎧ ⎪ x2+ y2 ⎫ ⎪ ⎪ x2= y2 −i x2+ ⎪ y2 ⎬ = } = Re⎨e Re e e ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
结合（1） 、 （2）两式，有
∂u ∂u ∂v ∂v = = = =0 ∂x ∂y ∂x vy ，
故 u, v 在 D 内均为常数，分别记之为 则
u1 = C1 , u2 = C 2 (C1 , C 2为实常数 ) ，
f (z) = u + iv = C1 + iC 2 = C 为一复常数。
2 2 2 （3）若 | f (z) | 在 D 内为一常数，记为 C1 ，则 u + v = C1 ，两边分别对于 x 和 y 求
ln 2 ln 2 ⎞ ⎛ + i sin ⎜ cos ⎟ 2 2 ⎠， ⎝
k = 0,±1,±2, L
12．若函数 f ( z) 在上半 z 平面内解析，试证函数 f (z) 在下半 z 平面内解析。 证 1 对于任意的下半 z 平面上的一点 z 。则点 z 是上半 z 平面上的点，
f ( z) = u( x, y) + i v( x, y),
偏导，得
∂v ⎧ ∂u 2u + 2v = 0 ⎪ ⎪ ∂x ∂x ⎨ ∂u ∂v ⎪2u + 2v =0 ⎪ ∂y ⎩ ∂y
由于 f (z) 在 D 内解析，满足 C-R 条件
∂v ∂u ∂v ∂u =− = , ∂x ∂x ∂y ∂y
代入上式又可写得
∂u ⎧ ∂u u −v =0 ⎪ ⎪ ∂x ∂y ⎨ ∂u ∂u ⎪v + u =0 ⎪ ∂y ⎩ ∂x
(
)
(e )
z m
= emz
(e )
当 m = 0 时，
z m
= ez ⋅ ez L ez = emz
m个
(e )
z 0
= 1= e 。
0z
当 m= −n(n为自然数) 时，
(e ) = (e )
z m
z （1） 1 + e = 0 ；
z −n
=
(e )
1
z n
=
1
e
nz
= e− nz = emz
9．找出下列方程的全部解。 （2） sinz + cosz = 0
∂ ∂v( x,− y) ∂ (− y) ∂u( x,− y) ∂[−v( x,− y)] ⎡ ∂v( x, − y) ⎤ u( x,− y) = =− = − ⎢− =− ⎥ ∂x ⎦ ∂y ∂ (− y) ∂y ∂ (− y) ⎣ ∂x
上述两式表明 f ( z) 的实部、虚部在 Im z < 0 内满足 C − R 条件，显然 u( x,− y) 与
= 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ i ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ ⎟ ⎟+ ⎜ 2⎜ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠
∂F =0 ∂z
可见 C-R 方程可表示为
z x x x− i y = ez 解（1） e = e (cosy + i sin y) = e (cosy − i sin y) = e
⎛ ei z + e− i z ⎞ 1 i z ⎟ = e + e−i z = 1 e−i z + ei z = cosz cosz = ⎜ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ 。 （2）
则
f ( z) = u( x,− y) − i v( x,− y) .
若 f ( z) 解析，则 u, v 满足 C-R 条件：
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂u ∂v =− ∂y ∂x
因此对于 Imz < 0 内的任一点 z = x + i y ,有
∂ ∂v( x,− y) ∂v( x,− y) ∂y ∂[−v( x,− y)] u( x,− y) = = = ∂x ∂( − y) ∂y ∂ (− y) ∂y
x ⎧ y y ⎞⎫ ⎪ x2+ y2 ⎛ ⎪ ⎜ ⎟ cos i sin = Re⎨e − 2 2 2 2 ⎟⎬ ⎜ x +y x + y ⎠⎪ ⎝ ⎪ ⎩ ⎭
x
=e
x2 + y2
cos
y x + y2
2
7.下列关系是否正确？
z z （1） e = e ；
（2） cosz = cosz ；
（3） sin z = sin z
2．下列函数何处可导？何处解析？ （1） 解 （1）由于
2 f (z) = xy +i x2y
∂v ∂u ∂u = x2 = 2xy ∂v = 2xy = y2 ∂ y ∂x ， ∂y ， ∂x ，
在 z 平 面 上 处 处 连 续 ， 且 当 且 仅 当 z=0 时 ， u,v 才 满 足 C-R 条 件 ， 故
内恒为常数。
（2） 若 f (z) = u + iv = u − iv 在区域 D 内解析，则
∂u ∂(− v) ∂v = =− ∂y ， ∂x ∂y
∂u ∂(− v) ∂u =− = ∂y ∂x ∂x
又 f (z) = u + iv 在区域 D 内解析，则
∂v ∂u ∂v ∂u =− = ∂x ∂y ， ∂y ∂x
w = F (z, z) ，试证柯西-黎曼方程可表示为：
∂F (z, z) =0 ∂z
证 由于
x= z+ z
2 ，
y=
z− z
2i
，
根据复合函数求导法则，有
∂F ∂u ∂v ∂u 1 ∂u ⎛ 1 ⎞ ⎛ ∂v 1 ∂v ⎛ 1 ⎞ ⎞ = +i = ⋅ + ⎜ − ⎟ + i⎜ ⋅ + ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎟ ∂z ∂z ∂z ∂x 2 பைடு நூலகம்y ⎝ 2i ⎠ ⎜ ⎝ ∂x 2 ∂y ⎝ 2i ⎠ ⎠
lim
g( z) − g( z0 ) f ( z) − f ( z0 ) = lim z→ z z − z0 z − z0
0
⎡ f ( z) − f ( z0 ) ⎤ = lim⎢ = f '( z0 ) z→ z0 z − z0 ⎥ ⎣ ⎦
且 g'( z0 ) = f ′( z0 ) 由点 z0 的任意性， 知 f ( z0 ) 在 Imz < 0 内 即 g( z) = f ( z) 在点 z0 处可导， 处处解析。 13． 在 w = u(x, y) + i v(x, y) 里，将 z = x + i y 与 z = x − i y 形式地看作独立变数，写作
证
θ , y = r sinθ ，利用复合函数求导法则和 u, v 满足 C-R 条件，得 令 x = r cos
∂u ∂u ∂u cos θ + sinθ = ∂r ∂x ∂y
∂v ∂v ∂v ∂u ∂u ∂u r sinθ + r cos = (− r sinθ ) + r cos θ= θ =r ∂θ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂r
− v( x, − y) 在 Im z < 0 内可微，故函数 f ( z) 在 Im z < 0 内处处解析。
证2
令 g( z) = f ( z) ，对于 Im z < 0 内的任一点 z0 ，则 z0 属于 Imz > 0 内的点，注意
到 f ( z) 在 Imz > 0 内解析，于是有
z→ z0
故
1 ln r 2 + 1− 2r cos θ + i arg (r cosθ − 1+ i r sinθ ) 2 1 Re[ln(z − 1)] = ln 1+ r 2 − 2r cos θ 2
(
)
(
)
11．求 3 和 (1+ i ) 的值。
i
i
解： 3
i
= eLn 3 = ei [ln3+i (arg3+ 2kπ )] = e−2kπ ei ln3