下载文档原格式
§5 二次型及其标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋅⋅⋅+a nn x n2+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+⋅⋅⋅+2a n -1,n x n -1x n令a ij =a ji ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应的关系.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 因此,二次型可记作f =x T Ax ,其中A 是一个实对称矩阵.实对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵,f 也叫做实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵的秩就叫做二次型f 的秩.对于二次型，寻找可逆的线性变换11111221221122221122,,.n n n n nn m nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩简记为x = C y ，于是f =x T Ax =(C y )T A (C y )=y T (C T AC )y使二次型只含平方项，即标准形f = k 1y 12+ k 2y 22+ … + k n y n 2说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.二次型f =x T Ax 在可逆线性变换x =Cy 下,有合同矩阵:若存在可逆矩阵C ,使B =C T AC ,=y T (C T AC )y .=(Cy )T A (Cy ) f =x T Ax 则称矩阵A 与B 合同.显然，☐B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T AC = B 即若A 为对称阵，则B 也为对称阵．☐R (B ) = R (A ) ．由此可知,经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵C T AC,且二次型的秩不变.若二次型f 经过可逆变换x = C y 变为标准形，即222()()()TT TT f x Ax Cy A Cy y C AC y ===1122112212(,,,)n nn n n k y k y k y k y k y y y y k y =+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使C T AC为对角阵（把对称阵合同对角化）．定理：设A 为n 阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP= P T AP= Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.定理：任给二次型f (x)=x T Ax（其中A = A T），总存在正交变换x= P y，使f化为标准形f(P y) = λ1y12+ λ2y22+ … + λn y n2其中λ, λ2, … , λn是f的矩阵A的特征值．1推论：任给二次型f (x )=x T Ax （其中A = A T ），总存在可逆变换x = C z ，使f (C z )为规范形．证明：f (P y ) = λ1y 12+ λ2y 22+ … + λn y n 2若R (A ) = r ，不妨设λ1,λ2,…, λr 不等于零，λr +1= … = λn =0.12,,|k i r k ⎛⎫⎪≤⎪=⎪ 其中令则K 可逆，变换y = Kz 把f (P y )化为f (PKz ) = (PKz )T A (PKz ) = z T K T P T APKz = z T K T ΛKz其中|=, 1,.i i n K k i r k λ⎨ ⎪> ⎪⎩⎝⎭1212,,,,0,,0||||||Trr K K diag λλλλλλ⎛⎫Λ=⎪⎝⎭将二次型化为标准形的问题，可以转化为将二次型的对称矩阵的对角化问题.。
化二次型为标准型的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：
（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；
（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；
（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；
（6）令x=Qy。
正交变换和配方法正交变换：求出A的所有特征值和特征向量将特征向量单位正交化由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了配方法：就按照完全平方公式配方。
但结果不一定能正交（保持图形不变）。
二次型化成标准型的方法是正交变换和配方法正交变换，二次型（quadratic form）是指n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多
项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。
在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
将二次型化为标准型有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。
另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念，涉及到矩阵的变换和对称矩阵的特征分解。
在实际问题中，我们经常需要将二次型化为标准形来进行进一步的分析和求解。
本文将比较几种常见的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握化二次型为标准形的过程。
一、使用正交变换一种常见的方法是利用正交变换将二次型化为标准形。
正交变换是指线性变换保持向量的长度和直角的性质，可以用正交矩阵来表示。
对于一个n阶实对称矩阵A，可以找到一个n阶正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是二次型的所有特征值，而P的列向量就是A的所有特征向量。
通过正交变换，可以将二次型A(x)化为标准形：A(x) = x^T Ax = (Px)^T (Px)这个过程是通过矩阵P的特征分解来实现的，可以利用各种线性代数工具和软件来进行计算和求解。
这种方法的优点是可以准确地求得二次型的特征值和特征向量，较为直观和简单，但是需要进行矩阵的特征分解和计算，对于大规模的问题可能比较耗时和复杂。
二、使用配方法另一种常见的方法是使用配方法将二次型化为标准形。
配方法是通过添加和减去一些适当的常数项，将二次型化为平方的和的形式。
具体来说，对于一个n元二次型：A(x) = a_11x_1^2 + a_22x_2^2 + ... + a_nnx_n^2 + 2a_12x_1x_2 + ... + 2a_n-1n x_n-1x_n可以通过一系列的配方法将它化为标准形：A(x) = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2其中y_i = x_i + b_i，k_i和b_i是适当的常数。
这个过程可以通过利用二次型的配方法来实现，通过选取适当的参数k_i和b_i，将二次型化为标准形。
这种方法的优点是较为直接和可控，可以使用一些简单的代数技巧和变换来进行求解，适用于规模较小的问题。
但是在具体的应用中需要一定的经验和技巧，需要根据具体的二次型来选择合适的配方法。
正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。
通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。
怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。
具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。
然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。
通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。
经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。
用正交变换化下列二次型为标准型正交变换是线性代数中的一个重要概念，它可以将一个二次型转化为标准型，从而简化问题的求解。
在本文中，我们将讨论如何利用正交变换将下列二次型化为标准型。
给定二次型。
\[f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 4x_1x_3 6x_2x_3\]我们首先需要构造二次型的矩阵表示。
根据二次型的定义，我们可以得到该二次型对应的矩阵为。
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -3 \\ -2 & -3 & 4 \end{bmatrix}\]我们的目标是通过正交变换将矩阵A对角化，即找到一个正交矩阵P，使得\[P^TAP = \Lambda\]其中Λ是一个对角矩阵。
我们首先需要求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解矩阵A的特征方程\(\det(A \lambda I) = 0\)，我们可以得到特征值为\(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 5\)。
接下来，我们求解每个特征值对应的特征向量。
对于特征值\(\lambda_1 = 1\)，我们需要求解方程组\((A \lambda_1 I)x = 0\)，其中I是单位矩阵。
解得特征向量为\[v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]对于特征值\(\lambda_2 = 3\)，我们求解方程组\((A \lambda_2 I)x = 0\)，解得特征向量为\[v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]对于特征值\(\lambda_3 = 5\)，我们求解方程组\((A \lambda_3 I)x = 0\)，解得特征向量为\[v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]现在我们可以构造正交矩阵P，其列向量为单位化的特征向量。
