大学物理实验分析报告——受迫振动的研究

大学物理实验报告——受迫振动的研究————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：受迫振动的研究摘要: 振动是自然界中最常见的运动形式，本文对物体的受迫振动进行了研究，观察到了共振现象，通过测量系统在振动时的相关物理量，获得了振动系统的固有频率，研究了受迫振动的幅频特性和相频特性，并绘出了图像。

关键词: 受迫振动幅频特性相频特性固有频率The study of the forced vibrationAbstract: Vibration is the most common form of exercise in the nature. This article makes a research on vibration. Resonance is observed during the experiment. By measuring the related physical quantity during the vibration, the system’s natural frequency is got. The article also studies the amplitude-frequency characteristics and phase-frequency characteristics and draws pictures about them.Keywords: forced vibration amplitude-frequency characteristics phase-frequency characteristics natural frequency一、实验原理1.受迫振动：物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。

如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。

在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。

所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与策动力变化不是同相位的，而是存在一个相位差。

当策动力频率与系统的固有频率相同产生共振，测试振幅最大，相位差为90°。

实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象。

当摆轮受到周期性策动力矩M=M0cos⁡ωt的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为−bⅆθⅆt），其运动方程为：Jⅆ2θⅆt =−kθ−bⅆθⅆt+M0cos⁡ωt(1)（1）式中，J为摆轮的转动惯量，–kθ为弹性力矩，M0为强迫力矩的幅值，ω为策动力矩的角频率。

令ω02=k∕J，2δ=bJ，m= M0J⁄。

则（1）式可写为ⅆ2θⅆt2+2δⅆθⅆt+ω02θ=mcos⁡ωt(2)式（2）即为阻尼振动方程。

阻尼系数为δ，摆轮固有频率为ω0。

在小阻尼的情况下，式（2）的通解为θ=θaⅇ−δt cos(ωa t+α)+θb cos(ωt+φ)可见，受迫振动可分成两部分：第一部分是阻尼振动，和初始条件有关，经过一定时间后衰减消失。

第二部分是振动的稳定状态，策动力矩对摆轮做功，向振动体传送能量，最后达到一个稳定的振动状态。

其中：θb=m√(ω02−ω2)2+4δ2ω2φ=arctan−2δωω02−ω22.共振：由极值条件∂θb ∂ω=0可得出，当策动力的角频率ωr =√ω02−2δ2时，产生共振，θ有极大值。

若共振时角频率和振幅分别用ωr 、θr 表示，则θr =m2δ√ω02−δ2f =arctan⁡(−√ω02−2δ2δ)表明，阻尼系数δ越小，共振时圆频率越接近固有频率，振幅θr 也越大。

振动的角位移滞后于驱动力矩的相位越接近于π/2，它们的关系如下图所示。

图一 受迫振动的幅频特性图二 受迫振动的相频特性3.阻尼系数δ的测定：(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数δ摆轮A 如果只受到涡卷弹簧B 提供的弹性力矩k θ-，轴承、空气和电磁阻尼力矩d bdt θ-，阻尼较小（220δω<）时，振动系统作阻尼振动。

对应的振动方程和方程的解为220220d d dt dt θθδωθ++=cos()t a a e t δθθωα-=+220a ωωδ=-注意到阻尼振动的振幅随时间按指数率衰减，对相隔n 个周期的两振幅之比去自然对数，则有0()ln ln ta t nT n a e n T e δδθθδθθ--+== （7）实际测量中，可利用上式求出δ值，其中n味阻尼振动的周期数，θ为计时开始时振动的振幅，n θ为第n 次振动时的振幅，T 为阻尼振动的周期。

(2)由受迫振动系统的频幅特性曲线求阻尼系数δ（只适合于弱阻尼22δω=情况）由幅频特性可以看出，弱阻尼220δω=的情况下，共振峰附近0/1ωω≈，002ωωω+≈，由式（4）和式（6）可得：2202222222002()4()brδωδθδθωωδωωωδ-=≈-+-+当/2b r θθ=时，由上式可解得0ωωδ-≈±。

在幅频特性曲线上可以直接读出/2b r θθ=处对应的两个横坐标0/ωω+ 和0/ωω-，见图4，从而可得2ωωδ+--= (8)图4 由幅频特性曲线求δ二、实验内容(1) 测定阻尼为0情况下摆轮的振幅θ与振动频率0ω的对应关系。

在仪器上选择“自由摆动”，然后将摆轮播过半圈左右（140160︒︒:），用仪器记录摆轮自由摆动的振幅θ和周期T 的关系。

查阅并记录实验数据以备查用。

(2) 测定阻尼振动的振幅比值，求出阻尼系数δ将试验模式调为“阻尼振动”，选择阻尼一，然后将摆轮播过半圈左右（140160︒︒:），开始测量。

测量连续十个周期的摆轮振幅019,,,θθθL 。

由式（7）可以发现，用逐差法处理019,,,θθθL 这组数据，可得平均值5T δ，从而求得阻尼系数δ。

(3) 观察摆轮受迫振动现象，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并求阻尼系数δ。

将有机玻璃转盘F 的指针放在角度盘“0”处，选择实验模式为“受迫振荡”，阻尼大小为“阻尼一”，打开电机，电机的转动带动摆轮作受迫振动。

当受迫振动稳定后，测量十个周期的长度10T 、摆轮振幅θ以及相位差ϕ。

调节旋钮改变电动机的转速，重复上述测量过程，测得电机驱动力变化时，受迫振动频率、振幅和相位差。

在从内容1中的0θω-曲线中查得相应的0ω值，作出在选定阻尼条件下的摆轮受迫振动的幅频特性曲线和相频特性曲线。

最后根据式（8）求出阻尼系数δ。

三、实验结果与讨论(1) 自由振动时，振幅与周期的关系T/sθT/sθ1.573 159 1.575 1021.573 158 1.575 1011.573 154 1.576 981.574 148 1.575 971.574 142 1.576 931.574 136 1.575 921.575 128 1.576 871.575 126 1.575 841.575 122 1.575 781.575 119 1.575 671.575 118 1.575 621.575 116 1.574 561.576 111 1.574 551.575 108 1.574 541.576 107 1.574 50此表供以后查阅。

(2) 测定阻尼振动的振幅比，求阻尼系数δ。

振幅/()θ︒5ln(/)5i i T θθδ+=0θ117 5θ 77 0.418369 1θ 108 6θ 71 0.419451 2θ99 7θ65 0.420733 3θ 91 8θ 60 0.416515 4θ849θ540.441833平均值0.4233810T =15.762s T =1.5762s由相关数据可得：δ=0.053722⁡s −1三、受迫振动的幅频特性与相频特性 实验数据如下： T ×10/s θbφT ×10/s θb φ15.041 38 163 15.689 147 107 15.143 44 161 15.713 152 100 15.301 58 156 15.738 154 92 15.337 62 154 15.762 154 85 15.370 66 152 15.784 150 79 15.4037215115.8101467315.451 78 145 15.848 138 65 15.466 81 144 15.872 131 60 15.491 86 142 15.943 110 49 15.512 91 141 16.010 93 40 15.554 101 136 16.064 82 35 15.606 120 129 16.104 76 32 15.640 131 121 16.144 69 30 15.672 142 112 16.154 68 29根据数据绘出幅频特性曲线，如下图所示：θbω/ω0根据数据，绘出相频特性曲线，如下图所示：由图可得：θr =154° θr √2=109°由图可得：ω+/ω0−ω−/ω0≈0.025δ≈0.049829⁡s −1四、参考文献[1] 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005.227-238.φω/ω0。