八年级数学训练题(一)

1.1 不等关系创新训练1：1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)答案:设学生人数为x 人, 依题意应有a+(1+x)*75%*a<(x+2)*80%*a.其中a 为每人旅游价格.1.2不等式的基本性质创新训练2：1． 如果m ＜n ，试比较－78m ＋2和－78n ＋2的大小。

2． 若0＜x ＜1，试比较x 2，x ，x 1的大小。

答案：1． 由m ＜n ，∴－78m ＞－78n ，故－78m ＋2＞－78n ＋2。

2． 由x －x 2＝x （1－x ），又0＜x ＜1，∴x －x 2＞０即x ＞x 2。

显然，当0＜x ＜1时，x ＜x1，故它们之间的大小关系为x1＞x ＞x 2。

1.3 不等式的解集创新训练3:1. 已知X-3M=Y+M,试比较X,Y 的大小.2. 试在数轴上表示:(1) 大于3而不超过的数; (2) 小于5且不小于-4的数.3. 如果不等式(a-1)X>a-1的解集为X<1,你能确定a 的范围吗?不妨试试看.答案:1.由X-Y=4M.当M=0时,X-Y=0即X=Y,当M<0时,X-Y<0即X<Y, 当M>0时,X-Y>0即X>Y3,由题意知,在不等式(a-1)X>a-1的两边除以a-1后,不等号方向改变了,故有a-1<0,从而a<11. 4一元一次不等式创新训练4：1． 如果关于x 的不等式－k －x ＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k 应取怎样的值？ 2． 已知方程3（x －2a ）＋2＝x －a ＋1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围。

3． 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠。

八年级上册数学专项训练题一、三角形全等专项训练1. 已知：如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D。

求证：△ABC≌△DEF。

解析：在三角形全等的判定定理中，有“SSS（边边边）”“SAS（边角边）”“ASA（角边角）”“AAS（角角边）”等。

本题中虽然给出了两组边相等（AB = DE，BC = EF）和一组角相等（∠A = ∠D），但是这组角不是两边的夹角，不满足SAS判定定理，所以不能判定这两个三角形全等。

2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。

求证：∠AEF = ∠EAF。

解析：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。

因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。

在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。

根据SAS判定定理，△BDG≌△CDA。

所以BG = AC，∠G = ∠EAF。

又因为BE = AC，所以BE = BG，所以∠G = ∠AEF。

所以∠AEF = ∠EAF。

二、轴对称专项训练1. 已知点A（2，3）关于x轴对称的点为A'，求A'的坐标。

解析：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。

所以点A（2，3）关于x轴对称的点A'的坐标为（2， 3）。

2. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M。

求∠DBC的度数。

解析：因为AB = AC，∠A = 36°，所以∠ABC=∠C=(180° 36°)÷2 = 72°。

因为MN是AB的垂直平分线，所以AD = BD。

所以∠A = ∠ABD = 36°。

所以∠DBC=∠ABC ∠ABD = 72° 36° = 36°。

初二数学每天练习题第一题：某超市开展了一场促销活动，一种牛奶原价每瓶15元，现在每瓶打9折，请问买10瓶需要支付的金额是多少？解答：首先，计算每瓶牛奶的打折价：15元 × 0.9 = 13.5元。

然后，计算购买10瓶牛奶所需的总金额：13.5元 × 10 = 135元。

答案：购买10瓶牛奶需要支付的金额是135元。

第二题：某班级共有60名学生，其中女生占总人数的40%，男生人数是多少？解答：首先，计算女生的人数：60 × 0.4 = 24人。

然后，计算男生的人数：60 - 24 = 36人。

答案：该班级男生的人数是36人。

第三题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后还剩余多少公里未行驶？解答：首先，计算汽车行驶的总路程：60公里/小时 × 3小时 = 180公里。

然后，计算剩余未行驶的公里数：总路程 - 已行驶的公里数 = 180公里 - 180公里 = 0公里。

答案：汽车行驶了3小时后，剩余0公里未行驶。

第四题：甲乙两人的年龄之和为30岁，甲的年龄是乙的2倍，求甲和乙的年龄。

解答：设甲的年龄为x岁，则乙的年龄为2x岁。

根据题目条件，得出方程：x + 2x = 30。

合并同类项，得到3x = 30。

进行简单计算，得到x = 10。

因此，甲的年龄为10岁，乙的年龄为20岁。

答案：甲的年龄是10岁，乙的年龄是20岁。

第五题：某商品原价100元，现在打6折出售，请问打折后的价格是多少？解答：首先，计算商品的打折价：100元 × 0.6 = 60元。

答案：该商品打6折后的价格是60元。

总结：通过以上五道数学练习题，我们学习到了解决实际问题的数学运算方法。

在日常生活中，数学运算可以帮助我们解决各种实际问题，提高计算能力和分析问题的能力。

希望大家能够利用每天的练习时间，提高自己的数学水平。

苏科版2020-2021八年级数学上册1.1-2.4综合训练卷(1)一、选择题1、如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙与丙2、如图，已知AB=AD ，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A ．CB=CDB ．∠BAC=∠DAC C ．∠BCA=∠DCAD ．∠B=∠D=90°3、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ．其中正确的结论为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④4、剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．5、新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6、如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为( )A. 7B.14C. 17D. 207、如图，在中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、若，则周长为 A. 12B. 10C. 13D. 无法确定8、△ABC 中，∠BAC ＞∠B ，∠C ＝50°，将∠B 折叠，使得点B 与点A 重合，折痕PD 分别交AB 、BC于点D 、P ，当△APC 中有两个角相等时，∠B 的度数为（ ）A ．40°或25°B ．25°或32.5°C ．40°或25°或32.5°D ．65°或80°或50°9、如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于21AB 长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，连接AE ，BE ，作直线EF 交AB 于点M ，连接CM ，则下列判断不正确的是（ ）A ．AB ＝2CM B ．EF ⊥ABC ．AE ＝BED ．AM ＝BM10、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上的点，过点D 作DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，连接CD ，∠DCA ＝∠DAC ，则下列结论正确的有（ ）①∠DCB ＝∠B ；②CD ＝AB ；③△ADC 是等边三角形；④若∠E ＝30°，则DE ＝EF +CF ．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 二、填空题 11、如图所示，ΔABC ≌ΔADE ，且，，则______． 12、如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D ，使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形．这样的点D 最多能找到 个．13、如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2＝度．14、如图，∠DAB＝∠EAC＝65°，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是．15、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO= OC；④AB⊥BC．其中正确的结论有．16、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝cm．17、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为．18、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于°．19、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（）A. 10B. 9C. 8D. 620、已知：如图，BD 为ABC ∆的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足，下列结论：①ABD EBC ∆≅∆；②180BCE BCD ∠+∠=︒；③AD EF EC ==；④2BA BC BF +=，其中正确的结论有 （填序号）．三、解答题21、如图，点E 、F 分别为线段AC 上的两个点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝CF ，BD 交AC 于点M ．求证：（1）AB ∥CD ；（2）点M 是线段EF 的中点．22、如图，△ADC 中，DB 是高，点E 是DB 上一点，AB ＝DB ，EB ＝CB ，M ，N 分别是AE ，CD 上的点，且AM ＝DN ．（1）求证：△ABE ≌△DBC ．（2）探索BM 和BN 的关系，并证明你的结论．23、已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：PA 平分∠MAN ．24、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．25、如图：在△ABC中，∠C=90° , AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．苏科版2020-2021八年级数学上册1.1-2.4综合训练卷(1)(答案)一、选择题1、如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ D ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙与丙2、如图，已知AB=AD ，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ C ）A ．CB=CDB ．∠BAC=∠DAC C ．∠BCA=∠DCAD ．∠B=∠D=90°3、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ．其中正确的结论为（ D ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④4、剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A ．5、新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ A ）A ．B ．C ．D ．6、如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为( C )B. 7 B.14C. 17D. 207、如图，在中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、若，则周长为 BA. 12B. 10C. 13D. 无法确定8、△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝50°，将∠B折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（）A．40°或25°B．25°或32.5°C．40°或25°或32.5°D．65°或80°或50°解：当∠APC＝∠C＝50°时，∵∠B＝∠P AB，∠APC＝∠B+∠P AB＝50°，∴∠B＝25°，当∠P AC＝∠C＝50°时，∠APC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠B＝∠APC＝40°，当∠CAP＝∠CP A＝（180°﹣50°）＝65°时，∠B＝∠CP A＝32.5°，故选：C．9、如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM【分析】根据基本作图得到EF是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的概念和性质判断即可．【解析】由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，∴EF⊥AB，AE＝BE，AM＝BM，则B、C、D说法正确，不符合题意，AB与2CM的故选不确定，A错误，符合题意，故选：A．10、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝BD∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．二、填空题11、如图所示，ΔABC≌ΔADE，且，，则______．12、如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形．这样的点D最多能找到个．【解答】解：如图所示：符合题意有2个点．故答案为：2．13、如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2＝度．解：如右图所示，∵AB＝BE，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD＝90°，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴∠ACB＝∠1，∵∠ACB+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90．14、如图，∠DAB＝∠EAC＝65°，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是115°．【分析】首先得出∠DAC＝∠EAB，进而利用ASA得出△ADC≌△AEB，进而得出∠E＝∠ACD，再利用三角形内角和定理得出∠EAF＝∠COF＝65°，即可得出答案．【解析】∵∠DAB＝∠EAC＝65°，∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠EAC，∴∠DAC＝∠EAB，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠E＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠OFC，∴∠EAF＝∠COF＝65°，∴∠DOE＝180°﹣∠COF＝115°．故答案为：115°．15、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO= OC；④AB⊥BC．其中正确的结论有①②③．16、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝cm．【分析】作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DF，再利用三角形面积公式得到10×DE14×DF＝42，则5DE+7DE＝42，从而可求出DE的长．【解析】作DF⊥BC于F，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵S△ADB+S△BCD＝S△ABC，∴10×DE14×DF＝42，∴5DE+7DE＝42，∴DE（cm）．故答案为．17、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠B ＝∠C ＝15°．则△ABC 的面积为 ．解：过C 作CD ⊥AB 交BA 的延长线于D ，∵∠B ＝∠ACB ＝15°，∴∠CAD ＝∠B +∠ACB ＝15°+15°＝30°，∵AC ＝4cm ，CD 是AB 边上的高，∴CD ＝AC ＝×4＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，故答案为：4．18、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝20°，DE 是边AC 的垂直平分线，连结AE ，则∠BAE 等于 50 °．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线的性质求出CE ＝AE ，求出∠EAC ＝∠C＝20°，即可得出答案．【解析】∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝20°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝70°，∵DE 是边AC 的垂直平分线，∠C ＝20°，∴CE ＝AE ，∴∠EAC ＝∠C ＝20°，∴∠BAE ＝∠BAC ﹣∠EAC ＝70°﹣20°＝50°，故答案为：50．19、如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=6，DE=3， 则△BCE 的面积等于（ B ）A. 10B. 9C. 8D. 620、已知：如图，BD 为ABC ∆的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足，下列结论：①ABD EBC ∆≅∆；②180BCE BCD ∠+∠=︒；③AD EF EC ==；④2BA BC BF +=，其中正确的结论有 ①②④ （填序号）．【解答】解：①BD 为ABC ∆的角平分线，ABD CBD ∴∠=∠，在ABD ∆和EBC ∆中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD EBC SAS ∴∆≅∆，∴①正确；②BD 为ABC ∆的角平分线，BD BC =，BE BA =，BCD BDC BAE BEA ∴∠=∠=∠=∠，ABD EBC ∆≅∆，BCE BDA ∴∠=∠，180BCE BCD BDA BDC ∴∠+∠=∠+∠=︒，∴②正确；③BCE BDA ∠=∠，BCE BCD DCE ∠=∠+∠，BDA DAE BEA ∠=∠+∠，BCD BEA ∠=∠，DCE DAE ∴∠=∠，ACE ∴∆为等腰三角形，AE EC ∴=，ABD EBC ∆≅∆，AD EC ∴=，AD AE EC ∴==， BD 为ABC ∆的角平分线，EF AB ⊥，而EC 不垂直与BC ，EF EC ∴≠，∴③错误；④过E 作EG BC ⊥于G 点，E 是BD 上的点，EF EG ∴=，在RT BEG ∆和RT BEF ∆中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩，()RT BEG RT BEF HL ∴∆≅∆，BG BF ∴=， 在RT CEG ∆和RT AFE ∆中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩，()RT CEG RT AEF HL ∴∆≅∆，AF CG ∴=， 2BA BC BF FA BG CG BF BG BF ∴+=++-=+=，∴④正确．故答案为：①②④．三、解答题21、如图，点E 、F 分别为线段AC 上的两个点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝CF ，BD 交AC 于点M ．求证：（1）AB ∥CD ；（2）点M 是线段EF 的中点．【解答】证明：（1）∵AE ＝CF ，∴AE +EF ＝CF +EF ，即AF ＝CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），∴∠BAF ＝∠DCE ，∴AB ∥CD ；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △CDE ，∴DE ＝BF ，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM（AAS），∴MB＝MD．即点M是线段EF的中点．22、如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）探索BM和BN的关系，并证明你的结论．（1）证明：∵DB是高，∴∠ABE＝∠DBC＝90°．在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC．（2）解：BM＝BN，MB⊥BN．证明如下：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM＝∠BDN．在△ABM和△DBN中，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°．∴MB⊥BN．23、已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解答】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．24、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解析】（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t，解得：x，t．25、如图：在△ABC中，∠C=90° , AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。