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第3章 排队模型分析法-1

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第3章 排队模型分析法-3-

第3章 排队模型分析法-3-

/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件：
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有 (m-k)个顾客，到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m



列出状态转移平衡方程：
排队越长，进入可能性越小(令 αk＝

1 k 1
)；


顾客所需的服务时间序列{n，n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)＝P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为： Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地，顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}

排队理论模型ppt课件

排队理论模型ppt课件
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
（五）、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计
服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
煤矿 火车 煤仓

排队模拟系统课程设计

排队模拟系统课程设计

排队模拟系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解排队模拟系统的基本概念，掌握其数学模型及相关参数。

2. 学生能运用所学知识分析并解决生活中的排队问题。

3. 学生了解计算机编程在排队模拟系统中的应用。

技能目标：1. 学生能运用数学知识构建简单的排队模型。

2. 学生能通过编程实现排队模拟系统的运行。

3. 学生能运用数据分析方法评估排队模拟系统的效果。

情感态度价值观目标：1. 培养学生运用数学和计算机知识解决实际问题的兴趣和信心。

2. 增强学生的团队协作意识和沟通能力。

3. 提高学生对生活中排队现象的关注和思考，培养良好的社会公德意识。

课程性质：本课程为信息技术与数学跨学科课程，结合计算机编程和数学建模，培养学生解决实际问题的能力。

学生特点：学生具备一定的数学基础和编程技能，对新鲜事物充满好奇，善于合作和探究。

教学要求：注重理论与实践相结合，引导学生主动参与，鼓励学生创新思维，提高解决问题的能力。

通过课程学习，将目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。

二、教学内容1. 排队论基本概念：介绍排队系统的组成，排队论的基本参数（到达率、服务率、排队规则等）。

教材章节：第五章第一节2. 排队模型建立：分析不同排队模型的数学表达式，如M/M/1、M/M/c等。

教材章节：第五章第二节3. 计算机编程实现：运用Python等编程语言，实现排队模拟系统的编写。

教材章节：第七章4. 数据分析方法：介绍数据分析方法，如排队长度、等待时间、系统利用率等指标的统计和分析。

教材章节：第六章5. 实际案例分析与讨论：结合生活中的排队现象，运用所学知识进行案例分析，提出优化方案。

教材章节：第八章教学安排与进度：第一课时：排队论基本概念及排队模型的介绍第二课时：计算机编程实现排队模拟系统第三课时：数据分析方法及案例讨论第四课时：学生展示与点评，总结提升教学内容确保科学性和系统性，结合教材章节和实际案例，引导学生从理论到实践，逐步掌握排队模拟系统的相关知识。

排队模型分析法

排队模型分析法

排队系统的基本组成——排队规则
服务是否允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待 的情况下服务的顺序是什么。 1) 损失制 顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构不
允许顾客等待，此时该顾客就自动离去 2) 等待制 顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队
等待服务 a) 先到先服务 b) 后到先服务 c) 随机服务 d) 有优先权服务：强拆型优先权、非强拆型优先权 3) 混合制 损失制与等待制的混合 a) 队长(容量)有限的混合制 b) 等待时间有限的混合制 c) 逗留时间有限的混合制
排队系统的基本组成——服务机构
1) 服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联
2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物)
3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
排队方式
MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
定长分布(deterministic distribution)
M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in
queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method

排队问题知识点总结归纳

排队问题知识点总结归纳

排队问题知识点总结归纳排队问题是生活中常见的一种现象，在各个领域都有着广泛的应用。

从排队理论到排队模型，排队问题涉及数学、经济学、物理学等多个学科领域，具有重要的理论和实践价值。

一、排队问题的定义和基本特点排队问题是指在一定的规则下，由许多个体依次等待某种服务或者处理某种事务的过程。

排队问题具有以下基本特点：1. 排队的客体：排队问题的客体可以是人、机器、车辆等，对于不同的客体，排队规则和模型可能不同。

2. 排队的服务：排队的服务可以是购物、交通、医疗、餐饮等多种形式，不同的服务对排队的要求也不同。

3. 排队的规则：排队可能遵循先来先服务、优先等级、随机等待等不同的规则，不同的规则下可能产生不同的效果。

4. 排队的目的：排队的目的是为了合理分配资源、提高效率、保障公平等多种原因。

二、排队问题的基本模型排队问题可以用数学模型来描述，常见的排队模型有M/M/1排队模型、M/M/c排队模型、M/G/1排队模型等。

这些模型基于排队的客体、服务、规则和目的，对排队问题进行了抽象和理论分析。

排队模型的基本元素包括：到达过程、服务过程、排队规则和系统性能指标。

1. 到达过程：描述排队客体到达的频率和规律，主要包括到达间隔的分布、到达率和到达模式。

2. 服务过程：描述排队客体接受服务的频率和规律，主要包括服务时间的分布、服务率和服务模式。

3. 排队规则：描述排队客体的排队规则，主要包括优先级、服务顺序、等待规则等。

4. 系统性能指标：描述排队系统的效率、稳定性和公平性等性能指标，主要包括平均等待时间、系统繁忙率、系统利用率等。

三、排队问题的常见应用排队问题在现实生活中有着广泛的应用，涉及到交通、医疗、零售、餐饮、银行等多个领域。

根据不同的应用领域，排队问题的特点和模型也会有所不同。

1. 交通领域：交通拥堵是城市问题的常见症结，而排队问题的根本原因之一。

研究交通排队问题，可以从交通流理论、交通信号控制、交通规划等多个角度入手，找到合理的解决办法。

运筹学中的排队网络模型-教案

运筹学中的排队网络模型-教案

运筹学中的排队网络模型-教案一、引言1.1排队现象的普遍性1.1.1生活中的排队：超市结账、银行柜台1.1.2工业中的排队：机器维修、订单处理1.1.3交通中的排队：车辆排队、信号灯控制1.1.4计算机网络中的排队：数据包传输、服务器响应1.2排队网络模型的重要性1.2.1提高服务效率：通过模型优化减少等待时间1.2.2资源合理分配：平衡服务点的工作负载1.2.3预测系统性能：评估不同场景下的系统表现1.2.4支持决策制定：为服务设施设计和管理提供依据1.3教学目标和结构安排1.3.1理论与实践结合：理解排队理论及其应用1.3.2分析与建模能力：学会构建和解决排队网络模型1.3.3综合案例分析：通过实例深化理解1.3.4教学方法：讲授、讨论、练习和项目作业相结合二、知识点讲解2.1排队论基础2.1.1排队系统的基本组成：顾客源、队列和服务设施2.1.2排队系统的性能指标：队长、等待时间、服务利用率2.1.3排队论的典型模型：M/M/1、M/M/c、M/G/12.1.4排队论的数学工具：概率论、随机过程2.2排队网络模型2.2.1单节点排队网络：单个服务设施2.2.2多节点排队网络：多个服务设施串联或并联2.2.3开放排队网络：顾客可以加入或离开系统2.2.4封闭排队网络：顾客总数固定2.3排队网络的分析方法2.3.1平衡方程法：求解稳态概率分布2.3.2矩阵几何法：适用于多节点网络2.3.3计算机仿真法：模拟排队过程2.3.4最优化方法：优化网络设计和服务策略三、教学内容3.1排队网络模型的构建3.1.1确定模型类型：根据实际情况选择单节点或多节点模型3.1.2参数估计：利用历史数据估计到达率、服务率等参数3.1.3模型验证：通过与实际数据对比验证模型的准确性3.1.4模型简化：在保持精度的前提下简化模型以提高计算效率3.2排队网络模型的求解3.2.1稳态分析：求解稳态概率分布和性能指标3.2.2瞬态分析：研究系统随时间的动态变化3.2.3灵敏度分析：评估参数变化对系统性能的影响3.2.4启发式算法：在复杂模型中寻找近似解3.3排队网络模型的应用3.3.1服务业中的应用：银行、医院、呼叫中心3.3.2制造业中的应用：生产线的优化、设备维护3.3.3交通运输中的应用：机场登机、交通信号控制3.3.4计算机网络中的应用：数据中心的设计、网络协议的优化四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解排队论的基本概念和组成4.1.2掌握单节点和多节点排队网络的特点4.1.3学会构建和求解排队网络模型4.1.4能够运用排队网络模型解决实际问题4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的逻辑思维和抽象思维能力4.2.2提高学生的数据分析能力和数学建模能力4.2.3增强学生的计算机操作能力和软件应用能力4.2.4锻炼学生的团队合作能力和沟通协调能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对运筹学的兴趣和热情4.3.2增强学生对科学方法的认识和理解4.3.3提高学生的创新意识和解决问题的能力4.3.4培养学生的社会责任感和职业道德五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1排队网络模型的构建：确定模型类型和参数估计5.1.2排队网络模型的求解：稳态分析和瞬态分析5.1.3排队网络模型的应用：实际问题的解决和优化5.2教学重点5.2.1排队论的基本概念和性能指标5.2.2单节点和多节点排队网络的特点和区别5.2.3排队网络模型的求解方法和应用领域5.3教学难点与重点的关系5.3.1教学难点是学生在学习过程中可能遇到的困难和挑战5.3.2教学重点是学生需要掌握的核心知识和技能5.3.3教学难点和重点相互关联，解决难点有助于掌握重点5.3.4教学难点和重点的突破需要教师的有效引导和学生的积极参与六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1投影仪和电脑：用于展示教学课件和实例分析6.1.2白板和马克笔：用于讲解和演示排队网络模型6.1.3教学软件：用于模拟和求解排队网络模型6.1.4实际案例资料：用于分析和讨论排队网络模型的应用6.2学具准备6.2.1笔记本和教材：用于记录和复习排队网络模型的知识点6.2.2计算器：用于计算和求解排队网络模型的性能指标6.2.3计算机软件：用于构建和求解排队网络模型6.2.4实际案例数据：用于分析和解决实际问题6.3教具与学具的使用6.3.1教具的使用：教师应根据教学内容和目标选择合适的教具6.3.2学具的使用：学生应根据学习任务和目标选择合适的学具6.3.3教具与学具的结合使用：教师和学生应共同参与教学活动，促进互动和合作6.3.4教具与学具的评价：教师和学生应定期评估教具和学具的效果和适用性七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入排队现象和排队网络模型的概念7.1.2提出问题：如何优化排队网络和提高服务效率7.1.3引发学生的兴趣和思考7.1.4导入新课的教学目标和内容7.2课堂讲解7.2.1讲解排队论的基本概念和组成7.2.2介绍单节点和多节点排队网络的特点和区别7.2.3讲解排队网络模型的构建和求解方法7.2.4通过实例分析和讨论排队网络模型的应用7.3课堂练习与讨论7.3.1布置课堂练习：构建和求解排队网络模型7.3.2分组讨论：分析和解决实际问题7.3.3教师指导和解惑：解答学生的疑问和困惑7.3.4学生展示和分享：展示练习成果和讨论结果7.4课堂小结与作业布置7.4.2强调学生的掌握程度和存在的问题7.4.3布置课后作业：巩固和拓展排队网络模型的知识7.4.4提醒学生下节课的教学内容和预习要求八、板书设计8.1排队网络模型的基本概念8.1.1排队系统的基本组成8.1.2排队系统的性能指标8.1.3排队论的典型模型8.1.4排队论的数学工具8.2排队网络模型的构建与求解8.2.1单节点排队网络8.2.2多节点排队网络8.2.3开放排队网络8.2.4封闭排队网络8.3排队网络模型的应用8.3.1服务业中的应用8.3.2制造业中的应用8.3.3交通运输中的应用8.3.4计算机网络中的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1排队网络模型的基本概念和性能指标9.1.2单节点和多节点排队网络的特点和区别9.1.3排队网络模型的构建和求解方法9.2实际案例分析题9.2.1分析和解决实际问题9.2.2建构和求解实际排队网络模型9.2.3评估排队网络模型的性能和优化效果9.3探究性课题9.3.1研究排队网络模型的扩展和应用9.3.2探讨排队网络模型在其他领域的应用9.3.3创新排队网络模型的理论和方法十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1教学内容的深度和广度10.1.2教学方法和手段的有效性10.1.3学生的参与度和理解程度10.1.4教学目标达成情况的评估10.2拓展延伸10.2.1排队网络模型在其他领域的应用10.2.2排队网络模型的最新研究和发展10.2.3排队网络模型与其他运筹学方法的结合10.2.4排队网络模型在实际问题中的应用案例重点关注环节的补充和说明：1.教学内容的深度和广度：在讲解排队网络模型时，应注重理论与实践相结合，通过实际案例分析加深学生对理论的理解和应用能力。

第3章数据结构基本类型3.3操作受限的线性表——队列-高中教学同步《信息技术-数据与数据结构》(教案

第3章数据结构基本类型3.3操作受限的线性表——队列-高中教学同步《信息技术-数据与数据结构》(教案
作业布置
编程实践：请实现一个循环队列，包含入队（enqueue）、出队（dequeue）、判断队列是否为空（is_empty）等基本操作。你可以使用Python语言进行编程，并编写相应的测试用例来验证你的实现。
理论思考：
思考并解释为什么队列的“先进先出”特性在现实生活中有广泛的应用。
假设你是一家大型超市的经理，你需要设计一个顾客结账排队系统。请说明你会如何利用队列的原理来设计一个既高效又公平的排队系统。
队列的应用：
结合日常生活中的排队场景，解释队列原理的实际应用，如银行取号系统、医院挂号系统等。
强调队列在处理具有“先来先服务”特性问题时的有效性，以及如何通过队列来优化服务流程。
教学难点
循环队列的实现与理解：
理解循环队列如何通过循环使用数组空间来避免“假溢出”现象。
掌握如何根据队列的头部和尾部指针判断队列的空和满状态。
完成后与同学交流并分享自己的解题思路和经验。
通过编程练习巩固所学知识，提高学生的编程能力和解决实际问题的能力。
鼓励学生互相交流和讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
课堂小结
作业布置
课堂小结
本节课我们深入学习了数据结构中的队列（Queue）这一重要概念。首先，通过日常生活中排队的例子，我们直观地理解了队列的基本特点——先进先出（FIFO），即新加入的元素总是排在队尾，而需要处理的元素总是从队头开始。
准备课后作业：设计一些与队列相关的课后作业，如编写顺序队列和链式队列的实现代码、分析队列在实际问题中的应用等，以巩固学生的学习效果。
教学媒体
教材或讲义：
提供了队列的基本概念、特征、实现方式以及应用实例的文字描述。
包含了队列的抽象数据类型定义、队列的存储结构（顺序队列、循环队列、链队列）等核心知识点的详细解释。

(完整word版)数学建模 港口问题_排队论

(完整word版)数学建模 港口问题_排队论

排队模型之港口系统本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。

好。

关键词：问题提出：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。

船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。

一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。

那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分比是多少？船只排队最长的长度是多少？问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。

本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。

【1】M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，//1前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。

蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

（2）排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。

2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。

flexsim食堂排队课程设计

flexsim食堂排队课程设计

flexsim食堂排队课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解并掌握FlexSim软件的基本操作流程；2. 学生能够运用FlexSim软件构建食堂排队的仿真模型；3. 学生能够了解并描述影响食堂排队效率的主要因素；4. 学生能够掌握基本的统计学概念，如平均等待时间、队列长度等。

技能目标：1. 学生能够运用FlexSim软件进行模型的搭建和参数设置；2. 学生能够通过调整模型参数，分析和优化食堂排队系统；3. 学生能够运用统计学方法对仿真结果进行有效分析；4. 学生能够撰写完整的实验报告，展示实验过程和结果。

情感态度价值观目标：1. 学生能够培养对仿真建模的兴趣，提高解决实际问题的热情；2. 学生能够认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题；3. 学生能够关注社会现象，将所学知识运用到实际生活中，提高社会责任感；4. 学生能够通过实验过程，培养严谨的科学态度和良好的实验习惯。

课程性质：本课程为实践性较强的课程，结合软件操作和实际案例分析，帮助学生掌握仿真建模的基本方法和技巧。

学生特点：学生具备一定的计算机操作基础，对新鲜事物充满好奇心，喜欢动手实践，但可能缺乏对实际问题的深入思考。

教学要求：教师需注重引导学生关注实际问题，激发学生的兴趣；在教学过程中，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；同时，关注学生的情感态度，培养其团队协作能力和科学素养。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. FlexSim软件基础知识：- 软件界面及基本操作方法；- 建模元素及其属性设置；- 建立对象之间的连接关系。

2. 食堂排队系统建模：- 分析食堂排队系统的基本构成和特点；- 使用FlexSim软件构建食堂排队模型；- 设置模型参数，如顾客到达率、服务率等。

3. 仿真分析与优化：- 运行模型，收集统计数据；- 分析影响食堂排队效率的主要因素；- 调整模型参数，优化排队系统。

银行排队系统课程设计

银行排队系统课程设计

银行排队系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解银行排队系统的基本原理和运作流程；2. 掌握利用数学模型分析排队系统效率的方法；3. 学会运用概率论和统计学知识预测排队系统中的顾客等待时间。

技能目标：1. 能够运用所学知识设计简单的银行排队系统优化方案；2. 培养运用信息技术工具（如电子表格软件）对排队系统数据进行处理和分析的能力；3. 提高逻辑思维和问题解决能力，通过团队合作解决银行排队系统中的实际问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和认识，激发他们探究现实问题的热情；2. 增强学生的社会责任感，使他们意识到优化银行排队系统对提高社会服务效率的重要性；3. 培养学生的合作意识和团队精神，让他们在团队协作中体验共同解决问题的成就感。

课程性质：本课程为数学学科的应用课程，结合实际生活中的银行排队现象，培养学生的数学应用能力和问题解决能力。

学生特点：考虑到学生所在年级，已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对现实生活中的问题充满好奇心。

教学要求：注重理论与实践相结合，以学生为主体，教师引导学生主动探究、合作学习，提高学生的数学素养和实际操作能力。

通过课程学习，使学生将所学知识应用于解决实际问题，实现知识、技能和情感态度价值观的全面提升。

二、教学内容1. 银行排队系统基本概念：介绍排队论的基本原理，包括顾客到达率、服务率、排队规则等；相关教材章节：第三章“排队论基本概念”。

2. 排队系统数学模型：讲解M/M/1、M/M/C等常见排队模型的构建与求解方法；相关教材章节：第四章“排队系统数学模型”。

3. 排队系统性能指标：分析排队系统的各项性能指标，如平均等待时间、平均队列长度等；相关教材章节：第五章“排队系统性能指标”。

4. 银行排队系统优化：探讨如何运用排队论优化银行排队系统，提高服务效率；相关教材章节：第六章“排队系统优化”。

5. 案例分析与团队合作：通过实际案例分析，让学生运用所学知识设计优化方案，并进行团队协作；相关教材章节：第七章“排队论在实际中的应用”。

第3章-交通流模型

第3章-交通流模型

（2）突变理论的内容
突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础， 提出了一条新的判别突变、飞跃的原则。
对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数表 示稳定或不稳定，并有一套固定的运算方法。
托姆的突变理论，是用数学工具描述系统状态的飞跃，给 出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也 随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突 变。
（3）该模型所做的交通调查是在假期进行的。
2. 其他模型及曲线
§5 三维模型
V
u
Qq
k
qm
流量
Q max
流 量 /Q
2
0
00
02
安德伍德模型 适用范围
Vmua fx
Vm ax
uf
速度
uVmm
Vm
um
速 度 /V
00001密1密度K m/K度k Km/km ax k j
3 0
3 0
0
0 Q m ax
练习：
1.交通流三参数是指哪三个参数？ 2.简述流量和车头时距之间的关系。 3.常用的交通流参数的统计分布有哪些？ 4.简述Greenshields模型、Greenberg模型、
Underwood模型的基本形式、特点及其使用条件。
谢谢观赏
00001密1密度K m/K度k Km/km ax k j
3 0
3 0
0
0 Q m ax
q
流 量 /Q 流 量 /q
m
②交通密度越小，车辆行驶时相互影响也就越小， 车速也就越高，表现为线性关系。
§5 三维模型
V
u
Qq
k
qm
流量
Q max

管理科学与工程考研重点知识点整理轻松搞定

管理科学与工程考研重点知识点整理轻松搞定

管理科学与工程考研重点知识点整理轻松搞定管理科学与工程是一门综合性的学科，涉及到管理学、数学、经济学、工程学等多个领域的知识。

对于考研生来说，整理掌握重点知识点是提高学习效果的关键。

在本文中，将为大家整理一些管理科学与工程考研的重点知识点，帮助大家轻松搞定考试。

一、线性规划1. 问题的建模线性规划是运用线性数学模型研究决策问题的方法。

在解决线性规划问题时，首先需要明确决策变量、目标函数以及约束条件。

其中，决策变量是需要决策的量，而目标函数则是优化的目标，约束条件是问题的限制条件。

2. 单纯形法单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。

其基本思想是通过变换确定基变量与非基变量，逐步优化得到最优解。

单纯形法需要注意初始解的选择，以及如何确定最优解是否存在。

3. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量需要取整数值。

与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，一般需要采用分支定界法、割平面法等特殊的方法。

二、排队论1. 排队模型排队论是研究随机到达、随机服务的排队系统的数学理论。

在排队论中，需要定义到达率、服务率等参数，并通过排队模型来描述系统的行为。

常见的排队模型有M/M/1模型、M/M/c模型等。

2. 基本性能指标排队论中常用的性能指标有平均队长、平均等待时间、系统繁忙率等。

这些指标可以帮助我们评估系统的效率和性能。

3. 排队论的应用排队论在实际生活中有着广泛的应用，比如交通拥堵问题、客户服务效率等。

通过排队论的分析，我们可以找到优化系统性能的方法。

三、决策分析1. 决策树决策树是一种用图形模型表示决策过程的工具。

通过决策树，我们可以清晰地了解不同决策路径的可能结果，并选择最优的决策。

2. 敏感性分析敏感性分析是对决策模型不确定性的一种评估方法。

通过改变决策变量或者参数的数值，分析其对决策结果的影响，帮助我们了解模型的稳定性和可靠性。

3. 多目标决策多目标决策是指在决策过程中，存在多个相互矛盾的目标。

《自动控制原理教学课件》第3章-1共16页

《自动控制原理教学课件》第3章-1共16页
G开 (s)G(s)H(s) →开环传递函数
(s) C (s) R(s)
→闭环传递函数
通信技术研究所
第三章 时域分析法
3.1 引言
一.时域分析法
根据系统的微分方程，以拉式变换为工具，在时间 域内研究控制系统在各种典型信号作用下，系统响应随 时间变化规律的方法。
二.时间域内数学模型
微分方程－解
暂 （ 动 ） 态 性 能 － － 动 态 分 量 － － 快 速 性
:阻尼角
arctan12arccosarcsin12
c(t)1
1
12
ent
sin(dt),
d n 12
d :阻尼自然振荡频率
e(t)r(t)c(t)1 12entsin(dt)
e() 0
通信技术研究所
二. 0 ，无阻尼状态
s1,2 jn
c (t ) 2
c(t)1cosnt 1
0 t
三. 1 ，临界阻尼状态
通信技术研究所
一.单位阶跃响应
r(t)=1,R(s)=1/s
C(s)= 1 11 T Ts+1s s Ts+1
-1t
c(t)=1-e T
这是一条指数曲线，t=0
c(t) 斜率=1/T
处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，
1
在 t=T 时，输出将达到
稳态值。而实际系统只
0.632
86.5% 95% 98.2% 99.3%
e(∞) →∞ 一阶系统不能跟踪抛物线信号
通信技术研究所
<练>温度计是一阶系统，
(s)
1 Ts
1
，用其测量容
器内的水温，1分钟才能显示出该温度的98％的

第三章 生产系统建模方法

第三章 生产系统建模方法

3.2Petri网建模方法
LOGO
Petri网图形化表示方法 通常，以一个圆圈（）表示库所，一个矩形（ ）或 实线（|）表示变迁，由带箭头的弧（ →）表示有向弧集， 用库所中的黑点表示库所拥有的资源数量。
3.2Petri网建模方法
LOGO
定义3-2： 给定一个Petri网N=(P,T,F)及一个顶点 x p T 。x的前置 集或输入集定为 x y X ( y, x) F,后置集或输出集定义 x 为 y X ( x, y) F 。若x是库所（变迁），则其前置集中 的元素是输入变迁（库所），其后置集中的元素是输出 变迁（库所）。 在图3-7所示的Petri网中，变迁t1的前置集是{p1},后置 集是{p2,p3}。变迁t2的前置集是{p2,p3},t2的后置集{p4}； 变迁t3的前置集是{p3,p4},t3的后置集是{p5}。以此类推， 可以找出库所的前置集和后置集。
3.1活动循环图法
LOGO
ACD法具有形象直观等优点，但也存在明显的缺点：
①当系统结构复杂，实体数量众多时，ACD模型将十分 的庞大和复杂，给建模与分析带来困难。 ②ACD法只描述系统的稳态，而不研究系统的瞬态（如 动作的开始、结束等）。
③ACD法缺乏定量的分析工具。
3.2Petri网建模方法
LOGO
连接库所和变迁的有向弧线表示系统状态与事件之间 的关系。每一条有向弧有一个对应的权值，称为弧权，简 称权。
3.2Petri网建模方法
LOGO
除了库所、变迁和有向弧之外，在Petri网中，用令 牌(Token)表示库所中拥有的资源数量，并且以库所中令 牌数量的动态变化表示系统的不同状态。随着事件的发生， 令牌可以按照弧的方向流动到不同的库所，从而动态的描 述了系统的不同状态。

银行排队模型期末总结

银行排队模型期末总结

银行排队模型期末总结1.引言银行是我们日常生活中经常接触到的金融机构之一，而排队是我们进入银行时经常遇到的问题。

银行排队模型是数学中一个重要的应用领域，对于银行的管理和服务质量有着重要的影响。

本期末总结将围绕银行排队模型展开，从排队理论的基本原理、模型假设、模型构建方法、模型的应用等方面进行详细阐述，并结合实际案例进行分析和讨论。

2.排队理论的基本原理排队理论是研究排队系统的数学理论，起源于20世纪初的概率论和统计学。

排队系统的基本组成包括顾客、服务器和队列等。

排队理论的基本原理包括到达过程、服务过程、排队规则和性能度量等。

到达过程描述顾客到达银行的时间间隔模型，服从不同的概率分布。

服务过程则描述了服务员为顾客提供服务的时间间隔模型，也服从不同的概率分布。

排队规则决定了顾客的排队顺序和服务的顺序，如先来先服务、先来后服务等。

性能度量是评价排队系统绩效的指标，包括顾客等待的平均时间、服务器的利用率等等。

3.模型的假设银行排队模型通常基于一些假设条件，这些假设条件用于简化模型，使其易于分析和计算。

常见的假设条件包括：顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布、排队规则为先来先服务、顾客在排队和服务过程中是独立的等。

这些假设条件在一定程度上接近于实际情况，并为模型的分析提供了便利。

4.模型的构建方法构建银行排队模型需要考虑到排队规则、到达过程和服务过程等因素，并利用排队理论和概率统计方法进行建模和求解。

常用的模型构建方法包括马尔可夫模型、离散事件模型和连续时间模型等。

马尔可夫模型是一种基于概率过程的模型，常用于描述排队系统的状态转移和稳定分析。

离散事件模型则将顾客到达和服务过程建模为离散事件的发生和处理过程。

连续时间模型则将时间视为连续的变量，适用于模拟和分析排队系统的动态变化过程。

5.模型的应用银行排队模型在实际中有着广泛的应用。

通过对排队模型的分析和优化，可以帮助银行管理者合理安排窗口开放数量和服务员数量，提高服务效率和客户满意度。

课程设计排队

课程设计排队

课程设计排队一、教学目标本课程旨在让学生掌握排队论的基本概念、原理和应用方法。

通过本课程的学习，学生应能理解排队系统的基本构成要素，掌握排队模型的建立和分析方法，并能够运用排队论解决实际问题。

具体目标如下：1.知识目标：（1）理解排队论的基本概念，如顾客、服务台、队长、等待时间等。

（2）掌握常见排队模型的建立和分析方法，如M/M/1、M/M/c、M/G/1等。

（3）了解排队论在实际应用中的广泛性，如通信、交通、医疗等领域。

2.技能目标：（1）能够运用排队论解决实际问题，如优化服务设施布局、提高服务质量等。

（2）具备基本的数学推导和计算能力，如求解排队模型中的概率和期望等。

（3）学会使用相关软件工具进行排队论分析，如Excel、R语言等。

3.情感态度价值观目标：（1）培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

（2）激发学生对排队论学科的兴趣，培养学生的学术探索精神。

（3）培养学生运用所学知识解决实际问题的责任感和社会责任感。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.排队论基本概念：介绍顾客、服务台、队长、等待时间等基本概念。

2.排队模型：讲解M/M/1、M/M/c、M/G/1等常见排队模型的建立和分析方法。

3.排队论应用：介绍排队论在实际应用中的案例，如通信、交通、医疗等领域。

4.排队论软件工具：教授如何使用Excel、R语言等软件工具进行排队论分析。

5.实际问题解决：通过案例分析，培养学生运用排队论解决实际问题的能力。

三、教学方法本课程采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1.讲授法：讲解基本概念、原理和模型。

2.案例分析法：分析实际应用案例，让学生了解排队论在生活中的应用。

3.实验法：引导学生使用软件工具进行排队论分析，提高学生的动手能力。

4.讨论法：学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和批判性思维。

四、教学资源为实现教学目标，本课程准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统、科学的学习材料。

运筹学-第十三章排队系统分析第三节MM1排队模型

运筹学-第十三章排队系统分析第三节MM1排队模型

n
(m i)!
0
18
求(1)修理工空闲的概率;(2)5台机器都出故障的概率; (3)出故障机器的平均台数;(4)等待修理机器的平均台数 ;(5)每台机器的平均停工时间;(6)每台机器的平均等待 修理时间.
(4) Lq = 3.76 (1 0.0073) = 2.77(台); (5) Ws = 15 = 46(分钟) 1 (1 0.0073) 12 (6) Wq = 46 12 = 34(分钟). 5
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( ≥ ) = 1 P ( < ) = 1 F ( ) = e W W = e 1.5 = 0.223. 4 4 4 1
7
二.系统容量有限的M/M/1模型(M/M/1/N / ∞)
1.与(M/M/1/ ∞ / ∞)的区别
(1) 系统状态n = 0,L,N ; 1, , λ 当 n < N (2) 进入系统的速率 , 0, 当n ≥ N 故平均到达率λe = λ (1 PN ) + 0 P N = λ (1 PN )
n n 0 N n =0 n 0
1 ρ 再由 ∑ P = P + ρ P + L + ρ P = P 1 ρ
N 0 0 0
N +1
= 1可解得 P ,
0
1 ρ P = 1 ρ 故 P = ρ P
0 N N 0
N +1
9
3. 系统运行指标
ρ ( N + 1) ρ N +1 Ls = ∑ nPn = , 1 ρ 1 ρ N +1 n =0 Lq = Ls (1 P0 ),
∞4ຫໍສະໝຸດ Lq = ∑ ( n 1) P n = ∑ nP n ∑ P n = Ls (1 P0 )

基于排队论的销售模型分析

基于排队论的销售模型分析

基于排队论的销售模型分析潘全如【期刊名称】《《成都信息工程学院学报》》【年(卷),期】2013(028)002【总页数】7页(P78-84)【关键词】运筹学; 排队模型; 综合成本; 销售; 服务方式; 优化【作者】潘全如【作者单位】江苏科技大学数理学院江苏镇江212003【正文语种】中文【中图分类】O2260 引言顾客到达企业寻求服务可以构成一个排队系统[1]。

顾客到达过程即为输入过程,企业为服务机构,企业根据需要设置排队规则[2]。

顾客到达系统时总是希望等待服务的队列长度越短越好,否则他们在系统中逗留成本比较高,这需要企业在销售时提供相对较高的服务速度,但是如果服务速度增高又会导致服务成本升高。

如何在服务台的服务成本与顾客在系统中的逗留成本之间平衡,使两者之和(称为系统的综合成本[3])最小,是一项重要的课题。

1 顾客到达时排队方式的探讨顾客到达系统的排队方式主要有3种[4],分别如图1所示。

图1为单队单服务台系统,排队等待服务的通道只有一条。

图2为多队多服务台系统,每个通道各排一个队,且每个通道只为自己通道上的顾客服务,顾客不能任意插队。

图3为单队多服务台系统,即顾客排成一个队,队列中第一个顾客视哪个通道有空就去哪一个通道接受服务。

在这里假设顾客到达为泊松到达,企业按先到先服务的规则服务,服务时间服从负指数分布,则上述3个图形就分别对应着 M/M/1系统、n个并联的M/M/1系统、M/M/n系统,其中M/M/1系统是n个并联的M/M/1系统及 M/M/n系统的特殊情况。

企业总是希望系统总是处于非空闲状态的,因为空闲概率越大意味着系统的利用率越低;顾客则希望在系统中的逗留时间越短越好。

下面从系统的空闲概率与逗留时间两个角度分析 n个并联的M/M/1系统及 M/M/n系统。

由文献[5]知:M/M/n系统的空闲概率为记为pn0;n个并联的M/M/1系统的空闲概率为1-ρ,记为p00。

事实上所以 pn0=,即M/M/n系统的空闲概率小于n个并联的M/M/1系统的空闲概率。

排队论问题

排队论问题



4 泊松分布（Poisson）
k=0,1,2,…
P{X = k} = λk e -λ/ k!
泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象 的一种形式，在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。

在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是服从 泊松分布的。实践也证明：这种假设是有效的。
• 此模型与 M/M/1模型不同之处在于有C个服 务台，各服务台的工作相互独立，服务率 相等，如果顾客到达时，C个服务台都忙着， 则排成一队等待，先到先服务的单队模型。 • 整个系统的平均服务率为 cμ ， ρ* ＝ λ/cμ ， （ρ*<1）为该系统的服务强度。
多服务台指数分布排队系统的分析（了解过程，理解结论）
M/M/1 系统运行指标
• • • • • • • • • • • • 系统中平均顾客数：
L=ρ/(1- ρ), 顾客在系统中平均等待时间： W=1/[μ( 1-ρ)] 顾客在队列中平均等待时间： Wq= ρ /[μ( 1-ρ) ] 队列中平均顾客数： Lq= ρ2 /( 1-ρ) 在单服务台系统中的little公式： ρ = λ 1/, L=Lq+ ρ 通用的little公式： Lq=λWq L=λW W=Wq+ 1/
基本排队关系
• 在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队 系统，若满足以下三个条件： • （1）排队系统能够进入统计平衡状态； • （2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态； • （3）系统中任一顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达。 • 则下列 Little 公式成立（排队论中的通用公式）： • （1） Lq =λ Wq • 我们知道一个顾客的平均排队等待时间是Wq，且顾客是以平均速率λ到 达，所以在时间Wq内有λWq个顾客到达， Lq表示排队等待服务的平均顾 客数量，所以有： Lq =λ Wq • （2） L=λW • 系统中的平均顾客数（包括等待的和正在被服务的顾客）等于顾客的平 均到达速率乘以一个顾客在系统中花费的平均时间。 • （3） W= Wq + 1/ • 一个顾客在系统中花费的时间，就是它等待服务的时间加上被服务的时间。
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k! 其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。
其均值为
E( Χ )
Pk P{ Χ k }
k
e
k= 0，1，2 …
方差值为
D( Χ )
泊松分布只需要确定一个参数λ，且事件发生间隔之间服从 负指数分布。
主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似
负指数分布(Exponential distribution)
生灭过程
生灭过程的状态转移流图 、福克-普朗克方程 生灭过程的平稳分布 、系统方程
排队系统
流入=流出”
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介
第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第1节 排队论简介
排队论，又称为随机服务系统理论，是在随机过 程基础上发展起来的一门研究资源有限性和需求 随机性的数学方法，通过研究各种服务系统在排 队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和 最优控制。 排 队 论 起 源 于 20 世 纪 初 丹 麦 电 信 工 程 师 A.K. Erlang对电信系统的研究，现已发展成为一门应 用广泛的学科，在电信、交通运输、生产与库存 管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事 作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域， 有着非常重要的应用。
排队系统的理论基础
随机变量（离散型，连续型）；
概率及概率分布函数、概率密度函数； 数学期望（均值）、方差（偏差）； 概率的归一性（正则规则）； 生灭过程的系统方程。
§1.3 排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的，为简明起 见，在经典的排队系统中，常采用3～6个英文字母 表示一个排队系统，字母之间用斜线隔开。 “Kendall”记号：X / Y/ Z / A / B / C 第一个字母表示顾客相继到达的时间间隔分布 第二个字母表示服务时间的分布类型 第三个字母表示服务台的数目 第四个字母表示系统的容量 第五个字母表示顾客源中的顾客数目 第六个字母表示服务规则(默认为 FCFS)。

f1 (t u ) f1 (u ) du
( t u ) u e e du 0
t
If k r，T T1 T2 Tr的密度函数为 f r (t ) Then
(t ) r 1
( r 1)!

e t
(t 0)
k r 1, T T1 T2 Tr Tr 1的密度函数为 f r 1 (t )
排队系统的基本组成——服务机构
服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联 2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物) 3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
1)
排队方式
1951: Kendall published “Some Problems in the Theory of Queues” and in 1953 proposed to use Kendall’s notation 1953-57: Kendall, Lindley, Pollaczek & Khinchin studied M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method
即
T T1 T2 Tk
T
i 1
k
i
理解：对于k个串联的服务台，每个服务台的服务时间相 互独立，均服从负指数分布，则每个顾客总的服务时间服 从Ek分布。 f(t) 当k=1, Ek为负指数分布， 完全随机；当k足够大 时，Ek分布近似于正态 分布；当k →∞时，X以
20
6 5 4 3 2 k=1
网络分析与测试
顾军 计算机学院网络工程系 jgu@
随机性分析基础
随机变量
概率分布特征
独立/ 增量/ 平稳
随机过程
状态转移特征
高斯、 泊松、 马尔可夫过程 维纳 负指 K步状态转移概率、状态 齐次马氏链、 C-K 数分 转移概率函数、状态转 方程、K氏前进方程、 布 移速度矩阵(Q-矩阵) K氏后退方程
一般地，若随机变量t取具有概率密度函数为
e t f (t ) 0
t0 t0
其中λ>0为常数，则t称服从参数为λ的指数分布，其分布 函数F (t)为： 1 e t t 0 F (t ) t 0 0 其均值为 E ( t )
1

方差值为
D( t )

排队论的发展史

初期(10‘s-40‘s)
主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列排
队系统

中期(40‘s-60’s)
推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域，
主要研究有队列的排队系统和排队网络

近期(60‘s-今)
主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分
析和近似分析，尤其注重对业务突发性和带有各种 网络控制的排队系统的研究
Milestones of Queueing Theory

1909: Erlang published his first paper on queueing theory 1917: Erlang published his famous paper “Solution ….”

1936-47: Palm published “Repairmen in Serving Automatic Machines” Industritidn Norden
排队论所要研究解决的问题(续)
排队论研究排队系统的最优化问题。 最优化问题一般涉及两种类型：
排队系统的最优设计(静态优化)问题。例如，电
话网中的中继电路群数目，分组交换网中的存储空 间大小等，工厂的中间制品仓库大小，医院病床数 量的多少，机场跑道的数量，车站站台数等等。 排队系统的最优控制(动态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目的增加与否，路由转发设 备的升级与否，网络基础设施的改造与否等。
几个经典排队系统的符号表示(1)
M/M/c/：输入过程是泊松流，服务时间服从负 指数分布，有c个服务台平行服务(0<c)，容量 为无穷的等待制系统 M/G/1/：输入过程是泊松流，服务时间独立、 服从一般概率分布，只有1个服务台，容量为无 穷的等待制系统 Ek/G/1/K：相继到达的间隔时间独立、服从k阶 爱尔朗分布，服务时间独立、服从一般概率分布， 只有1个服务台，容量为k(0k<)的混合制系统 D/M/c/K：相继到达的间隔时间独立、服从定长 分布，服务时间独立、服从负指数分布，有c个 服务台平行服务，容量为k(ck<)的混合制系统

几个经典排队系统的符号表示(2)
Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达， 批与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布， 服务时间独立、服从负指数分布，有1个服务台， 容量为无穷的等待制系统 MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
( 0为常数)
( 2)
k
1
1、均值 2、方差
E[X ]
D[X ]
k
k 2
3、均方差
4、方差系数
X


k
T1 0
T2
T3
T4
T5
T6 t
T’1
T’2
T’3
简单流：相邻时间发生的时间间隔服从负指数分布，具有 无记忆特性或无后效性、马尔可夫性。 在简单流中每隔(k-1)个“点”的“点”组成的流叫k阶爱 尔朗分布，记为Ek，有无记忆特性。




§1.1 排队的概念
排队是日常生活和工作中常见的现象，由
两个方面构成：
要求得到服务——顾客 提供服务——服务员或服务台 顾客与服务台(二者缺一不可)就构成一
个排队系统，或称为随机服务系统。
排队系统的一般表示
顾客源 排队系统 排队结构
排队规则
服务 机构
服务规则

接受服务 后离去
1. 单服务员(台)的排队系统
顾客到达
…
服务员
服务完成离去
2. 多服务员(台)的排队系统
服务员1
一个队列
顾客到达
…
服务员2 … 服务员n
… 服务员1 … 服务员2 服务员n …
服务完成离去
服务完成离去 服务完成离去 服务完成离去 离去
多个队列
顾客到达
… …
…
串联 顾客到达
…
服务员1
服务员2
排队系统的分类

定长分布(deterministic distribution)
0, t c f (t ) 1, t c

概率特征：
方差为0

主要应用：
周期性到达事件 定长服务系统（e.g.,
ATM网络）
泊松分布(Poisson distribution)