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强迫对流下各相场参数对枝晶生长的影响

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式 中,
是 相 场 变 量; 无 量 纲 温 度 u 定 义 为 表 征相场和 温度场耦 合强度的 常
( T - T m ) / ( L / c p ) , 其中, T m 为熔点 温度, L 和 c p 分 别 为潜热和比热容 ; 数; 弛豫时间 ( n) 和界面厚度 w ( n) 是各向异性因子的 函数 , w ( n) = w 0 A s ( n) , ( n) = 0 [ A s ( n) ] 2 , 其中各向异 性因子取为 A s ( n) = ( 1 - 3! ) + 4! ( 1. 2 耦合流场的扩散方程 耦合流场的温度场控制方程为
DOI: 10. 3870/ tzzz. 2008. 07. 008
用相场法模拟纯扩散模型中各相场参数对枝晶生 长的影响已经取得一定成果。 Kar ma 等[ 1] 通过耦合热 噪声 , 研究了枝晶的生长演化过程 ; R Go nz lez Cinca [ 2] [ 3, 4] 研究了在大过冷下的枝晶形状; 于艳梅等 用相场法 模拟研究了各向异性系数、 过冷度、 界面动力学系数对 枝晶形貌的影响 ; 李俊杰等[ 5] 研究了高各向异性下的枝 晶生长状况; 朱昌盛 [ 6, 7] , 胡卫英等 [ 8] , 陈志等 [ 9] 系统研 究了过冷度、 各向异性系数、 耦合系数和热扰动幅度对 侧向分支的影响。由自然对流或强迫对流所引起的金 属液流动是凝固过程中一种不可避免的现象 , 它对枝晶 的生长形貌产生非常重要的影响, 因此近年来随着模拟 技术的进一步发展, 国外一些研究者开始研究对流作用 下的枝晶生长行为。 T o ng 等[ 10, 11] 研究 了强迫对流下 流速、 流 动方向和 各向异性 强度对枝 晶形貌的 影响 ; T nhardt 等[ 12, 13] 研究 了剪切 流作用下 的枝晶 生长过 [ 14, 15] 程; C. W. L an 等 用自适应有限体积法分别模拟了 大过冷和小过冷下的枝晶 生长; F ar ma 等[ 16] 研究了大 过冷和大各向异性系数下的枝晶生长情况。国内对于 对流情况下枝晶生长及各相场参数对枝晶生长影响的 研究较少。本课题应用 T ong 等耦合对流的相场模型 , 对影响枝晶生长的相场参数进行了探讨。
- 3
2. 4
计算参数的选取 Kar ma 等 [ 16] 的渐近分析, 将相场参数和尖锐界面 w ( n)
模型中的 参数 联 系 起 来: d 0 ( n) = a1
2
, ∋( n) =
a1 ( n) (T m c p 1- a 2 w ( n) , 其中 毛细 长 度 d 0 = , 2 w ( n) D ( n) L ∋ ( n) 为各向异性界面动力学系数 , 为表征相场和温度 场耦合强度的常数。 a1 = 0. 883 9, a 2 = 0. 626 7, 由此得 出 = 0. 8839 w 0 / d 0 , 本课题计算中采用的各无量纲参
明 , 对流作用下枝晶形貌发生了很大变化 , 上游枝晶的枝晶臂最 长 , 下游枝 晶臂最短 , 水 平方向 枝晶臂介 于两者 之间 ; 过冷 度越 大 , 上游及水平方向侧枝越发达 ; 各向异性系数越大 , 主枝晶枝 晶臂越瘦长 , 二次枝晶 间距越小 ; 对流速 度越大 , 上游枝 晶生长越快。 关键词 强迫对流 ; 热噪声 ; 侧枝 ; 相场参数 T P391; O 242 2 文献标志码 A 文章编号 1001- 2249( 2008) 07- 0513- 03 中图分类号
2
相场模型中包含两个变 量, 一个是 无量纲温度场 u, 另一个是相场变量 。 = - 1 表示液相 , = 1 表示 固相 , 在- 1~ 1 之间连续变化表示为固液混合相。 1. 1
( n)
x
减, 常数 h 为 2 757 。
相场控制方程 相场控制方程可表达为:
t
2
) ] ( 1y[ 2
数值模拟及参数取值
初始条件及边界条件 半径为 r 的晶核种子位于计算区域中心, 过冷熔体
= [ - u( 1 2
)+ ! !
2
[ w ( n) ! ] + w( n)
yw(
2
2. 1
[
!
w( n)
x
w ( n) ] +
n) ]
( 1)
以一定速度 U 从计算区域上边界流入, 从下边界流出 ,
收稿日期 : 2008 02 20 基金项目 : 国家自然科学基金重点资助项目 ( 50331040) 第一作者简介 : 陈玉娟 , 女 , 1983 年出生 , 硕士研究生, 西北工业大学理学 院凝聚态结构 与性质实 验室 , 西安 ( 710072) , 电话 : 029 - 88493979, E- mai l: chenyujuan503@ yahoo. cn
t
[ ( 1 - ∀) V ] = 0 !V =
d
( 4)
[ ( 1 - ∀) V ] + ( 1 - ∀) V
- ( 1 - ∀) ! P / #+ !
[ ∃!( 1 - ∀) V ] + M l ( 5)
1
相场模型
式中 , # 、 P、 ∃ 分别为流体的密度、 压强和运动粘度系数 ; d M l 为 单 位 体 积 的 界 面 耗 散 力, 定 义 为 M d l = - ∃ 2h ∀ ( 1- ∀) 2 V , 保证流速在固相时为 0, 在液相中衰 w0
t 4 x
+
0
4 y
)/
!
4
( 2)
式中 , !为各向异性强度; w 0 和
为常数。
u + ( 1 - ∀) V
!u = D ! u +
2
t
∀
( 3)
式中 , ∀= ( 1+ ) / 2, ∀ ∀ [ 0, 1] , 是固相率; V 为流速; D 为热扩散率。 1. 3 质量及动量方程 流体速度满足质量守恒和 Navier St okes 方程 , 将 其与相场方程耦合得到如下形式 !
( a) %= - 0. 45 ( b) %= - 0. 55,
( c) % = - 0. 65,
( d) %= - 0. 75,
( e) % = - 0. 80,
( f) %= - 0. 90,
图2
不同过冷度对枝晶生长的影响
于潜热的释放, 界面扰动被抑制。 3. 2 不同各向异性系数对枝晶生长的影响 各向异性系数 !表征界面表面张力、 界面厚度及界 面动力学各向异性的程度 , 它对枝晶的生长具有重要影
当 x 2 + y2
r 2 时 , = 1, u = 0, V x = 0, V y = 0, p =
0; 当 x 2 + y 2 > r 2 时, = - 1, u = - %, V x = 0, V y = U , p = 0; 在计算 边界上 , 相场、 温度、 速度 及压强 均采用 Neumann 条件。 2. 2 数值求解方法 上述所有控制方程均采用有限差分格式进行求解 , 网格采用 均匀网格。空间步长 %x = %y , 时间步长为 %t, 差分稳定条件要求时间步长与空间步长满足 %t = ( %x + %y ) / 2 D 。
513
特种铸造及有色合金 见图 1。
2008 年第 28 卷第 7 期 数如下: w 0 =
0
= 1, P r = ∃ / D = 23. 1, %x = %y = 0. 4 ,
%t= 0. 006, d 0 = 0. 139, = 6. 359。
3
3. 1
图1 计算初始状态
结果与分析
不同过冷度对枝晶形貌的影响
陈玉娟等
大, 界面前沿将变得更加不稳定 , 从而引起分支不断分 裂。
( a) != 0. 02
( b) ! = 0. 03
( c) != 0. 04
( d) != 0. 05
( e) != 0. 06
( f ) ! = 0. 07
图 3 不同 各向异性系数对枝晶生长形貌的影响
3. 3
对流速度对枝晶生长的影响 加入强迫对流后 , 金属枝晶形貌发生很大变化 , 主
[ 1]
( 4) 对流速度越大 , 上游枝晶生长速度越快。
参 考 文 献
K A R M A A , R A PPEL W J. Ph as e field m od el of dendrit ic sid e branching w it h t hermal noise [ J] . Phys . Rev. , 1999, E60 ( 4 ) : 3 614 3 625. [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] [ 10] GO N Z LEZ CIN CA R. Dendrit ic shape at high un dercooli ngs[ J] . Ph ysica, 2002, A 14: 284 290. 于艳梅, 杨根仓 , 赵达文 , 等 . 相场法模 拟过冷熔体 枝晶生长 的界面 厚度参数的取值 [ J ] 。自然科学进展 , 2001, 11( 11) : 1 192 1 197. 于艳梅, 杨根仓 , 赵达文 , 等 . 过冷熔体 中枝晶生长 的相场法 数值模 拟 [ J] . 物理学报 , 2001, 50( 12) : 2 423 2 428. 李俊杰, 王锦程 , 杨 根仓 . 相场法 模拟界 面能各 向异性 对枝晶 生长 行为的影响 [ J ] . 自然科学进展 , 2005, 15( 11) : 1 312 1 317. 朱昌盛, 荆涛 , 柳百成 , 等 . 热噪声促发 枝晶侧向分 支的相场 法数值 模拟 [ J] . 铸造 , 2004, 53( 12) : 1 040 1 042. 朱昌盛, 王智平 , 柳百成 , 等 . 相场法模 拟中影响侧 向分支的 相场参 数 [ J] . 机械工程学报 , 2005, 41( 6) : 30 34. 胡卫英, 陈长乐 . 相场法模拟纯金 属枝晶生长 参数的优 化 [ J ] . 特种 铸造及有色合金 , 2007, 27( 3) : 182 184. 陈志 , 陈长乐 , 郝丽梅. 相场法 模拟丁二腈枝晶 生长研究 [ J ] . 特种 铸造及有色合金 , 2007, 27( 7) : 514 517. T ON G X , BE CK ERM A N N C, K A RM A A. V eloci ty and s hape select ion of d endrit ic cryst als in a f orced f low [ J ] . Phys . R ev. , 2000, E61: 49 61. [ 11] T O N G X, BECK ER M A N N C, K A R M A A, et al. Ph as e field sim ulat ion s of dendrit ic cryst al grow t h in a f or ced fl ow [ J] . Phys. R ev. , 2001, E63: 061601. [ 12] T N H A RD T R, AM BE RG G . Phase f ield simul at ion of dendrit ic grow th in a shear fl ow [ J ] . J . Cryst . G row t h, 1998, 194: 406 425. [ 13] T N H A RD T R, AM BE RG G . D endrit ic growt h of randoml y ori ent ed nu clei in a sh ear fl ow [ J ] . J. C ryst . G row th , 2000, 213: [ 14] 161 187. LA N C W , H SU C M , LIU C C. Eff icient adapt ive phase field sim ulation of den driti c grow t h in a f orced f low at low s upercooling [ J] . J. Cryst . Gr ow t h, 2002, 241: 379 386. [ 15] LA N C W , H SU C M , LIU C C, et al. A dapt ive phase field s im ulati on of dendrit ic grow t h in a f orced f low at various supercool ings[ J] . Phys. Rev. , 2002, E65: 061601. [ 16] K AR M A A , R A PPE L W J . Phase f iel d m et hod for compu tat ion ally ef f icien t modeling of solidif icati on wit h arbit rary int erface ki n et ics. Phys[ J ] . R ev. , 1996, E53( 4) : 3 017 3 020.

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Al-Si合金枝晶生长相场法模拟影响因素

Al-Si合金枝晶生长相场法模拟影响因素


H B) ¨5] +
¨
R Mm
1 c( 1-
c) M c ¨c
-
¨[ Mc #( 5, T ) ¨T ] -
¨[ Mc ¨( D2 ¨2 c) ]
( 4)
式中,
#( 5, T ) =
¨
2
h( T
5
2
)
(
L
A
-
L B ) ; M c=
Mm R
(
1-
c) c( Ds-
h(
5) D1) ;
Mm
为 摩 尔 体 积,
动、初始晶核半径、空间步长、各向异性及过冷度等 因素对枝晶生长形貌模拟都会产生影响. 揭示这些 因素对模拟枝晶生长微观组织形貌影响规律, 可以 提高模拟精度, 确保模拟的正确性.
1 相场模型
在枝晶生长问题的相场法模拟中采用扩散界面 模型, 引入相场变量 5, 表示系统时间和空间上的 物理状态( 液态或固态) . 相场对系统中的相具有恒 定的值, 例如 5= 1 表示固相区, 5 = 0 表示液相区, 在固/ 液界面上 5 的 值在 1~ 0 之间连续变化. 从 图 1 可清楚看出, 液相和固相之间有一个扩散界面
图 4 初始晶核半径对枝晶形貌的影响 Fig. 4 Influence of init ial nucleus radius on dendrite morphology
ABSTRACT T he phase-field metho d w as adopted to investigate the effects of noise, init ial crystal nuclei. s radius, anisotropy and super-cooling deg ree on the simulat ion of dendr itic gr owth in A-l Si alloys. T he r esults show that if the initial crystal nucleus is no t melted, its size has nothing to do with the simulation results. With the coefficient of interfacial anisotropic strength incr easing, the dendritic tip. s grow ing speed increases linearly, w hile its radius decreases parabolically. T he lower the sub- cooling degree is, the more difficult it is to find secondary dendr ites. As a result, the influencing factors in phase- field simulatio n hav e important impact on dendritic grow th simulation. KEY WORDS A-l Si alloy; dendr itic grow th; phase- field method; numer ical simulation; influencing factor
深过冷熔体中枝晶生长动力学的实验研究与理论分析

深过冷熔体中枝晶生长动力学的实验研究与理论分析

分类号密级UDC学位论文深过冷熔体中枝晶生长动力学的实验研究与理论分析作者姓名：张宗宁东北大学材料电磁过程研究教育部重点实验室申请学位级别：博士学科类别：工学学科专业名称：材料加工工程论文提交日期：2012年10月论文答辩日期：2013年4月学位授予日期：2013年4月答辩委员会主席：评阅人：东北大学2012年10月A Dissertation for Master Degree in Materials Processing EngineeringExperimental Research and Theoretical Analysis of Dendrite Growth Kinetics of HighlyUndercooled Meltsby Zhang ZongningNortheastern UniversityJuly 2012独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。

论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名：签字日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。

本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。

作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后：半年□一年□一年半□两年□作者签名：导师签名：签字日期：签字日期：过冷熔体中枝晶生长动力学实验研究和理论分析摘要枝晶是铸造、焊接和热处理过程中常见的一种典型的微观组织。

枝晶形貌决定了金属材料的力学性能与使用性能。

研究其生长动力学并有目的地控制枝晶生长是获得优良性能材料的重要保障，对枝晶生长动力进行研究有着重要的理论意义和应用价值。

基于LBM算法的强迫对流合金枝晶生长相场法模拟

基于LBM算法的强迫对流合金枝晶生长相场法模拟

基于LBM算法的强迫对流合金枝晶生长相场法模拟王智平;王喜君;冯力;朱昶胜;路阳【摘要】将二元合金枝晶生长的相场模型与模拟流场的Lattice Boltzmann(LBM)模型相藕合,建立模拟在强迫对流状态下枝晶生长的二维相场-LBM模型(PF-LBM),模拟Al-4.5％Cu(质量分数)二元合金在强迫对流环境下凝固过程中技晶生长,实现过冷熔体流动场与相场耦合.结果表明:计算流场的LBM算法对树枝晶生长模拟效率高,数值稳定性好.在纯溶质扩散时,枝晶周围的溶质分布均匀,各方向枝晶尖端生长速度一样,枝晶的生长形貌呈现对称.有强迫对流情况时,熔体的流动改变了技晶周围的溶质分布,上游的溶质被冲刷到下游,致使上游成分过冷度大,下游成分过冷度小,枝晶的尖端生长在迎游方向的速度大于纯扩散时的速度,而在下游方向枝晶生长受到抑制,形成与纯溶质扩散时不一样的非对称的枝晶生长形貌.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2014(040)002【总页数】5页(P18-22)【关键词】相场;枝晶生长;Lattice Boltzmann方法【作者】王智平;王喜君;冯力;朱昶胜;路阳【作者单位】兰州理工大学甘肃省有色金属新材料重点实验室,甘肃兰州 730050;兰州理工大学甘肃省有色金属及复合材料工程研究中心,甘肃兰州 730050;兰州理工大学甘肃省有色金属新材料重点实验室,甘肃兰州 730050;兰州理工大学甘肃省有色金属新材料重点实验室,甘肃兰州 730050;兰州理工大学甘肃省有色金属新材料重点实验室,甘肃兰州 730050;兰州理工大学CAD中心,甘肃兰州 730050;兰州理工大学甘肃省有色金属新材料重点实验室,甘肃兰州 730050【正文语种】中文【中图分类】TG248;TG244相场法与其他凝固过程枝晶生长模拟方法相比,省去了复杂固液界面的跟踪,而且容易与溶质场、流场等外场耦合,可直观反映微观组织的凝固行为[1-2].国外BeckeRmann[3]、Tong[4-5]、BoettingeR[6]用相场法耦合SIMPLE算法模拟了对流作用下纯金属的枝晶生长；国内陈玉娟等[7]利用Tong和BeckeRmann的相场耦合流场方程模拟了强迫对流枝晶生长,其共同特点是动量守恒方程的计算速度慢且计算量大.Lattice Boltzmann方法(LBM)是20世纪80年代提出的,用于模拟流体流动的一种流体力学数值计算方法,其基于格子气自动机方法(lattice gas automata)为基本原理[8].LBM不仅对复杂的界面可以任意处理,而且还具有天生的并行计算特点,其计算速度同空间复杂程度无关.因此,在近30年内得到了迅速发展,目前在流体力学诸多方面的数值计算中都得到了广泛的应用,例如在微尺度流动和换热、多相流、生物流体、多孔介质流、晶体生长、空气动力学、磁流体力学以及许多传统模拟方法难以胜任的领域[8-9].在金属凝固过程中液态金属的流动是一种普遍的现象.由于凝固过程包含液、固2相问题并且包括复杂的边界条件,当固相分数较大时,用传统的动量守恒方程(N-S)计算流场不易收敛,影响了计算效率,而采用分子动力学方法计算时，凝固过程的空间和时间的特征尺度又不适合.而LBM方法不但满足于计算多相流、还可以处理任意复杂边界,而且其空间和时间的尺度也适合于凝固过程的特征.该方法计算效率高、数值稳定性好、本质并行、易于处理外力源项和任意复杂的边界问题等许多传统方法没有的独特优势.MilleR等采用相场法耦合LBM对纯金属在自然对流作用下的枝晶生长进行模拟[10-11].东南大学朱鸣芳等[12]采用MCA法耦合LBM对合金在对流作用下进行了枝晶生长的模拟.但在国内将相场法耦合LBM对合金枝晶在流场作用下生长的模拟的报道比较少.本文建立二元合金PF-LBM模型.1 数学模型1.1 Lattice Boltzmann模型控制方程LBM与传统模拟方法不同,该方法基于分子动力学理论,具有清晰的物理背景,在宏观上是离散方法,微观上是连续方法,它是一种介观尺度上基于统计力学的计算方法[8].LBM把在x位置i方向(具有速度ei)t时刻的粒子分布函数用Fi(x,t)表示.宏观密度ρ和速度u满足下列公式：粒子分布函数的演化方程为Fi(x+eiΔt,t+Δt)-Fi(x,t)=ΔtΩi(3)式中：Ωi为碰撞项；Δt为时间步长.式(3)即为Lattice Boltzmann(LB)方程.Chen等在单一松弛时间模型基础上对粒子碰撞函数进行简化[9]：(4)式中：τ为松弛时间,控制Fi(x,t)逼近的速率；为局部平衡分布函数.粒子的碰撞过程中满足质量守恒和动量守恒,因此LB方程演化形式为Fi(x+eiΔt,t+Δt)=Fi(x,t)-(5)式中：Fi(x,t)为虚拟粒子的分布函数,代表了在t时刻位置x处出现一个虚拟粒子的概率；为相应的平衡分布函数；ei为虚拟粒子沿i方向的离散速度.建立LBM模型的关键问题在于平衡分布函数,而此函数是根据不同的网格来确定.常用D2Q9模型计算二维的流动问题[8],其中：D为维数，Q为指粒子运动方向的总和,在D2Q9模型中,一个虚拟粒子共有9个离散速度(即i=0～8),则ei的大小为(6)式(5)中的平衡分布函数由密度ρ和速度u决定如下：(7)式中：ωi是权重系数,当i=0时，当i=1,2,3,4时，当i=5,6,7,8时，式(5)中的松弛时间τ与υ关系可表示为(8)式中：υ为流体的运动黏度；β为格子速度.LBM演化过程主要分为迁移和碰撞2步骤：其中迁移表示粒子在一个Δt内从一个节点运动到它最邻近的节点上；而碰撞是一个节点上粒子与从邻近的节点迁移过来的粒子发生碰撞,由于粒子遵守质量、动量和能量守恒则使其速度发生改变,随后又以碰撞后的速度继续向下一个节点进行迁移.这2个过程循环进行,最后直至流场速度收敛.1.2 相场控制方程采用Kim的相场模型[13],相场变量φ=0表示液相,φ=1表示固相.含有各向异性的二元合金的相场模型表述如下：(9)式中：M为相场参数；Fφ为表示自由能密度对相场的一阶导数；ε(θ)为与界面能有关的参数.ε(θ)表示为ε(θ)=ε0(1+νcos (kθ))(10)式中：k为各向异性的模数,通常取4；ν为各向异性强度系数；θ为界面与某个晶粒的优先生长方向间的夹角.1.3 溶质场扩散方程[13]在模拟中,耦合了溶质扩散方程,其扩散方程用自由能密度表示为式中：D(φ)为溶质扩散系数；Fc,Fcc为自由能密度F对浓度的一阶、二阶偏微分；uc为熔体流速.2 数值计算2.1 初始条件和边界条件对于流动问题,边界条件起着重要作用,LBM的数值计算中也是如此,边界条件对计算结果的精度和稳定性都有很大影响.对于简单的几何形状,LBM在边界上处理比较方便.LBM边界条件主要有启发式格式、动力学格式、外推格式以及固体壁面处理等[14].本文采用的是非平衡态外推格式处理边界条件,其基本思想是,边界节点都是由分布函数分解确定的,而该函数可以分为平衡态和非平衡态2部分,由初始边界条件可以近似获得平衡态部分,而用非平衡外推确定非平衡态部分.其分布函数可表示为Fi(x,t)=Feq(x,t)+[Fi(B,t)-Feq(B,t)](13)式中：B为上一时刻粒子的位置,如果有碰撞发生,则函数可由式(5)表示.2.2 计算方法将phase-Field (PF) 和LBM模型耦合,采用D2Q9的LBM模型计算速度场,用PF 方法模拟枝晶的生长.模拟区域为正方形网格区域，轴向800个网格,网格尺寸为1.0×10-8 m.区域的4个边界均采用非平衡外推格式处理,左边界给定一个恒定的入口流速Vin=0.06 m/s,右边界同样恒定速度,以Al-4.5%Cu二元合金为例.假定温度恒定,在计算区域中心放置一个优先生长方向与坐标夹角为0°或45°的晶核,取过冷度ΔT=10 K.液态铝合金扩散系数D=3×10-9 m2/s.对式(5)进行数值计算,获得每个时间步长的流场分布.由式(11,12)计算得出对流控制浓度梯度的分布.用式(9)来模拟枝晶生长.图1 初始条件及边界条件Fig.1 Initial conditions and boundaRy conditions 3 结果与分析图2a为优先生长方向与计算区域坐标夹角为0°的枝晶纯溶质扩散的相场和溶质场分布,图2b是夹角为0°的对流环境下枝晶相场和溶质场分布,图3a是夹角为45°的枝晶纯溶质扩散的相场和溶质场分布,图3b是夹角为45°的枝晶对流时相场和溶质场分布.由图2a和图3a的纯溶质扩散枝晶的溶质场可以看出,在纯扩散条件下,枝晶周围的溶质分布比较均匀,熔体的过冷度变化一致,枝晶生长速度一致,二元合金枝晶的生长形状呈等轴对称.而由图2b和图3b中对流时枝晶的溶质场分析可得,合金熔液的流动把溶质从上游带到到下游,使得上游液相中的浓度低于下游.迎流方向枝晶的生长速度比下游的大,其原因为过冷熔体的流动致使成分过冷,又因为熔体的过冷度是凝固的驱动力,促使迎流方向的枝晶生长速度大；下游枝晶受到被冲刷来的溶质的影响,使得过冷度小,造成枝晶生长速度小.由于熔体的流动,破坏了等轴枝晶的对称性,因此,枝晶形成了不对称的生长形貌.图2 模拟夹角为0°的枝晶Fig.2 Simulated dendRitic with angle oF 0°图3 模拟夹角为45°的枝晶Fig.3 Simulated dendRitic with angle oF 45°5 结论1) 将模拟枝晶生长的phase-Field(PF)与计算流场的Lattice Boltzmann方法(LBM)耦合,建立模拟强迫对流下合金枝晶生长的PF-LBM模型.2) PF-LBM模型能够准确模拟出枝晶在对流作用下的非对称生长形貌.强迫对流环境下,由于过冷熔体的流动破坏了枝晶周围的溶质分布,从而加速了迎流方向的枝晶生长,相反抑制了下游的生长,形成了不对称的枝晶形貌.致谢：本文得到兰州理工大学博士科研启动基金(0901ZXC114)的资助，在此表示感谢.参考文献：[1] 朱昌盛,冯力,王智平,等.二元合金三维枝晶生长的相场法数值模拟 [J].机械工程学报,2009,45(1):88-93.[2] KARMA A,RAPPEL W J.Quantitative phase-Field modeling oF dendRitic gRowth in two and thRee dimensions [J].Physical Review LetteRE,1998,57(4):4324-4349.[3] BECKERMANN C,SUN 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相场法模拟界面能各向异性对枝晶生长行为的影响.pdf

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!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月相场法模拟界面能各向异性对枝晶生长行为的影响"李俊杰!王锦程""!杨根仓西北工业大学凝固技术国家重点实验室!西安O !%%O "!"%%()%&)!"收稿!"%%()%()"(收修改稿!"国家自然科学基金资助项目$批准号#(%&%!%!*!(%"O !%(O %!""通讯作者!+),-./#086J -23!2J I7#><7#82摘要!!采用修正的相场模型#模拟了纯物质在深过冷条件下界面能各向异性对晶体生长行为的影响#结果表明#各向异性模数很小时#枝晶形态为典型的海藻晶&当各向异性模数较大但仍小于临界值!!’!("时#枝晶形态为光滑枝晶&而当各向异性模数大于该临界值后#某些方向的生长将消失#呈现为棱面枝晶形态#当各向异性模数小于临界值!!’!("时#枝晶尖端生长速度随各向异性的增强而线性增大&当各向异性模数大于%#!后#枝晶尖端生长速度增大%速率减小并逐渐趋于定值#强各向异性与弱各向异性下的情况类似#枝晶尖端生长速度都表现出随界面厚度参数的减小而逐步收敛的趋势#关键词!!相场法!深过冷!各向异性!枝晶生长!!固)液界面能各向异性是影响晶体生长形态演化与微观组织选择的一个非常重要的参数#对自由枝晶来讲!形成稳定的枝晶尖端形态的必要条件就是具有一定的界面能各向异性!同时其生长方向和特征长度$如枝晶尖端半径!枝晶间距等%也与界面能各向异性密切相关#当各向异性相对较弱时!晶体的平衡形态是光滑的!即界面可以沿所有的方向生长!随着各向异性的增强!一些特定的高能量方向的生长将消失!晶体的平衡形态将出现棱角或小平面#近年来!相场法已成为模拟凝固过程中组织演化的一种重要手段&!*!%’#相场模型中!通过把界面能表示为界面法向与特定方向之间夹角的函数来考虑界面能各向异性的作用#在强界面能各向异性情况下!界面包含了某些行将消失的生长方向!它在热力学上以及数值计算过程中都是不稳定的!因此必须对界面能函数进行修正#目前!相场法模拟凝固微观组织演化的研究工作在单相合金&*!&’(多相合金&(!$’(多晶组织&O ’(流场作用&’!A ’等方面均已取得了重大进展!但上述研究都是针对弱各向异性的非小平面生长展开的!而对于强各向异性下的小平面生长的研究还不多见#直到最近!+33/>4@52等&!%’才提出了强各向异性下的修正方法!并通过对等温单一相场模型的修正!模拟了强各向异性下初生固相的形态#[-?,-等&"’提出的薄界面极限下的相场模型具有重要的理论和实用价值!该模型不仅大大提高了求解效率!而且可以对枝晶稳态生长行为进行定量模拟!本文将根据+33/>4@52等&!%’提出的调整界面能系数的方法!对该模型进行修正!研究纯物质在深过冷条件下!界面能各向异性对晶体生长形貌的影响以及枝晶生长稳态行为与各向异性之间的关系#$!相场模型纯物质非等温凝固相场模型的基本方程采用[-?,-等&"’提出的薄界面极限下的相场模型!定义相场变量&Y !代表固相!&Y\!代表液相!\!*&*!时代表界面#温度场及相场控制方程分别为":@Y -("@Z!""&":!$!%"!*!’$(%":&Y &&\)@$!\&"%\A ’.’’$!\&"%Z !!!(1&*$(%"(&’Z ";(&"*$(%"*$(%"$";&$%%Z "I(&"*$(%"*$(%"$"I&$%%!$"%其中*$(%Y *%+($(%!’$(%Y ’%+($(%"!@为无量纲温度!-为热扩散率!)为相场与温度场耦合系数!A ’.’为噪声项!*%和’%分别为与界面厚度和界面原子堆积特征时间有关的参数!各向异性因子+($(%Y !d .854&(!(为界面法向与;轴之间的夹角!可由式(Y -?8@-2$&I )&;%确定!.为各向异性模数"以上相场及温度场控制方程中的参量都已无量纲化"由E .H H 4)U 65,452方程可知$,$(%Z ,a $(%%)6$(%Y 4T \4P !式中4T !4P分别为液相和固相的自由能密度!,$(%Y ,%+($(%为界面能!6$(%为界面曲率半径"对过冷熔体的凝固过程!该方程右端恒为正!左端,$(%Z ,a $(%Y ,%$!c !(.854&(%!所以当.+!)!(时左端恒为正!界面的所有生长方向都是稳定的!界面光滑连续"当.,!)!(时!在某些生长方向上左端将为负!这些就是要消失的界面生长方向!界面不再连续而将出现棱角"此时要对上述相场模型进行修正!根据+33/>4@52等&!%’提出的修正方法得0&($(%Y &($(%!(H +(+-)&!&($(H %854$(%854$(H %!(*(%&’H!$*%其中(H 为生长停止的范围!在(+(H 的范围内生长都将停止!(H 可由下式给出!<<(854(&($($%%Y %!$&%将0&($(%代入$"%式得新的相场控制方程如下#当(H +(+-)&时’%&($(%"":&Y &\)@$!\&"%\A ’.&’’$!\&"%Z *%"(1&($(%"(&’&\";$*%"&($(%&b ($(%&I %Z "I $*%"&($(%&b ($(%&;%!$(%当(*(H 时’%&($(H %"854"$(%854"$(H %":&Y &\)@$!\&"%\A ’.&’’1$!\&"%Z *%&($(H %854$(H $%%"&;;"$$%(!计算结果和讨论(&$!模型的数值求解对相场方程$!%!$(%!$$%采用基于均匀网格的显式有限差分进行求解!初始网格节点数为"%%l "%%!随着计算的进行!枝晶不断长大!为保证温度场始终有足够的热扩散长度!网格节点数不断增加"在计算区域边界采用:>7,-22边界条件"基本参数选取为*%Y !!’%Y !!)Y %"$*(A !9%Y %"!*A !-Y &!(;Y (I Y%"&!(:Y %"%%&!计算了无量纲过冷度(@Y \%"$(时!各向异性模数.Y %"%!!%"%!(!%"%(!%"!(!%""下的枝晶生长演化行为"为了模拟出发达的二次枝晶!在相场方程中还可引入噪声"(&(!界面厚度参数的选取[-?,-等&"’进行了相场模型的薄界面极限渐进分析!通过补偿由大界面厚度所产生的非物理性影响!使其相场模型中界面厚度参数可以大于毛细长度!从而大大提高了计算速度#于艳梅等&!!’研究了热物性参数对界面厚度取值的影响!提出界面厚度参数应随各向异性的增大而减小!否则会带来较大的误差噪声!而使结果失真#本文在强各向异性的模拟中验证了这一论述!图!为各向异性模数.k %#"(时不同界面厚度参数下的模拟结果!模拟过程中未引入噪声项!但可以发现界面厚度参数*%k!图$!不同各向异性模数时不同界面厚度参数的模拟结果$-%*%k !"$H %*%k%#$*!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月时!主轴侧向长出了明显的二次分枝!这是由数值计算误差引起的扰动所造成#如不要求精确的计算!这是可以接受的!若要作准确的定量分析$如求枝晶尖端生长速度%!则必须减小界面厚度参数!但这样会使计算速度降低#图!$H %为减小界面厚度参数后$*%k %#$%的模拟结果!可见此时已无明显的二次分枝!数值误差得到了有效控制!而枝晶主轴上侧向的突起是由于生长方向不连续而引起的棱角!并非数值误差造成的!这与[-4-0.,-等&!"’的模拟结果是一致的#[-?,-等&"’研究表明在薄界面极限相场模型中!枝晶尖端生长速度随界面厚度参数*%与毛细长度9%比值的减小而趋于收敛!最终与界面厚度参数的选取无关#由于这是在弱各向异性下的结论!因此在研究生长速度前!首先需要确定用修正的模型进行强各向异性计算时!枝晶尖端生长速度是否同样收敛#图"是各向异性模数为%#!!%#!(!%#"时!无量纲生长速度随界面厚度参数减小的变化关系!可以看到*%)9%*(时!速度开始收敛#在研究枝晶尖端生长行为时即按这一原则选取界面厚度参数#图(!不同各向异性模数时无量纲尖端速度随!;$%;的变化(&)!不同各相异性下的晶体形态演化!!图*为不同各向异性模数$.k %#%!!%#%!(!%#%(!图)!不同各向异性时枝晶生长情况$-!%*$>!%无噪声"$-"%*$>"%加入噪声"$-%.k %#%!"$H %.k %#%!("$8%.k %#%("$<%.k %#!("$>%.k %#"(&!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月%#!(!%#"(%下的模拟结果#其中左半部$$-!%! $H!%!$8!%!$<!%!$>!%%未加噪声项!右半部$$-"%!$H"%!$8"%!$<"%!$>"%%加入噪声项#模拟结果表明!当各向异性较弱时!枝晶尖端将产生分叉!生长成典型的海藻状$4>-J>><%$图* $-"%!$H"%%!且各向异性越弱尖端越易产生分叉#对比有无噪声的形貌可发现!噪声引发侧向分枝!从图*$H!%!$H"%还可发现噪声会促进尖端的分叉#随着各向异性的增强!枝晶尖端将不再分叉!此时枝晶形貌是光滑连续的$图*$8"%%!加入噪声引发的二次分枝也同样如此#在没有人为加入噪声时$图*$8!%%!枝晶仅沿主轴方向生长!无二次分枝产生!这也说明模拟过程中计算误差的扰动非常小!对计算结果基本无影响#当各向异性模数.大于临界值!)!(后!界面的生长不再光滑连续!某些方向的生长消失!界面产生棱角!形成了典型的小平面枝晶形貌$图*$<"%!$>"%%!可以发现此时主枝和侧向分枝的尖端都出现了棱角#图&为;5^) -,-等&!*’通过实验得到的大过冷条件下硅的小平面枝晶形貌!本文模拟获得的结果与其相似!都具有典型的棱角特征#由于本模拟是在大过冷条件下进行的$无量纲过冷度(@k c%#$(%!因此小平面相的形貌为棱面枝晶!而不是常见的小过冷下的四方形#图*!#L K B?B等%!*&实验中观测到的过冷度$33=下硅的枝晶形貌(&*!各向异性对枝晶尖端稳态生长行为的影响尖端曲率半径是描述非小平面枝晶尖端大小的重要参量!但对小平面枝晶!其尖端附近生长不连续!界面不再是光滑连续的曲面!因此不能再用尖端半径来描述#本文采用[-4-0.,-等&!"’提出的特征长度C来表征小平面枝晶尖端大小!如图(所示#图+!=B’B M%?B等%!"&提出的表征小平面枝晶尖端大小的特征长度&研究界面能各向异性模数.对枝晶尖端稳态行为影响的结果见图$#图$$-%为界面稳定系数,"与各向异性模数.的关系#经典微观可解理论预测,"1.!"O(!但这是在过冷度和各向异性模数均趋于零时的结论!本文模拟的条件显然与之不同!两者不能进行比较#[-?,-等&!&’给出了大过冷度$(@k c%#&(%下微观可解理论的数值解$图$$-%中虚线所示%!本文通过相场法求解出了相同过冷度时,"随.的变化关系$图$$-%中圆圈所示%!可以发现模拟结果与微观可解理论数值解基本吻合#图$$H%中实线为枝晶尖端无量纲生长速度随各向异性模数的变化关系!发现在各向异性较小时!枝晶尖端生长速度随各向异性增大而线性增大#在临界值!)!(附近有一个小的转折!这与某些方向的生长开始消失有关#当各向异性模数大于%#!时增速减慢!而后逐渐趋于一个定值#图$$8%为生长消失范围随各向异性的变化关系!可以看出随着各向异性的增强!生长消失范围不断变大!但增大的速率在不断减小!当.,%#!后减小更加显著!不再随各向异性的增长而发生较大变化!这可能是各向异性模数大于%#!后生长速度变化减慢的原因#在相同的过冷度下!当尖端生长速度趋于稳定时!其尖端的大小也应趋于稳定!图$$H%中虚线所示特征长度C随.的变化关系恰好验证了这一点#(!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月图,!各向异性模数’对尖端稳态行为的影响$-%.对界面稳定系数,"的影响"$H%.对无量纲生长速度3@.I9%)-和尖端特征长度C的影响"$8%.对生长消失范围(H的影响)!结论!#计算结果表明!修正的相场模型可以很好地刻画不同界面能各向异性条件下的枝晶生长行为#在深过冷条件下!当各向异性模数很小时!枝晶形态为海藻晶"各向异性模数再增大但仍小于临界值时!生长形态为光滑的枝晶"当大于临界值后!某些方向的生长将消失!界面将出现棱角!生长形态为棱面枝晶#"#当各向异性模数较小时!枝晶尖端生长行为与微观可解理论相符!枝晶尖端生长速度随各向异性模数的增大而线性增大"而当各向异性模数大于临界值时!增速出现一个小的转折!当各向异性模数大于%#!时!增速减小!逐渐趋于定值!枝晶尖端大小也趋于稳定#*#在强各向异性条件下!枝晶尖端生长速度随界面厚度参数的减小而趋于收敛#参!考!文!献!!S6>>/>?;;!R7??-^GU!P86->1>?9‘#F5,I7@-@.5251<>2) <?.@>474.23-I6-4>1.>/<,5<>/#Q6^4.8-=!!A A*!$$$"%#"&* "![-?,-;!9-I I>/S‘#b7-2@.@-@.Z>I6-4>)1.>/<,5<>/.2351 <>2<?.@.83?5J@6.2@J5-2<@6?>><.,>24.524#Q6^49>Z+!!A A’!(O$&%#&*"**!S-??>2‘;!G5>@@.23>?S‘#Q?><.8@.5251<>2<?.@.83?5J@6-2< ,.8?54>3?>3-@.52I-@@>?24.2-H.2-?^-//5^74.23@6>I6-4>)1.>/< ,>@65<#;8@-R>@-//R-@>?!!A A(!&*$"%#$’A&!F52@.R#P5/.<.1.8-@.5251H.2-?^-//5^4#U6>?,-/>11>8@44@7<.>< J.@6@6>I6-4>)1.>/<,5<>/#Q6^4.8-/9>Z.>J+!!A A O!(($!%# O$((!T5UP![-?,-;!Q/-I I R#Q6-4>)1.>/<,5<>/.2351,.8?54@?78) @7?-/I-@@>?215?,-@.52<7?.23<.?>8@.52-/45/.<.1.8-@.5251I>?.@>8) @.8-//5^4J.@657@,5?I65/53.8-/.24@-H./.@^#Q6^4.8-/9>Z.>J+!"%%!!$*$*%#!(%&$!:>4@/>?G!S6>>/>?;;!9-@M>T!>@-/#Q6-4>)1.>/<,5<>/15?45/.<.1.8-@.5251-,525@>8@.8-//5^J.@6852Z>8@.52#Q6^4.8-=!"%%%!!&!$"%#!**O!S-??>2‘;![5H-^-46.9!T5H M5Z4M^;+!>@-/#+K@>2<.23$!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月I 6-4>1.>/<,5<>/45145/.<.1.8-@.52@5I 5/^8?^4@-//.2>,-@>?.-/4#;8@-R -@>?.-/.-!"%%*!(!$"%%#$%*(’!U 523Y !G >8M >?,-22F ![-?,-;#X >/58.@^-2<46-I>4>/>8@.5251<>2<?.@.88?^4@-/4.2-15?8><1/5J#Q 6^4.8-/9>Z .>J+!"%%%$!$!%#9&AA !‘>523‘N !E 5/<>21>/<:!=-2@a .3‘;#Q6-4>1.>/<,5<>/15?@6?>>)<.,>4.52-/<>2<?.@.83?5J @6J .@61/7.<1/5J#Q 6^4.8-/9>)Z .>J+!"%%!!$&$&%#!$%"!%!+33/>4@52‘‘!R 8W -<<>2E G !X 55?6>>4Q S#;I 6-4>)1.>/<,5<>/15?6.36/^-2.45@?5I .8.2@>?1-8.-/>2>?3^#Q 6^4.8-=!"%%!!!(%$"%#A !!!!\7\R !\-23EF !V 6-5=S !>@-/#=>@>?,.2-@.5251.2@>?1-8>J .<@6Z -/7>.2I 6-4>)1.>/<4.,7/-@.5251<>2<?.@>3?5J @6.2@572)<>?855/><,>/@#Q ?53?>44.2:-@7?-/P 8.>28>!"%%"!!"$*%#"!"!"![-4-0.,-N !:-3-25+!P 7a 7M .U !>@-/#Q 6-4>)1.>/<,5<>/.2315?1-8>@<>2<?.@>3?5J @6514./.852#P 8.>28>-2<U >8625/53^51;<Z -28><R -@>?.-/4!"%%*!&$$%#((*!*!;5^-,-U ![7?.H -^-46.[#L 21/7>28>5172<>?855/.235245/.<)/._7.<.2@>?1-8>,5?I 65/53^.24>,.852<78@>?4#;8@-R -@>?.-/.-!"%%%!&’$!&%#*O *A!&![-?,-;!9-I I>/S‘#Q 6-4>)1.>/<4.,7/-@.5251@6?>>)<.,>2)4.52-/<>2<?.@>4#L 4,.8?5485I .845/Z -H ./.@^@6>5?^85??>8@/‘57?)2-/51F ?^4@-/E ?5J @6!!A A O !!O &$!%#--------------------------------------------------(&国家自然科学基金项目资助类型介绍!部分人才体系类基金!!"国家杰出青年科学基金国家杰出青年科学基金是国家为促进青年科学和技术人才的成长!鼓励海外学者回国工作!加速培养造就一批进入世界科技前沿的优秀学术带头人而特别设立的#国家杰出青年科学基金资助国内及尚在境外即将回国工作的优秀青年学者!在国内进行自然科学基础研究#+十五,期间!国家杰出青年科学基金每年资助优秀青年学者!$%名左右!每人资助经费一般为’%*!%%万元!研究期限为&年#!""海外青年学者合作研究基金为吸引和鼓励海外优秀青年学者每年在国内进行一定期限的基础研究!设立海外青年学者合作研究基金!该类基金项目平均资助强度为每项&%万元!资助期限为*年#!*"香港#澳门青年学者合作研究基金为吸引和鼓励香港(澳门优秀青年学者每年在内地进行一定期限的基础研究!设立香港(澳门青年学者合作研究基金!该类基金项目平均资助强度为每项&%万元!资助期限为*年#!&"创新研究群体科学基金为稳定地支持基础科学的前沿研究!培养和造就具有创新能力的人才和群体!自然科学基金委设立创新研究群体科学基金!资助国内以优秀科学家为学术带头人(中青年科学家为骨干的研究群体!围绕某一重要研究方向在国内进行基础研究#该类基金项目资助强度一般为每期*$%万元!资助期限为*年#!("国家基础科学人才培养基金为了实施科教兴国战略!加强基础科学人才的培养!提高我国基础科学人才的科学素质和实验能力!国家设立国家基础科学人才培养基金#该项基金由自然科学基金委负责实施与管理!主要用于支持国家理科基础科学人才培养基地$以下简称基地%的建设!包括#基地教学设备与教学软件(实验仪器与材料(实习设备以及图书资料的购置"基地教学改革研究和教师培训工作"基地高年级本科生的科学研究能力培训等等#本基金适度向西部倾斜!并部分资助特殊学科点的基础科学人才培养#O!*!!第!"卷!第!!期!#$$"年!!月。