一元二次方程提升训练

第二章 一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则　　．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为　　．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．13．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为　　．15． 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是　　．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。

一元二次方程拓展提升练习1、已知a 是方程2104x x +-=的根，求354321a a a a a -+--的值.2. 设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根，求(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）的值3、设x 1、x 2是方程x 2－2x －1=0的两个根，求x 14+x 24的值.4. 设x 1、x 2是方程x 2－4x －2=0的两个根，求｜x 1|+|x 2|的值5. 设方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实根，求b a ,的值。

6. 已知一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的一个根是1，且a ，b 满足-3，•求关于y 的方程14y 2-c=0的根．7. 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程01mx x 2=-+与02m x x 2=-++仅有一个相同的实根？8.证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)，那么另一个根必是A －B 。

9．印刷一张矩形的张贴广告（如图），•它的印刷面积是32dm2，•上下空白各1dm ，两边空白各0.5dm ，设印刷部分从上到下的长是xdm ，四周空白处的面积为Sdm2． （1）求S 与x 的关系式； （2）当要求四周空白的面积为18dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？10. 如图，客轮沿折线A ─B ─C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，•货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A ─B ─C 上的某点E 处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍． （1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上 C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上 （2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？D答案： 1.202.解：∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根∴x 12－1840x 1+1997=0，x 22－1840x 2+1997=0 ∵（x 12－1841x 1+1998）（x 22－1841x 2+1998）＝[(x 12－1840x 1+1997) －x 1＋1]〔（x 22－1840x 2+1997）－x 2＋1] ＝(0－x 1＋1) (0－x 2＋1) ＝(－x 1＋1) (－x 2＋1) ＝x 1x 2－（x 1+x 2）＋1由根与系数关系,得 代入上式，得(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）=1583. 解：∵x 1、x 2是方程x 2－2x －1=0的两个根 ∴x 12－2x 1－1=0，x 22－2x 2－1=0 ∴x 12=2x 1+1 ,x 22=2x 2+1∴x 14=(2x 1+1)2=4 x 12+4x 1+1=4(2x 1+1) +4x 1+1＝12 x 1+5 同理x 24＝12 x 2+5∴x 14+x 24＝12 x 1+5＋12 x 2+5＝12( x 1+ x 2)+10 由根与系数关系,得 x 1+ x 2 ＝2 ∴x 14+x 24＝344. 解：由根与系数关系,得可知x 1、x 2一正一负，并且正根的绝对值大，不妨设x 1>0， x 2<0 ∴｜x 1|+|x 2|= x 1、－x 2，且x 1、－x 2>0 ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2＝24∴x 1－x 2=2∴｜x 1|+|x 2|＝25. 解：∵方程有实根∴0)2()1()2443(4)]1(2[22222≥+---=+++-+=∆b a a b ab a a∴0)2()1(22≤++-b a a∴只有：0)1(2=-a 和0)2(2=+b a ∴1=a ，21-=b 。

一元二次方程训练题50道理解一元二次方程是解决数学问题的基础，因此训练题对于加深理解和掌握解题方法非常重要。

以下是50道一元二次方程的训练题：1. 解方程，x^2 4x + 4 = 0。

2. 解方程，2x^2 7x + 3 = 0。

3. 解方程，3x^2 + 5x 2 = 0。

4. 解方程，4x^2 12x + 9 = 0。

5. 解方程，x^2 + 6x + 9 = 0。

6. 解方程，2x^2 + 3x 2 = 0。

7. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。

8. 解方程，3x^2 8x 3 = 0。

9. 解方程，4x^2 + 4x + 1 = 0。

10. 解方程，x^2 3x 10 = 0。

11. 解方程，2x^2 11x + 5 = 0。

12. 解方程，3x^2 + 7x 6 = 0。

13. 解方程，x^2 9 = 0。

14. 解方程，2x^2 18 = 0。

15. 解方程，3x^2 27 = 0。

16. 解方程，x^2 2x + 1 = 0。

17. 解方程，2x^2 8x + 8 = 0。

18. 解方程，3x^2 + 6x + 3 = 0。

19. 解方程，x^2 7x + 10 = 0。

20. 解方程，2x^2 5x 3 = 0。

21. 解方程，3x^2 + 4x 4 = 0。

22. 解方程，x^2 4 = 0。

23. 解方程，2x^2 8 = 0。

24. 解方程，3x^2 12 = 0。

25. 解方程，x^2 6x + 9 = 0。

26. 解方程，2x^2 + 2x 4 = 0。

27. 解方程，3x^2 3x 6 = 0。

28. 解方程，x^2 8x + 16 = 0。

29. 解方程，2x^2 12x + 18 = 0。

30. 解方程，3x^2 + 9x + 6 = 0。

31. 解方程，x^2 5 = 0。

32. 解方程，2x^2 20 = 0。

33. 解方程，3x^2 45 = 0。

34. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。

2021-2022学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步专题提升训练（附答案）一．选择题1．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．0B．4C．0或4D．0或﹣42．一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5B．（x+3）2＝14C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝14 3．一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法判断4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞﹣3B．k＞﹣3且k≠1C．k≥﹣3且k≠1D．k＜﹣35．一个等腰三角形两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形周长是（）A．12B．9C．15D．12或156．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．57．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣2x＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0二．填空题9．方程x2﹣4x＝0的实数解是．10．已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是．11．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为．12．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为．13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为．15．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．16．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝．三．解答题17．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．18．解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．21．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．参考答案一．选择题1．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4m2﹣16m＝0，∴m＝0或m＝4，∴m＝4，故选：B．2．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝14，∴（x+3）2＝14．故选：B．3．解：∵一元二次方程3x2+5x+1＝0中，a＝3，b＝5，c＝1，∴△＝52﹣4×3×1＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根故选：B．4．解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞﹣3且k≠1．故选：B．5．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．6．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．7．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．8．解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．二．填空题9．解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．10．解：设方程的另一根为x2，∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，∴x2＝．解得x2＝﹣4．故答案是：﹣4．11．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∵Δ＝13＞0，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．12．解：当6为底边时，则x1＝x2，∴Δ＝100﹣4m＝0，∴m＝25，∴方程为x2﹣10x+25＝0，∴x1＝x2＝5，∵5+5＞6，∴5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设x1＝6，∴36﹣60+m＝0，∴m＝24，∴方程为x2﹣10x+24＝0，∴x1＝6，x2＝4，∵6+4＞6，∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，故答案为24或25．13．解：∵小明看错了一次项系数b，∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c，∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，∴+＝＝＝，故答案为：．15．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．16．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2•（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题17．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2﹣7x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．18．解：（1）∵x2+6x＝﹣4，∴x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，则x+3＝±，∴，；（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2．19．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x＝，∵，∴x1+x2＝6，∵x1+x2＝4m，∴4m＝6，∴，∴，∴x1＝6，x2＝0．20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．21．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，∵a2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个根分别为α和β，由根与系数的关系得：，解得：a＜0．22．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）＝4＞0，∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，∴（k+1）2+（k+3）2＝102，解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，∴k的值为5．。

2021年鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》期末知识点分类提升训练（附答案）一．一元二次方程的定义1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x＝0B．C．x+3＝0D．x3+2x2＝12．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣3x＝4B．x2﹣＝3C．x3﹣3＝7D．x2+2x﹣6＝0 3．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+2＝2B．x2﹣2y＝1C．x2＝0D．二．一元二次方程的一般形式4．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的一次项系数是（）A．﹣4B．﹣3C．2D．35．在一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．1，4B．1，﹣4C．1，﹣1D．x2，4x6．把一元二次方程x（x+3）＝4化成一般形式：．7．将一元二次方程2x2＝x﹣1化成一般形式是．三．一元二次方程的解8．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是（）A．0B．1C．﹣2D．1或﹣29．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个实根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．210．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b 的值等于（）A．2018B．2020C．2022D．2024四．解一元二次方程：直接开平方法11．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（）A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝6，x2＝﹣6C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝3，x2＝﹣3A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝x2＝1 13．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥0五．解一元二次方程：配方法14．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣5＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝14C．（x+6）2＝41D．（x﹣5）2＝6 15．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝4 16．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2 17．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8 18．一元二次方程2x2+6x+3＝0经过配方后可变形为（）A．（x+3）2＝6B．（x﹣3）2＝12C．D．六．解一元二次方程：公式法19．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．20．解方程：（1）x2﹣2＝5；（2）x（x+2）＝﹣2x+1．21．解下列方程：（1）（x﹣1）（x+3）＝12；（2）2x2﹣4x+1＝0．七．解一元二次方程：因式分解法22．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的实数根有（）A．0个B．1个C．2个D．3个A．x＝3B．x＝0C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0 24．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定25．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则三角形的周长为（）A．12B．13C．14D．12或14八．换元法解一元二次方程26．请用合适的方法解方程：（1）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（2）4x2﹣8x+1＝0（3）（x﹣2）（x﹣3）＝1227．解方程：（1）2x2﹣1＝4x；（2）（x﹣1）2﹣3（1﹣x）＝0．九．一元二次方程根的判别式28．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定29．下列关于方程x2﹣4x﹣7＝0的结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根30．关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定31．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 32．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根33．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根34．已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．一十．一元二次方程根与系数的关系35．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣536．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（）A．﹣2B．2C．3D．﹣337．关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．13或11B．12或﹣11C．13D．1238．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是．39．若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，则α+β的值是．40．已知x1、x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为．十一．一元二次方程的应用41．11月15日上午，2020“一带一路”国际帆船赛（中国北海站）举行了起航仪式，北海市人民政府副市长欧余军为北海号船长授旗．比赛期间，某帆船赛的纪念品受到热烈欢迎，从原价100元连续两次涨价达到121元，如果每次涨价的百分率都是x，下面所列方程正确的是（）A．121（1﹣2x）＝100B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x）2＝12142．近年来，我国快递业务迅猛发展，据统计，2018年和2020年全国累计完成快递业务量分别约为400亿件和635亿件．设这两年我国快递业务量的年平均增长率为x，可列方程为（）A．400（1+2x）＝635B．400（1+x）2＝635C．635（1﹣2x）＝400D．635（1﹣x）2＝40043．惠多多超市2020年10月份的营业额为36万元，12月份的营业额为48万元．设该超市每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．36（1+x）2＝48B．36（1﹣x）2＝48C．48（1+x）2＝36D．48（1﹣x）2＝3644．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为．45．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件、如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是．46．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场个47．某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件降价5元，则平均每天销售量为件；（2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？48．某电脑销售店电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某校计划以促销价购买100台电脑．该店还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送12个月的免费保修费，免费保修费为每台每月10元．请问哪种方案更优惠？49．某玩具经销商2019年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模式，与2019年相比2021年总成本下降了20%，销售总额增加了10.5%．（1）求该经销商年利润的平均增长率；（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2022年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到0.01万元）．十二．配方法的应用50．用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1B．（a+2）2﹣5C．（a+2）2﹣9D．（a+2）2+451．对于任何实数m、n，多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是（）A．非负数B．0C．大于2D．不小于2 52．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（）A．非负数B．正数C．负数D．无法确定53．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，（1）求m2+2m+4的最小值；（2）求4﹣x2+2x的最大值．参考答案一．一元二次方程的定义1．解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意．；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数为3次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．3．解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C．二．一元二次方程的一般形式4．解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0一次项系数是：3．故选：D．5．解：一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是1，﹣4．故选：B．6．解：x（x+3）＝4，去括号，得x2+3x＝4，移项，得x2+3x﹣4＝0，故答案为：x2+3x﹣4＝0．7．解：由2x2＝x﹣1，得2x2﹣x+1＝0，即方程2x2＝x﹣1化为一元二次方程的一般形式是2x2﹣x+1＝0．故答案为：2x2﹣x+1＝0．三．一元二次方程的解8．解：∵方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0为一元二次方程，∴k﹣1≠0，∴k≠1．将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0，得：k2+k﹣2＝0，解得：k1＝﹣2，k2＝1（不合题意，舍去）．故选：C．9．解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个实根，∴1﹣2+m＝0，∴m＝1，故选：C．10．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×2＝2022﹣4＝2018，故选：A．四．解一元二次方程：直接开平方法11．解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝18，∴3x2＝18，则x2＝6，∴x1＝，x2＝﹣，故选：A．12．解：x2＝1，开方得：x＝±1，即x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．13．解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．五．解一元二次方程：配方法14．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝5+9，∴（x+3）2＝14，故选：B．15．解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，则x2+6x+9＝﹣4+9，即：（x+3）2＝5，故选：C．16．解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．17．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．18．解：∵2x2+6x＝﹣3，∴x2+3x＝﹣，则x2+3x+＝﹣+，即（x+）2＝，故选：C．六．解一元二次方程：公式法19．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．20．解：（1）x2﹣2＝5，x2＝7，解得，x1＝，x2＝﹣；（2）x（x+2）＝﹣2x+1方程整理得x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．21．解：（1）x2+2x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，x+5＝0或x＝3，所以x1＝3，x2＝﹣5；（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，∴，即，．七．解一元二次方程：因式分解法22．解：∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故选：C．23．解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3．故选：C．24．解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，解得：当x＝3或x＝6，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，故选：B．25．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，即第三边的边长为5或7．∵1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5．∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．故选：A．八．换元法解一元二次方程26．解：（1）设t＝x+2，则由原方程得到：（t﹣5）2＝0，t﹣5＝0，∴t＝5，∴x1＝x2＝3．（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）x2﹣2x＝﹣，（x﹣1）2＝，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（3）原方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，∵（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0或x+1＝0，则x＝6或x＝﹣1．27．解：（1）2x2﹣1＝4x，∵x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣1）2﹣3（1﹣x）＝0，（x﹣1）（x﹣1+3）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．九．一元二次方程根的判别式28．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×5＝﹣16＜0，∴方程无实数根．故选：C．29．解：方程x2﹣4x﹣7＝0，这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，∵△＝16+28＝44＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．30．解：∵x2﹣kx﹣1＝0，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，∴方程x2﹣kx﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．31．解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴该方程没有实数根；B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：A．32．解：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：A．33．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．34．解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，∴a﹣3+4+3＝0，∴a＝4；（2）由题意△≥0且a≠3∴16﹣12（a﹣3）≥0，解得a≤，∵a是正整数，∴a＝1或2或4．十．一元二次方程根与系数的关系35．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，∴x1+x2＝3；x1x2＝﹣2．则x1+x2+x1x2＝3+（﹣2）＝1．故选：B．36．解：根据根与系数的关系，x1+x2＝﹣＝2．故选：B．37．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝2k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，即k2﹣4k﹣5＝0，解得：k1＝﹣1，k1＝5．当k＝﹣1时，原方程为x2+x﹣3＝0，∴△＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴k＝﹣1符合题意，此时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝13；当k＝5时，原方程为x2﹣5x+9＝0，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，∴k＝5不符合题意，舍去．综上可知：（x1﹣x2）2的值是13．故选：C．38．解：设方程的另一个根是t，根据题意得﹣1•t＝2，解得t＝﹣2，即方程的另一个根是﹣2．故答案为﹣2．39．解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，∴α+β＝3，故答案为3．40．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝1，所以原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×1＝3．故答案为3．十一．一元二次方程的应用41．解：依题意得：100（1+x）2＝121．故选：D．42．解：依题意得：400（1+x）2＝635．故选：B．43．解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：A．44．解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故答案为：400（1+x）2＝900．45．解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，所以，x（x﹣1）＝132．故答案为：x（x﹣1）＝132．46．解：设这个航空公司有机场n个＝10n＝5或n＝﹣4（舍去）47．解：（1）20+2×5＝30（件）．故答案为：30．（2）设每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∴40﹣x≥24，∴x≤16，∴x＝10．答：当每件降价10元时，该超市每天销售此商品利润为1200元．48．解：（1）设平均每次降价的百分率为x，依题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率为10%．（2）选择方案①所需费用为4050×100×0.98＝396900（元）；选择方案②所需费用为4050×100﹣100×10×12＝393000（元）．∵396900元＞393000元，∴方案②更优惠．49．解：（1）设该经销商年利润的平均增长率为x，依题意得：（20﹣12）（1+x）2＝20（1+10.5%）﹣12（1﹣20%），即：8（1+x）2＝12.5，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合，舍去）．答：该经销商年利润的平均增长率为25%．（2）∵2021年获得的利润12.5万元，∴12.5×（1+25%）＝15.625≈15.63（万元）．答：2022年该经销商获得的利润约是15.63万元．十二．配方法的应用50．解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣9＝（a+2）2﹣9．故选：C．51．解：m2+n2﹣6m﹣10n+36＝m2﹣6m+9+n2﹣10n+25+2＝（m﹣3）2+（n﹣5）2+2，∵（m﹣3）2≥0，（n﹣5）2≥0，∴（m﹣3）2+（n﹣5）2+2≥2，∴多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是不小于2，故选：D．52．解：x2﹣5x+8＝x2﹣5x++＝（x﹣）2+，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x﹣）2+的最小值是，故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数，故选：B．53．解：（1）m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，即m2+2m+4的最小值为3；（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+5＝﹣（x﹣1）2+5，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5．。

中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420 ＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.3．已知：关于的方程有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程． ∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴． 而，∴，． 由题意，有∴即（﹡） 解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】 （1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，又0k Q ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

第二章：一元二次方程能力提升测试一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．已知1=x 是方程012=++px x 的一个实数根，则p 的值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． ﹣22．已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=+-c b a ，则该方程一定有一个根为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． -13．关于x 的一元二次方程()02212=-+-x x k 有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是( )A ． 1B ． 0C ． 2D ． 34．若关于x 的一元二次方程()()0112222=+++-x m x m 有解，那么m 的取值范围是( )A ．43>m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m 5．若一元二次方程()096222=-++m x m 的一个根为0，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．3或-3 D ．9 6．方程()()121+=-+x x x 的解是（ ） A ．2B ．3C ．-1,2D ．-1,37．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为（ ）A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－368.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或85C ．48D ．859．如果非零实数a 是一元二次方程052=+-m x x 的一个根，a -是方程052=-+m x x 的一个根，那么a 的值等于( )A ． 0B ． 1C ．21D ． 5 10．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x 行或列，则列方程得( ) A ．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B ．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C ．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D ．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.若关于x 的一元二次方程062=++bx ax 的一个根为2=x ，则代数式_______62=++b a 12．若关于x 的一元二次方程()01532=+-+x x a 有实数根，则整数a 的最大值是__________13．已知直角三角形两直角边x 、y 的长满足032422=--+-y y x ，则斜边长为_________14．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的盈利为1600元，则每件应降价___________元15.两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为___________16.方程()0142=---p x x 与032=-+px x 仅有一个公共根，那么p 的值为___________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）解下列方程：（1）08922=+-x x （2）()()x x x 326237-=-18.（本题8分）关于x 的方程012=++-a ax x 有两个相等的实数根， 求a a a a a a a a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222的值．19（本题8分）．已知方程()0612=-+-x k x 是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．20.（本题10分）．已知关于x 的一元二次方程012=+++n mx x 的一根为2． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）试说明：关于y 的一元二次方程02=++n my y 总有两个不相等的实数根．21（本题10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，PQ 的长度等于102 cm? (3)在(1)中，△PQB 的面积能否等于7 cm 2？说明理由．22（本题12分）．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个． （1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．23（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(OA ＜OB)，且OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的两个根．线段AB 的垂直平分线CD 交AB 于点C ，交x 轴于点D ，点P 是直线CD 上一个动点，点Q 是直线AB 上一个动点． (1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线CD 的解析式；(3)在坐标平面内是否存在点M ，使以点C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为21AB 长？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020-2021中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练含详细答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0． （1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是5． 【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.3．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．5．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.6．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+Q 方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m Q ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.8．关于x 的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）-1. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根11．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．12．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.13．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为2cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12(6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝2 cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为2 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】 【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值． 【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2． ∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．。

《一元二次方程》专题练习一、一元二次方程的解法1．已知x 为实数，且满足（x 2+3x ）2+3（x 2+3x ）﹣18=0，则x 2+3x 的值为 ． 2. 若16)3(222=-+y x ，则22y x +的值为 3．已知实数x 满足（x 2﹣5x+5）x =1，实数x 的值可以是 ． 4．已知x 是实数且满足（x ﹣3）=0，则相应的代数式x 2+2x ﹣1的值为 ．二、一元二次方程的根的定义及韦达定理的运用1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ． 2009 B ． 2010 C ． 2011 D ．2012 2．已知m 、n 是方程x 2﹣2002x+2003=0的两根，则（n 2﹣2003n+2004）与（m 2﹣2003m+2004）的积是 ．3．设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a=2，则a= ． 4．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x 2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．5．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a ﹣b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知2x 2﹣mx ﹣n=0是关于x 的凤凰方程，m 是方程的一个根，则m 的值为 ． 三、判别式定理的运用1．如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜ B ． k ＜且k≠0 C ．﹣≤k ＜D ．﹣≤k ＜且k≠02．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．3．若m 是非负整数，且关于x 的方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+m+2=0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．四、判别式定理与韦达定理的综合运用1．已知方程x 2﹣（m ﹣1）x+（m+7）=0有一个正根和一个负根，那么（ ） A ． m ＞7 B ． m ＞1 C ． m ＜1 D ．m ＜﹣72．已知方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有一个正根一个负根，求m的取值范围．3．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是．4．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=10，求a的值；（2）已知等腰△ABC的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的根，求这个三角形的周长．6．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．7．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．8．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x l﹣2x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数k的整数值．9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．10．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0 （m＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？11．已知方程a（2x+a）=x（1﹣x）的两个实数根为x 1，x2，设．（1）当a=﹣2时，求S的值；（2）当a取什么整数时，S的值为1；（3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．12．已知关于x的一元二次方程x2+（3﹣a）x+a﹣5=0（1）求证：无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根；（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求实数a的取值范围．五、一元二次方程应用题1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间？（2）平均每秒小球的运动速度减少多少？（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？3．某商场购进一批商品，在进价基础上加价120元后，再打九折销售，每件商品售价为360元，每月可售出60件．（1）求该商品的进价．（2）为了扩大销售，商场决定采取适当的降价方式促销，经调查发现，如果每件商品降价a%，那么商场每月可以多售出30a%，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，求a的值．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？6．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．（1）要使折成的长方体盒子的底面积为324cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．7．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．8．某汽车销售公司1月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为16万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．①若该公司当月卖出4部汽车，则每部汽车的进价为万元；若该公司当月卖出m（1≤m≤20）部汽车，则每部汽车的进价为万元；②如果汽车的销售价位17万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）9．某广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积A（m2）的范围内，每张广告收费1000元，如果超过Am2，则除了要交1000元的基本广告费外，超过部分还按每平方米50A元收费，下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载：单位广告面积（单位：m2）收费金额（单位：元）烟草公司 6 1400食品公司 3 1000红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白处，并且四周各空0.5米，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告面积，若矩形长宽之比为3：2，并且红星公司只能支出110400元的广告费．（1）求A的值．（2）求这张广告的长和宽各是多少米？10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动，设运动的时间为t．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？（2）t为何值时，P、Q两点之间的距离是6m？（3）在移动的过程中，PQ能否将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．11．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）求四边形APQC的面积最小值．12．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以P、N两点重合？（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．。