周益春-材料固体力学习题解答7

第七章 粘弹塑性本构关系1. 应用Kelvin 模型，求图所示组合的应力应变关系。

解：如图所示，总的应变是弹簧的应变和Kelvin 单元应变之和。

因此K s εεε+= (1)而 K K s E E εηεεσ +==21 (2) 对(1)式求导，有 K s εεε +=， 再由(2)式得1E s σε=，ηεσεKK E 2-= ，再结合(1)式，可以求出 σησεηε ++=+)(21121E E E E E 即为图示组合应力应变关系。

2. 如图所示一直杆，杆件材料服从如下本构关系：εησσ +=s (s σσ>),式中At P )(=σ，s σ为静态屈服极限。

若)(t P 为一个阶跃函数，当0=t 时，应力突然由零增至某一数值0σ(>s σ),且以后保持常数，试求此情况下杆件的应力应变关系。

解：由题意 εησσ =-s 0 (0>t) 图7.1图7.2即 )(10s σσηε-=对上式积分可得 C t s +-=)(10σσηε其中C 为积分常数。

若0=t 时已有应变0ε存在，则由上式可得0ε=C 。

从而有00)(1εσσηε+-=t s3. 假定介质的流动是缓慢的轴对称的定常流，即介质在管中没有转动，讨论粘塑性材料在圆管中的流动。

解：如图所示的圆柱坐标系z r ,,ϕ中，其径向和环向速度为零，即0==ϕυυr于是应变率分量为0====z r r ϕϕϕεεεεrzzrz zz ∂∂=∂∂=υευε, 如果我们假定材料是不可压缩的，则有0=z ε，从而有)(r z z υυ=。

若进一步假定应力分量可分解为塑性和粘性两部分，其塑性部分服从与Mises 屈服条件相关的流动法则，而粘性部分服从牛顿线性粘性定律，则不难得到0===z r σσσϕ0==z r ϕϕττ图7.3drd zs rz υηττ+-= (1) s τ为剪切屈服极限很显然，当,s rz ττ≥且0≤drd zυ时才有意义。

进一步根据圆柱坐标系中的平衡方程，我们容易得出00=∂∂++=∂∂zr dr d r rz rz σττσ及 (2) 若管中的压力梯度q 为常数，即q z=∂∂σ，则由(1)(2)两式可得 0)1(22=+-+q r dr d r drd s τυυη (3)此处省去了z υ的下标。

如果假定介质与管壁之间没有滑动，即当R r =时，0==υυz ，在这个边界条件下积分(3)式，最后得到： )()(422r R r R qs ---=ητηυ (4) 速度υ沿r 方向的分布如图所示。

由于问题的对称性，因而沿z 轴必有0=rz τ，而离开z 轴，剪应力才逐渐增加。

于是围绕z 轴将存在一个s rz ττ<的区域。

在这个区域内没有粘塑性变形发生。

设该区域的半径为0r ，当0r r <时，有0=drd υ。

将(4)式代入(1)式，给出2qr rz -=τ 于是0r 由下式可以确定qr sτ20=若在0r r =处的速度为0υ，则有200)(4r R q-=ηυ 我们来看看两种极限情况：(a) 若0=s τ，则得到牛顿流体的情况，此时00=r ，即不变形的刚性区域不复存在; (b) 若0=η，即没有粘性存在的情况，在管壁附近的薄层中将会出现滑动。

4. 如图所示的单自由度系统，细杆AB 的质量与杆端质量m 相比可以忽略不计。

AB 杆系弹粘塑性材料，服从下列本构关系：⎪⎭⎪⎬⎫≥--=≤=000)(R R signR R R y k RR R ky R η其中，y 为质量块m 处的位移，R 为恢复力，0R 为细杆的屈服极限，k 为刚度系数。

试求系统弹性阶段和粘塑性阶段的运动方程。

解：设质量块在0=t 时刻开始受到外力)(t P 作用，其运动方程为)(t P R ym =+ 若置ky R =，则得弹性阶段的运动方程)(t P ky ym =+ 如果初始条件为00)0(,)0(y yy y ==，则上式的解为 ττωτωωωωd t P m t yt y t y t⎰--+=000)(sin )(1sin cos )( 其中21)(mk =ω为弹性振动频率。

弹性阶段的运动于R 达到0R 时终止，设终止时刻s t t =。

容易理解弹性阶段的终止时刻的位移和速度值即粘塑性阶段的初始条件。

当杆处于粘塑性状态时，相应的本构关系可由题目条件gR R R y k Rsin )(0--=η积分得图7.4⎰--+=tt sd t yk gR R R ττητ)](ex p[)(sin 0 于是得到粘塑性阶段的运动方程为)()](ex p[)(0t P d t y k R ym tt s=--++⎰ττητ )(s t t > 相应的初始条件为s s s s y t yy t y ==)(,)(，可解得 ττωτωωτωωωωωωτωd e t P m yy t t t t yy e t t y yy t y s s s s s s t t s s s s s ⎰------⨯-++⨯----+---+=])exp(22[)(1)()](exp[)()23()(224)()(5. 土壤的屈服条件和体积变化有关，假设其静力屈服条件的形式为k J J =+'21α，式中，α为描述土壤体积变化的参数，1J 为应力张量的第一不变量，'2J 为应力偏量张量的第二不变量，k 为土壤的剪切屈服极限。

试根据Perzyna 本构方程来推导土壤的体积变化率。

解：由已知的静力屈服条件可以推出描述动力条件和静力条件差别的函数Φ=]1['21-+ΦkJ J α在此情况下，根据Perzyna 本构方程可以写出土壤的本构方程为：)2(]1[2121'2'21J s k J J E vs G ij ij ii ij ij +-+Φ+-+=αδαγσε (1)由此可得土壤的体积变化率为：]1[321'21-+Φ+-=kJ J E vii ii ααγσε当0≠α时，上式表示伴随着非弹性应变有体积变化。

将(1)式用主偏量分量表示，有)2](1[)2](1[)2](1['23'213'22'212'21'211J s kJ J eJ s kJ J eJ s kJ J ep p p +-+Φ=+-+Φ=+-+Φ=ααγααγααγ将上式的平方相加，则得[][][]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+Φ=++'2232221'232122'2123222143]1[J s s s J s s s k J J e e ep p p ααγ (2) 由于[][][]232221p p p e e e++=])()()[(31213232221p p p p p p e e e e ee -+-+- =pI 22 '22132322212322212])()()[(31J s s s s s s s s s =-+-+-=++0321=++s s s故(2)式可以写为]4123][1[2'212+-+Φ=ααγkJ J Ip由上式可得动力屈服条件为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++Φ=+-1])4123([221'21αγαp I k J J当∞→γ时，由(1)式可以得到]2['2*J s ij ij pij+=αδλε式中，2122*4123⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=αλp I此时，土壤塑性体积应变率可由下式确定，即*3αλε=p ii6. 长度为L 的悬臂梁AC ，A 端固定，C 端自由，且C 端具有质量为G 的重物。

当C 端受动量为I 的冲击作用时，则梁在运动过程的某一时刻t 的变形形式如图所示，图中阴影部分为粘塑性区，在此阶段，材料服从下列本构关系：p sD )1(-=σσε现假定BC 段的倾角1θ为一常数的情况，即BC 段视为直线段，略去惯性量，试求粘塑性区的速度表达及点G 的速度。

解：由动量变化定理和动量矩变化定理可得：⎪⎭⎪⎬⎫+=-+=-⎰⎰⎰⎰1001100)(cos cos )(υυηηθυθυηηGL xdx m d M IL G dx m d Q I Lt m Lt m (1) 式中，m m M Q 和分别为固定端A 处的剪力和弯矩，1υ为G 的速度。

以下认为1υ与BC 线的外侧相垂直。

令υ为B 点的速度，并认为υ和1υ均与BC 的中心线相垂直，于是(1)化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+--+-+=-+++=-⎰⎰⎰⎰--110011100)3()(21)([)(cos ])(21[cos )(υυυυυηηθυυυθυηηGL zL z z L z m xdx m d M IL G mz dx m d Q I z L t m zL tm (2)在(2)式中，AB 段的积分⎰-=zL dx m J 0cos υ ⎰-=zL x d xm H 0υ 由于它们对最终结果的影响很小，可以略去。

将本构关系改用广义应力和广义应变率来表示，则可写成p M M B )1(0-=κ，其中ppp h D B )212)(2(+= 此处，h 为截面高度，2041h M s σ=为截面屈服弯矩值。

略去粘塑性区的惯性力，得1)1)(()()(000zL x M M M x M z L Q M M m m ---=--=-pzL x x )1()(--=κκ p mM M B )1(00-=κ0κ显然为0=x 处的曲率变化率。

粘塑性区任意点的角速度θ 为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+==+⎰100)1(1)(1)()(p xz L x z L p d x κξξκθ (3) 认为刚性区各点的角速度均相同，于是在上式中令z L x -=则得)(101z L p-+=κθ进一步积分(3)式可得粘塑性区的速度)(x υ：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+----+-++-=+2)1(21)()(20p z L z L x p z L x p z L x p κυ令z L x -=，则得2)(20+-=p z L κ进而可得)1(2)(011+++-=+=p zL p z L z κθυυ7. 半无限长粘塑性长杆，在端部受纵向冲击作用，X 为沿杆轴的坐标，0=X 为撞击端，材料的初始密度为ρ，若杆遵循线性化本构关系即⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=ss s D σσσσσσε0)1(图7.6s σ为简单拉伸时的屈服极限，D 为材料常数。

试据此对杆件进行动力分析。

解：杆中的应力和应变分别用),(T X σ和),(T X ε来表示，质点的运动速度表示为),(T X V 。

运动方程为0=∂∂+∂∂T VX ρσ ε与V 间的几何关系为 0=∂∂+∂∂XVT ε引进下列无量纲的量DLV t x DL T t LX x s ===),(2υρσ 2200),(LD DLV t x s s sρεσηυσσ===于是，可以将本构关系方程，运动方程及几何关系化为0=∂∂+∂∂x s t υ (1) 0=∂∂+∂∂t x ηυ (2) ⎩⎨⎧≤>-=∂∂111s s s t η (3)因而在粘塑性区有1002222>⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂s t sx s tx υυ很明显，上式中的s 和υ均满足一维热传导方程，边界条件和初始条件为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∞=1)0,(0)0,(0),(),0(0x s x t t υυυυ用积分变换法求解，得到)2(),(0tx erfc t x υυ=其中，)2(tx erfc 为误差函数，可通过查表求得数值。