第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案
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第十三章 能量法13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。
已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。
题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为x x b E F x x EA F V lld )(2d )(202N02N⎰⎰==δε(a)由图可知，截面x 的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得121221212 0 ln )(2d 21b b b b E δlF x x l b b b δF E V lε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，12122ln )(22Δb b b b E δlF l F -= 由此得1212ln )(Δb b b b E δFll -=13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。
已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。
题13-4图解： 1. 轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。
设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。
由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B 022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G得34N1F F =， 32N2FF -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222N 21N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为2DyF ΔW =根据能量守恒定律，于是有EAlF F ΔDy 91022=由此得节点D 的铅垂位移为()↓=920EAFlΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。
试用能量法证明弹簧的轴向变形为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=αααλcos sin 2cos 8243E G Gd n FD 式中：D 为弹簧的平均直径，d 为弹簧丝的直径，n 为弹簧的圈数，α为螺旋升角，E 为弹性模量，G 为切变模量。
题13-5图解：由图b 可知，s 截面的弯矩与扭矩分别为()()ααααcos 2cos ,sin 2sin FDM s T FD M s M F F ==== （a ） 据能量守恒定律，有εV W =（b ）其中，2λF W =（c ）而()()s EIs M s GI s T V l l εd 2d 22P2⎰⎰+= （d ）式中，l 为簧丝总长，其值为αcos πDnl =（e ）将式（a ）代入式（d ），并注意到式（e ），得)c o ss i n c o s (8π2P P 32αααEI GI GI n D F V ε+=（f ）最后，将式（c ）和（f ）代入式（b ），于是得)cos sin 2cos (8243αααλE G Gd n FD +=13-6 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F 的横向力作用。
设截面宽度为b 、拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ。
试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为EAbF l μ=∆题13-6图解：设该杆两端承受轴向拉力1F 作用，杆的横向变形为EAb F b EA F b b 11μμμε-=-=-=∆ 根据功的互等定理，于是有⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅EA b F F l F 11Δμ由此得EAbFl μ=Δ13-8 图示桁架，在节点B 承受载荷F 作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用卡氏定理计算该节点的铅垂位移B ∆。
题13-8图解：根据卡氏定理，有FF l F EA Δi i i i B ∂∂=∑=N 51N 1各杆编号示如图13-8。
图13-8求B Δ的运算过程示如下表：由此得()EAFa ΔB 2223+=（↓）13-9 图示刚架，承受载荷F 作用。
设弯曲刚度EI 为常数，试用卡氏定理计算截面C 的转角。
题13-9图解：在截面C 处假想附加一矩为C M 的力偶（见图13-9），由图可得()ax M x M x a M F x M C C 1111)( , )(=∂∂+= 1)( , )(C222=∂∂+=M x M M Fx x M C图13-9根据卡氏定理，得EIFa x Fx x axFx EIaaC 65]d )1)((d ))(([120 0 22111=+=⎰⎰θ （ ） 13-10 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数，试用卡氏定理计算横截面A 的挠度∆A与转角θA。
题13-10图（a ）解：令A M Fa =，由图13-10a 易得()Fx M x M A -=， ()x Fx M -=∂∂， ()1=∂∂AM x M图13-10(a)注意到左半段梁上0=M ，于是得EIFa x x Fx Fa EIΔaA 6d ))((130 -=--=⎰（↑） EIFa x Fx Fa EIaA 2d )1()(120 =-=⎰θ （✈） （b ）解：令F qa =，并在A 端附加一顺钟方向的力偶矩A M ，自A 向左取坐标x ，有()221qx Fx M x M A ---=， x F x M -=∂∂)(， 1)(-=∂∂A M x M 根据卡氏定理，得EIqa x x qx qax EIΔaA 2411d )()21(140 2=---=⎰（↓） EIqa x qx qax EI a A 32d )1)(21(13 0 2=---=⎰θ（ ） 13-12 图示圆截面轴，承受集度为m 的均布扭力矩作用。
设扭转刚度GI p为常数，试用卡氏定理计算杆端截面A 的扭转角。
题13-12图解：在A 端附加一扭力矩A M ，自A 向左取坐标1x ，自轴中间截面向左取坐标2x ，于是有()()ma M x T mx M x T A A +=+=211 ,及()()121=∂∂=∂∂AA M x T M x T 依据卡氏定理，得p20 0 211p 23d )1)((d )1)((1GI max ma x mx GI aaA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰ϕ13-14 图示简支梁，承受集度为q (x ) 的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移)(*x w ，该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：⎰⎰=llx M x x q x w **d )()()(θd即证明外载荷q (x ) 在虚位移上所作之总虚功W e ，等于可能内力M (x )在相应虚变形上所作之总虚功W i 。
题13-14图解：虚位移为满足变形连续条件与位移边界条件的微小位移，因此xw d d **=θ， 0)()0(**==l w w 可能内力是满足平衡与静力边界条件的内力，即()() d d d d S S ,xM x F ,x F x q == 0)((0)==l M M于是有x x w F F w x x F x w x x q x w W l l l l d d d d d d )(d )()( 0 S 0S S 0 e ****⎰⎰⎰⋅-=⋅==i 0 0 0 d )(d )(d d d W x M x M M x xM l l l l ==+-=-=****⎰⎰⎰θθθθ13-15 图示阶梯形简支梁，承受载荷F 作用。
试用单位载荷法计算横截面C 的挠度C∆与横截面A 的转角A θ。
题13-15图解：设两种单位状态如下：1．令1=F ；2．在截面A 处假想加一顺钟向力偶矩1=A M ，坐标示如图13-15。
图13-15三种弯矩方程为()()()1111113 311~31x F x M ,x a x M ,x x M =-==()()()2222223 311~31x F x M ,x a x M ,x x M =-==()()()33333332 31~32x F x M ,x a x M ,x x M ===依据单位载荷法，有 )( 5413d )32)(32(21d )3)(3(21d )3)(31(133 0 332 2221 0 11↓=++=⎰⎰⎰EIFa x x F x EIx x F x EIx x F x EIaaaaC ∆ 及EIFa x x F a x EIx x F a x EIx x F a x EIaaaaA 10831)d 32)(3(21d )3)(31(21d )3)(31(120 3332 2221 0 11=+-+-=⎰⎰⎰θ（ ） 13-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷q 作用。
设各梁各截面的弯曲刚度均为EI ，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角θ。
题13-16图解：求θ的单位状态及坐标取法示如图13-16。
图13-16两种弯矩方程为()()21112,0x q x M x M -==()()22222,1x qax M a x x M -=-=()()33332,1x qa x M a x x M =+= 由此得到EIqa x x qa a x EIx x qa a x EIaa3d )2)(1(1d )2)(1(133 0 332 0 22=++--=⎰⎰θ （ ） 13-17 图示桁架，在节点B 处承受载荷F 作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用单位载荷法计算该节点的水平位移B ∆与杆AB 的转角AB θ。
题13-17图(a) 解：求B Δ和AB θ的单位状态分别示如图13-17a （1）和a （2）。
图13-17a求B Δ的运算过程列表如下：故有EAFaEA l F F Δi i i i B 12331N N -==∑=（←）求AB θ的运算过程列表如下：故有∑===31N N 635i i i i AB EA FEA l F F θ（ ） (b) 解：求B Δ和AB θ的单位状态分别示如图13-17b （1）和b （2）。
图13-17b求B Δ的运算过程列表如下：故有EA FaEA lFFΔi i ii B)222(5 1NN+==∑=（→）求ABθ的运算过程列表如下：故有EA FEA lFFii ii AB)242(51NN+==∑=θ（ ）13-18图示刚架，弯曲刚度EI为常数。
试用单位载荷法计算截面A的转角及截面D的水平或铅垂位移。
题13-18图(a )解：求A θ及D Δ的单位状态分别示如图13-18a （1）和（2）。
图13-18a弯矩方程依次为()()()21111112,~,1 x q qax x M x x M x M -=== ()()()222222,~ ,1x qa x M a x M x a x M ===()()()0 ,~,03333===x M x x M x M依据单位载荷法，有EIqa x qax a x x x q qax EI aaA 2d )2)((d )2)(1(13 0 0 2221211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰θ（ ） 及EIqa x x qa a x x q qax x EI ΔaaD 2411d )2)((d )2)((14 0 0 2212111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰（→） (b)解：求A θ及D Δ的单位状态如图13-18b （1）和b （2）所示。
