最新高三教案-十年高考分类解析与应试策略数学第十一章极限、导数与积分 精品
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十年高考分类解析与应试策略数学 第十一章 极限、导数与积分
●考点阐释
本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.
重点掌握：
1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.
2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.
3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值.
4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.
●试题类编 一、填空题
1.（2018天津理，15）直线x =0，y =0，x =2与曲线y =（2）x 所围成的图形绕x 轴旋
转一周而成的旋转体的体积等于_____.
2.（1998上海，3）若23
3
lim 321=+++→x ax x x ，则a = . 3.（1996上海理，16）)2
1
44(
lim 2
2
---→x x x = . 二、解答题
4.（2018天津文，21）已知a ＞0，函数f （x ）=x 3－a ，x ∈［0，+∞）.设x 1＞0，记曲线y =f （x ）在点M （x 1，f （x 1））处的切线为l .
（Ⅰ）求l 的方程；
（Ⅱ）设l 与x 轴交点为（x 2，0）.证明：
（i ）x 2≥a 3
1；
（ii ）若x 1＞a 3
1
，则a 3
1＜x 2＜x 1.
5.（2018天津理，20）已知a ＞0，函数f （x ）=x ax -1，x ∈（0，+∞）.设0＜x 1＜a
2
，记曲线y =f （x ）在点M （x 1，f （x 1））处的切线为l .
（Ⅰ）求l 的方程；
（Ⅱ）设l 与x 轴交点为（x 2，0），证明：
（i ）0＜x 2≤
a
1
；
（ii ）若x 1＜
a 1，则x 1＜x 2＜a
1. 6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲
线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m ，BB ′=22 m ，塔高20 m.
（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.
※
（2）求冷却塔的容积（精确到10 m 3，塔壁厚度不计，π取3.14）
7.（1995上海文，22）设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且 f ′（x ）=2x +2.
（1）求y =f （x ）的表达式； ※
（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
8.（1995上海理，22）设y =f （x ）是二次函数，方程f （x ）=0有两个相等的实根，且 f ′（x ）=2x +2.
（1）求y =f （x ）的表达式； ※
（2）若直线x =－t （0＜t ＜1）把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.
说明：凡标有※
的试题与2018年教学大纲及2018年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.
●答案解析
1.答案：
2
ln 3π 解析：由旋转体的体积公式V =π
x x x
x d )2(d ])2[(2
02
02⎰⎰=π 2
ln 3)2ln 22ln 2(02π
π=
-=. 2.答案：4 解析：依题意有：
3
13
1+++a =2，∴a =4
3.答案：－
4
1 解析：原式=4
1
)21(lim 42lim )4244(
lim 222222
-=+-=--=-+--→→→x x x x x x x x x . 4.（Ⅰ）解：求f （x ）的导数：f ′（x ）=3x 2，由此得切线l 的方程：
y －（x 13－a ）=3x 12（x －x 1）.
（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y =0，
x 2=x 1－2
1
3
12131323x a
x x a x +=-， （i ）)2()(31)32(3131
12
3112
1
312131213
12a x a x x a x a x x a x +-=-+=-≥0， ∴x 2≥a 3
1，
当且仅当x 1=a 3
1时等号成立.
（ii ）若x 1＞a 3
1，则x 13
－a ＞0，x 2－x 1=－2
1
3
13x a x -＜0，且由（i ）x 2＞a 31
， 所以a 3
1＜x 2＜x 1.
5.（Ⅰ）解：求f （x ）的导数：f ′（x ）=－
21
x
，由此得切线l 的方程： y －（
111x ax -）=－21
1
x （x －x 1）. （Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y =0， x 2=x 1（1－ax 1）+x 1=x 1（2－ax 1），其中0＜x 1＜
a
2
. （i ）由0＜x 1＜
a 2
，x 2=x 1（2－ax 1），有x 2＞0，及x 2=－a （x 1－a 1）2+a
1. ∴0＜x 2≤a 1，当且仅当x 1=a 1时，x 2=a
1
.
（ii ）当x 1＜
a 1时，ax 1＜1，因此，x 2=x 1（2－ax 1）＞x 1，且由（i ），x 2＜a 1
， 所以x 1＜x 2＜
a
1. 6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy ，使AA ′在x 轴上， AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴.
设双曲线方程为22
22b
y a x -=1（a ＞0，b ＞0），则a =21AA ′=7.
又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上，所以有
171122
1
22=-b y ①
17922
2
22=-b
y ②
由题意，知y 2－y 1=20. ③ 由①、②、③，得 y 1=－12，y 2=8.b =7
2.
故双曲线方程为98
492
2y x -
=1； （2）由双曲线方程，得x 2=
2
1y 2
+49. 设冷却塔的容积为V （m 3），则
812328122812|)496
1(d )4921(d ---+=+==⎰⎰y y y y y x V πππ. 经计算，得V =4.25×118（m 3）. 答：冷却塔的容积为4.25×118 m 3. 评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.
7.解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.
∴f （x ）=x 2+2x +c
又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.
（2）依题意，有所求面积=
3
1
|)31()12(01
23201
=++=++--⎰
x x x dx x x . 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有x x x x x x t
t
d )12(d )12(2
021
++=++⎰⎰
---， ∴023123|)3
1(|)31(
t t
x x x x x x ---++=++， －
31t 3+t 2－t +31=3
1
t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－
32
1
.
●命题趋向与应试策略
1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查：
（1）函数的极限；
（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；
（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积.
2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.。
