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山东师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷

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山东师大附中 2018-2019 学年高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知 x＞0，函数的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：∵x＞0，∴函数，当且仅当 x=3 时取等号，∴y 的最小值是 6． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.在数列{ }中，，n∈N*，则 的值为（ ）A. 49 【答案】A 【解析】B. 50C. 89D. 99【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】解：∵，（），∴数列{ }是等差数列，则．故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知命题 p：，A.，，则命题 p 的否定 为（ ）B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 p：∃ R，否定是：∀ R，．故选：D．的 【点睛】本题考查命题的否定、特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把不等式化为，求出解集即可．【详解】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（ 4，3）．故选：C．【点睛】本题考查了不等式 解法与应用问题，是基础题．5.已知数列{ }是等差数列，，则其前 13 项的和是（ ）A. 45 【答案】DB. 56C. 65D. 78【解析】【分析】由等差数列的等差中项得 a7=6，再由求和公式和性质可得 S13=13a7 即可. 【详解】∵在等差数列{an}中，a5+a7+a9=18，∴a5+a7+a9=3a7=18，解得 a7=6， ∴该数列的前 13 项之和： S13= ×（a1+a13）=13a7=13×6=78． 故选：D． 【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和，利用等差数列的性质和 的公式是解题的关键， 属于基础题．6.关于 x 的不等式 是（ ） A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】的解集是（2，+∞），则关于x 的不等式B. D.的解集由不等式 ax﹣b＜0 的解集知 a＜0 且 =2，代入关于 x 的不等式（ax+b）（x﹣3）<0 中求解即可． 【详解】∵关于 x 的不等式 ax﹣b＜0 的解集是（2，+∞），∴a＜0，且 =2，则 b=2a；∴关于 x 的不等式（ax+b）（x﹣3）<0， 可化为（ax+2a）（x﹣3）<0，因为 a<0,即（x+2）（x﹣3）>0， 解得 x>3 或 x<-2，∴所求不等式的解集 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集，利用一元一次不等式的解集得到 a 与 b 的 等式是关键，注意一元二次不等式的开口方向，属于基础题.7.如果 a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】对于选项 A,因为，所以错误；对于选项 B， ，当于选项 D， ，选 D.时， ，所以，所以 ，所以 ，当，又即 ，所以选项 A，选项 B 错误；对于选项 C，，，故选项 C 错误；对，所以，所以8.若不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.详解：因为不等式对任意 恒成立,所以，，解得，即实数 的取值范围是，故选 C.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.9.已知 a∈R，则“a＜1”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件根据 a＜1，不一定能得到 （如 a=-1 时）；但当 ，一定能推出 a＜1，从而得到答案．【详解】解：由 a＜1，不一定能得到 （如 a=-1 时）； 但当 时，有 0＜a＜1，从而一定能推出 a＜1， 则“a＜1”是“ ”的必要不充分条件， 故选：B． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命 题不正确，是一种简单有效的方法．10.设 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由等比中项化简得 2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果．【详解】因为 x＞0．y＞0，若 是 9x 与 3y 的等比中项，则：，即：2x+y=1，由 1=2x+y．（当且仅当 2x=y= 等号成立）即 xy 故选：C． 【点睛】本题考查的是由基本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属基础 题．11.已知数列{ }的前 n 项和为 ，，（），则A. 32 【答案】BB. 64C. 128【解析】【分析】由已知数列递推式构造等比数列{ 1}，求其通项公式得到 ，再由【详解】解：由，得，（） D. 256求解．又，∴，∴，即数列{ 则1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则.∴．故选：B． 【点睛】本题考查数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，是中档题．12.设表示不超过 x 的最大整数，如=-4，=3．已知数列{ }满足：，（），则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求数列 通项公式，再由裂项相消法求和，则答案可求．【详解】解：由，得（ ），的 又，∴．则．∴．故选：A． 【点睛】本题考查数列递推式、利用累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前 n项和，是中档题．二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.不等式的解集为____________．【答案】（-∞，0）∪（4，+∞） 【解析】 【分析】由分式不等式的解法得：可变形为 x（x-4）＞0，解得：x＞4 或 x＜0，得解【详解】解：可变形为 （ -4）＞0，解得： ＞4 或 ＜0， 故答案为：（-∞，0）∪（4，+∞） 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属简单题14.已知数列 的前 项和（），则此数列的通项公式为__________．【答案】 【解析】 【分析】 由数列的前 n 项和得 ，再由 an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得 an，验证 即可． 【详解】由 Sn=n2，得 a1=S1=1，当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n-1． 当 n=1 时 =1 代入上式成立，∴an=2n-1． 故答案为：2n-1． 【点睛】本题考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式的问题，应用 an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2） 是关键，属于基础题．15.关于 x 的方程有两个正实数根，则实数 m 的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据实根分布列不等式，解得 m 范围【详解】解：方程有两个正实数根，设为 ， ，则，解得 m≤ 4，故填：．【点睛】本题考查了方程的根和函数的零点，根与系数的关系等知识，属于基础题．16.在等差数列{ }中，满足 ＞0，且，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质得：，再根据基本不等式求最值.【详解】解：因为等差数列{ }中，满足 ＞0，且，所以且 ＞0， ＞0，则，故答案为： ． 【点睛】本题考查等差数列的性质及基本不等式，属中档题．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知 为等差数列，且，．（1）求 的通项公式；（2）若等比数列 满足，，求数列 的前 项和公式．【答案】(1);(2).【解析】 本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前 n 项和的综合运用。

、 （1）设 公差为 ，由已知得解得（2）， 等比数列 的公比利用公式得到和。

【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列{ }满足，（）．（1）求 ， ， 的值； （2）证明：数列{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式．【答案】（1），，（2）见解析【解析】 【分析】 （1）由已知结合数列递推式直接求得 ， ， 的值；（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果．【详解】解：（1）由，，得，，；证明：（2）当时，由，得，∴{ }是公差为 1 的等差数列，又∵，∴，则．【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题．19.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）当 x∈（1，+∞）时，求 的最小值及相应 x 的值．【答案】（1）（1，23，+∞）（2） 的最小值为，此时.【解析】【分析】（1）由分式不等式的解法得结果，（2）根据基本不等式求最值.【详解】解：（1）因为，所以，所以，解得：1＜x≤2 或 x≥3，故不等式的解集为：（1，23，+∞）（2）当 （1，+∞）时，令 1=t，则 t＞0，则，又当 t＞0 时，，当且仅当 即即时取等号，故 的最小值为，此时.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及利用基本不等式求函数的最值，属中档题.20.已知{ }是等比数列，，且 ，， 成等差数列．（1）求数列{ }的通项公式；（2）若 =（2n-1）• ，求数列{ }的前 n 项和 ．【答案】（1）（2）【解析】 分析】（1）设等比数列的公比为 q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得 q， 即可得到所求通项； （2）先化简 ，再运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求 和．【详解】解：（1）设{ }的公比为 q，则，，，， 成等差数列，所以 2（）= + ，即 2（ +1）=2+ ，即 q=2，所以；（2） =（2n-1）• =（2n 1）• ，前 n 项和，，两式做差得，化简可得．【点睛】本题考查等差数列的中项性质、等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列 的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．21.已知命题 p：∃x∈（-1，1），使成立，命题 q：关于 x 的方程的一个根大于 1，另一个根小于 1．（1）分别求命题 p 和命题 q 为真时实数 m 的取值范围；（2）若命题 p 与命题 q 一真一假，求实数 m 的取值范围．【答案】（1）m＜1．（2）1≤m＜2 或【解析】【分析】（1）结合函数与方程的关系求出命题为真命题的等价条件即可．（2）分别讨论 p 真 q 假和 p 假 q 真时，对应的范围即可．【详解】解：（1）命题 p 为真时，方程在（-1，1）有解，当 x∈（-1，1）时，，则，当命题 q 为真时， 即 2m-2＜0，所以 m＜1．满足，（2）若命题 p 为真，同时命题 q 为假，则得 1≤m＜2．若命题 p 为假，同时命题 q 为真，则，得．所以当命题 p 与命题 q 一真一假时，1≤m＜2 或．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系 判断，求出命题 p，q 为真命题的等价条件是解决本题的关键．22.已知函数（1）求不等式的解集；（2）当 a＞0 时，若对于任意的【答案】（1）见解析（2）a＞【解析】 【分析】 （1）不等式化为的（a为常数）．，恒成立，求实数 a 的取值范围．，讨论①a=0、②a＞0 和③a＜0 时，求出对应不等式的解集；（2）根据（1）得的解集，再根据与解集包含关系列不等式解得结果．【详解】解：（1）不等式化为，即，①a=0 时，不等式变为，解得 ＜1；②a＞0 时，不等式变为，若 a＞2，则 ＜1，解得 ＞1 或 ＜ ，若 a=2，则 =1，解得 ≠1，若 0＜a＜2，则 ＞1，解得 ＞ 或 ＜1；③a＜0 时，不等式变为（ - ）（ -1）＜0，解得 ＜ ＜1；综上所述， =0 时，不等式的解集为（-∞，1）；0＜a＜2 时，不等式的解集（-∞，1）∪（ ，+∞）；a=2 时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；a＞2 时，不等式的解集（-∞， ）∪（1，+∞）；a＜0 时，不等式的解集（ ，1）；（2）由（1）知：①0＜a＜2 时，， （-∞，1）∪（ ，+∞），需⊂（-∞，1）∪（ ，+∞），∴ ＜3，即 2＜3a，解得 a＞ ； ②a=2 时， （-∞，1）∪（1，+∞），符合条件； ③a＞2 时， （-∞， ）∪（1，+∞），符合条件；综上所述，符合条件的 a 的取值范围是 a＞ ． 【点睛】本题考查利用分类讨论法解不等式以及不等式恒成立问题，是中档题．。

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南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点 2,4 和 4,1 的直线在x 轴上的截距为（）A ．145B ．145C ．73D ．732．过圆225x y 上一点 2,1M 作圆的切线l ，则直线l 的方程为（）A ．230x y B ．250x y C ．250x y D ．250x y 3．若k R ，则“22k ”是“方程221362x y k k表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（）A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为 sin 10x y R ，则直线l 的倾斜角 的范围是（）A ．0,πB ．πππ3π,4224C ．π3π,44D ．ππ,426．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m 为圆 22:2716C x y 的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（）A ． 48,22B ． 18,8C ．,4822, D ．,188, 7．已知双曲线 222210,0x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．1D ．18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y 的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ，则PAPB 的值是（）A ．5B C ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（）A ．椭圆C 的离心率为22B ．12PF F △的周长为5C ．1290F PFD ．113PF 10．已知 0,2M ， 0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP 的有（）A ．370x B ．4320x y C ．221x y D ．2222140x y x y 11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点 1,0F c ， 2,0F c ，动点P 满足212PF PF a （a ，0c 且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF 的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．22ca时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF 三．填空题12．与双曲线2212x y 有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x 的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点 5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x 的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y 与直线2:220l x ay ．（1）当12l l 时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点 1,2A ， 1,2B ，点P 满足4PA PB．（1）求点P 的轨迹 的方程；（2）过点 2,0Q 分别作直线MN ，RS ，交曲线 于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆 2222:10x y E a b a b 的一个焦点坐标为 2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆222222212:C x y t t t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等，证明：2212t t 为定值．18．已知椭圆 2222:10x y C a b a b和抛物线 2:20E y px p ．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下： 12P ， 22,2P ，36,1P ， 49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点 3,0T ，直线3x my 与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k 是否为定值，并说明理由．19．设a 为实数，点 2,3在双曲线2222:12x y C a a 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点1,12P作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率 415246k，∴直线的方程为 5426y x ，即5763y x ，∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ．2．【答案】B 【解析】00525xx yy x y ，故选B ．3．【答案】B【解析】方程221362x y k k 表示椭圆3602021362k k k k k或12k ，故选B ．4．【答案】C 【解析】设点2,4y M y，由MO 2220054y y ，∴24y 或220y （舍去），即214y x ，∴M 到抛物线24y x 的准线1x 的距离 112d ，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C 【解析】当sin 0 时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2，当sin 0 时，则直线的斜率 1,11,sin k，即直线倾斜角为πππ3π,,4224，综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44．故选C ．6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点，故圆心 2,7C 到直线l 的距离7d ，即 423775m，解得 48,22m ，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F ，则12sin MF c ，22cos MF c ，根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a，1π4c a，π5π,312，故πππ,41261c e a ，故选D ．8．【答案】C【法一】由题意知 2,0A ， 2,0B ，设 00,P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k，由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB，又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB，则122121k k k ，联立解得2119k ，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB ，所以310cos 10PAB，即3105PA PB ，【法二】设 00,P x y ，则00tan 2y PAB x，00tan 2y PBA x ，000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x，20144169y3105PAPB二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a ，1c，∴离心率12c e a，故选项A 错误，对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a ，1222F F c ，∴12PF F △的周长为426 ，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，123tan23F PF c b ，又∵120902F PF，∴12302F PF ，即1260F PF ，∴1290F PF ，故选项C 正确，对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c ，∴113PF ，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】 2254,39P x y x y对于A ，7233d R，所以直线与圆相离，不存在点P ；对于B ，5232553d R，所以直线与圆相交，存在点P ；对于C ，121252133C C R R，所以两圆外切，存在点P ；对于D ， 2212127321116433x y C C R R ，所以两圆内含，不存在点P ．11．【答案】ACD【解析】212a PF PF对于A ，用x 代x 得222x y c y 轴对称，用y 代y 得222x y cx 轴对称，用x 代x ，y 代y 得222x y c所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a 时，122PF PF a ，当0a 时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c ，所以B 错误；对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确；对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ，则12PF PF ，因为 1,PF c x y ， 2,PF c x y ，所以222x y c ，由222x y c22c 222c a ，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y 【解析】设所求双曲线方程为 2202x y ，将点代入双曲线方程得121 ，故方程为2212x y ．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ，线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x ，故12426AB x x p ．14．【答案】57【解析】由抛物线方程得 2,0F ，准线方程为2x ，又点 5,4P ，则25c PF ，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x ，交直线2x 于点G ，过P 作PM 垂直直线1x ，交直线1x 于点M ，由椭圆和抛物线定义得 2527a HF HP HG HP PM ，故椭圆离心率2527c e a．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ，则20a a ，解得0a ．（2）由12l l ∥得22244a a，解得1a ，直线2l 的方程为220x y ，即220x y ，直线1l 的方程为220x y ，因此，1l 与2l 之间的距离为2245541d．16．【解析】（1）设 ,P x y ，则 41,21,2PA PB x y x y ，故轨迹方程为229x y ．（2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n ，则2212992S MN RS m n ，因为MN RS ，所以224m n ，所以 22222295224904S mm m m ，所以65,14S，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值65．17．【解析】（1）222222492513a b a b b e a椭圆22:195x y E （2）设 33,A x y ，矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等∴331144x y x y ，即22221133x y x y ∵A ，A 均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ，即22139x x ，222231135151599x x y y 故22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y 为定值．18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p ，12，162，12，故抛物线E 方程为2y x故 1P，31P 为椭圆上的点22222242186141a a bb a b椭圆C 方程22184x y （2）设 12,A x x ， 22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y 为定值．19．【解析】（1）因为点 2,3在双曲线C 上，所以22222312a a ，整理得42780a a ，即 22180a a ，解得21a ，则双曲线C 的方程为2213y x ；（2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x，即112y kx k ，联立2211213y kx k y x，消去y 并整理得 222132404k x k k x k k ，设 11,M x y ， 22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ，所以关于x 的方程222132404kxk k x k k有两个不同的正数根1x ，2x ，22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k，解得2,3k则斜率k的取值范围为2,3 ；（ⅱ）设 00,H x y ，由（ⅰ）得 12222233k k k k x x k k ，222122221144416443343k k k k k k x x k k k，因为1112x a，2112x a ， 01020x x x x ，又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x，0120MH x x HN x x ，由PM MH PN HN 得0112202121x x x x x x，即 1202012121x x x x x x ，化简得 1201212214x x x x x x x ，所以 202222241621333k k k k k k x k k k，整理得2202234162k k k x k k k k ，解得0832kx k，即003821x k x 又点 00,H x y 在直线112y k x上，所以 001136911223264k k y k x k k即00000386921386421x x y x x，故点H 恒在定直线3260x y 上．。

2024北京北师大附中高二(上)期中数学

2024北京北师大附中高二(上)期中数学

北京师大附中2024-2025学年（上）高二期中考试数 学 试 卷班级： 姓名： 学号：一、选择题共10小题，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1350y --=的倾斜角为（A ）6π（B ）3π （C ）32π（D ）56π （2）已知(1,,2)k =-a ，(2,2,4)k =b ，若//a b ，则实数k =（A ）2- （B ） 1- （C ）2（D ）1（3）已知直线l 的方程为210x y ++=，则过点(1,3)A 且与l 垂直的直线方程为（A ）270x y +-= （B ）210x y -+= （C ）250x y +-=（D ）250x y --=（4）已知平面α的一个法向量(2,1,1)=n ，直线l 的一个方向向量(1,0,2)=v ，则（A ）l α∥ （B ）l α⊥（C ）l α⊂（D ）l 与α相交且不垂直（5）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段D 1B 上一点，且BP =2D 1P ， 若1AP xAB yAD z AA =++(,,)x y z ∈R ，则x y z ++=（A ）23（B ）43（C ）53（D ）1（6）在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（A 2（B 3（C 6（D 10 （7）如图，在三棱锥D -ABC 中，平面ABC ⊥平面DAC ,,AB BC ⊥AD CD ⊥,AB BC CD AD ===，则二面角A BC D --的余弦值为 （A 3（B ）12（C 3（D 5（8）设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，已知//m α，n β⊥， 则“//m n ”是“αβ⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，点M 是PC 的中点，3AB =，4PA =，60PAD PAB ∠=∠=，则AM =（A ）582（B 58（C ）292（D ）4DACMDAB（10）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为BC 的中点，点P 在线段CC 1上，则△D 1EP 面积的最小值为（A（B（C（D）5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷

北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷

北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷共三道大题，考试时长120分钟，满分150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数)21(i i z +=在复平面上对应的点所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 抛物线y x =2的准线方程是A. 41-=yB. 41-=x C. 21-=y D. 21-=x 3. 椭圆)1(1222>=+a y ax 的长轴长是短轴长的4倍，则a=A. 2B. 4C. 8D. 164. 在三棱锥ABC O -中，=-+A. OAB. ABC. OCD. AC5. 下面是关于复数i z -=12的四个命题，其中的真命题为 2|:|1=z p ;i z p 2:22=;z p :3的共轭复数为i -1；z p :4的虚部为iA. 2p ,3pB. 31,p pC. 42,p pD. 43,p p 6. 已知数列}{n a 为等差数列，则“1a ，2a ，3a 成等比数列”是}{n a 为常数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AD AB A A 221==，则异面直线B A 1与1AD 所成角的余弦值为A. 51B. 52C. 53D. 54 8. 点M 为双曲线1222=-x y 上任意一点，点O 是坐标原点，则||OM 的最小值是 A. 1 B. 2 C. 2 D. 229. 已知点A ，B 分别为椭圆1925:22=+y x C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上，则使PAB ∆为等腰三角形的点P 的个数是A. 2B. 3C. 4D. 510. 设点O 为坐标原点，已知点Q 为抛物线x y C 2:2=上与O 不重合的任意一点，直线1l 为抛物线C 在点Q 处的切线，过点Q 且与1l 垂直的直线2l 与x 轴交于点G ，x QH ⊥轴于点H ，则=||GHA. 21B. 1C. 2D. 3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 已知数列}{n a 满足11=a ，n n na a =+1，则=+43a a _________12. 点（0，1）到双曲线1322=-y x 的渐近线的距离是_________。

南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(原卷版)

南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(原卷版)

南京师大附中2023—2024学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，包括单选题（第1题～第8题）、多选题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点(),P m n 在直线26x y −=上的概率是（）A.13B.14C.112 D.1182.设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +−=，2l ：()5350x m y +−−=，若12//l l ，则m =（ ）A.5− B.2C.2或5− D.5或2−3.若双曲线22221x y a b −=（0a >，0>）右焦点(),0F c，则b c =（ ）A.B.C.D.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,0A ，动点(),P x y 满足2PA PO=，则动点P 的轨迹与圆()()22111x y −+−=的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =（ ） A.32B.4C.94D.1166.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=−,则抛物线C 的方程为（ ）的A. x 2＝8yB. x 2＝4y C y 2＝8xD. y 2＝4x7. 设m 为正实数，椭圆C ：22213x y m+=长轴的两个端点是1A ，2A ，若椭圆C 上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则m 的取值范围是（ ） A. ][()0,19,∞∪+ B. (][)0,13,∪+∞C. ([)4,+∞D. ([)9,+∞8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，满足5AB AC ==且()1,3B −，()4,2C −，若ABC 的“欧拉线”与圆M ：()2223x y r −+=（0r >）相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆M 上点到直线10x y −+=的最小距离为B. 圆M 上点到直线10x y −+=的最大距离为C. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最小时，PB = D. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最大时，PB =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得52分，有选错的得0分.9. 已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ） A. 极差为6B. 众数为4C. 方差为4D. 中位数为510. 下列化简正确的是（ ） A. 1sin75cos754°°=B.1cos 4040sin 802°+°=° C. 1sin10cos 20cos 408°°°=D. tan1052°=−11. 若抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A .过点F 作直线l 与抛物线交于点,M N ，且MF FN λ=（1λ>），直线AM 与抛物线的另一交点为E （点E 在点M 的左边）.下列结论正确的是（ ） A. 直线lB. tan MAF ∠.C. MAF NAF ∠=∠D. AE AN =12. 已知曲线C：123x yx+是双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 直线0x =是曲线C 的一条渐近线 B. 曲线CC. (为曲线C 的其中一个焦点D. 当t 为任意实数时，直线l ：y x t =+与曲线C 恒有两个交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 过直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点，且垂直于直线210x y ++=的直线方程是______. 14. 已知椭圆2212516x y +=右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______________．15. 设ω是正实数，已知函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点，则ω的取值范围是______.16. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线22:14x C y −=的左焦点为F ，过双曲线C 右支上任意一点作其切线l ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方程为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是23，12，34，面试合格的概率分别是12，23，13. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率.18. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .已知262a a +=，918S =−. （1）求n a ；（2）当n 为何值时，n S 最小？并求此最小值.的的19. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()sin sin sin sin b B C a A c C −=−. （1）求角A 的值；（2）若a =，且ABC的面积为ABC 的周长.20. 已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =. （1）求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若点()1,1B −满足90MBN ∠=°，求直线l 的方程.21. 已知椭圆C ：22154x y +=和圆O ：229x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作椭圆的切线1l ，2l 交圆O 于A ，B .（1）若点P 的坐标为()0,3，证明：直线12l l ⊥； （2）求线段AB 的长.22. 已知点()2,1A ，()2,1B −双曲线C ：2212x y −=上，过点()0,3D −作直线l 交双曲线于点E ，F （不与点A ，B 重合）.证明：（1）记点(0,2P +，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线； （2）直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程.在。