3-1独立性检验

统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。

通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。

本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。

一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。

卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。

在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。

二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。

它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。

2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。

在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。

3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。

三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。

2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。

3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。

4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。

§3.1 独立性检验 4月 日学习目标（1）通过对课本典型案例1的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法，明确独立性检验的基本步骤．（3）通过合作探究，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

自学指导：1、要解决“患慢性气管炎与吸烟习惯有无关系”这个问题，就是要解决一个怎样的概率问题？2、要解决这个概率问题，我们可以首先提出假设0H 是什么？需要知道那些事件的概率？哪个量可以最好的判断出0H 是否成立？3、χ2的计算公式是什么？χ2的两个临界值是什么？如何利用它们对两个分类变量进行独立性检验？ 自学检测： 1．右面是一个2×2列联表： 则表中a 、b 处的值分别为( ) A ．94、96 B ．52、50 C ．52、60 D ．54、52 2．下列说法正确的个数是( )①对事件A 与B 的检验无关时，即两个事件互不影响②事件A 与B 关系越密切，则2k 就越大③2k 的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据④若判定两个事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生A ．1B ．2C ．3D ．43．下列关于随机变量2k 的说法正确的是( )A ．2k 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B ．2k 的值越大，说明“两个变量有关系”成立的可能性越大C ．当2k 的值很小时可以推定两个分类变量不相关D ．2k 的观测值2k 的计算公式为2k =2121221122211)(++++-n n n n n n n n n 4．若由一个2×2列联表中的数据计算得有95%的把握认为两个变量有关系．那么2k 的取值范围为________．5.为了考察高中生学习语文与数学之间的关系，在某中学学生中随机地抽取了610由表中数据计算知2k的观测值2k≈4.326.有________的把握认为高中生的语文与数学成绩之间有关系．合作探究同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：（1）求两颗骰子都出现2的概率；（2）若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？课堂小结：课堂检测：1、为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．。

独立性检验
教学目标：
1、通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用
2、通过对数据的收集、整理和分析，增强学生的社会实践能力，培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点：独立性检验的基本思想与方法 教学难点：独立性检验的初步应用 一、课前自主学习：
1、事件A 与B 独立，则P(AB)= ，=)(B A P =)(B A P ,=)(B A P
2、用2×2列联表进行独立性检验，2χ＝ 。

当2χ> 时，有 把握说事件A 与B 有关，当2
χ> 时，有 把握说事件A 与B 有关，当≤2χ 时，认为事件A 与B 是无关的。

有95﹪的把握说事件A 与B 有关，是指推断犯错误的可能性为
3、使用2
χ统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要 思考：
1、 用卡方检验的步骤是什么？
2、独立性检验的基本思想是什么？
3、用2χ进行独立性检验作出的推断一定正确吗？
二、典例分析：
例1、为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的
试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关吗？
例2、对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。

例3、某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
三．巩固练习：P81 A
四、小结：（写出本节的所学所思）。

高二独立性检验知识点总结独立性检验是统计学中的一种重要方法，用于确定两个或多个变量之间是否存在关联性。

在高二阶段的学习中，独立性检验是一个必不可少的统计学概念。

本文将对高二独立性检验的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用该概念。

1. 独立性检验的概念独立性检验用于判断两个分类变量之间是否存在显著关联。

其中，第一个分类变量称为自变量或行变量，第二个分类变量称为因变量或列变量。

独立性检验的目标是确定两个分类变量之间的关联性程度。

2. 卡方检验卡方检验是一种常用的独立性检验方法。

它基于卡方统计量，通过比较实际观察频数与期望频数之间的差异，判断两个分类变量是否独立。

卡方检验可以应用于两个或多个分类变量的关联性检验。

3. 单样本卡方检验单样本卡方检验用于检验一个分类变量在整体上是否符合期望分布。

通过计算观察频数与期望频数之间的差异，判断观察结果是否与期望分布存在显著差异。

单样本卡方检验是独立性检验的基础，可以帮助我们理解和掌握更复杂的卡方检验方法。

4. 独立性卡方检验独立性卡方检验用于判断两个分类变量之间是否存在关联。

它的原假设为两个分类变量独立，备择假设为两个分类变量不独立。

通过计算卡方统计量和查阅卡方分布表，我们可以得出检验结果，确定两个分类变量之间的关联性。

5. 列联表和期望频数独立性检验的前提是我们需要有观察数据和期望数据。

观察数据是指我们实际获得的数据，期望数据是指两个分类变量独立时的理论分布情况。

为了进行独立性检验，我们通常会将观察数据整理成列联表形式，并计算期望频数，以便进行后续分析。

6. 自由度和显著性水平在独立性检验中，自由度是一个重要的概念。

自由度取决于列联表的行数和列数。

自由度的选择会影响卡方统计量的分布。

显著性水平是我们设定的接受或拒绝原假设的临界点。

通常情况下，我们使用0.05的显著性水平作为判断标准。

7. 应用案例独立性检验广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、市场调研等。

独立性检验基本思想及应用独立性检验是一种用于确定两个变量之间是否存在关联的统计方法。

其基本思想是通过比较观察到的数据与预期的数据之间的差异来推断这两个变量之间的关系。

独立性检验的应用非常广泛。

在社会科学中，独立性检验常被用于研究两个分类变量之间是否存在关联，例如性别和职业、教育水平和政治倾向等。

在医学研究中，独立性检验也可以用来检查某种治疗方法是否与疾病的发展有关，以及风险因素和某种疾病之间的关系。

此外，独立性检验还被广泛应用于市场调查、品牌定位以及质量控制等领域。

独立性检验的基本思想是建立一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。

零假设认为两个变量是独立的，即它们之间没有关联；备择假设则认为两个变量之间存在关联。

独立性检验的步骤可以分为以下几步：1. 收集数据：需要收集两个分类变量的数据，例如通过问卷调查或观察获得数据。

2. 建立列联表：将数据整理成列联表形式，列联表是一种用于描述两个或多个分类变量之间关系的矩阵。

表格的行表示一个变量的不同类别，列表示另一个变量的不同类别，表格中的每个单元格表示两个类别的交叉数量。

3. 计算期望频数：在独立性检验中，我们假设两个变量是独立的，因此可以基于各类别的边际总数以及样本总数来计算期望频数。

期望频数是在两个变量独立情况下，各个类别的交叉数量。

4. 计算卡方统计量：卡方统计量用于衡量观察到的数据与期望数据之间的差异程度。

计算公式为：χ2 = Σ（（观察频数- 期望频数）^2 / 期望频数）。

其中，Σ表示对所有单元格进行求和。

5. 设定显著性水平：显著性水平α为决策的临界点，用于决定是否拒绝零假设。

通常，α的常见选择为0.05或0.01。

6. 判断和解释结果：根据计算出的卡方统计量与临界值进行比较，如果计算出的卡方值大于临界值，拒绝零假设，认为两个变量之间存在关联；反之，接受零假设，认为两个变量是独立的。

独立性检验的结果常常以卡方统计量和p值的形式呈现。

p值是在零假设成立的条件下，观察到的数据与期望数据之间差异的概率。

§3.1 独立性检验（1）教学目标（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．教学重点、难点：独立性检验的基本方法是重点．基本思想的领会及方法应用是难点． 教学过程 一．问题情境5月31日是世界无烟日。

有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：1． 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（简称患病），183人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？ 二．学生活动为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：在吸烟的人中，有3716.82%220≈的人患病，在不吸烟的人中，有217.12%295≈的人患病．问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？ 三．建构数学 1．独立性检验：（1）假设0H ：患病与吸烟没有关系．（近似的判断方法：设n a b c d =+++，如果0H 成立，则在吸烟的人中患病的比例与 不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得a ca b c d≈++，即()()0a c d c ab a d bc +≈+⇒-≈，因此，||ad bc -越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．）设n a b c d =+++，在假设0H 成立的条件下，可以通过求 “吸烟且患病”、“吸烟但未患病”、“不吸烟但患病”、“不吸烟且未患病”的概率（观测频率），将各种人群的估计人数用,,,,a b c d n 表示出来．例如：“吸烟且患病”的估计人数为()a b a cn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “吸烟但未患病” 的估计人数为()a b b dn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “不吸烟但患病”的估计人数为()c d a cn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “不吸烟且未患病”的估计人数为()c d b dn P AB n n n++⨯≈⨯⨯． 如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设0H ．否则，应认为假设0H 不能接受，即可作出与假设0H 相反的结论． （2）卡方统计量：为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ22()-=∑观测值预期值预期值）来进行估计．卡方χ2统计量公式：χ222a b a c a b b d a n b n n n n n a b a c a b b d n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++⨯⨯⨯⨯22c d a c c d b d c n d n n n n n c d a c c d b d n n n n n n++++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++++⨯⨯⨯⨯()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++） 由此若0H 成立，即患病与吸烟没有关系，则χ2的值应该很小．把37,183,21,274a b c d ====代入计算得χ211.8634=，统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，随机事件“26.635χ≥”发生的概率约为0.01，即2( 6.635)0.01P χ≥≈，也就是说，在0H 成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01．由此，我们有99%的把握认H不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．为χ统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检象以上这种用2验．说明：（1）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ2进行独立性检a b c d取值越大，效果越好．在实验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据,,,a b c d均不小于5，近似的效果才可接受．际应用中，当,,,（2）这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患呼吸道疾病的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．H下统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到χ2的观测值很大，则在（3）在假设一定程度上说明假设不合理（即统计量χ2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）．2．独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类A和类B（如吸烟与不吸烟），推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：H：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；第一步，提出假设第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断．3．独立性检验与反证法：反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；独立性检验（假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立．四．数学运用1．例题：例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作分析：在使用该种血清的人中，有24248.4%500=的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，有28456.8%500=的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．解：提出假设0H ：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得221000(258284242216)7.075474526500500χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯∵当0H 成立时，26.635χ≥的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．例2．为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的分析：在口服的病人中，有59%98≈的人有效；在注射的病人中，有67%95≈的人有效．从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明．解：提出假设0H ：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得22193(58314064) 1.3896 2.072122719895χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯当0H 成立时，21.3896χ≥的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设0H ，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．说明：如果观测值22.706χ≤，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“0H 成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系． 2．练习：课本第91页 练习第1、2、3题． 五．回顾小结：1．独立性检验的思想方法及一般步骤； 2．独立性检验与反证法的关系． 六．课外作业：课本第93页 习题3.1 第1、2、3题．。

《独立性检验（1）》学习任务单原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》杭信一中何逸冬【学习目标】1.通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；χ来分析两分类变量是否有关系；2.利用统计量2【课上任务】1.什么是分类变量？2.如何根据概率关系表示两个事件独立？3.如何制作两个分类变量的22⨯列联表？4.研究两个分类变量之间是否有关系的直观解决策略有哪些？5.独立性检验的基本思想是什么？（提出假设检验，构造统计量，利用统计量的值判断假设检验是否成立?）6.22⨯列联表独立性检验的一般步骤是什么？7.根据本节课所学的知识能进行简单的应用吗？【课后作业】8.作业11.调查者通过询问72名男女大学生在购买食品时是否看营养说明，得到的数据如下表所示：问大学生的性别与是否看营养说明之间有没有关系？9.作业22.在研究某种新措施対猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：试问新措施对防治猪白痢是否有效？【课后作业参考答案】作业1解： 根据列联表知28=a ，8=b ，16=c ，20=d ，72=n计算统计量416.8))()()(()(22≈++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 635.6416.8>，%99的把握说性别与看营养说明有关。

作2解: 根据列联表知114=a ，，132=c ，18=d ，300=n计算统计量317.7))()()(()(22≈++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 635.6317.7>，%99的把握说新措施对防治猪白痢有效。

【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接莲叶无穷碧这一句诗。

荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。