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第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。
③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。
④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
高中数学不等式学习方法与解题总结高中数学不等式一直是学生头痛的科目之一，但它同时也是有趣而实用的知识点。
学习高中数学不等式不仅为大学准备助力，更是探索开放世界的重要基石。
下面，我们将介绍学习高中数学不等式的方法以及解题总结，以帮助大家打好基础。
一、学习方法1、列出不等式并把握关键知识点。
首先，需要明确不等式的定义，即 a > b, a < b, a = b，并将其把握清楚。
此外，要学会识别和把握不同的不等式，如两个不等式的相加、相减、相乘、相除以及组合运算。
2、图形表示不等式。
学习数学不等式时，可以使用图形表示，将不等式转变为图形，以此理解不等式之间的关系。
3、掌握结论推导思路。
结论推导既包含直接推导，也包含简单的证明题。
学会利用推理的思路，分析问题，解答问题。
二、解题总结1、解不等式首先要注意解的清晰，要让解的精确度不受到影响，需要注意以下几点：（1）界限不完全等式，即a≤b，a≥b，要注意有无等号；（2）要记住算子的结合律，当解决不等式时不能按照算数法计算算子，而要根据结合律计算；（3）部分不等式不能互换，即a>b不能用b>a代替。
（4）多项式不等式解法：当多项式不等式为一元二次不等式时，可采用常规方法解决；当为其他多项式不等式时，要根据实际情况采取相应解法。
2、解不等式最重要的是分析问题，根据不等式的类型分析出正确的解法，适当地使用图形，增加解题的思路，并能够推导出正确的结论。
以上就是学习高中数学不等式的方法以及解题总结的介绍，希望能够帮助大家打好基础。
学习不等式，要多总结，多练习，以提高数学解题能力和解题速度，努力取得优异成绩。
不等式证明使用技巧不等式证明是高中数学中的一个重要内容，掌握不等式证明的技巧对于解题和提升数学水平都有很大的帮助。
下面我将介绍一些常用的不等式证明技巧。
一、代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。
我们可以先假设不等式成立，然后进行推导得出结论。
如果得到的结论与原不等式一致，就证明了不等式的成立。
例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge q 9$。
我们可以假设$a\leq b\leq c$，然后代入得到：$a^2+b^2+c^2=2a^2+(b^2-a^2+c^2)\geq 2a^2=2(a\cdot a)\geq2(ab)$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\fra c{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3(\frac{1}{ab})=\frac{3}{ab}$。
然后，将两个不等式代入原不等式得到：$(2ab)(\frac{3}{ab})=6\geq 9$。
由此可见，原不等式成立。
二、放缩法放缩法是另一种常用的证明不等式的方法。
我们可以通过放缩不等式的各个部分来改变不等式的形式，从而得到更容易证明的形式。
例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$。
我们可以通过放缩的方法，将不等式的各个部分放缩至一个更容易证明的形式。
我们注意到，$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$。
然后，我们可以通过平方展开和放缩的方法，得到：$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3$。
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高一不等式的解题方法与技巧高一不等式的解题方法与技巧引言在高中数学中，不等式是一个非常重要的概念，解不等式的能力不仅对考试有利，还对我们日常生活中的问题求解有重要作用。
本文将介绍一些高一不等式解题的常用方法和技巧。
1. 基本不等式的性质•不等式的加减性质：对于任意的实数a、b和c，若a > b，则a+c > b+c，a-c > b-c。
•不等式的乘除性质：对于任意的实数a、b和c，若a > b且c > 0，则ac > bc；若a > b且c < 0，则ac < bc。
2. 一元一次不等式的解法•基本思路：将不等式转化为等式，然后通过解等式得到不等式的解集。
•示例题：求解不等式3x - 2 > 5。
–将不等式转化为等式：3x - 2 = 5。
–解等式得到x = 7/3。
–所以不等式的解集为x > 7/3。
3. 一元二次不等式的解法•基本思路：将不等式转化为二次方程，通过求解二次方程得到不等式的解集。
•示例题：求解不等式x^2 - 2x - 3 > 0。
–将不等式转化为二次方程：x^2 - 2x - 3 = 0。
–求解二次方程得到x = -1或x = 3。
–绘制函数图像，得到二次函数在(-∞, -1)U(3, +∞)上大于0，所以不等式的解集为x < -1或x > 3。
4. 绝对值不等式的解法•基本思路：根据绝对值的性质，将绝对值不等式转化为两个普通的不等式，然后求解得到不等式的解集。
•示例题：求解不等式|2x + 1| < 5。
–将不等式转化为两个不等式：2x + 1 < 5和-(2x + 1) < 5。
–解第一个不等式得到x < 2，解第二个不等式得到x > -3。
–综合以上两个解集，得到不等式的解集为-3 < x < 2。
5. 不等式组的解法•基本思路：将不等式组中的每一个不等式解出，然后综合得到不等式组的解集。
高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧有以下几点：
1. 确定不等式的范围：首先要确定不等式的变量范围，例如确
定变量为正数、自然数等，以便后续的推导和计算。
2. 利用基本不等式：基本不等式是指常见的数学不等式，例如
平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均方根不等式等。
通过运用这些
基本不等式，可以简化和推导复杂的不等式。
3. 分析不等式的性质：通过观察不等式的形式和特点，可以得
出不等式的一些性质。
例如，不等式是否对称、是否单调递增等，这些性质可以为解题提供线索。
4. 使用增减法：对于复杂的不等式，可以通过增减法将不等式
变换成简单的形式。
增减法是指在不等式两边同时加减相同的数，从而改变不等式的形式。
通过多次的增减操作，可以逐步简化不等式的形式。
5. 运用数学归纳法：对于涉及自然数的不等式，可以使用数学
归纳法进行证明。
数学归纳法是通过证明某个命题对于自然数n成立，然后再证明对于n+1也成立，从而得出该命题对于所有自然数成立的结论。
6. 剖析复杂不等式：对于特别复杂的不等式，可以使用分段函数、图像、积分等方法进行剖析。
这些方法可以将不等式转化为求解函数的最值或积分的问题，进而求解不等式。
总之，解决高中数学不等式需要灵活运用各种方法和技巧，通过
观察、推导和计算，找到合适的途径来简化不等式、得出结论。
掌握了这些解题方法与技巧，可以提高解决数学不等式问题的能力。
不等式证明方法不等式证明是高中数学一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活泼，证明中经常需与函数、数列知识综合应用，灵活掌握运用各种方法是学好这局部知识一个前提，下面我们将证明中常见几种方法作一列举。
注意ab b a222≥+变式应用。
常用2222ba b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式问题。
一、比拟法比拟法是证明不等式最根本方法，有做差比拟与作商比拟两种根本途径。
1、a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a 二、综合法综合法是依据题设条件与根本不等式性质等，运用不等式变换，从条件推出所要证明结论。
2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等正数，求证：)(444c b a abc c b a++>++证：∵22442b a b a >+ 22442c b cb >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵cab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+b ca b a ac 222222>+4、 知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a +≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a +≥+≥+同理可得)(2222c b c b +≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。
不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a,1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
一 比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b ，a －b ＝0⇔a ＝b .(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．2．作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若a b >1，则a >b ；若ab <1，则a <b ；②b <0，若a b >1，则a <b ；若ab<1，则a >b .(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．作差比较法证明不等式[例1] y 3.[思路点拨] 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．[证明] x 3－x 2y ＋xy 2－(x 2y －xy 2＋y 3)＝x (x 2－xy ＋y 2)－y (x 2－xy ＋y 2) ＝(x －y )(x 2－xy ＋y 2)＝(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24. 因为x >y ，所以x －y >0，于是(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24>0， 所以x 3－x 2y ＋xy 2>x 2y －xy 2＋y 3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 证明：a 2＋b 2－2(a －b －1) ＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋， 求证：(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1)． 证明：∵(a ＋b )(a n＋b n)－2(an ＋1＋bn ＋1)＝an ＋1＋ab n ＋ba n ＋bn ＋1－2an ＋1－2bn ＋1＝a (b n －a n)＋b (a n－b n) ＝(a －b )(b n－a n)．①当a >b >0时，b n－a n<0，a －b ＞0， ∴(a －b )(b n－a n )<0.②当b >a >0时，b n－a n>0，a －b <0. ∴(a －b )(b n－a n )<0.③当a ＝b >0时，(b n－a n)(a －b )＝0.综合①②③可知，对于a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，都有(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1).作商比较法证明不等式[例2] 设a >0，b >0，求证：a a b b≥(ab )2.[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．[证明] ∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b (ab )a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.当a ＝b时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b2>0，∴由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1；当b >a >0时，0<a b <1，a －b2<0，∴由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．已知a >b >c >0.求证：a 2a b 2b c 2c>a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明：由a >b >c >0，得ab ＋c b c ＋a c a ＋b >0.作商a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a cb＝aa －b a a －c b b －c b b －a c c －a cc －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c. 由a >b >c >0，得a －b >0，a －c >0，b －c >0，且a b >1，a c >1，b c>1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c>1. ∴a 2a b 2b c 2c >ab ＋c b c ＋a c a ＋b.4．设n ∈N ，n >1，求证log n (n ＋1)>log (n ＋1)(n ＋2)．证明：因为n >1，所以log n (n ＋1)>0，log (n ＋1)(n ＋2)>0， 所以log (n ＋1)(n ＋2)log n (n ＋1)＝log (n ＋1)(n ＋2)·log (n ＋1)n≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋2)＋log (n ＋1)n 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n 2＋2n )22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋1)222＝1. 故log (n ＋1)(n ＋2)<log n (n ＋1)， 即原不等式得证.比较法的实际应用[例3] 一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 先用m ，n 表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2 ，依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n＝t 2.∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn.∴t1－t2＝2sm＋n－s(m＋n)2mn＝s[4mn－(m＋n)2]2mn(m＋n)＝－s(m－n)22mn(m＋n).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1<t2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，Q (x )＝8＋1.4x .∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )，∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同． 1．下列关系中对任意a <b <0的实数都成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．lg b 2<lg a 2C.ba>1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2 解析：选B ∵a <b <0，∴－a >－b >0. (－a )2>(－b )2>0.即a 2>b 2>0.∴b 2a2<1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2<lg 1＝0，∴lg b 2<lg a 2.2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1， 又∵a 2＋a ＋1>0恒成立， ∴Q ≥P .法二：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1 ＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1，∵a 2＋a ＋1>0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0，即Q ≥P .3．已知a >0，b >0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：选A 由m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b >0时，m＝n, 可排除B 、C 项．比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特殊值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m >n ，可排除D ，故选A.4．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n＋(lg x )－n，x >1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A a －b ＝lg mx ＋lg －mx －lg n x －lg －nx ＝(lg mx －lgnx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg m x －lg nx )－lg mx －lg nx lg m x lg n x＝(lg mx －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lgnx )⎝⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x >1，∴lg x >0. 当0<lg x <1时，a >b ； 当lg x ＝1时，a ＝b ； 当lg x >1时，a >b . ∴应选A.5．若0<x <1，则1x 与1x2的大小关系是________．解析：1x －1x 2＝x －1x2.因为0<x <1，所以1x －1x2<0.所以1x <1 x2.答案：1x < 1 x26．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－27．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009， ∵a <3 5009， ∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y . 证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y＝sin x (1－sin y )－(1－sin y )＝(1－sin y )(sin x －1)．∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1.∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0.∴(1－sin y )(sin x －1)≤0.即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明：不妨设a ≥b ≥c ≥0，那么由指数函数的性质，有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. 所以a a b b c c (abc )a ＋b ＋c 3＝a a －b 3＋a －c 3b b －c 3＋b －a 3c c －a 3＋c －b 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. ∴原不等式成立．10．已知a<b<c，x<y<z，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx ＋ay＋cz，bx＋cy＋az中最大的是哪一个？证明你的结论．解：ax＋by＋cz最大．理由如下：ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)y＋(c－b)z＝(b－c)(y －z)，∵a<b<c，x<y<z，∴b－c<0，y－z<0，∴ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)>0，即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz.ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x －y)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz.ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az.故ax＋by＋cz最大．。
【高中数学】高考数学不等式题型及解题方法总结不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
数学网整理了不等式题型及解题方法，请考生在平时解题中多注意。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
科学知识资源整合1。
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2。
整式不等式(主要就是一次、二次不等式)的数学分析就是求解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归入整式不等式(组)就是求解不等式的基本思想，分类、换元、数形融合就是求解不等式的常用方法。
方程的木、函数的性质和图象都与不等式的求解密切相关，必须擅于把它们有机地联系出来，相互转变和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
4。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍就是证明不等式的最为基本方法。
数学人教B 选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法知识建构综合应用专题一 含绝对值不等式的解法1．公式法|f (x )|＞g (x )f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )；|f (x )|＜g (x )－g (x )＜f (x )＜g (x )．2．平方法|f (x )|＞|g (x )|[f (x )]2＞[g (x )]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．应用1解下列关于x 的不等式：(1)|x －x 2－2|＞x 2－3x －4；(2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x .提示：根据绝对值的意义，先去掉绝对值符号，再解不等式．应用2若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1，p 2为常数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x ).求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1，p 2表示)．专题二 基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．应用1(1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．(2)已知x ＞1，求函数y ＝x 2－2x ＋22x －2的最小值． 提示：先通过恒等变形，使不等式具备“一正、二定、三相等”的条件，再应用基本不等式求最值．应用2已知a ＞b ＞0，求a 2＋16b (a －b )的最小值． 提示：适当变形后，可多次应用基本不等式，但应注意验证等号是否成立． 专题三 恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f (x )≤a f (x )max ≤a ，f (x )≥a f (x )min ≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．应用1已知函数f (x )在定义域(－∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使得f (k －sinx )≥f (k 2－sin 2x )对一切x ∈R 恒成立？并说明理由．提示：首先应根据函数的单调性去掉函数符号，转化为关于sin x 的不等式恒成立问题． 应用2设有关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a .(1)当a ＝1时，解此不等式；(2)当a 为何值时，此不等式的解集是R?提示：对于(1)，根据对数函数的单调性转化为绝对值不等式求解．(2)可转化为函数最值问题求解．专题四 不等式的证明证明不等式的主要方法有作差比较法、作商比较法、平方差比较法、综合法、分析法．其次还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造函数法等，但这些方法不是孤立的，它们相互渗透、相辅相成，有的题目可以有多种证法，而有的题目要同时用几种方法才能解决，因此我们在平时解题中要通过一题多解，一解多法的反复训练，加强对各种方法的区别与联系的认识，把握每种方法的优点和缺点，从而不断提高我们分析问题和解决问题的能力．应用1已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).提示：本题可用分析法、综合法、比较法、三角代换法、构造函数法等证明．应用2用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．答案：综合应用专题一应用1：解：(1)解法一：原不等式等价于x －x 2－2＞x 2－3x －4或x －x 2－2＜－(x 2－3x －4)，解得1－2＜x ＜1＋2或x ＞－3，∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．解法二：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2，∴原不等式等价于x 2－x ＋2＞x 2－3x －4x ＞－3.∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为 2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴原不等式的解集为{x |x ＜－52}． ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ， 解得x ＜－35. ∴原不等式的解集为{x |－52≤x ＜－35}． ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解． 综上可得，原不等式的解集为{x |x ＜－35}． 应用2：解：f (x )＝f 1(x )恒成立f 1(x )≤f 2(x )3|x －p 1|≤2·3|x －p 2|3|x －p 1|－|x －p 2|≤2|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32.(*)若p 1＝p 2，则(*)式0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|.当p 1＞p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 2，－2x ＋p 1＋p 2， p 2≤x ≤p 1，p 2－p 1， x >p 1， 所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32.当p 1＜p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ p 1－p 2， x <p 1，2x －p 1－p 2， p 1≤x ≤p 2，p 2－p 1， x >p 2，所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32.专题二应用1：解：(1)∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，∴8－3x ＞0，∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x ) ≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取等号， ∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值163. (2)∵x ＞1，∴y ＝x 2－2x ＋22x －2＝(x －1)2＋12(x －1)＝12[(x －1)＋1x －1] ≥12×2(x －1)·1x －1＝1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最小值1. 应用2：解：解法一：因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a 2＋64a 2≥16， 当且仅当a ＝2b ，a 2＝8，即a ＝22，b ＝2时，等号成立，所以a 2＋16b (a －b )的最小值为16. 解法二：因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a 2＋16b (a －b )＝[(a －b )＋b ]2＋16(a －b )b≥(2(a －b )b )2＋16(a －b )b＝4(a －b )b ＋16(a －b )b≥24(a －b )b ·16(a －b )b＝16， 当且仅当a ＝2b ，(a －b )b ＝2，即a ＝22，b ＝2时，等号成立，所以a 2＋16b (a －b )的最小值为16. 专题三应用1：解：存在．理由：∵f (x )在(－∞，1]上是减函数，∴k －sin x ≤k 2－sin 2x ≤1.假设存在实数k 符合题意．∵k 2－sin 2x ≤1，即k 2－1≤sin 2x 对一切x ∈R 恒成立，且sin 2x ≥0，∴k 2－1≤0，∴－1≤k ≤1.①由k －sin x ≤k 2－sin 2x ，得(sin x －12)2≤k 2－k ＋14， ∴k 2－k ＋14≥(sin x －12)2对一切x ∈R 恒成立， 又(sin x －12)2的最大值为94， ∴k 2－k ＋14≥94，解得k ≤－1或k ≥2.② 由①②知k ＝－1.应用2：解：(1)当a ＝1时，lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞1，|x ＋3|＋|x －7|＞10，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7，2x －4>10，或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <7，10>10，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，4－2x >10，x ＞7或x ＜－3.所以不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞7}．(2)设f (x )＝|x ＋3|＋|x －7|，有f (x )≥|(x ＋3)－(x －7)|＝10，当且仅当(x ＋3)(x －7)≤0，即－3≤x ≤7时，f (x )取得最小值10，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥1.要使lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 的解集为R ，只要a ＜1.专题四应用1：证明：证法一：(1)当ac ＋bd ≤0时，显然成立．(2)当ac ＋bd ＞0时，欲证原不等式成立，只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2.即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2.即证(bc －ad )2≥0.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立．综合(1)、(2)知，原不等式成立．证法二：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2abcd ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2.∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd ，即原不等式成立．证法三：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).证法四：不妨设⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝r 1cos α，b ＝r 1sin α，⎩⎪⎨⎪⎧c ＝r 2cos βd ＝r 2sin β， 则ac ＋bd ＝r 1r 2cos αcos β＋r 1r 2sin αsin β＝r 1r 2cos(α－β)．又∵|r 1r 2|＝|r 1|·|r 2|＝a 2＋b 2c 2＋d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，及r 1r 2cos(α－β)≤|r 1r 2|，∴ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).证法五：构造函数f (x )＝(a 2＋b 2)x 2＋2(ac ＋bd )x ＋(c 2＋d 2)＝(a 2x 2＋2acx ＋c 2)＋(b 2x 2＋2bdx ＋d 2)＝(ax ＋c )2＋(bx ＋d )2.不论x 取任何实数，函数f (x )的值均为非负数，因此，(1)当a 2＋b 2≠0时，方程f (x )＝0的判别式Δ≤0，即[2(ac ＋bd )]2－4(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤0.即(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，∴ac ＋bd ≤|ac ＋bd |≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(2)当a 2＋b 2＝0时，原不等式显然成立．综合(1)(2)，可知原不等式成立． 应用2：解：已知：如图，在△ABC 中，∠CAB ＞90°，D 是BC 的中点．求证：AD ＜12BC .证明：假设AD ≥12BC . (1)若AD ＝12BC ，由平面几何中的定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，可知∠A ＝90°，与题设矛盾． 所以AD ≠12BC . (2)若AD ＞12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ， 所以在△ABD 中，AD ＞BD .从而∠B ＞∠BAD .同理∠C ＞∠CAD .所以∠B +∠C ＞∠BAD +∠CAD ，即∠B +∠C ＞∠CAB .因为∠B +∠C ＝180CAB ︒-∠，所以180CAB ︒-∠＞∠CAB .则∠CAB ＜90°，这与题设∠CAB ＞90°矛盾．所以AD ＞12BC 不成立． 由(1)(2)知，AD ＜12BC . 真题放送1．(2011·陕西高考)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D ．ab ＜a ＜a ＋b 2＜b 2．(2011·山东高考)不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( )A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)3．(2011·广东高考)不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是____________．4．(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．5．(2011·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．6．(2011·安徽高考)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ； (2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .答案：1．B ∵0＜a ＜b ，∴a ·a ＜ab ，∴a ＜ab . 由基本不等式，知ab ＜a ＋b 2(a ≠b )． 又∵0＜a ＜b ，∴a ＋b ＜b ＋b ，∴a ＋b 2＜b ， ∴a ＜ab ＜a ＋b 2＜b . 2．D 方法一：令y ＝|x －5|＋|x ＋3|，此函数对应的图象如下图所示．令y ＝10，即|x －5|＋|x ＋3|＝10，解得x ＝－4或x ＝6.结合图象可知|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．方法二：将x ＝6代入可知适合已知不等式，故排除选项C ；将x ＝0代入可知不适合已知不等式，故排除选项A ，B.故选D.3．[1，＋∞) 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－(x ＋1)－(3－x )≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，x ＋1－(3－x )≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋1－(x －3)≥0. 解得不等式的解集为[1，＋∞)．4．2105设2x ＋y ＝m ，则y ＝m －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1， 得6x 2－3mx ＋m 2－1＝0.由Δ＝9m 2－24(m 2－1)≥0，得m 2≤85， 所以－2105≤m ≤2105，所以2x ＋y 的最大值为2105. 5．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5};当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．6．证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xyxy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.而[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)，又因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0.从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式，得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立．。
不等式知识点总结1．不等式的基本性质：对称性：a>b ⇔b<a ； 传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；可加性：a>b ⇒a+c>b+c ； 可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc2．不等式运算性质：同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； 异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd ； 乘方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >；开方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >； 倒数法则：若ab>0，a>b ，则b 1a 1<3．基本不等式（或均值不等式）：利用完全平方式的性质，可得a ²+b ²≥2ab （a ，b ∈R ）， 该不等式可推广为a ²+b ²≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 4．不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。
一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集，要结合20ax bx c ++=的根及二次函数2y ax bx c =++图象确定解集。
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>，设24b ac ∆=-，它的解按照000∆>∆=∆<，，可分三种情况.相应二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >的解集，列表如下:5．线性规划问题的解题方法和步骤:解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。
