2．2 向量的减法必备知识基础练知识点一 向量减法的几何作图1．如图，已知向量a ，b 不共线，求作向量a －b .2．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .知识点二 向量减法的运算 3.AC → 可以写成①AO → ＋OC → ；②AO → －OC → ；③OA → －OC → ；④OC → －OA → .其中正确的是( ) A ．①② B．②③ C ．③④ D．①④4．已知向量a ∥b 且|a |>|b |>0，则向量a －b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．无法确定5．化简：(1)(BA → －BC → )－(ED → －EC →)；(2)(AC → ＋BO → ＋OA → )－(DC → －DO → －OB →).知识点三 向量加减法的综合应用6．如图，点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )A ．AB → ＋AD → ＝CA → B ．OA → －OC →＝0 C ．BD → －CD → ＝BC → D ．BO → ＋OC → ＝DA →7．已知|OA → |＝8，|OB → |＝5，则|AB →|的取值范围为________．关键能力综合练一、选择题1．向量AC → －BC → ＋BA →＝( ) A ．BC → B ．AB →C ．2BA →D ．02．在四边形ABCD 中，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，BC → ＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c3．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是( ) A ．|a |－|b |＝|a －b | B ．|a ＋b |＝|a －b | C ．|a |＋|b |＝|a －b | D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |4．在△ABC 中，若|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．(探究题)若|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a ＋b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C．150° D ．120° 二、填空题6．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7 ＋1，|b |＝7 －1，且|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________．7．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．8．(易错题)给出下面四个结论：①若线段AC ＝AB ＋BC ，则向量AC → ＝AB → ＋BC →；②若向量AC → ＝AB → ＋BC →，则线段AC ＝AB ＋BC ；③若向量AB → 与BC →共线，则线段AC ＝AB ＋BC ；④若向量AB → 与BC → 反向共线，则|AB → －BC →|＝AB ＋BC . 其中正确的结论有________．(填序号) 三、解答题 9.如图，已知向量a 、b 、c 、d 、e .(1)用a 、d 、e 表示DB →；(2)用b 、c 表示DB →；(3)用a 、b 、e 表示EC →；(4)用c 、d 表示EC →；(5)用a 、b 、c 、e 表示ED →.学科素养升级练1.(多选题)下列不等式或等式中，可能成立的是( ) A ．|a |－|b |<|a ＋b |<|a |＋|b | B ．|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b | D ．|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |2．(学科素养——逻辑推理)如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH → ＝OA →＋OB → ＋OC → .2．2 向量的减法必备知识基础练1．解析：如图，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b .因为OB → ＋BA → ＝OA → ，所以b ＋BA →＝a .所以BA →＝a －b .2．解析：方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB → ＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC → ＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB → ＝b ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .3．答案：D解析：AO → ＋OC → ＝AC → ，AO → －OC → ≠AC → ，OA → －OC → ＝CA → ，OC → －OA → ＝AC →.故选D. 4．答案：A解析：a ∥b 且|a |>|b |>0，则当a 、b 反向时，a －b 的方向与a 方向相同；当a 、b 同向时，∵|a |>|b |，∴a －b 的方向仍与a 方向相同．故选A.5．解析：(1)(BA → －BC → )－(ED → －EC →) ＝CA → －CD → ＝DA → .(2)(AC → ＋BO → ＋OA → )－(DC → －DO → －OB → ) ＝AC → ＋BA → －DC → ＋(DO → ＋OB → ) ＝AC → ＋BA → －DC → ＋DB →＝BC → －DC → ＋DB → ＝BC → ＋(CD → ＋DB → ) ＝BC → ＋CB →＝0. 6．答案：C解析：AB → ＋AD → ＝AC → ，故A 错误；OA → －OC → ＝2OA → ，故B 错误；BD → －CD → ＝BD → ＋DC → ＝BC → ，故C 正确；BO → ＋OC → ＝BC → ＝AD →，故D 错误．故选C.7．答案：[3，13]解析：|AB → |＝|OB → －OA →|， ||OB → |－|OA → ||≤|OB → －OA → |≤|OB → |＋|OA →|，即3≤|AB →|≤13.关键能力综合练1．答案：D解析：AC → －BC → ＋BA → ＝AC → ＋CB → ＋BA →＝0.故选D. 2．答案：A解析：DC → ＝DA → ＋AB → ＋BC →＝－b ＋a ＋c ＝a －b ＋c .故选A. 3．答案：C解析：向量a 与b 反向，|a －b |＝|a |＋|b |，|a ＋b |＝||a |－|b ||.故选C. 4．答案：D解析：因为|AB → －AC → |＝|CB → |，|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC → |，所以|AB → |＝|AC → |＝|CB →|，所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．答案：A解析：根据向量加法、减法运算的几何意义可知以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形，又|a |＝|b |＝|a －b |.所以a ，b ，a －b 围成的图形为等边三角形，根据菱形与等边三角形的几何性质可知b 与a ＋b 的夹角为30°.故选A.6．答案：4 解析：如图所示，设OA → ＝a ，OB → ＝b ，则|BA →|＝|a －b |，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |，由于(7 ＋1)2＋(7 －1)2＝42， 故|OA → |2＋|OB → |2＝|BA → |2，所以△OAB 是直角三角形，∠AOB ＝90°， 从而OA ⊥OB ，所以平行四边形OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等得|OC → |＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4. 7．答案：7 17 解析：当a 与b 反向时，|a ＋b |取得最小值7；当a 与b 反向时，|a －b |取得最大值17. 8．答案：①④解析：①由AC ＝AB ＋BC 得点B 在线段AC 上，则AC → ＝AB → ＋BC →，正确；②在三角形ABC中，AC → ＝AB → ＋BC → ，但AC ≠AB ＋BC ，错误；③AB → ，BC → 反向共线时，|AC → |＝|AB → ＋BC → |≠|AB →|＋|BC → |，即AC ≠AB ＋BC ，错误；④AB → ，BC → 反向共线时，|AB → －BC → |＝|AB → |＋|BC → |＝AB ＋BC ，正确．9．解析：(1)DB → ＝DE → ＋EA → ＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB → ＝DC → ＋CB → ＝－CD → －BC →＝－b －c . (3)EC → ＝EA → ＋AB → ＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC → ＝ED → ＋DC → ＝－DE → －CD →＝－c －d . (5)ED → ＝EA → ＋AB → ＋BC → ＋CD →＝a ＋b ＋c ＋e .学科素养升级练1．答案：ABCD解析：A 中，当a 与b 不共线时成立；B 中，当a ＝b ＝0或b ＝0，a ≠0时成立；C 中，当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；D 中，当a 与b 共线，且方向相同时成立．故选ABCD.2．证明：如图，作直径BD ，连接DA ，DC ， 则OB → ＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC . ∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH → ＝DC →， 又DC → ＝OC → －OD → ＝OC → ＋OB → ， ∴OH → ＝OA → ＋AH → ＝OA → ＋DC → ＝OA → ＋OB → ＋OC → .。
§6 平面向量的应用 6．1 余弦定理与正弦定理第1课时 余弦定理必备知识基础练知识点一 已知两边和一角解三角形 1．在△ABC 中，(1)已知a ＝23 ，c ＝6 ＋2 ，B ＝45°，求b 及A ； (2)已知b ＝3，c ＝33 ，B ＝30°，求边a .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .知识点二 已知三边解三角形3．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝7 ，c ＝2，则B ＝( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．2π34．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的余弦值为( )A ．23B ．12C ．－23D ．－125．如图，在△ABC 中，D 为AB 的一个三等分点，且AB ＝3AD ，AC ＝AD ，CB ＝3CD ，求cosB .知识点三 利用余弦定理判断三角形的形状6．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形7．已知在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形关键能力综合练一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则C ＝( ) A ．150° B ．120° C．60° D ．30°2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝33 ，c ＝2，A ＋C ＝5π6，则b ＝( )A ．13B ．6C ．7D ．83．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19 ，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C．135° D ．150°4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1＋cos A 2 ＝b ＋c2c，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13 ，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322 B ．332 C ．32 D ．33二、填空题6．在△ABC 中，若BC ＝5，AB ＝3，B ＝120°，则△ABC 的周长为________．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－（b －c ）2bc＝1，则A ＝________．8．(易错题)在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2.边c 的取值范围是________．三、解答题9．(探究题)已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝43 ，b ＝6，cos A ＝－13.(1)求c 的值； (2)求sin B ．学科素养升级练1.(多选题)在△ABC 中，已知c ＝6 ，A ＝π4，a ＝2，则b ＝( )A ．3 ＋1B ．3＋12C ．3－12D ．3 －1 2．(学科素养——数学运算)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2，a cos B ＝(2c －b )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 周长的最大值．第1课时 余弦定理 必备知识基础练1．解析：(1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23 )2＋(6 ＋2 )2－2×(6 ＋2 )×23 ×cos 45°＝8，所以b ＝22 .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，得cos A ＝（22）2＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12 .因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33 )2－2×33 a ×cos 30°，即a 2－9a ＋18＝0，所以a ＝6或a ＝3.2．解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc (1－12)，即bc ＝15，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8，bc ＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5， 或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3. 3．答案：A解析：由已知得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12 ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故选A.4．答案：D解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.故选D.5．解析：设AD ＝m ，CD ＝n ，则AB ＝3m ，AC ＝m ，CB ＝3n ，BD ＝2m .在△BCD 中，cos ∠BDC ＝4m 2＋n 2－9n22×2m ×n ，在△ACD 中，cos ∠ADC ＝m 2＋n 2－m 22mn，由cos ∠BDC ＝－cos ∠ADC ，得m 2＝32 n 2，即m ＝62 n .所以在△BDC 中，cos B ＝4m 2＋9n 2－n 22×2m ×3n ＝7618.6．答案：D解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，a 2＝bc ，∴由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ，∴bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0.∴b ＝c ，结合A ＝60°，得△ABC 一定是等边三角形．故选D. 7．答案：C解析：由c b ＝cos C cos B 及余弦定理知cb ＝a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b22ac，化简得b ＝c .∴△ABC 是等腰三角形．无法判断其是不是直角三角形．故选C.关键能力综合练1．答案：B解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－492×3×5 ＝－12，所以C ＝120°.故选B.2．答案：A解析：∵A ＋C ＝5π6 ，∴B ＝π－(A ＋C )＝π6 .∵a ＝33 ，c ＝2，∴由余弦定理可得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝（33）2＋22－2×33×2×32＝13 .故选A. 3．答案：B解析：在△ABC 中，∵a ＝3，b ＝5，c ＝19 ， ∴最大角为B ，最小角为A ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5 ＝12，∴C ＝60°，∴A ＋B ＝120°，∴△ABC 中最大角与最小角的和为120°.故选B. 4．答案：A解析：在△ABC 中，∵1＋cos A 2 ＝b 2c ＋12 ，∴cos A ＝b c .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．故选A. 5．答案：B 解析：如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13 ，AC ＝4.∵cos A ＝32＋42－（13）22×3×4 ＝12 ，A ∈(0，π)，∴sin A ＝32 .∴BD ＝AB ·sin A ＝3×32 ＝332.故选B. 6．答案：15解析：由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝49，所以AC ＝7.所以△ABC 的周长为3＋5＋7＝15.7．答案：π3解析：由a 2－（b －c ）2bc ＝1得b 2＋c 2－a 2bc ＝1.∴cos A ＝12 .∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.8．答案：(1，3 )∪(5 ，3)解析：因为a ＝1，b ＝2，所以1<c <3.若角B 是钝角，则cos B <0，即12＋c 2－222×1·c<0，解得1<c <3 ；若角C 是钝角，则cos C <0，即12＋22－c22×1×2 <0，解得5 <c <3.综上，边c 的取值范围是(1，3 )∪(5 ，3).9．解析：(1)因为a ＝43 ，b ＝6，cos A ＝－13，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝36＋c 2－482×6×c ＝－13，整理得c 2＋4c －12＝0，即(c ＋6)(c －2)＝0，解得c ＝2或c ＝－6(舍去)，所以c ＝2.(2)因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝48＋4－362×43×2 ＝33 ，所以sin B ＝63. 学科素养升级练1．答案：AD解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋6－26 b ×22，即b 2－23 b ＋2＝0，解得b ＝3 ＋1或b ＝3 －1.又6 －2<b <6 ＋2，∴b ＝3 ±1.故选AD.2．解析：(1)∵a cos B ＝(2c －b )cos A ，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝(2c －b )·b 2＋c 2－a 22bc ，化简得c ＝b 2＋c 2－a 2b，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12 ，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3 .(2)由(1)得b 2＋c 2－4＝bc ，即4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3（b ＋c ）24 ＝（b ＋c ）24，∴(b ＋c )2≤16，即b ＋c ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立， ∴△ABC 周长的最大值为6.。
2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练知识点一 辅助角公式 1．函数f (x )＝32 sin 2x ＋12cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．使函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数的φ的一个值是( )A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π33．计算sin π12 －3 cos π12 的值为________．知识点二 三角函数的叠加应用 4．已知函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx (ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 的值；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝－35 ，求cos (α＋β)的值．知识点三 三角函数模型的应用5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3 cos π12 t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．12．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π3．若tan θ＝b a (－π2 <θ<π2)，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin (x ＋φ)(0≤φ<2π)，下列判断错误的是( )A ．当a >0，b >0时，φ＝θB ．当a >0，b <0时，φ＝θ＋2πC ．当a <0，b >0时，φ＝θ＋πD ．当a <0，b <0时，φ＝θ＋2π4．将函数y ＝sin (2x ＋φ)，φ∈(0，π)的图象向左平移π12 个单位长度得到函数g (x )的图象，已知g (x )是偶函数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－33 D ．335．已知函数f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ，则下面结论错误的是( )A ．当x ∈[0，π2 ]时，f (x )的取值范围是[－3 ，2]B ．y ＝f (x )在[π3 ，π2 ]上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称D ．y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到二、填空题6．函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a >0)的最大值为2，则a ＝________．7．函数y ＝sin x －3 cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3 cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．8．(易错题)已知cos (α－π6 )＋sin α＝435 ，则sin (α＋7π6)的值是________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22 ，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值．学科素养升级练1.(多选题)函数f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ，x ∈R ，下列说法正确的是( )A ．f (x －π12 )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间[0，π2 ]上先减后增D ．f (x )的图象关于x ＝π6对称2．(学科素养——数学运算)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，其中ω>0.若f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，求ω的取值范围．2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：f (x )＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＝sin (2x ＋π6 )，所以最小正周期为T ＝2π|ω|＝π，振幅为1.故选A.2．答案：B解析：由题意得f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3 . ∵函数f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3 ＝0.∴φ＋π3 ＝n π，n ∈Z ，∴φ＝n π－π3，n ∈Z .令2k π＋π2 ≤2x ＋φ＋π3 ≤2k π＋3π2 ，k ∈Z ，得k π＋π12 －φ2 ≤x ≤k π＋7π12 －φ2，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π12－φ2≤0，k π＋7π12－φ2≥π4， k ∈Z ，∴2k π＋π6 ≤φ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z ，∴当φ＝2π3时，满足题意．故选B.3．答案：－2解析：sin π12 －3 cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12 ＝－2cos π4 ＝－2 .4．解析：(1)因为f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx ， 所以f (x )＝sin (ωx ＋π6).因为函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 所以T ＝2π，ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6 ＝sin π6 cos π4 －cos π6 sin π4 ＝2－64 .(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin α＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝sin (β＋π)＝－sin β＝－35 ，所以sin β＝35. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝1－sin 2α ＝513 ，cos β＝1－sin 2β ＝45 ，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513 ×45 －1213 ×35 ＝－1665 .5．解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，又0≤t <24，所以π3 ≤π12 t ＋π3 <7π3 ，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 >11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 <－12 .又0≤t <24，因此7π6 <π12 t ＋π3 <11π6 ，所以10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．关键能力综合练1．答案：C解析：原式＝2 ⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＋2＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＋2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，∴x ＋π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .当x ＋π4 ＝π4 或3π4 ，即x ＝0或x ＝π2 时，函数y 取得最小值，即y min ＝2 ×22＋2＝3.故选C. 2．答案：A解析：∵f (x )＝cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，∴当2k π≤x ＋π4 ≤π＋2k π(k ∈Z )，即－π4 ＋2k π≤x ≤3π4 ＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 ，∴－a <a ，－a ≥－π4 ，a ≤3π4 .解得0<a ≤π4 ，∴a 的最大值为π4.故选A.3．答案：D解析：由选项知，ab ≠0，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x )，令cos φ＝aa 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2，有tan φ＝sin φcos φ ＝b a ＝tan θ(－π2<θ<π2)，0≤φ<2π，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，对于A ，当a >0，b >0时，φ为第一象限角，且0<φ<π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan θ，则φ＝θ，A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，φ为第四象限角，且3π2 <φ<2π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan(θ＋2π)，则φ＝θ＋2π，B 正确；对于C ，当a <0，b >0时，φ为第二象限角，且π2 <φ<π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，C 正确；对于D ，当a <0，b <0时，φ为第三象限角，且π<φ<3π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，D 错误．故选D.4．答案：D解析：将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ 的图象， 因为g (x )是偶函数，所以π6 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3 ，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝tan π6 ＝33 .故选D.5．答案：D解析：f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ＝2sin (3x －π3 )，当x ∈[0，π2 ]，3x －π3 ∈[－π3 ，7π6 ]，sin (3x －π3 )∈[－32，1]，f (x )的取值范围是[－3 ，2]，A 正确； 当x ∈[π3 ，π2 ]，3x －π3 ∈[2π3 ，7π6 ]，f (x )＝2sin (3x －π3 )单调递减，B 选项正确；当x ＝－π18 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－2，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称，C 选项正确；由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到y ＝sin 3(x －π3 )＝sin (3x －π)＝－sin 3x ，D 选项错误．故选D.6．答案：3解析：∵f (x )＝a sin x ＋cos x ＝a 2＋1 sin (x ＋φ)，tan φ＝1a ，φ∈(0，π2 )，∴当sin (x ＋φ)＝1时，f (x )取最大值，∴a 2＋1 ＝2，a >0，得a ＝3 .7．答案：2π3解析：因为y ＝sin x ＋3 cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ，y ＝sin x －3 cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象至少向右平移2π3 个单位长度可以得到y ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的图象．8．答案：－45解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＋sin α＝435 ，得32 cos α＋12 sin α＋sin α＝435 ，即12 cos α＋32 sin α＝45 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6 ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos [π2 －(α＋π6 )]＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－45 . 9．解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，∴m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ·(sin x ，cos x )＝22 sin x －22 cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝0.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝0，∴x ＝π4 ，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由(1)及题意知 cos π3 ＝m ·n |m ||n |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12 .又∵x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝π6 ，解得x ＝5π12.学科素养升级练1．答案：AC解析：由辅助角公式可得：f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π6 )，由题可知f (x －π12 )＝2cos 2x ，为偶函数，A 正确；最小正周期T ＝2π2＝π，故B 错误；令2x ＋π6 ＝t ，t ∈[π6 ，7π6 ]，y ＝2cos t 在区间[π6 ，7π6]先减后增，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π2 ＝0，所以f (x )关于点(π6，0)对称，D 错误．故选AC. 2．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin (ωx ＋π4 )，由x ∈(π2 ，3π4 )，得ωx ＋π4 ∈(π2 ω＋π4 ，3π4 ω＋π4 )，因为f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，所以T 2 ＝πω ≥3π4 －π2，得ω≤4，且⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥－π2＋2k π，3π4ω＋π4≤π2＋2k π，解得－32 ＋4k ≤ω≤13 ＋83k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋4k <13＋83k ，13＋83k >0，解得－18 <k <118 ，所以k ＝0或k ＝1，当k ＝0时，0<ω≤13 ，当k ＝1时，52≤ω≤3，综上所述，ω的取值范围为(0，13 ]∪[52 ，3].。
第2课时圆与圆的位置关系1.已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A.⌀B.{(0,0)}C.{(5,5)}D.{(0,0),(5,5)}解析:集合A是由圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是由圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),圆O的半径r1=1,C(5,5),圆C的半径r2=2,|OC|=5,所以|OC|>r1+r2=3.所以圆O和圆C相离,无公共点,即A∩B=⌀.答案:A2.若圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()A.1B.2C.3D.4答案:A3.已知圆O1:x2+y2-4x+6y=0和圆O2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析:由题意知,两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),=3, 因为公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,所以所求直线的斜率为k=---故直线方程为3x-y-9=0.答案:C4.已知两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.-1B.2C.3D.0解析:由题意知,AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,m+2c=1.又直线AB的斜率k AB=--=-1,--∴m=5.∴c=-2.∴m+c=3,故选C.答案:C5.过点A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+(y+1)2=5C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x+3)2+(y-1)2=5解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则有------解得所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.答案:C6.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.D.--解析:两圆方程相减,得相交弦所在直线为x-y=0,因为所求圆的圆心在直线x-y=0上,排除C,D选项.画图可知所求圆的圆心在第三象限,排除A,故选B.答案:B7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析:两圆的圆心距d=,又a2+b2=4,则d==2.两圆的半径之和为1+1=2,所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆外切.答案:外切8.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3,又O2A⊥AO1,所以有m2=()2+(2)2=25⇒m=±5,所以|AB|=2×=4.答案:49.若某圆的圆心为点(2,1),且它与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线经过点(5,-2),求此圆的方程.解设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,所求圆的方程与已知圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.又公共弦所在的直线经过点(5,-2),将点(5,-2)代入直线方程x+2y-5+r2=0,得5-4-5+r2=0,解得r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解方法一:将圆C的方程化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为点(-5,-5).所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得-----解得故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.方法二:由题意,所求的圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心一定在直线y=3上,又由方法一,知所求圆的圆心在直线x-y=0上,所以由-得圆心坐标为(3,3).所以r==3,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.★11.如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得OM∶ON=MA∶NC,即⇒r=3,OC=3,所以圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,圆心N到该直线的距离d=-,则弦长=2-.。
