7 质点动力学习题课

4. 有一单摆，用一水平力作用于 有一单摆，用一水平力作用于m 使其缓慢上升。 使其缓慢上升。当θ 由 0 增大到θ 0 时 ， 此力的功。 求: 此力的功。 F T sinθ = 0 { d θ T cos mg = 0 θ Lθ 解得： 解得： F = mg tgθ T ds ds = Ld θ m . ds = F ds cosθ dA = F F F L cos d = θ θ mg = mg tg L cos d θ θ θ θ A = ∫ mg L sin d = mg L ( 1 cos 0 ) θ θ θ 0
W = W外 +W保内 +W非保内 = Ek − Ek0
(2)功能原理 功能原理
W外 +W非保内 = E − E0 = (Ek + Ep ) − (Ek0 + Ep0 )
(3)机械能守恒定律 机械能守恒定律
W外 = 0,W非保内 = 0, E = E0或∑(Ek + Ep ) = 0
四、质点角动量及其规律 1、角动量 、 (1)质点：L = r × mv 质点： 质点 (2)质点系：L = 质点系： 质点系 2、角动量规律 、 转动动力学方程 角动量定理 角动量守恒定律
d( xy) dy dx y =x + dt dt dt
v = −gt v2 l−y= 2g 1 2 y = l − gt 2
dy v= dt
dv −g= dt
d( yv) 2 = − yg + v dt = − yg + 2(l − y)g
N = 3ρg(l − y)
6. 一篮球质量 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到 高度下落， ， 高度下落 达地面后，以同样速率反弹， 达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅 0.019s，求：对地平均冲力？ ， 对地平均冲力？ 解：篮球到达地面的速率

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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
质点运动学和动力学习 题课
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思

2 t SI）沿直线运动。设滑块初速度 2-7 一滑块以加速度 a sin （ 2

v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（） 1 dv a 2 sin t， dt 2 v 2 cos d v 2 sin
二、填空题 1. 在光滑的水平面上 , 一根长 L=2m 的绳子 , 一端固定于 O 点,另一端系一质量为m=0.5kg的物体,开始时,物体位于 位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态 ,现在使物 体以初速度vA=4m· s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设以 后的运动中物体到达位置 B,此时物体速度的方向与绳垂 1kg· m2/s 直,则此时刻物体角动量的大小为 。速率 为 1m/s 。
解：（）因 1 a 3m s 2 为常量，故由任一时刻的速率v a t，得 v 2 a2t 2 an R R 当总加速度a与径向成450时，an a，即 a2t 2 a R t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为 1 2 s a t 1.50 m 2
4
5. 如图，一弹簧劲度系数为 k ，一端固定在 A 点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为 AB ，在切向变力 F 的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。 解：积分法 F mg cos kR
功能原理
2 2 2 2 2
2
可知质点作半径 R 3m
的圆周运动，故切向加速度 a 和法向加速度an分别为
2 dv v2 （ 12） a 0 an 48 （m s 2 ） dt R 3 2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为

第二章教学基本要求：⒈理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿运动定律的适用条件。

⒉掌握常见力的性质和计算方法，能熟练地分析物体受力。

⒊熟练掌握运用牛顿定律和运动学知识解题的思路和步骤，并能科学地表述。

能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。

内容提要:牛顿定律第一定律: 任何物体如果不受其它物体的力的作用，就会保持静止或匀速直线运动的状态。

第二定律: )(d d vm tF =当质量m 为常量时，a m F= 在直角坐标系中，z z y y x x ma F ma F ma F ===,,在自然坐标系中，ρ2,v mF dt dv m F n t ==第三定律: 2112F F-=力学问题中的几个常见力万有引力 G 2r mM重力 mg弹簧力 f = -kx 正压力与支持力 N= -N ′ 滑动摩擦力 f μ = μN 静摩擦力 f μ ≤μN习题1：一半径为R 的环形竖直壁固定在光滑的水平面上，如题图所示，一质量为m 的物块紧靠着壁的内侧在水平面上运动。

已知物块与环形壁之间的摩擦系数为μ，0=t 时物块的速率为0v ，求物块的速率v 随时间t图2-7解： 研究对象：m 受力： 自然坐标系 方程：法向： R v m N 2= （1）切向： dt dvm f r =- （2）N f r μ= （3） 求解：由 上 述 各 式 可 得 dt dvR v =-2μ分离变量法⎰⎰-=v v t v dv R dt 020μ得： t v R Rv v 00μ+=图2-7f习题2：一细绳跨过光滑的定滑轮,一端挂一m 重物,另一端被人用双手拉着,人悬空,质量 m/2,若人以相对于绳的加速度0a 向上爬,且不打滑,求:人相对于地的加速度。

解：如图建坐标,分别选人和重物m 为对象, 受力分析,设m 对地加速度为a ： 对m ：ma mg T =-对人：)(21210a a m mg T -=- 解得：30g a a -=人相对于地的加速度为3200ga a a +=-习题3：一根弯成如图所示形状的金属丝，其上套一小环，设环与金属丝间的摩擦可略去不计.当金属丝以匀角速度ω绕竖直对称轴转动时，小环在金属丝上任何地方都能平衡，即与金属丝无相对运动，问这根金属丝要弯成什么形状?解 : 小环受力如图所示, 当小环位置坐标为x y 、时其动力学方程为 :N m xN mg sin cos θωθ==2而 x y d d tg =θ ,所以 g xx y 2d d ω=积分得y xgc=+ω222 由x =0, y =0 定出 c =0m gθN∴yxg=ω222 .此即金属丝形状所满足的方程，应为顶点即坐标原点，口向上的抛物线。