第四单元三角形第17课时三角形的基础知识(含近9年中考真题)试题

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!"" 求 6 @的长( ! % " 求+2 6 3的面积!
第 * 题图
命题点 $!等腰三角形的相关计算 底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论当 " 为底时 三角形
"
$ "= ! 解析 因为等腰三角形的两边分别为 " 和 . 但没有明确哪是 "
@( $ $330 #( $ $@ 6是 3 5的垂直平分线$请写出图 $ $ 中两条相等的线段是!!!!! $ $ $ $ $ $ !! !!!! $ $ 第 $ 题图 第 & 题图 $ & !$ ( "% 岳阳 "$ 题 # 分% 如图$在 P 9 3 5中$330$ +2 @( $ $沿 2 6折叠$ 使点 3落在斜边 2 5上$ 若 2 30$ $ # $3 50 $ $则 3 60 !!!!! $ * !$ ( "# 湘西州 %# 题 * 分 % 如图$ P 9 3 5中$ 350$ +2 $ $2 6平分35 2 3 $6 @ 3于 @ $若 2 50 * $3 50$ @( $ /2 $ ' $5 60 #! $
$ 命题点 % !直角三角形的相 关 计 算 %("$ 年 考 查 # $ 次%("# 年考查 " 次%("% 年考查 # 次 $ 9 3 5中32 5 30 $ " !"$ 湘西州 @ 题 $ 分 如图在 P +2 $ 5 20 5 3 2 30 %过点 5作 5 6 3 垂足为 6 则 /2 $ @($ $ 5 6的长为 !! $ " " $ + , = 1 = " 5 = % = $ % $ $ $ $ $ $ $! !! $ 第 " 题图 第 % 题图 $ $ % !"$ 张家界 ; 题 # 分 如图在 P 9 3 5中32 5 30 +2 $ 6 @是斜边 2 5的中垂线分别交 2 3 2 5于 6 @ $ *($ $ 两点若 3 60 %则 2 5的长是 !! $ ! $ , ! $槡 # 1 ! ' 5 ! '槡 # $ + $ $ # ! "$ 邵阳 "; 题 # 分 $ 如图 在 P 9 3 5中 +2 $ @( $ 6为 2 3的 350 $ $ @ 5于点 @ 中点6 /2 $ 2 3 0' 则 320#( $ $ 第 # 题图 $ 6 @的长度是!!!! $ 9 3 5中32 5 30 +2 $ $ ! "% 邵阳 "* 题 # 分 . " . 可以构成三角形 周长为 9 当 . 为底时 三角形的 " " 故选 = " 三边为 . " " 可以构成三角形周长为 5 " " " ": ! 解析 如解图 '3 4 5中 3 4-3 5 3 <是 4 5 " 边上的中线根据等腰三角形三线合一的性质 " $ " ,. 3 3 < 5 在 I J 4 <中4 <- 8 <( )4 '3 " " " 根据勾股定理得 3 4%" " ." ,# # ! 解 析 1 '3 4 5是等边三角形 由旋转知 第 " 题解图 " 5 <也是等边三角形2*4 3 53 <,## '3 *5 " $ " 1=是 4 5的中点 >是 5 <中点2*= 3 5- *4 3 5.## *> 3 5" " " $ 3 5.## 2 *= 3 >3 54 3 5.## 4 .## ,## " *< *= *> " " " ( " 思路分析 本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质" 通过 " 3 =平分 *< 3 5 得 到 *$ -*" 再 利 用 平 行 线 性 质 转 化 为 *4-" 从而根据等角对等边定理得到 3 43 5 " *5 " " 证明13 =平分*< 3 5 " 2*$ *" " " 分 " 13 = 5 +4 " 2*$ *" ( 分 " *4 *5 " 2*4 *5 " 23 43 5 " , 分 " 命题点 "!直角三角形的相关计算 " $ ": ! 解析 1*3 5 47# # 5 35 4 2*3(% # 1 5 < 4 " *4)3 " $ 23 <4 <- 3 4$ * 5 < 47# # 2 5 <4 <$" 故选 : " " " " " "/ ! 解析 如解图1在 I J 4 5中*3 5 4 '3 " ,## 2*3.## " 1< =垂直平分斜边 3 5 " " 23 <5 < 2*35 <.## 2*< 5 4*3 " ,## & .## .## 14 <"25 <3 <(23 4 " "4 (,在'4 5 <中由勾股定理得5 4" 第 " 题解图 "槡 . 在 '3 4 5 中 由 勾 股 定 理 得 3 5" !!!!

第17讲 全等三角形1．(2016·厦门)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应顶点，AF 与DE 交于点M ，则∠DCE＝( A )A ．∠B B ．∠AC ．∠EMFD ．∠AFB2．(2016·永州)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD ( D )A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD3．如图，用尺规作∠AOB 的平分线的方法如下：以点O 为圆心，任意长为半径画弧分别交OA ，OB 于C ，D 两点，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP≌△ODP 的根据是( D )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4．(2016·怀化)如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是( B )A ．PC ＝PDB ．∠CPO ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD5．如图，∠B ＝∠D＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝( B )A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°6．(2016·济宁)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 和C E 交于H ，请你添加一个适当条件AH ＝BC 或AE ＝CE 或EH ＝EB ，使△AEH≌△CEB.7．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝6．8．(2016·福州)一个平分角的仪器如图所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC＝∠DAC.证明：在△ABC 与△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)． ∴∠BAC ＝∠DAC.9．(2016·云南)如图，点C 是A E 的中点，∠A ＝∠ECD，AB ＝CD ，求证：∠B＝∠D.证明：∵点C 是AE 的中点， ∴AC ＝CE.在△ABC 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE(SAS)． ∴∠B ＝∠D.10．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( B )A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF11．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°12．(2016·贺州)如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为120°．13．(2016·南京)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中正确结论的序号是①②③．14．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为(0，－2)或(2，－2)或(2，2)．15．(2016·楚雄模拟)如图，已知∠ABO＝∠DCO，OB ＝OC ，求证：△ABC≌△DCB.证明：在△ABO 和△DCO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠DCO，BO ＝CO ，∠AOB ＝∠DOC，∴△ABO ≌△DCO(ASA)． ∴∠A ＝∠D.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∵∠ABO ＝∠DCO，∴∠ABO ＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠DCB.在△ABC 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠ABC ＝∠DCB，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(AAS)．16．(2016·威海改编)如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，A F ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N.求证： (1)AD ＝AF ； (2)BD ＝EF.证明：(1)∵AB＝AC ，CB ＝CD ，∠BAC ＝90°，∠BCD ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°.∴∠ABF ＝∠BAC＋∠ACB＝135°， ∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°. ∴∠ABF ＝∠ACD.∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD.在△AB F 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD，BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD(SAS)．∴AD＝AF.(2)由(1)知，AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ， ∴∠FAB ＝∠DAC.∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°. ∴∠EAF ＝∠BAD.在△AEF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAF ＝∠BA D ，AF ＝AD ，∴△AEF≌△ABD(SAS)．∴BD ＝EF.17．(2016·宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米．请根据上述信息求标语CD 的长度．解：∵AB∥CD，∴∠ABO ＝∠CDO. 又∵OD⊥CD，∴∠CDO ＝90°. ∴∠ABO ＝90°，即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB ＝OD.在△ABO 与△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠CDO，OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD，∴△ABO ≌△CDO(ASA)．∴CD ＝AB ＝20米．。

第一部分考点研究第四单元三角形第17课时三角形的基础知识浙江近9年中考真题精选命题点1三角形的三边关系(杭州2考，温州2013.4，绍兴2016.22)1. (2013温州4题4分)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A. 1，2，4B. 4，5，9C. 4，6，8D. 5，5，112. (2017嘉兴2题3分)长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )A. 4B. 5C. 6D. 93. (2012杭州20题10分)有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三条边的长；(2)设组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．4. (2016绍兴22题12分)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，如图，量得第四根木条CD＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；(2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可)；(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形．求出木条AD，BC的长度．第4题图命题点2三角形内角和及内外角关系(台州2013.13)5. (2012嘉兴8题4分)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°6.(2013台州13题5分)如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝________________________________________________________________________度．第6题图7.(2016丽水12题4分)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC 相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．第7题图命题点3三角形中的重要线段(杭州2015.22，台州3考，温州2013.18涉及)8. (2017台州5题4分)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD ＝2，则点P到边OA的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第8题图9. (2012台州6题5分)如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )A . 5B . 10C . 20D . 40第9题图10. (2014台州3题4分)如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝50 cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为( )A . 25 cmB . 50 cmC . 75 cmD . 100 cm第10题图11. (2017湖州6题3分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( )A . 1B . 2C . 32D . 2第11题图12. (2013义乌15题4分)如图，AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，连接AB ，∠ABC 的平分线交AD 于点O ，连接OC ，若∠AOC ＝125°，则∠ABC ＝________.第12题图13. (2015杭州22题12分)如图，在△ABC 中(BC >AC )，∠ACB ＝90°，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E .(1)若AD DB ＝13，AE ＝2，求EC 的长；(2)设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ，C ，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD于点P.问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．第13题图答案1．C 【解析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．A .∵1＋2＜4，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误；B .∵4＋5＝9，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误；C .∵4＋6＞8，∴本组数可以构成三角形．故本选项正确；D .∵5＋5＜11，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误．2．C 【解析】根据三角形的三边关系：三角形的一边大于另外两边之差的绝对值，小于另外两边之和，可得：7－2<x<7＋2，即5<x<9.3．解：(1)第三边长为6(2<边长<12中，任取整数边长即可)；(3分)(2)设第三边长为L ，由三角形的性质可得：7－5<L<7＋5， 即2<L<12，而组中最多有n 个三角形且三边长均为整数， ∴L ＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，则n ＝9；(6分)(3)在这组三角形个数最多时，即n ＝9，要使三角形周长为偶数因两条定边的和为12, 所以第三边也必须为偶数， 则L ＝4，6，8，10， ∴P(A)＝49.(10分)4．解：(1)相等．第4题解图如解图，连接AC ，∵AB ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝5，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC (SSS )， ∴∠B ＝∠D ；(2分)(2)答案不唯一，只要满足29－5≤AD≤29＋5即可，如AD ＝5 cm ；(5分)【解法提示】∵AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，且∠B＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝29，根据三角形三边关系可知，29－5≤AD ≤29＋5. (3)设AD ＝x cm ，BC ＝y cm ，根据题意得， 当点C 在点D 的右侧时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝10，(7分) 当点C 在点D 的左侧时，⎩⎨⎧y ＝x ＋5＋2x ＋()y ＋2＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝15，(9分)此时AC ＝17 cm ，CD ＝5 cm ，AD ＝8 cm ，∵5＋8＜17，∴不合题意． ∴AD ＝13 cm ，BC ＝10 cm .(10分) 5．A6．36 【解析】∵AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，∴∠DCE ＝∠B ＝72°，∠DEC ＝∠F ＝72°，在△CDE 中，∠D ＝180°－∠DCE －∠DEC ＝180°－72°－72°＝36°.7．70° 【解析】∵MN ∥BC ，∴∠B ＝∠ADE ，∵∠A ＝63°，∠AEN ＝133°，∴∠ADE ＝∠AEN －∠A ＝133°－63°＝70°，∴∠B ＝70°.8．B 【解析】如解图，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG ＝PD ＝2.第8题解图9．C 【解析】由点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点可知DF 、EF 、DE 分别为BC 、AB 、AC 的中位线，所以DF ＝12BC ，EF ＝12AB ，DE ＝12AC ，又DF ＋EF ＋DE ＝10，所以BC ＋AB ＋AC ＝20.故答案为C .10．D 【解析】∵O 是AB 的中点，AC ⊥BC ，OD ⊥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OD ＝100 cm .11．A 【解析】如解图连接线段CP 交AB 于点D ，则CD 是AB 边上的中线，C D ＝AD ＝3，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD 是AB 边上的高，∵CP ＝2DP ，∴DP 为1，即点P 到AB 所在直线的距离等于1.12．70° 【解析】∵AD ⊥BC ，∠AOC ＝125°，∴∠C ＝∠AOC －∠ADC ＝125°－90°＝35°，∵D 为BC 的中点，AD ⊥B C ，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠C ＝35°，∵OB 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠OBC ＝2×35°＝70°.13．解：(1)∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴AD DB ＝AEEC，(3分) ∵AD DB ＝13，AE ＝2， ∴2EC ＝13， 解得EC ＝6；(5分) (2)分三种情况：①当∠ECD ＝∠CFG 时，即∠1＝∠4，如解图①， ∴CP ＝FP ，第13题解图①∵∠FCG ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°， 又∵∠1＝∠4， ∴∠2＝∠3，(7分) ∴CP ＝PG ， ∴CP ＝FP ＝PG ，∴CP 是△CFG 的中线；(9分) ②当∠ECD ＝∠CGF 时，如解图②，第13题解图②∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∴∠CGP＋∠PCG＝90°，∴CP⊥FG，∴CP是△CFG的高线；(11分)③当CD为∠ACB的平分线时，如解图③第13题解图③CP既是△CFG的高线又是中线．综上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等时，线段CP可能是△CFG的高线，也可能是中线．(12分)。

专题17 三角形基础【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2：三角形的三种重要线段技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一、三角形的分类【题型】二、构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范围【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题【题型】五、与三角形重心有关的计算【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．2、理解三角形内角和定理及推论．3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．【考点总结】一、三角形的概念【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角【技巧归纳】技巧1：三角形三边关系的巧用【类型】一、判断三条线段能否组成三角形1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()A．4，4，8 B．5，5，1C．3，7，9 D．2，5，42．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是() A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()A．6＜l＜15 B．6＜l＜16C．11＜l＜13 D．10＜l＜165．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为()A．25 B．25或32C．32 D．197．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.技巧2：三角形的三种重要线段【类型】一、三角形的高题型1：找三角形的高1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．题型2：作三角形的高2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)题型3：应用三角形的高3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)求AD∶BE的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG.【类型】二、三角形的中线题型1：利用中线求长度5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为()A．2 B．3 C．4 D．66．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为()A．40B．46C．50D．567．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．题型2：利用中线求面积8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．9．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．【类型】三、三角形的角平分线题型1：三角形角平分线定义的直接应用10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．题型3：求三角形两内角平分线的交角度数12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【类型】一、直接计算角度1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．【类型】二、三角尺或直尺中求角度3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为()A．125°B．120°C．140°D．130°4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．【类型】三、与平行线的性质综合求角度6．如图，AB ∥CD ，∠ABE ＝60°，∠D ＝50°，求∠E 的度数．【类型】四、与截角和折叠综合求角度7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于( )A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°8．△ABC 是一个三角形的纸片，点D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的两点．(1)如图①，如果沿直线DE 折叠，则∠BDA′与∠A 的关系是____________；(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由；(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由．【题型讲解】【题型】一、三角形的分类例1、已知①ABC 中::3:4:7A B C ∠∠∠=，则①ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【题型】二、构成三角形三边的条件例2、三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，则第三边长可能为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．9cm【题型】三、确定三角形第三边的取值范围例3、如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC =，8BD =，则AB 的长可能是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．6【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题例4、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，已知12AC =，13AB =，则CD 的长是（ ）A ．5B ．6013C ．6D ．6512【题型】五、与三角形重心有关的计算例5、如图，在①ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD①BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算例6、如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ①EF 于点D ，如果①A ＝20°，则①ACG ＝（ ）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算例7、如图，在四边形ABCD 中，CD①AB ，AC①BC ，若①B ＝50°，则①DCA 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算例8、如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒三角形基础（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，若①B =70°，①1=110°，则①A =（ ）A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°2．如图，已知直线AE ①BD ，且①C ＝15°，①1＝110°，则①2的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°3．数学课上，同学们在作ABC 中AC 边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（ ）A ．3、4、8B ．4、4、8C ．3、5、6D ．5、6、115．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）A ．三角形具有稳定性B ．两点之间线段最短C ．经过两点有且只有一条直线D ．垂线段最短二、填空题6．如图，点B 、C 、D 在同一直线上，AB ①CE ，若①A ＝55°，①ACB ＝65°，则①1为___°．7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB AC 、上，且AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=_________°．三、解答题8．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，130BCD ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ．(1)求ABE ∠的大小；(2)若48ADC ∠=︒，求DEF ∠的大小．三角形基础（提升测评）一、单选题1．如图，点C ，D 在直线AB 上，OC OD ⊥，若120ACO ∠=，则①BDO 的大小为（ ）A ．120B ．140C ．150D ．1602．一把直尺和一块三角板ABC （含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A ，①CED =25°，则①BF A 的大小为（ ）A ．105°B ．110°C ．115°D ．125°3．如图，BE 是ABC 的中线，AD BC ⊥交BE 于点F ，且BD AE =，50∠︒=EAD ，则EBC ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°4．如图，在ABC 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，则ABD △的周长为（ ）A ．17B ．23C ．25D ．285．如图，Rt ①ABC 中，①C ＝90°，BD 平分①ABC 交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，若AB ＝12，CD ＝3，则①DBE 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．9D ．6二、填空题6．如图，在ABC ∆ 中，AD 平分CAB ∠ ，AB AC CD =+ ，若81CAB ∠=︒ ，则B ∠ 度数为______．7．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．三、解答题8．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE 平分CED ∠；(2)连接BD ，求证：90DBC ∠=︒．。