绝密★启用前2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学（考试时间：150分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
评卷人 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，2{|60}A x x x =--<，{|ln(1)}B x y x ==-，则()UA B =（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,3D ．(]2,1-2．设复数z 的共轭复数为z ，且满足11iz z i+-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-3．已知函数2()log 164x f x x =-()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]4．“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点12,P P ，且12PP a =，已经测得两个角1221,PP D P PD αβ∠=∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有（ ）组①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PP C ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠ A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量(0,2),(2,2)a b ==，则（ ） A ．||||a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3πD ．()a b a -⊥ 6．已知双曲线22144x y a a -=+-(a >4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．在等比数列{}n a 中，若25234535,44a a a a a a =-+++=，则23451111a a a a +++= A ．1B ．34-C ．53-D ．43-8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M ､N ､P ､Q 在三视图上对应的点分别为A ､B ､C ､D ，且A ､B ､C ､D 均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ 的体积为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-110．2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（ ）A ．这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元B ．这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小C ．这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大D ．这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%11．已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．3,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．2,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．48πB ．16πC ．64πD ．36π评卷人 得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1e ，2e 均为单位向量，若123e e -=，则1e 与2e 的夹角为______．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,当AB 的中点为()1,1M 时,直线l 的方程为___________.15．已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________．16．在四面体ABCD 中，ABC 与ACD △都是边长为3G 为AC 的中点，且2BGD π∠=，则该四面体ABCD 外接球的表面积为___________. 评卷人 得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，1214332,4,12a a a ===. 第一行111213141,,,n a a a a a 第二行212223242,,,n a a a a a第三行313233343,,,n a a a a a……第n 行1234,,,n n n n nn a a a a a (1)求数列{}2n a 的通项公式； (2)设()()()12122,1,2,3,11n n n n b n a a -+==-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100.得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计这200名学生成绩的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从得分在[)40,50和[)50,60的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率. 19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）若直线//CE 平面BDM ，求:EM AM 的值． （2）当AE ⊥平面MBC 时，求点C 到平面BDM 的距离． 20.（12分）已知椭圆方程为221259y x +=，若抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则PAB △的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数()1e xf x ax -=-，(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点12,x x ，求证：121x x a>. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 40m ρρθ--=（其中m 0>）. (1)若点M 的直角坐标为()3,3，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； (2)若3m =,当α变化时，求直线l 被曲线C 截得的弦长的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()241f x x x =++-.(1)求不等式()6f x >的解集；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足229a b m +=，求证：326a b ab +≥.2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBACDDBDDDAD1．D解：∵{}12A x x =<<，{}12B x x =≤≤， ∵{}12A B x x ⋂=<<， 故选：D ． 2．B因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B 3．A 当14a >，0x >时，由基本不等式可知21a ax x a x x +≥⋅=， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的充分条件； 当14a =时，114a a x x x x +≥⋅=成立，14a >不成立， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的不必要条件. 故选：A 4．C解：因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数， 所以()()f x f x =-， 又因为()()11f x f x +=-， 所以()()2f x f x -=，则()()2f x f x -=-，即()()2f x f x +=， 所以周期为2T =，因为112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33121222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C 5．D对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D. 6．D函数的定义域为{x |x ≠0}，11()ln ||cos(3)ln ||cos3()22f x x x x x f x -=--==，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当06x π<<时，f (x )<0，排除A ，D 符合要求.故选：D. 7．B设AF x =，则3DF x =，BD AF x ==，4AD x =，120ADB ∠=， 在ABD △中，根据余弦定理得，22222212cos 1624212AB AD BD AD BD ABD x x x x x ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∵221393sin60(3)24EFDS DF DE x =⋅⋅⋅==， 2213213sin602124ABCSAB BC x =⋅⋅⋅==， ∵73ABC EFDSS=，∵图中阴影部分与空白部分面积之比为34.故选：B. 8．D设2,x a y b =+=，则2,a x b y =-=，故28x y +=，其中2,0x y >>，()2212214226288x y x y a b x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由4242x yy x+≥ 当且仅当(422422x yy x x y x=⇒=⇒=，()821y =时等号成立，此时2x >，0y >满足， 故222a b ++的最小值为(13264284+= 故选：D. 9．D当受血者为B 型血时，供血者可以为B 型或O 型，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65. 故选：D 10．D∵等差数列{an }中，a 1，a 6为函数2()914f x x x =-+的两个零点， ∵a 1＝2，a 6＝7，或a 1＝7，a 6＝2， 当a 1＝2，a 6＝7时，61161a a d -==-，a 3＝4，a 4＝5，所以a 3a 4＝20． 当a 1＝7，a 6＝2时，61161a a d -==--，a 3＝5，a 4＝4，所以a 3a 4＝20． 故选：D ． 11．A双曲线22271x y -=，273c =+=， 所以(3,0)F ，3,2122pp ==，所以抛物线2:12C y x =. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为()(3)0y k x k =->.联立2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，化简整理得()222261290k x k x k -++=.设()()1122,,,A x y B x y ，则122126x x k +=+，129x x =. ∵||3||AF BF =，()12333x x +=+，∵1236x x -= ∵122126x x k +=+，∵1296x k =+，223x k=，又129x x =，∵23k =， ∵0k >，∵3k =因此直线l 3330x y --=. 故选：A 12．D由0ln 2lne 1x <=<=，10lg 2102y <=<可得2211log e,log 10x y ==，故()22211log e log 10log 10e 1x y +=+=>，即x y xy +>，2221110log 10log e log 1e y x ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，即x y xy ->，又(0,)2x π∈时，tan x x >，3022x y π<+<<，故()tan x y x y +>+，综上()tan x y x y x y xy +>+>->. 故选：D. 13．23π因为1e ，2e 均为单位向量，且123e e -=， 所以22212112223e e e e e e -=-⋅+=，即121cos ,2e e =-，因为[]12,0,e e π∈， 所以122,3e e π=， 故答案为：23π 14．230x y +-=由题可知直线AB 的斜率存在；设()()1122,,,A x y B x y ,由于点,A B 都在椭圆上，所以2211221x y a b+=①, 2222221(0)x y a b a b +=>>②,-①②，化简得2221222212y y b a x x --=-；22221b a -所以2212b a =，即()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+； 又线段AB 的中点为()1,1M ，所以()()()()()()()()121212121212121212121222y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x +--+-===-+-+--， 所以直线AB 的斜率为12-，故所求直线l 的方程为()1112y x =--+，即230x y +-=．故答案为：230x y +-=. 1523因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，所以由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，由0,0B C ππ<<<<，则1sin 2A =，而三角形ABC为锐角三角形，所以3cos 6A A π=⇒=. 由余弦定理，222383cos 223b c a A bc bc bc +-==11123sin 2223ABCSbc A ===. 2316．28π过点D 作DE ∵BG ，易得DE ∵平面ABC ， 记ABC 的中心为O 1，几何体的球心为O ， 连接OO 1，过点O 作OF //O 1E 交DE 于点F ，如图所示，由题可得BG =DG =3，∵DGB =23π， 333,2EG DE ==，111,2,O G O A == 设1OO x =，外接球的半径为R ，所以2221222R O A x R DF OF ⎧=+⎨=+⎩，即2222222335()2R xR x ⎧=+⎪⎨⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得73R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以该四面体外接球的表面积为28π. 17．(1)解：由题意，设第一行的公差为1d ，第三列的公比为q ， 则由122a =，144a =，可得1141222d a a =-=， ∵11d =，∵133a =，又3312a =，∵331324a a q ==，∵2q ，∵11212222n n nn a a q --=⋅=⨯=；(2)解：∵()()()()()()()()()11111212121212222121212111n nn n n n n n n n n b a a +--+++⎡⎤---⎣⎦===------111122121n n +⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦. ∵121223111111112212121212121n n n n S b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥------⎣⎦1121111122121222n n ++⎡⎤=-=-⎢⎥---⎣⎦. 18．(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解得0.006a =；由频率分布的直方图可得设中位数为m ，故可得()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解得76m =，所以这200名学生成绩中位数的估计值为76； (2)由频率分布直方图可知：得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人. 设分数在[ 40，50 )内的2人为12,a a ，分数在[ 50，60 )内的3人为123,,b b b ，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况，其中分数在同一组的2人有()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，有4种情况， 所以概率为42105P ==. 19． （1）连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，//AB CD ，24AB CD ==，CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 又//CE 平面BDM ，CE ⊂平面ACE ，且平面ACE 平面BDM MN =//CE MN ∴12EM CN MA AN ∴==．（2）AE 平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，AE BM ∴⊥，AB AE BE ==，M ∴是AE 的中点，面ABE ⊥面ABCD ，∴点E 到面ABCD 的距离为3423d ==∴点M 到面ABCD 的距离为32dh ==11123223332C BDM M BCD BCD V V S h --∴==⋅=⋅⋅⋅△ BDM 中，22BD =，22DM =23BM =1235152BDM S ⋅∴==△∴点C 到平面BDM 的距离满足123153h =，所以距离25h =20． (1)由椭圆221259y x +=，知222594c a b --．又抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点． 所以42p=，则8p =． 所以抛物线的方程为216x y =． (2)由抛物线方程216x y =知，焦点(0,4)F ．易知直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为4y kx =+．由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得216640x kx --=．22(16)4(64)2562560k k ∆=---=+>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1216x x k +=，1264x x =-．对216x y =求导，得8x y '=，∵直线AP 的斜率18AP x k =， 则直线AP 的方程为111()8x y y x x -=-，即211816x x y x =-．同理得直线BP 的方程为222816x x y x =-．设点00(,)P x y ，联立直线AP 与BP 的方程，()012120182416x x x k x x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩即(8,4)P k -． 2222121212||11()41AB k x k x x x x k +-=++-+22(16)256161()k k +=+，点P到直线AB 的距离22288811k d k k +==++所以PAB △的面积32222116(1)164(1)642S k k k =⨯+⨯+=+，当且仅当0k =时等号成立．所以PAB △面积的最小值为64，此时直线l 的方程为4y =． 21．(1)()1e x f x a -='-，x ∈R .①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得，()1ln ,x a ∈++∞，()f x 单调递增， 由()0f x '<得，(),1ln x a ∈-∞+，()f x 单调递减.综上：当0a ≤时，()f x 单调递增；当0a >时，()f x 在()1ln ,x a ∈++∞上单调递增，在(),1ln x a ∈-∞+上单调递减.(2)∵()f x 在()0,2上有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设12x x <， ∵1e x a x-=在()0,2上有两个不相等的实根，令()1e x g x x -=，()0,2x ∈，∵()()12e 1x x g x x --'=，由()0g x '<得，()0,1x ∈，()g x 单调递减，由()0g x '>得，()1,2x ∈，()g x 单调递增，()11g =，()e22g =，0x →，()g x ∞→+， ∵e 1,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭要证121x x a>，即证121ax x >，又∵()()12g x g x a ==，只要证211e1x x ->，即证211e x x ->，∵121x x ，即证()()211e xg x g -<即证()()212ex g x g -<，即证12221e 112e e ex x x x ----<，即证212e ln 10x x -+->令()1eln 1xh x x -=+-，()1,2x ∈，∵()11e x h x x-'=-+，令()e e x x x ϕ=-，()1,2x ∈，则()e e x x ϕ'=-，当()1,2x ∈时，()e e>0xx ϕ'=-恒成立，所以()e e x x x ϕ=-在()1,2x ∈上单调递增，又()()10x ϕϕ>=，∵e e x x >，∵11e xx-<，∵()0h x '> ∵()h x 在()1,2上递增，∵()()10h x h >>，∵1e ln 10x x -+-> ∵121x x a>. 22． 试题解析：(1)由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 对应的直⻆角坐标⽅方程为:()2224x m y m -+=+由点M 在曲线C 的内部，()22394m m ∴-+<+, 求得实数m 的取值范围为7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)直线l 的极坐标⽅方程为θα=，代入曲线C 的极坐标⽅方程整理理得26cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为1212126cos 4ρρρραρρ+==-，，，， 则直线l 截得曲线C 的弦长为：()22121212436cos 164,213ρρρρρρα⎡⎤-=+-+⎣⎦. 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是4,213⎡⎣.23． (1)由条件可知原不等式可化为①12416x x x ≥⎧⎨++->⎩，②()212416x x x -<<⎧⎨+-->⎩，③()()22416x x x ≤-⎧⎨-+-->⎩，解①得1x >；解②得x ∈∅；解③得3x <-， 所以原不等式的解集为()(),31,-∞-⋃+∞. (2)因()33,12415,2133,2x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，所以当2x =-时，函数()f x 的最小值为3m =，于是2293a b +=，∵a >0，b >0而2239236a b a b ab=+≥⨯=，于是1 02ab<≤.∵313326 a bab b a ab≥+=+≥∵326a b ab+≥，原不等式得证。
