【数学知识点】初中数学因式分解的方法和口诀

初中数学之因式分解知识点汇总

因式分解

1. 因式分解的概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式

多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；

字母——取各项都含有的字母；

指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：

(一)运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式

1.平方差公式

(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解

1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式

(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2 =(a+b)2

a2-2ab+b2 =(a-b)2

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

初中因式分解方法总结

因式分解是初中数学中重要的一部分，它是指将一个多项式表达式分解为包含更简单的表达式的积的形式，其中这些表达式通常是多项式的因子。在这篇文章中，我们将总结因式分解的基本方法和一些通用技巧，希望能帮助初中学生更好地掌握这一知识点。

一、因式分解基本方法

1.提取公因数

因式分解的第一步通常是提取公因数。如果一个多项式的每一项都有一个共同的因子，那么这个因子可以提取出来。例如，多项式 9x^2 + 6x 可以被因式分解为 3x(3x + 2)。

2.平方差公式

平方差公式是因式分解的一个重要公式，其表达式为a²-b²=(a+b)(a-b)。应用平方差公式，可以将一个二次多项式分解为两个因子的乘积。例如，x²-4可以分解为(x+2)(x-2)。

3.分组分解

有时，分组分解技巧可以用于分解一个多项式。在分组分解中，我们可能会将项分组，使每一组都有共同的因子。例如，1+a+b+ab可以分解为(a+1)(b+1)。

4.配方法

配方法是因式分解的一种通用技巧，用于将一个双项式转换为二次多项式，进而将其分解。配方法的一般思路是，使用一个与双项式中各项相关的常数，对双项式进行乘法。例如，将x+3和x+1相乘可以得到x²+4x+3，然后就可以将其分解为(x+3)(x+1)。

5.长除法

长除法是一种较为复杂的因式分解方法，通常适用于高阶多项式。这种方法基于多项式的最高项，通过连续除以一个因子，在多项式中逐步减少幂的位数，从而得到各个因子。这种方法需要耐心和技巧，但可以解决较为复杂的因式分解问题。

二、因式分解通用技巧

1. 特殊的二次多项式

特殊的二次多项式可以被因式分解很容易。例如，x^2 - 2x + 1可以分解为(x-1)(x-1)，因为它们都等于(x-1)²。 3. 奇偶规则

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：222222222222abcabbccaabcabbcca

222()()()0abbccaabc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

因式分解

知识点回顾

1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算

2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：)(cbammcmbma

（2）运用公式法： 平方差公式：))((22bababa；

完全平方公式：222)(2bababa

（3）十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法

5、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()ababab

6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(

幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(

如：23326)4()4(4

7、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx•••

8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab

9、零指数和负指数；

10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。 ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。

如：81)21(233

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。